第八章立体几何初步综合复习卷05-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期期末复习.rar

高一下学期期末复习-立体几何初步综合卷 05一、选择题一、选择题1.下列说法正确的是（）A空间中的任意三点可以确定一个平面B四边相等的四边形一定是菱形C两条相交直线可以确定一个平面D正四棱柱的侧面都是正方形2. 已知等腰梯形 ABCD，现绕着它的较长底 CD 所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）A一个圆台、两个圆锥B一个圆柱、两个圆锥C两个圆台、一个圆柱D两个圆柱、一个圆台3.已知直线/ /l平面，点P平面，那么过点P且平行于直线l的直线()A有无数条，仅有一条在平面内B只有一条，且不在平面内C有无数条，均不在平面内D只有一条，且在平面内4. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为()A13abcB16abcC112abcD124abc5.如图，已知四棱锥 ，底而 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱长相等且为 4，E为 CD 的中点，则异面直线 CM 与 AE 所成角的余弦值为（ ）A35B35C515D35206.如图，在下列四个正方体中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 平行的有（）个A1B2C3D47. 三棱锥底面边长为 3，侧棱与底面成60角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A4B16C163D3238 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱， 其中总高度为 10cm， 圆柱部分高度为 7cm， 已知该陀螺由密度为 0.8g/cm3的木质材料做成，其总质量为 96g，则此陀螺圆柱底面的面积为（）A10cm2B15cm2C16cm2D20cm29.在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD，E 是 PD 中点，下列叙述正确的是（）ACE平面 PABBCE平面 PADC平面 PBC平面 PABD平面 PBD平面 PAC10.（2022 全国甲卷 理）9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若=2SS甲乙，则=VV甲乙（ ）A. 5B. 2 2C. 10D. 5 104二、填空题二、填空题11. 圆柱的高、底面半径均为 1，则其表面积为 12.已知一母线长为的圆锥的轴截面面积是，则该圆锥的侧面积为_13.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴.已知四边形 ABCD 的面积为，则原平面图形的面积为_. 14.如图， 在三棱柱111ABCABC中， D， E， F 分别是 AB， AC，1AA的中点.设三棱锥 FADE2322 2cm的体积为1V，三棱柱111ABCABC的体积为2V，则12:V V_.15.给出下列命题：（1）若平面内有两条直线分别平行于平面，则；（2）若平面内任意一条直线与平面平行，则；（3）过已知平面外一条直线，必能作出一个平面与已知平面平行；（4）不重合的平面，若，则有其中正确的命题是_ （填写序号）三、解答题三、解答题16.如图， 在正方体中，、分别为、的中点，与交于点.求证：(1)；/ / / / / /1111ABCDABC DEF1DD1CCACBDO1/CE FD(2)平面平面.17.正方体中，为棱中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.18.九章算木中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” 在如图所示的 “阳马” PABCD中， 侧棱PD 底面ABCD，PDDA， 点E是PA的中点，作EFPB交PB于点F（1）求证：/ /PC平面EBD；（2）求证： PB 平面EFD19.如图，已知三棱锥 PABC，ACB90，D 为 AB 的中点，且PDB是正三角形，PAPC.求证：/AEC1BFD1111ABCDABC DE1DD1/ /BDAEC1B AC11B BDD(1)PA平面 PBC；(2)平面 PAC平面 ABC.20.如图在四棱锥ABCDE中，/ /CDEB，112CDEB，CBBE，2AEABBC，3AD O是AE的中点（）求证：/ /DO平面ABC；（）求 DA与平面ABC所成角的正弦值高一下学期期末复习-立体几何初步综合卷 05一、选择题一、选择题1.下列说法正确的是（）A空间中的任意三点可以确定一个平面B四边相等的四边形一定是菱形C两条相交直线可以确定一个平面D正四棱柱的侧面都是正方形【答案】C【分析】利用平面的基本性质及推论进行判断【解析】对于 A，空间中的不共线的三点可以确定一个平面，故 A 错误；对于 B，四边相等的四边形也可能是空间四边形，故 B 错误；对于 C，两条相交直线可以确定一个平面，故 C 正确；对于 D，正四棱柱的侧面都是矩形，故 D 错误故选：C2. 已知等腰梯形 ABCD，现绕着它的较长底 CD 所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ）A一个圆台、两个圆锥B一个圆柱、两个圆锥C两个圆台、一个圆柱D两个圆柱、一个圆台【答案】B【分析】画出简图，将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，进而进行旋转，然后根据多面体的定义得到答案.【解析】将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示：矩形绕其一边旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边旋转一周得到圆锥；因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在的直线旋转一周，可得几何体为 ： 一个圆柱、两个圆锥.故选：B.3.已知直线/ /l平面，点P平面，那么过点P且平行于直线l的直线()A有无数条，仅有一条在平面内B只有一条，且不在平面内C有无数条，均不在平面内D只有一条，且在平面内【答案】 D【分析】由平面的基本性质和线面平行的性质定理，可得结论【解析】因为直线/ /l平面，点P平面，即P直线l，过P和直线l有且只有一个平面，设为，则平面与平面有一个公共点P，由平面的基本性质可得平面与平面必有一条公共直线，设为m，且/ /ml，且m只有一条，在平面内故选： D 【点评】本题考查线面平行的性质定理和两直线平行的条件，考查推理能力，属于基础题4. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为()A13abcB16abcC112abcD124abc【答案【解析】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积为：11113326VShabcabc故选：B5.如图，已知四棱锥 ，底而 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧棱长相等且为 4，E为 CD 的中点，则异面直线 CM 与 AE 所成角的余弦值为（ ）A35B35C515D3520【答案】D【解析】如图，取 AB 的中点 F，连接 FC，FM，因为底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 是 CD 的中点，所以 ，且 = =22+ 12=5， 所以异面直线 CM 与 AE 所成的角为FCM 或其补角，四棱锥的侧棱相等且为 4，在MAB 中，由勾股定理得 =42 12=15，在MCF 中，由余弦定理得cos =2+ 2 22 =5 + 42 152 5 4=3520，所以异面直线 CM 与 AE 所成角的余弦值为3520，故选：D6.如图，在下列四个正方体中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 平行的有（）个A1B2C3D4【答案】C【分析】由题意利用线面平行的判定定理即可得解【解析】对于，如图，O 为底面对角线的交点，可得 ABOQ，又 OQ平面 MNQQ，所以直线 AB 与平面 MNQ 不平行；对于，由于 ABMQ，结合线面平行的判定定理可知 AB 与平面 MNQ 平行；对于，由于 ABMQ，结合线面平行的判定定理可知 AB 与平面 MNQ 平行；对于，由于 ABNQ，结合线面平行的判定定理可知 AB 与平面 MNQ 平行所以在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 平行的有 3 个故选：C7. 三棱锥底面边长为 3，侧棱与底面成60角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A4B16C163D323【答案】D【解析】如图，正三棱锥ABCD中，M是底面BCD的中心，则AM是正棱锥的高，ABM是侧棱与底面所成的角，即ABM60，由底面边长为 3 得23 3332BM ，tan60333AMBM 正三棱锥ABCD外接球球心O必在AM上，设球半径为R，则由222BOOMBM得222(3)( 3)RR，解得2R ，3344322333VR8 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱， 其中总高度为 10cm， 圆柱部分高度为 7cm， 已知该陀螺由密度为 0.8g/cm3的木质材料做成，其总质量为 96g，则此陀螺圆柱底面的面积为（）A10cm2B15cm2C16cm2D20cm2【答案】B【分析】先求出陀螺的总体积，设底面半径为 r，由圆锥和圆柱的体积公式，列出方程求解得到 r215，即可得到答案【解析】由题意可得，该陀螺的总体积为960.8= 1203，设底面半径为 r，则2 7 +132 3 = 120，解得 r215，则此陀螺圆柱底面的面积为 Sr215cm2故选：B9.在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PA平面 ABCD，E 是 PD 中点，下列叙述正确的是（）ACE平面 PABBCE平面 PADC平面 PBC平面 PABD平面 PBD平面 PAC【答案】D【分析】利用反证法判断 A；利用面面垂直的性质判断 BC；利用面面垂直的判定定理判断 D【解析】对于 A，四边形 ABCD 是菱形，则 CDAB，CD平面 PAB，AB平面 PAB，CD平面 PAB，若 CE平面 PAB，CECDC，则平面 PCD平面 PAB，事实上平面 PCD 与平面 PAB 相交，假设不成立，故 A 错误；对于 B，过点 C 在平面 ABCD 内作 CFAD，垂足为点 F，PA平面 ABCD，CF平面 ABCD，CFPA，CFAD，PAADA，CF平面 PAD，过 C 作平面 PAD 的垂线有且只有一条，CE 与平面 PAD 不垂直，故 B 错误；对于 C，过点 C 在平面 ABCD 内作 CMAB，垂足为点 M，PA平面 ABCD，CM平面 ABCD，则 CMPA，CMAB，PAABA，则 CM平面 PAB，若平面 PBC平面 PAB，过点 C 在平面 PBC 内作 CNPB，垂足为点 N，平面 PBC平面 PAB，平面 PAB平面 PABPB，CN平面 PBC，CN平面 PAB，过点 C 作平面 PAB 的垂线有且只有一条，CM，CN 重合，平面 ABCD平面 PBCBCCM，BCAB，四边形 ABCD 是菱形，BC 与 AB 不一定垂直，故 C 错误；对于 D，四边形 ABCD 是菱形，BDAC，PA平面 ABCD，BD平面 ABCD，BDPA，PAACA，BD平面 PAC，BD平面 PBD，平面 PBD平面 PAC，故 D 正确故选：D10.（2022 全国甲卷 理）9. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若=2SS甲乙，则=VV甲乙（ ）A. 5B. 2 2C. 10D. 5 104【答案】C【分析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，根据圆锥的侧面积公式可得122rr，再结合圆心角之和可将12,r r分别用l表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为1r，乙圆锥底面圆半径为2r，则11222SrlrSr lr甲乙，所以122rr，又12222rrll，则121rrl，所以1221,33rl rl，所以甲圆锥的高2214593hlll，乙圆锥的高22212 293hlll，所以2211222214539310112 2393r hllVVr hll甲乙.故选：C.二、填空题二、填空题11. 圆柱的高、底面半径均为 1，则其表面积为 【答案】4【解析】由题意得，表面积21 121 14S 故答案为：412.已知一母线长为的圆锥的轴截面面积是，则该圆锥的侧面积为_【答案】或2322 3【分析】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，根据已知条件可得出关于 、 的方程组，解出 的值，即可求得该圆锥的侧面积.【解析】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，由题意可得，解得或，因此，该圆锥的侧面积为或.故答案为：或.13.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴，BC，AD 平行于 x 轴.已知四边形 ABCD 的面积为，则原平面图形的面积为_. 【答案】【分析】根据平面图形中，原图面积与直观图面积之间的关系即可求解.【解析】设原图面积为 ，直观图面积，根据直观图面积与原图面积的关系因为rhrhrrh22340rhrhr13rh31rh22r22 3r22 322 2cm28cmS1S124SS12 2S 容易解得，故答案为：.【点睛】本题考查斜二侧画法中直观图与原图面积之间的关系，属基础题.14.如图， 在三棱柱111ABCABC中， D， E， F 分别是 AB， AC，1AA的中点.设三棱锥 FADE的体积为1V，三棱柱111ABCABC的体积为2V，则12:V V_.【答案】124【分析】分别算出三棱锥 FADE 的与原三棱柱的底面积之比和高之比，进而根据椎体和柱体的体积公式求得答案.【解析】设三棱柱的底面 ABC 的面积为 S，高为 h，则其体积2VSh.D，E 分别为 AB，AC 的中点，ADE的面积等于14S.又F 为1AA的中点，F 到底面 ABC 的距离是1A到底面 ABC 距离 h 的一半，即为12h.于是三棱锥 FADE 的体积12111113422424VShShV，则12:1:24V V .故答案为：1:24.15.给出下列命题：8S 28cm（1）若平面内有两条直线分别平行于平面，则；（2）若平面内任意一条直线与平面平行，则；（3）过已知平面外一条直线，必能作出一个平面与已知平面平行；（4）不重合的平面，若，则有其中正确的命题是_ （填写序号）【答案】 （） （）【分析】由平面与平面平行的判定判断（1） ；由平面与平面平行的定义判断（2）与（3） ；由平面平行的传递性判断（4） 【解析】（1）由平面与平面平行的判定可知，若平面内有两条相交直线分别平行于平面，则，故（1）错误；（2）由平面与平面平行的定义可知，若平面内任意一条直线与平面平行，则，故（2）正确；（3）当平面外的一条直线与平面相交时，过已知平面外一条直线，不能作出一个平面与已知平面平行，故（3）错误；（4）不重合的平面，若，由平面与平面平行的传递性可得，故（4）正确故答案为： （2） （4） 三、解答题三、解答题16.如图， 在正方体中，、分别为、的中点，与交于点.求证：/ / / / / /24/ / / / / /1111ABCDABC DEF1DD1CCACBDO(1)；(2)平面平面.【分析】 （1）证明出四边形为平行四边形，可证得结论成立；（2）证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.【解析】(1)证明：在正方体中，且，因为、分别为、的中点，则且，所以，四边形为平行四边形，则.(2)证明：因为四边形为正方形，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，所以，平面，因为，平面，平面，所以，平面，因为，因此，平面平面.17.正方体中，为棱中点.1/CE FD/AEC1BFD1CED F/OE1BFD/CE1BFD1111ABCDABC D11/CCDD11CCDDEF1DD1CC1/CF D E1CFD E1CED F1/CE FDABCDACBDOOBDE1DD1/OE BDOE 1BFD1BD 1BFD/OE1BFD1/CE FDCE 1BFD1FD 1BFD/CE1BFDOECEE/ACE1BFD1111ABCDABC DE1DD（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【分析】 （1）由线面平行的判定定理可证得结果；（2）证得平面，进而由面面垂直的判定定理可证得结果.【解析】（1）设与交于点，连结.因为是正方体，所以为正方形，为中点.又因为为中点，所以.又因为平面平面，所以平面.（2）因为是正方体，平面.又平面，所以.又为正方形，所以.因为平面平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.1/ /BDAEC1B AC11B BDDAC 11BDD BACBDOOE1111ABCDABC DABCDOBDE1DD1/ /OEBDOE 1,AEC BD AEC1/ /BDAEC1111ABCDABC D1BB ABCDAC ABCD1ACBBABCDACBD11,ACBD ACBB BB11,BDD B BD 111,BDD B BBBDBAC 11BDD BAC 1B AC1B AC11B BDD18.九章算木中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” 在如图所示的 “阳马” PABCD中， 侧棱PD 底面ABCD，PDDA， 点E是PA的中点，作EFPB交PB于点F（1）求证：/ /PC平面EBD；（2）求证： PB 平面EFD【分析】 （1）连接AC交 BD于点O，连接EO，推导出/ /EOPC，由此能证明/ /PC平面EBD（2）推导出PDAB， ABAD，从而 AB 平面 PDA，进而ABED，再由EDPA，得ED 平面 PAB ，EDPB，由EFPB，能证明 PB 平面EFD【解析】证明： （1）连接AC交 BD于点O，连接EO，四边形ABCD是矩形，O为AC中点，E是PC中点，/ /EOPC，EO 平面EBD，/ /PC平面EBD（2）侧棱PD 底面ABCD，AB 平面ABCD，PDAB，ABCD是矩形，ABAD，PDDAD，AB 平面 PDA，ED 平面 PDA，ABED，E是PA的中点，且PDDA，EDPA，ED 平面 PAB ，EDPB，EFPB，EFEDE，PB平面EFD【点评】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.如图，已知三棱锥 PABC，ACB90，D 为 AB 的中点，且PDB是正三角形，PAPC.求证：(1)PA平面 PBC；(2)平面 PAC平面 ABC.【分析】（1）根据题意在APB可说明 PAPB，结合 PAPC 即可证明结论.（2）由（1）可得 PABC.则可证明 BC平面 PAC.即可证明结论.【解析】(1)因为PDB是正三角形，所以BPD60，因为 D 是 AB 的中点，所以 ADBDPD.又ADP120，所以DPA30，所以DPABPD90，所以 PAPB.又 PAPC，PBPCP，PB平面 PBC，PC平面 PBC.所以 PA平面 PBC.(2)由（1）知 PA平面 PBC，BC平面 PBC所以 PABC.因为ACB90，所以 ACBC.又 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC.所以 BC平面 PAC.因为 BC平面 ABC，所以平面 PAC平面 ABC.20.如图在四棱锥ABCDE中，/ /CDEB，112CDEB，CBBE，2AEABBC，3AD O是AE的中点（）求证：/ /DO平面ABC；（）求 DA与平面ABC所成角的正弦值【分析】( ) I取 AB 中点 F ，连结CF、OF，证明/ /DOCF，再由线面平行的判定定理得/ /DO平面ABC()II证明DG 平面 ABE ，以G为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面ABC的方向向量和DA 的方向向量，再求 DA与平面ABC所成角的正弦值【解析】（）证明：取 AB 中点 F ，连结CF、OF，/ /OFEB，/ /CDEB，/ /CDOF又CDOF，四边形OFCD为平行四边形，/ /DOCF，而CF 平面ABC，/ /DO平面ABC（）解：取EB中点G，连结AG、DG，2AEAB，2BE ，ABE为等腰直角三角形，1AG，又3AD ，2DGBC，222AGDGDA，DGAG，又DGBE，AGBEG，所以DG 平面 ABE ，以G为原点， 以GB，GA，GD方向分别为x轴、y轴、 z 轴， 建立如图所示空间直角坐标系(0G，0，0)，(0A，1，0)，(0,0, 2)D，( 1E ，0，0).(0, 1, 2)AD ，而 AE 平面ABC，故平面ABC的一个法向量( 1, 1,0)nAE 16sin|cos,| |6| |6AD AEAD AEADAE 所以 DA与平面ABC所成角的正弦值为66【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理，利用空间直角坐标系求线面角，属于基础题