福建省厦门市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）.rar

高一数学试题第 1 页（共 6 页）厦门市 2020-2021 学年度第二学期高一年级质量检测数 学 试 题满分:150 分考试时间:120 分钟考生注意：1. 答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、座号、准考证号填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号，姓名是否一致。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将答题卡交回。一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若(1i)2iz，则z A1 i B1+iC1 iD1+i2已知a，b是两个不共线的向量，且2ABab ，若 A，B，C 三点共线，则实数A4B1C1D43已知某种设备在一年内需要维修的概率为 0.2 用计算器产生 15 之间的随机数，当出现随机数 1 时，表示一年内需要维修，其概率为 0.2，由于有 3 台设备，所以每 3 个随机数为一组，代表 3 台设备一年内需要维修的情况，现产生 20 组随机数如下：412 451 312 533 224 344 151 254 424 142435 414 335 132 123 233 314 232 353 442据此估计一年内至少有 1 台设备需要维修的概率为A0.4B0.45C0.55D0.64厦门地铁 1 号线从镇海路站到文灶站有 4 个站点.甲、乙同时从镇海路站上车，假设每一个人自第二站开始在每个站点下车是等可能的，则甲乙在不同站点下车的概率为A14B13C23D345已知圆锥的侧面展开图是一个面积为2的半圆，则这个圆锥的底面半径为A12B1C2D4高一数学试题第 2 页（共 6 页）6为庆祝建党 100 周年，厦门中学生助手组织“心中歌儿献给党”歌咏比赛，已知 5 位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分.可以判断出一定有出现 100 分的是A平均数为 97，中位数为 95B平均数为 98，众数为 98C中位数为 95，众数为 98D中位数为 96，极差为 87ABC的内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.已知3cos4B ，2ca，AC边上的中线长度为m，则mbA12B22C1D28如图（1）平行六面体容器1111ABCDABC D盛有高度为 h 的水，12AB AD AA，1A AB160A ADBAD .固定容器底而一边BC于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过 A，B1，C1，D 四点，则h的值为A33B63C2 33D2 63二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，有选错的得 0 分。9厦门中学生助手为了解甲、乙两城市的气温情况，收集并整理了两城市 2020 年月平均气温的相关数据，得到折线图（如图） ，则A甲城市有 3 个月的月平均气温低于 0B甲城市的月平均气温的最大值比乙城市的月平均气温的最大值大C甲城市年平均气温比乙城市年平均气温低D甲城市月平均气温的方差比乙城市月平均气温的方差小10复数z的共轭复数为z，则Az与z在复平面内对应的点关于实轴对称Bz z在复平面内对应的点在虚轴上C若11zz，则z在复平面内对应的点在实轴上D若1z ，则z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心，半径为 1 的圆高一数学试题第 3 页（共 6 页）11如图是长方体的平面展开图，3AB ，2BE ，4BC ，则在该长方体中AB，C，F，G 四点共面B直线AE与直线GC平行C直线BH与平面ACG的距离为 3D三棱锥BDFH外接球的表面积为2912已知向量，a在向量b上的投影向量为，则Aa bc b B与b方向相同的单位向量为52 5,55或5 2 5,55Cbba的最小值为 0D的最小值为5三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知1i是关于x的一元次方程220 xpx(其中pR)的一个根，则p .14为了解学生一学期参与志愿者活动的情况，学校随机调查了 10 名学生，统计其参加活动的时长（单位：小时） ，得到以下数据：8，9，11，11，12，13，14，16，17，22，则该组数据的 75%分位数为.15若平面上的三个力1F ，2F ，3F ，作用于同一点，且处于平衡状态.已知，22FN ，且1F 与2F 的夹角为56，则2F 与3F 的夹角为.16厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立的塔楼由裙楼相连，外观形似风帆，并融入了厦门市花“三角梅”的视觉元素。厦门中学生助手计划测量双子塔A塔的高度，他在家测得塔尖的仰角为 26.3，再到正上方距家42 米的天台上，测得塔尖仰角为 22.3，塔底俯角为 10.8。则 A 塔的高度约为米.（精确到个位）参考数据：sin40.07 ，sin33.10.55 ，sin63.70.90 ，sin79.20.98 .高一数学试题第 4 页（共 6 页）四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 （10 分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上，且2AEBE，点F是BC的中点.（1）设ABa，ADb，用a，b表示ED，EF；（2）已知EDEF，求证：32ABAD.18 （12 分）如图， 在长方体木料1111ABCDABC D中，1222ABADAA，E为棱11AB的中点， 要过点E和棱BC将木料锯开.（1）在木料表面画出符合要求的线，写出作图过程并说明理由；（2）写出切割后体积较大的几何体的名称，并求出它的体积.19 （12 分）甲、乙两人进行投篮比赛，约定赛制如下：选定投篮位置，并在同一位置连续投篮三次，站在 3 分线外每次投中得 3 分，站在 3 分线内每次投中得 2 分，总得分高者胜出。假设乙同学在 3 分线内投篮，每次投中概率为 0.7，在 3 分线外投篮，每次投中概率为 0.4.用 Y 表示乙投中，N 表示乙未投中，假设每次能否投中是独立的。（1）观察乙的投篮情况，根据树状图填写样本点，并写出样本空间；（2）已知甲三次总得分为 4 分，若乙想赢得比赛，你建议他位置选在3 分线内还是 3 分线外，为什么？高一数学试题第 5 页（共 6 页）20 （12 分）某校有高中生 2000 人，其中男女生比例约为5:4，为了获得该校全体高中生的身高信息，厦门中学生助手采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为 25 的样本，计算得到男生样本的均值为 170，方差为 16，女生样本的均值为 160，方差为 20.身高（单位：cm）145,155155,165165,175175,185185,195频数mpq64（1）根据图表信息，求 n，q 并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值； （同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二中总样本的均值及方差；（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总体样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？21 （12 分）如图，四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，PAPD，四边形ABCD是正方形.（1）直线 AC 与平面 PBD 是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（2） 若二面角PCDB的平面角为 60， 求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.高一数学试题第 6 页（共 6 页）22 （12 分）在2coscos1c aBbAa； coscosbAabBc； 4 sincoscosSBACB中选个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题。问题：设钝角ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c。S 为ABC的面积，_.（1）求b；（2）若点O为ABC的外心，OAC的面积为34，求OAB与OBC的面积之和的最大值. 1 BHFEAGDC厦门市 20202021 学年度第二学期高一年级质量检测 数学参考答案 一、单选题 1-4 DABC 5-8 BACB 二、多选题 9AC 10AD 11AD 12ABD 11如图，在长方体FEBA GHCD中，FGBC 所以,B C F G四点共面，所以选项 A 正确 由图可知直线AE与直线CG为异面直线，不平行，所以选项 B 错误 因为BH平面AGH 所以点B到平面AGH的距离即为直线BH到平面AGH的距离d 因为HACGA CGHVV= 所以1133ACGCGHSdSAD= 因为在CGH中，13CG =，5AC =，2 5AG = 所以1612 51361265ACGS= 又12 332CGHS= = 所以3 412 616161CGHACGSADdS=，所以选项 C 错误 因为三棱锥BDFH的外接球即为长方体的外接球 所以222223429R =+=，所以三棱锥BDFH的外接球的表面积为29 所以选项 D 正确 12由题意知bc，所以设(2,4)(2 ,4 )=b 因为4 23 420= + =a b，2 24 420= + =c b，所以= a bc b 所以选项 A 正确 与b方向相同的单位向量为5 2 5,55或52 5,55 所以选项 B 正确 因为()24,43=ba 所以221()2 (24)4 (43)20202052=+=bba 所以当12=时，()bba的最小值为5，所以选项 C 错误 因为2222(42 )(34 )20(1)5=+=+ab 所以当1=时，ab的最小值为5，所以选项 D 正确 三、填空题 132； 1416； 15120； 16303 16（课本 P49 例 9 改编） 如图，在ABC中，由正弦定理得： sinsinABBCACBBAC=，42sin4sin63.7BC=，540BC =， 2 在BCD中，由正弦定理得： sinsinBCCDBDCCBD=，540sin79.2sin33.1CD=，303CD （选填部分题目来自课本 P256 例 4、P264 第 6 题、P222 第 2 题、P120 第 3 题、P132 第 9题、P87 第 7 题、P41 第 3 题改编） 四、解答题 17 （课本 P37 第 11 题改编）本题考查平面向量基本定理，向量的线性运算，向量的数量积等知识； 考查推理论证能力和运算求解能力； 考查数形结合， 化归与转化等数学思想 本题满分 10 分 解：法一： （1）因为2AEBE=，所以=EDADAE 1 分 2233= +ADABab， 2 分 因为F是BC的中点，所以EFEBBF=+ 3 分 11113232ABBC=+=+ab 4 分 （2）因为EDEF，所以0ED EF=， 5 分 所以2110332 += abab， 6 分 即22211109332 + +=aa ba bb， 7 分 所以222192=ab即2294=ab， 8 分 所以32=ab， 9 分 所以32ABAD= 10 分 法二： （1）同法一 4 分 （2）以A为原点，AB所在直线为x轴，过A且与AB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A，设( ,0)B m，( , )D n r，(, )+C mn r， 因为2AEBE=，所以2,03Em， 因为F是BC的中点，所以,2 2+n rF m， 所以2,3=EDnm r，11,322=+rEFmn 5 分 因为EDEF，所以0ED EF=， 6 分 所以2211103322 += nmmnr， 7 分 即2222221121112()03293229+=+=mnnmmnrnrm 8 分 又因为222=+ADnr， 所以2249ADAB=， 9 分 3 FEB1C1D1A1CDBA所以32ABAD= 10 分 18（课本 P170 第 8 题改编）本题考查空间几何体结构特征、直线与直线的位置关系、直 线与平面的位置关系、棱柱的体积等基本知识；考查空间想象、推理论证、运算求解等 能力，考查化归转化与数形结合等数学思想本题满分 12 分 解： （1）过点E作直线11EFBC，交11C D于点F， 2 分 连接EB，FC 3 分 法一： （存在性证明）因为1111,EFBC BCBC， 所以EFBC， 4 分 所以直线EF与BC确定一个平面， 5 分 （唯一性证明）因为点E、B、C在平面内且三点不共线， 所以过点E与棱BC的平面有且仅有一个， 6 分 所以所作截面是合理且唯一 法二：点E、B、C确定一个平面，记为， 4 分 因为11BCBC，11BC，BC， 所以11BC 5 分 因为11BC 平面11AC，平面11ACEF=， 所以11BCEF， 6 分 所以所作截面是合理且唯一 （2）四棱柱； 8 分 法一：梯形1EA AB的面积113(1 2) 122=+ =梯形EA ABS， 10 分 因为四棱柱11EA ABFD DC是直四棱柱， 所以体积133122= =梯形EA ABVSh 12 分 法二：长方体1111ABCDABC D的体积12V =， 8 分 因为三棱柱11EBBFCC是直三棱柱， 所以体积1211122= =EBBVSh， 10 分 所以四棱柱11EA ABFD DC的体积1232VVV= 12 分 19（课本 P264 第 8 题改编）本题考查样本空间、事件相互独立性等基本知识；考查数学 建模、逻辑推理、数学运算等核心素养本题满分 12 分 解： （1）树状图 4 分（每空 0.5 分） 样本空间NNN,NNY,NYN,NYY,YNN,YNY,YYN,YYY = 5 分 4 （2）记=A“乙在 3 分线外赢得比赛” ， 6 分 ( )()NYYYNYYYNYYY=P AP 8 分 0.6 0.4 0.40.4 0.6 0.40.4 0.4 0.60.4 0.4 0.4=+ 0.352= 9 分 记=B“乙在 3 分线内赢得比赛” ， ( )()YYY0.7 0.7 0.70.343=P BP 10 分 所以( )( )P BP A， 11 分 所以建议乙的位置选在 3 分线外 12 分 20（课本 P214 页第 5 题改编）本题考查频率分布直方图、样本的数字特征、用样本估计 总体等知识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养本题满分 12 分 解： （1）因为身高在区间185195，的频率为0.008 100.08=，频数为 4， 所以4500.08=n 1 分 故0.008 10 504m=，0.040 10 5020p =， 504206416q = = 2 分 所以身高在区间165175， ）的频率为160.3250=， 在区间175185， ）的频率为60.1250= 由此可补充完整频率分布直方图： 3 分 由频率分布直方图可知，样本的身高均值为： 150 0.008 10 160 0.04 10 170 0.032 10 180 0.012 10 190 0.008 10+126454.421.6 15.2167.2=+=cm， 4 分 由样本估计总体，估计该校高中生的身高均值为167.2cm 5 分 （2） 把男生样本记为1x，2x， ，25x， 其均值记为x， 方差记为2xs； 把女生样本记为1y，2y，25y，其均值记为y，方差记为2ys；把总样本均值记为z，方差记为2s 252525 17025 1601652525252550+=+=+zxy， 6 分 又因为252511()250=iiiixxxx， 所以2525112()()2()()0=iiiixxxzxzxx 0身高/cm频率/组距OJ = 2.56厘米OI = 1.29厘米初始化网格线刻度线刻度值等单位长坐标系/轴修改标签控制台1551651751851950.0040.0080.0120.0160.0200.0240.0280.0320.0360.040145t2 = 0.00t1 = 1.00 5 NPMCDBAPMCDBAOPMCDBA同理可得2512()()0=jjyyyz 所以2525222111()() 50=+ijijsxzyz 7 分 252522111()() 50=+ijijxxxzyyyz 2222125() 25() 50 xysxzsyz=+ 8 分 2212516(170 165) 2520(160 165) 50=+ 9 分 43= 10 分 （3）两种方案总样本均值的差为：167.2 1652.2= 说法一：用方案二总样本均值作为总体均值的估计不合适，其原因为：没有按照等比例进行分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此样本的代表性比较差 说法二：用方案二总样本均值作为总体均值的估计合适，其原因为：分层抽样比例与实际比例相差不大，且样本数据是原始数据 （每种说法，回答有理即给 2 分，只说“合适”或“不合适” ，没有说理，不给分 ） 12 分 21本题主要考查线面垂直、二面角、线面角等知识，考查数形结合思想、推理论证能力、 运算求解能力 解： （1）法一：直线AC与平面PBD不垂直 1 分 分别取AD、AB的中点M，N，连接PM，PN，MN， 因为PAPD=，所以PMAD， 2 分 又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD= 所以PM 平面ABCD， 又因为AC 平面ABCD，所以ACPM， 4 分 又因为正方形ABCD中，ACBD，且MNBD， 所以ACMN 又因为MNPMM=，所以AC 平面PMN 5 分 因为过同一点P只能作唯一平面PMN垂直于AC， 所以直线AC与平面PBD不垂直 6 分 法二： （反证法）直线AC与平面PBD不垂直， 1 分 只需说明平面PBD内存在一条直线与AC不垂直，可证PB与AC不垂直 2 分 证明如下：假设ACPB，取AD中点M，连接PM，MB 因为PAPD=，所以PMAD， 3 分 又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=， 所以PM 平面ABCD， 又因为AC 平面ABCD，所以ACPM， 4 分 又因为ACPB，且PMPBP=，所以AC 平面PBM， 又因为BM 平面PBM，所以ACBM， 5 分 因为正方形ABCD中，ACBD， 这与平面ABCD内过点B作直线AC的垂线有且只有一条矛盾， 所以假设不成立，所以PB与AC不垂直 6 分 法三：直线AC与平面PBD不垂直， 1 分 只需说明平面PBD存在一条直线与AC不垂直，可证PO与AC不垂直 2 分 分别取AD、AC的中点M，O，连接PM，OM，PO 因为PAPD=，所以PMAD， 6 OPCDBAQFEPCDBA又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=， 所以PM 平面ABCD， 又因为AC 平面ABCD，所以PMMO， 4 分 又因为=MAMO，所以RtRtPMAPMO，所以=POPA， 5 分 在PAO中，=POPA，所以直线AC与PO不垂直 6 分 法四：直线AC与平面PBD不垂直， 1 分 只需说明平面PBD内存在一条直线与AC不垂直，可证PO与AC不垂直 2 分 取AC的中点O，连接PO 因为正方形ABCD，所以CDAD， 又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=， 所以CD 平面PAD， 4 分 又因为PD 平面PAD，所以CDPD，所以PCPD， 又因为PAPD=，所以PCPA， 5 分 因为O为AC的中点，所以PO与AC不垂直 6 分 （2）法一：因为平面PAD 平面ABCD，CDAD， 平面PAD平面ABCDAD=，所以CD 平面PAD， 又因为AD，PD 平面PAD，所以CDPD，CDAD， 7 分 所以二面角PCDB的平面角为60PDA= 8 分 取PD的中点E，连接AE，所以AEPD， 因为CD 平面PAD，所以平面PCD 平面PAD， 又因为平面PCD平面PADPD=，所以AE 平面PCD 9 分 如图，将四棱锥PABCD补成三棱柱PADQBC， 取CQ的中点F，连接EF，BF， 所以四边形EDCF为平行四边形，有BFAE， 10 分 所以BF 平面PCD 连接PF，BPF为PB与平面PCD所成角， 11 分 设ABa=，有2PBa=，32BFAEa=， 所以6sin4=BPF 12 分 法二：因为平面PAD 平面ABCD，CDAD， 平面PAD平面ABCDAD=，所以CD 平面PAD， 又因为AD，PD 平面PAD，所以CDPD，CDAD， 7 分 所以二面角PCDB的平面角为60PDA= 8 分 设ABa=，所以RtPDC的面积为2122aPD CD= RtBCD的面积为2122aBCCD= 9 分 取AD的中点M，连接PM，因为PAPD=，所以PMAD， 又因为平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD= 所以PM 平面ABCD 10 分 设点B到平面PCD的距离为h， 因为=P BCDB PCDVV，即1133=BCDPCDSPMSh，得32hPMa=11 分 因为2PBa=，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为64hPB= 12 分 PMCDBA 7 （2） （1） 22 本题考查正弦定理、 余弦定理、 三角形外心等知识； 考查推理论证能力、 运算求解能力、直观想象能力；考查数形结合、化归与转化、分类讨论等数学思想本题满分 12 分 解： （1）选，因为()2coscos1c aBbAa=， 所以2222222122acbbcac abaacbc+=， 2 分 所以2221aba=， 3 分 所以1b = 4 分 选，由coscosbAabBc+=，得sincossincossinBA bABC+=， 1 分 因为()sinsinsincoscossinCABABAB=+=+， 所以sincossincosbABAB=， 2 分 所以1b =，或2B = 3 分 因为ABC是钝角三角形，所以2B ， 所以1b = 4 分 选，因为()4 sincoscosSBA CB=+， 所以()()214sincoscos2acBACAC=+， 2 分 所以22sin2sinsinacBAC=，所以222b acac=， 3 分 所以1b = 4 分 （2）设ABC的外接圆的半径为R， 因为OAC的面积为34，所以2113244R =，所以1R =， 5 分 所以OAC为等边三角形，所以60AOC= 法一：因为A或C为钝角时，OAB与OBC的面积之和的最大值相同， 所以不妨设A为钝角，如图（1） ， 设BOA=，则60BOC=+， 所以()21sin 60sin2OBCOABSSR+=+ 6 分 331sincos222=+ 7 分 ()3sin302=+， 8 分 因为()1802603002=AA，90150A，所以0120， 所以当60=，OAB与OBC的面积之和最大值为32； 9 分 当B为钝角时，如图（2） ，设BOA=，则60BOC=， 所以()21sin 60sin2OBCOABSSR+=+ 1 13sincos2 22=+ 8 ()1sin602=+， 10 分 因为060，所以当30=，OAB与OBC的面积之和最大值为12 11 分 因为1322，所以OAB与OBC的面积之和最大值为32 12 分 法二：当A或C为钝角时，同法一； 当B为钝角时，如图（2） ， 则有OAB与OBC的面积之和小于扇形OABC的面积， 因为扇形OABC的面积为6， 10 分 所以OAB与OBC的面积之和小于6， 11 分 因为362，所以OAB与OBC的面积之和最大值为32 12 分 法三：设BOA=，则BOC=， 则()21sinsin2+=+OBCOABSSR 6 分 12sincos222+= sincos22+=， 8 分 当A或C为钝角时，60=，如图（1） ，则3coscos3022=， 不妨设，则60=+，得260+=+， 因为()1802603002=AA，90150A， 所以0120，所以60300+， 所以当180+=时，OAB与OBC的面积之和最大值为32； 10 分 当B为钝角时，60+=，如图（2） ，则1sin22+=， 所以当=时，OAB与OBC的面积之和最大值为12， 11 分 因为1322，所以OAB与OBC的面积之和最大值为32 12 分 考生严禁填涂,监考教师填涂,缺考标志 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、座号和准考证号填写清楚。2.考生作答时，请将答案写在答题卡上,并按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，厦门中学生助手。3.使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。4.做选考题时，考生按照题目要求作答，并在答题卡上填涂所选题目的类型选项。5.保持卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回。注意事项一、选择题：二、多选题：三、填空题：13141516四、解答题：17181901A B C D02A B C D03A B C D04A B C D05A B C D06A B C D07A B C D08A B C D09A B C D10A B C D11A B C D12A B C D厦门市 2020-2021学年度第二学期高一年级质量检测数 学 答 题 卡学校_班级_姓名_座号_贴条形码区域贴条形码区域准考证号准考证号:20.21.22.