6.4.3（2）正弦定理 ppt课件-新人教A版（2019）高中数学必修第二册.pptx

1、6.4.3（2）正弦定理广信数学组人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册 温故知新温故知新 余弦定理可以解决的有关余弦定理可以解决的有关三三角形的问角形的问题题：1、已知两边及其夹角，求第、已知两边及其夹角，求第三三边和其他两个角。边和其他两个角。2、已知、已知三三边求边求三三个角；个角；3、判断、判断三三角形的形状角形的形状.余弦定理：余弦定理：推论推论: :Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos222 课堂探究课堂探究探究探究 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹

2、角、余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知已知三三边直接解边直接解三三角形的公角形的公式式。如果已知两角和一边，。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解是否也有相应的直接解三三角形的公角形的公式式呢？呢？ 我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？化的表示呢？回忆一下直角三角形的边角关系回忆一下直角三角形的边角关系? ABCcba 两等式间有联系吗？两等式间有联系吗？sinsinabcAB sin1C sinsinsinabc

3、ABC 对一般的三角形对一般的三角形,这个结论还能成立吗这个结论还能成立吗?定理的推导定理的推导 探索新知探索新知因为涉及因为涉及三三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法研究。角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法研究。思考思考 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦。如何实现转化？的是角的正弦。如何实现转化？由诱导公由诱导公式式 可知，我们可以通过构造角可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系。之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系。cos()sin2我们希望获得我们希望获得 中的边中的

4、边a,b,c与他们所对角与他们所对角A,B,C的正弦的正弦之间的关系之间的关系式式。在向量运算中，两个向量的数量积与长度、。在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来研究。角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来研究。ABC 探索新知探索新知探索新知探索新知下面先研究锐角下面先研究锐角三三角形的情形。角形的情形。ACCBAB ()jACCBj AB j ACj CBj AB coscos()cos()222j ACj CBCj ABA 在锐角在锐角 中，过点中，过点A作与作与 垂直的垂直的单单位向量位向量 ，则，则 与与 的夹角为的夹角为 ， 与与 的夹

5、角为的夹角为ABCAC jAB 2ACB 2CjjsinsinacACsinsinaCcA即即同理，过点同理，过点C作与作与 垂直的垂直的单单位向量位向量 ，可得，可得mCB sinsinbcBC 课堂典例课堂典例当当 是钝角是钝角三三角形时角形时ABC不妨设不妨设A为钝角，过点为钝角，过点A作与作与 垂直的垂直的单单位向量位向量 ，则，则 与与 的夹角为的夹角为 ， 与与 的夹角为的夹角为AC jAB 2ACB 2Cjj仿照上述方法，同仿照上述方法，同样样可得可得sinsinsinabcABC 引入新知引入新知正弦定理:在一个在一个三三角形中角形中,各边和它所对角的各边和它所对角的正弦的比相

6、等正弦的比相等.即即sinsinsinabcABC有没有其他的方法证明正弦定理？有没有其他的方法证明正弦定理？ 课堂典例课堂典例bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有若三角形是锐角三角形, 如图1,方法方法二二： 课堂典例课堂典例由(1)(2)(3)知，结论成立CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，C

7、AcbB图2 课堂典例课堂典例证明：证明：RCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,OC/cbaCBAA/ 课堂典例课堂典例方法四：面积法方法四：面积法.Oy解解:如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系.过过C点作点作CD AB于于D.D则点则点C的坐标的坐标(bcosA,bsinA)(bcosA,bsinA)于是于是ABC的面积的面积同样可得同样可得S=Bac sin21ABCbacCab sin21AbhsinAbsinAbcchSsin2121 课堂典例课堂典例1sin2b

8、cA 1sin2acB 1sin2abC同除以同除以 ， 12abcsinsinsinABCabc sinsinsinabcABC 课堂典例课堂典例 在一个三角形中各边和它所对角的正弦在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，即的比相等，即2RsinsinsinabcABC: :sin:sin:sina b cABCsinsinABabABCRcBRbARasin2,sin2,sin2 课堂典例课堂典例正弦定理可以解什么类型的正弦定理可以解什么类型的三三角形问角形问题题？ （1）已知）已知任意两角与一边任意两角与一边，可以求出另一角和，可以求出另一角和 其他两边；其他两边；（2）已知）已知任

9、意两边和其中一边的对角任意两边和其中一边的对角，可以求，可以求 出出三三角形的其他的边和角角形的其他的边和角. 课堂典例课堂典例【例 1】已知在ABC 中，c10，A45，C30，求 a，b 和 B.c10，A45，C30，B180(AC)105.由asinAcsinC，得 acsinAsinC10sin45sin3010 2.由bsinBcsinC，得 bcsinBsinC10sin105sin3020sin75206 245 65 2.解解 课堂典例课堂典例00,0180abABA且000(1)60 ,180()75ACAB当sin62sin2bCcB 000(2)120 ,180()15

10、ACAB当sin62sin2bCcB sin3sin2aBAb解：0060120AA或（三角形中大边对大角）3例例 2 在在ABC 中，已知中，已知a = , b = , B = 45。, 解解三角形三角形.2两解两解 课堂典例课堂典例sin1sin2bABa解：由正弦定理，得,0180abABB且0015030BB（舍去）,sin31sinaCcA 180 -()105CAB一解一解,2,45 ,ABCabA在中，已知 =2解三角形. 课堂典例课堂典例1,2,45,2ABCabA在中，已知 =解三角形.sinsin2bABa解：由正弦定理，得21无解无解无解 课堂典例课堂典例（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围： 已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC2R