机械振动二自由度课件.ppt

1、常见的二自由度系统模型注意：自由度的概念 第三章第三章 二自由度二自由度系统系统运动微分方程23231221222222122121111111)()()()()()(xcxkxxcxxktFxmxxcxxkxcxktFxm)()()()()()(22321223212221221212212111tFxkkxkxccxcxmtFxkxkkxcxccxm模型单元体分离力平衡关系运动微分方程模型单元体分离力平衡关系运动微分方程Txxx,21Txxx, 21Txxx,21TtFtFtF)(),()(21 设：设： 3222213222212100kkkkkkKccccccCmmM)( tFxKxC

2、xM矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。如果将矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。如果将数认为是一阶方阵和一维向量，二者在形式上就统一了数认为是一阶方阵和一维向量，二者在形式上就统一了 jiijjiijjiijkkccmm多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵 系统的动系统的动能为能为 2100,212121212121222211xMxxxmmxxxmxmETT系统的势系统的势能为能为 21,2121)(212121322221212232122211xKxxxkkkkkkxxxkxxkxkUTT系统的能量系统的能量耗散函数

3、耗散函数 21,2121)(212121322221212232122211xCxxxccccccxxxcxxcxcDT0 210210 21xCxDxKxUxMxETTTT动能、势能和能量耗散函数均是非负的。也就是说，对任意的位移，任意的速度，必然有由此可知，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来，由此可知，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来，工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩阵也是正定矩阵。阵也是正定矩阵。上面关于质量矩阵、阻尼矩阵和

4、刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二自上面关于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二自由度系统和由度系统和n自由度系统。自由度系统。将将m1，m2联结在一起的弹性元件联结在一起的弹性元件k2和阻尼元件和阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动相互影使得系统的两个质量的振动相互影响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵。一般来说，多自由度系统的运动微分响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵。一般来说，多自由度系统的运动微分方程中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在方程中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在耦合耦合。如

5、果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在。如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合惯性耦合；如果阻尼矩阵是非对角；如果阻尼矩阵是非对角矩阵，称方程存在矩阵，称方程存在阻尼耦合阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合弹性耦合。 3222213222212100kkkkkkKccccccCmmM利用这三个函数可以分别求出三个利用这三个函数可以分别求出三个矩阵的各个元素矩阵的各个元素jiijjiijjiTijxxDcxxUkxxEm222,对任何对任何 x 0 , 都有都有 f(x) 0 , 则称则称 f 为为负定二次型负定二次型，并称对称阵并称对称

6、阵 A 是是负定的负定的 ，记作，记作 A 0,（显然（显然 f(0) = 0 ），则称），则称 f 为为正定正定二次型二次型，并称对称阵，并称对称阵 A 是是正定的正定的。记作。记作 A 0 ；如果；如果定理定理 实二次型实二次型xAxfT 为正定的充分为正定的充分必要条件是：它的标准形的必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。个系数全为正。证证 设可逆变换设可逆变换使使yCx 上页下页返回 如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分方程没有任何耦合，变为两个彼此独立的单自由度方程，各个未知量可以单方程没有

7、任何耦合，变为两个彼此独立的单自由度方程，各个未知量可以单独求解。因此，如何独求解。因此，如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关键键。从数学上讲，就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一。从数学上讲，就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标系下同时成为对角矩阵。坐标系下同时成为对角矩阵。 不同坐标系下的运动微分方程不同坐标系下的运动微分方程四个广义坐标四个广义坐标yA，yB，yC，q q， 示例：示例：00 ,21212122qqqcccccTyImyImyE系统的动能系统的动能和势能为：和势能为：1取广义坐

8、标为取广义坐标为yc，q q0002222111122112221qqccyLkLkLkLkLkLkkkyIm qqccyLkLkLkLkLkLkkkyU2222111122112221,21yc和和q q下的运动下的运动微分方程为微分方程为01122 LkLk时方程存在弹性耦合 01122 LkLk对角矩阵对角矩阵, 解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。 这个方程不存在惯性耦合 yA和和q q下的运动微分方程为下的运动微分方程为02222212111qqACyLkLkLkkkyImLmLmLm这个方程存在弹性耦合和惯性耦合 2取广义坐标为取

9、广义坐标为yA，q q ,21) (212111221qqqqAcAcATyImLmLmLmyILymEqqqAAAAyLkLkLkkkyLykykU2222212221,21)(21系统系统的动的动能和能和势能势能为：为：3. 取广义坐标为取广义坐标为yA，yB021cILmL时方程存在惯性耦合。 021cILmL时，方程已经解耦。 BABABAyykkyyykykU21222100,21212100021221221221222BABAccccyykkyyLImLLILmLLILmLLImL, 21221221221222BAccccBATyyLImLLILmLLILmLLImLyyE系统

10、系统的动的动能和能和势能势能为：为：yA和和yB 下的运动微分方程为下的运动微分方程为yA，yB用用yc和和q q表示为表示为 qqccBAyuyLLyy21112111LLu令令 TccBAuyLLyyyqq,11,21qqqqqqcccccTcBABABAyLkLkLkLkLkLkkkyyLLkkLLyyukkuyyykkyyykykU222211112211222121212121212221,21110011,2100,2100,212121, 21221221221222BAccccBATyyLImLLILmLLILmLLImLyyE00 ,21qqcccyImy以上说明：以上说明：

11、 即如果广义坐标改变，会导致矩阵的变化即如果广义坐标改变，会导致矩阵的变化-规律规律LyLyLyyLyLLyLLyyLyyBAABBAABAcq121)(变换矩阵为LLLLLLu1112BAcyyLLLLLLy/1/1/12q在yA和yB下的质量矩阵为22122122122200LImLLILmLLILmLLImLuImucccccTyc和和q q可用可用yA和和yB表示为表示为即：即： 21222211112211222100kkuLkLkLkLkLkLkkkuT 推导过程中，我们得出了不同广义坐标系下刚度矩阵之间的关系。推导过程中，我们得出了不同广义坐标系下刚度矩阵之间的关系。即如果广义坐

12、标即如果广义坐标x和和y之间有变换关系之间有变换关系yux 在在x，y下的刚度矩阵分别为下的刚度矩阵分别为K和和K1，则由于系统势能大小与广义坐，则由于系统势能大小与广义坐标的选取无关，因而有标的选取无关，因而有2121211yKyyuKuyxKxUTTTT1uKuKT从而得到从而得到11uCuCuMuMTT用与上面相同的方法可以得到两个坐标系的质量矩阵用与上面相同的方法可以得到两个坐标系的质量矩阵M、M1和阻和阻尼矩阵尼矩阵C、C1之间的关系之间的关系系统的质量矩阵和刚度矩阵系统的质量矩阵和刚度矩阵(包括阻尼矩包括阻尼矩阵阵)的具体形式与所选取的描述系统振动的广的具体形式与所选取的描述系统振

13、动的广义坐标有关，义坐标有关，合适的广义坐标能够解除方程的耦合。合适的广义坐标能够解除方程的耦合。由于不同广义坐标之间存在着线性变换关由于不同广义坐标之间存在着线性变换关系，所以，方程解耦的问题就归结为寻找一系，所以，方程解耦的问题就归结为寻找一个合适的线性变换矩阵个合适的线性变换矩阵u，使变换后系统的，使变换后系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵成为对角矩阵。阵。二自由度无阻尼自由振动二自由度无阻尼自由振动 运动微分方程为021222112112122211211xxkkkkxxmmmm 如果存在变换矩阵如果存在变换矩阵u使方程使方程解耦。即当解耦。即当x

14、=uy时，时，在在y下的运动微分方程为下的运动微分方程为 0000021212121yykkyymm 上式相当于如下两个彼此上式相当于如下两个彼此独立的单自由度方程独立的单自由度方程 0022221111ykymykym 如果初始条件为如果初始条件为则方程则方程(3.6)的解为的解为 0)0(, 0)0(, 0)0(,)0(2211yyyAy0/,cos211111ymktAy由此可以得到由此可以得到方程方程(3.5)的解的解tAuutAutyutx121111coscos0)()(也就是说，初也就是说，初始条件为始条件为0)0(,0)0(xAux系统的自由振系统的自由振动是简谐振动，动是简谐

15、振动，即即 tAutxtAutx12121111cos)(cos)(x1(t)，x2(t)的比值的比值211121)()(uutxtx这说明，如果方程这说明，如果方程(3.5)能够解耦，则在特殊的初始条件下，系统的两个能够解耦，则在特殊的初始条件下，系统的两个自由度以相同的频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间自由度以相同的频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零或的相位差为零或p p 。下面的例子表明确实存在这种情况。下面的例子表明确实存在这种情况。 如果初始条件为如果初始条件为图 34 设设m1m2=m。这是个对称系统，。这是个对称系统，对称点为对称点为k1的

16、中点。的中点。我们讨论几种特殊的初始条件下我们讨论几种特殊的初始条件下的振动。的振动。0)0()0()0()0(21021xxxxx1 txtxtx1021cos)()(1)()(21txtx2 0)0()0()0(,)0(210201xxxxxxtxtxtxtxtx2012201cos)()(,cos)(mkk1221)()(21txtx系统两个自由度以系统两个自由度以 2为频率做简谐振动。同时为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为达到极值，同时为零。它们之间的相位差为p p。 mk1两个自由度以两个自由度以 1为频率做简谐振动。同时达为频率做简谐振动。同时达到极值，同

17、时为零。它们之间的相位为零。到极值，同时为零。它们之间的相位为零。02121)0()0(, 0)0()0(xxxxx3 txtxtx11021sin)/()()(1)()(21txtx此时与此时与1.一样，系统两个自由度以一样，系统两个自由度以 1为频率做简谐振动。同时达到为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为零。极值，同时为零。它们之间的相位差为零。4 , 0)0()0(21 xx01)0(xx0)0(xxtxtxtxtx22022201sin)/()(sin)/()(1)()(21txtx此时与此时与2.一样，系统两个自由度以一样，系统两个自由度以 2为频率做简谐振动

18、。同时达到极值，同为频率做简谐振动。同时达到极值，同时为零。它们之间的相位差为时为零。它们之间的相位差为p p 我们讨论的这四种情况得到两个固有频率，两个坐标比值。我们讨论的这四种情况得到两个固有频率，两个坐标比值。对于任意的初始条件202101202,101)0()0()0()0(xxxxxxxx可以分解为如下的四种初始条件之和 0)0()0(2/ )()0()0(21201021xxAxxxx 0)0()0(2/ )()0()0(21201021xxBxxxx1201021212/ )()0()0(0)0()0(Cxxxxxx2102021212/ )()0()0(0)0()0(Dxxxx

19、xx 这四种初始条件与上面讨论的四种情况一一对应，因而解也相似： tAtxtAtx1211cos)(,cos)(tBtxtBtx2221cos)(,cos)(tCtxtCtx1211sin)(,sin)(tDtxtDtx2221sin)(,sin)( 根据叠加原理，图34(a)所示系统在任意初始条件下的自由振动响应为tDtCtBtAtxtDtCtBtAtx2121221211sinsincoscos)(sinsincoscos)(或者写成或者写成)cos()cos()()cos()cos()(22211122221111tAtAtxtAtAtx我们称这种振动为系统的固有振动固有振动。固有振动时

20、的频率称为系统的固有频率固有频率，坐标之比称为固有振型固有振型，简称振型， 二自由度无阻尼系统在某些特定的初始条件下的自由振动是简谐振动。此时振动的特点是，系统的两个自由度以相同的频率振动，同时达到极值，同时为零，它们之间的相位差为零或p，它们的坐标之比是与系统的物理参数有关而与时间无关的常数。由例可以看到：振型与固有频率是一一对应的。二自由度系统存在两种频率的固有振动，因此有两个固有频率，两个固有振型。二自由度系统在任意初始条件下的无阻尼自由振动是这两个固有振动的线性组合。 用图形直观显示固有振动时各个坐标之间的相互位置关系，称为振型图振型图。例3.3的振型图如图35所示。图 35 任意的二

21、自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由振动响应的求解方法任意的二自由度无阻尼系统的固有频率、振型和自由振动响应的求解方法 0 xKxM 系统的响应形式系统的响应形式)(11tgux )(22tgux )(tgux Tuuu,210)()(tguKtguM 两边左乘振型的转置uT，并设11,kuKumuMuTT其中：0)()(11tgktgm )cos()(tAtg11/mk由于M，K均正定，所以m1，k1均大于零。因而上式是一个单自由度系统无阻尼自由振动方程，它的解为求矩阵求矩阵 列方程列方程矩阵方程变换矩阵方程变换得：对变换方程的求解对变换方程的求解0)(2uMK在线性代数中称上式为广义特征

22、值问题，它是关于振型u的线性齐次代数方程组。振型u有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式为零，即有0)(222ijijmkMK代入变换方程代入变换方程解出解出 1 12， 2 22 式(3.11)称为式(3.8)和式(3.10)的特征方程或频率方程。将它展开可得到一个关于2的二次代数方程。(3.11)(3.10) 获得特征方程获得特征方程02222221121121122222212211221211211mkkkmkmkmkmkmk0)()()(2122211211222211222211kkkkmkmmm由得 1 12， 2 22将将 1 12， 2 22 代入代入(3.10)求振型求振

23、型u0)(0)(222121uMKuMKu1u1l，u2lT、u2u12，u22T。 一组向量代表一个振型取ul为振型矩阵u的第一列，u2为第二列，即2221121121 , uuuuuuu得到了l，u1和2，u2后，可以得到方程(3.8)的解的形式根据初始条件求振幅与初相位根据初始条件求振幅与初相位)cos()cos()cos()cos()(22211122221111tAtAutAutAutx求方程求方程(3.8)的解的形式的解的形式)0()0(00 xxxx，222111022110coscos)0(coscos)0(AAuxxAAuxx已知条件根据变换关系振幅与初相位的具体值尚不能确定

24、可以求出右边向量 BuxxxAAAAbbbbB,sincossincos000222221111122211211令即，x0以x0和x0为它的第一列向量和第二列向量。利用B和x0，式(3.15)可以合起来写成矩阵形式0Bux因01xuB求得bij后由下式计算各个自由度的振幅A1，A2和初始相位1，2221222222221222111121211221121,bbtgbbAbbtgbbA将将A1、A2、 1、 2代入式代入式(3.14)，即可得到任意二自由度系统无阻尼自由振动的解，即可得到任意二自由度系统无阻尼自由振动的解 )cos()cos()()cos()cos()(22211122221

25、111tAtAtxtAtAtx图 36 )(21)(21)(21222122122212qqqqqqmgLLLkUmLET例3.4 耦合摆两个完全一样的单摆以弹簧是相联。单摆长L，质量为m ，分析其振动特征2200mLmLMmgLkLkLkLmgLkLK2222能量能量函数函数质量矩质量矩阵和刚阵和刚度矩阵度矩阵 矩阵微分矩阵微分方程方程 1令 qu矩阵微分矩阵微分方程方程2 微分方微分方程乘程乘 Tu代数微代数微分方程分方程 代数微分方代数微分方程程 的解的解)cos(0tA代入矩阵微代入矩阵微分方程分方程 10)(2uMK0)(222ijijmkMK特征方程 广义特征值问题0)(22222

26、2222mLmgLkLkLkLmLmgLkL展开得到0)()(222222kLmLmgLkLmkLgLg2,21将1 ，2代人广义特征值问题0)(2uMK02111222221112212222212uukLkLkLkLuumLmgLkLkLkLmLmgLkL取u11=u21=1， u12=-1， u22=102212222222122222222222uukLkLkLkLuumLmgLkLkLkLmLmgLkL)cos()cos()(222111tAtAt求固有求固有频率频率 求振求振型矩型矩阵阵 振型矩阵和它的逆矩阵为,1111u1111211u qu由)cos()cos()cos()co

27、s()(22211122221111qtAtAutAutAut222111022110sinsin)0(coscos)0(qqqqAAuAAu令,sincossincos000222221111122211211qqqAAAAbbbbB0Buq01q uB00000qq若振型图？振型图？求振求振幅与幅与相位相位得到00210001111210000122211211qqqqubbbbbpqq202101, 2/0, 2/AA)cos(cos21)(),cos(cos21)(21022101ttttttqqqq2/ )(, 2/ )(21012令由三角和差化积公式得tttttt002001sin

28、sin)(coscos)(qqqq分析振动分析振动特点特点1122221)(21mkLgmkLg10221LgmkLgk很小时很小时 图 36 由于k很小，这样远小于0，可以把cost和sint看成随时间变化的振幅，它们的变化周期为kmT142pp002pTT 响应如图37所示。从图中可以看出，t0时，左边摆的振幅为q0，右边摆的振幅为0，即静止不动。随着时间的增长，左边摆的振幅越来越小，右边摆的振幅越来越大。当t=t/2时，左边摆静止不动，右边摆的振幅为q0。时间继续增长后，左边摆的振幅将越来越大，右边摆的振幅将越来越小。当tT时，两个摆又回到t0的运动状态，完成了一个周期的振动。n系统的动

29、能为tmLtmLttmLttttmLmLET2220222122021222221221202222112221120222212sin2121sin2121)sin2sin2(4121)sinsin()sinsin(4121)(21qqqqqqtmgLtmgLtkLmgLkLU222012202222222212212cos2121cos2121cos21)(21)(21qqqqqqq因为响应是系统振型的线性组合，我们来看每个振型对应的固有振动的动能和势能，第一阶固有振动为tttt102101cos21)(cos21)(qqqqtmgLmgLkLUtmLmLET122022212212112

30、20212222121cos2121)(21)(21sin2121)(21qqqqqqqq它的动能和势能为 n系统的势能为系统的能量特点系统的能量特点第二阶固有振动为tttt202201cos21)(cos21)(qqqqtmgLtkLUtmLET222022222222202222cos2121cos21sin2121qqq它的动能和势能为 2121UUUEEETTT因此有系统的动能和势能分别是各阶固有振动的动能和势能之和。对于任意的无阻尼系统，这个结论都成立振动能量可以按振型分解，如同三维空间中的质点的运动和能量可以按相互垂直的三个方向分解一样。这意味着在振动中系统的各阶固有振动如同三维空间中的质点的运动一样，也是相互独立的，彼此没有能量交换