数论相关基础知识课件.ppt
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- 数论 相关 基础知识 课件
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1、B数论相关基础知识B提纲 群环域 模运算 欧几里德算法 有限域GF(p) 多项式运算 有限域GF(2n)BAbstract AlgebraAlgebraic structure Semigroupclosure封闭性, associative 结合律 Groupclosure, associativity, identity单位元, inverse逆元 Ring+: associativity, commutativity交换律, identity, inverse 0*: associativity, distributivity分配律 Fielda ringmultiplicative i
2、nverse 乘法逆元 Lattice, BooleanB4.1 群环域 群 Group 集合,元素 二元运算 封闭性、结合律 单位元、逆元 有限群、无限群 交换群(Abel) 循环群 生成元B环 Ring 环R 二元运算: 加法+、乘法 (R, +)是交换群 乘法封闭性、乘法结合律 分配律 a(b+c) = ab+ac 交换环 乘法交换律 整环(交换环且) 乘法单位元1 无零因子: ab=0 a=0或b=0B域 Field 域F F是整环 存在乘法逆元(0除外) 除法定义: a/b = a(b-1) 有理数域、实数域、复数域 有限域BGroup Ring FieldB域相关概念及定理 域的特
3、征 - 任意元素a的n次累计和为0的最小的n;域的特征要么是素数,要么是0(没有); 素域:没有非0真子域的域; 有限域的阶是pn(其中p是素数); 有限域的乘法群是循环群;B可逆在加/解密中的重要性 加密的操作对象是比特分组,通常被看作整数加密是对整数的变换。这种变换必须能恢复(解密时),即可逆。如果加密是乘法,则解密就是除法,而域上正好有除法-乘法逆元。 对于8bits字节,希望Z256是域,但它不是;于是转而寻求GF(28),它是域。 AES的S盒是基于模2系数的模某8次不可约多项式的剩余类。B4.2 模运算 模运算即求余数(C语言中的运算符)x mod na其中0ab)gcd(a, b
4、) = gcd(b, a mod b) 求最大公因子辗转相除法(欧几里德算法)gcd(a, b) = gcd(b%a, a%b)BGCD(1970,1066)1970 = 1 x 1066 + 904 gcd(1066, 904)1066 = 1 x 904 + 162 gcd(904, 162)904 = 5 x 162 + 94 gcd(162, 94)162 = 1 x 94 + 68 gcd(94, 68)94 = 1 x 68 + 26 gcd(68, 26)68 = 2 x 26 + 16 gcd(26, 16)26 = 1 x 16 + 10 gcd(16, 10)16 = 1
5、x 10 + 6 gcd(10, 6)10 = 1 x 6 + 4 gcd(6, 4)6 = 1 x 4 + 2 gcd(4, 2)4 = 2 x 2 + 0 gcd(2, 0)B函数gcd(a, b) int gcd(int a, int b) if (a=0) | (b=0)return a+b;elsereturn gcd(a%b, b%a); B4.4 有限域GF(p) 域,无限域 有限域,又叫Galoris域有限域的阶都有pn的形式阶为p的有限域记为GF(p) 唯一性 (Isomorphism) 在同构意义下,某阶有限域只有一个 GF(p):(Zp, +, x)GF(pm): 系数在
6、Zp上的模某不可约多项式的多项式域GF(2n):p=2BGF(p):(Zp, +, x) 逆元 由于p是素数,所以除了0外都有逆元 GF(p=2):(Z2, +, x)GF(p=7):(Z7, +, x)* GF(p=8):(Z8, +, x)不是域B求逆元:扩展Euclid算法 扩展扩展Euclid算法算法做欧几里德算法的计算序列做欧几里德算法的计算序列r0q1r1r2 (令令r0n,r1a)r1q2r2r3r2q3r3r4rm-2qm-1rm-1rm (1)rm-1qmrm rm+1 (0)记记 t0 rm+1,t1rm,依依 tjtj-2 qi-1 tj-1 mod r0,得得 tm逆逆
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