全国通用版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十五圆锥曲线中的定点定值存在性问题(文科).doc
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1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测(四十五) 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 一般难度题 全员必做 1 (2018 郑州质检 )已知动圆 M 恒过点 (0,1),且与直线 y 1 相切 (1)求圆心 M 的轨迹方程; (2)动直线 l 过点 P(0, 2),且与点 M 的轨迹交于 A, B 两点,点 C 与点 B 关于 y 轴对称,求证:直线 AC 恒过定点 解: (1)由题意得,点 M 与点 (0,1)的距离始终等于点 M 到直线 y 1 的距离,由抛物线的定义知圆心 M 的轨迹是以点 (0,1)为焦点,直线 y 1 为准线的抛物线,则 p2 1, p2. 圆心 M 的轨迹方
2、程为 x2 4y. (2)设直线 l: y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2),则 C( x2, y2),联立? x2 4y,y kx 2, 消去 y 整理得 x2 4kx 8 0, x1 x2 4k, x1x2 8. kAC y1 y2x1 x2x214x224x1 x2x1 x24 ,直线 AC 的方程为 y y1x1 x24 (x x1) 即 y y1 x1 x24 (x x1) x1 x24 x x1 x1 x24 x214x1 x24 xx1x24 , x1x2 8, y x1 x24 x x1x24 x1 x24 x 2,即直线 AC 恒过定点 (0,2) 2在平
3、面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(x1, y1), B(x2, y2)是椭圆 E: x24 y2 1 上的非坐标轴上的点,且 4kOA kOB 1 0(kOA, kOB分别为直线 OA, OB 的斜率 ) (1)证明: x21 x22, y21 y22均为定值; (2)判断 OAB 的面积是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由 解: (1)证明:依题意, x1, x2, y1, y2均不为 0, 则由 4kOA kOB 1 0,得 4y1y2x1x2 1 0, 化简得 y2 x1x24y1, 因为点 A, B 在椭圆上, 所以 x21 4y21 4, x22 4y22 4, 把
4、y2 x1x24y1代入 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 整理得 (x21 4y21)x22 16y21. 结合 得 x22 4y21, 同理可得 x21 4y22, 从而 x21 x22 4y22 x22 4, 为定值 , y21 y22 y21 x214 1, 为定值 (2)S OAB 12|OA| OB|sin AOB 12 x21 y21 x22 y22 1 cos2 AOB 12 x21 y21 x22 y22 1 x1x2 y1y22x21 y21 x22 y22 12 x21 y21 x22 y22 x1x2 y1y2 2 12|x1y2 x2y1|. 由 (1)知 x22
5、 4y21, x21 4y22, 易知 y2 x12, y1 x22或 y2 x12, y1 x22, S OAB 12|x1y2 x2y1| 12? ?12x21 2y21 x21 4y214 1, 因此 OAB 的面积为定值 1. 3 (2018 广州惠州调研 )已知椭圆 C: x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1( 1,0),F2(1,0),点 A? ?1, 22 在椭圆 C 上 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在斜率为 2 的直线,使得当直线与椭圆 C 有两个不同交点 M, N 时,能在直线y 53上找到一点 P,在椭圆 C 上找到一点 Q,满足 PM N
6、Q ?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由 解: (1)设椭圆 C 的焦距为 2c,则 c 1, 因为 A? ?1, 22 在椭圆 C 上,所以 2a |AF1| |AF2| 2 2, 因此 a 2, b2 a2 c2 1, 故椭圆 C 的方程为 x22 y2 1. (2)不存在满足条件的直线,证明如下:设直线的方程为 y 2x t, 设 M(x1, y1), N(x2, y2), P? ?x3,53 , Q(x4, y4), MN 的中点为 D(x0, y0), =【 ;精品教育资源文库 】 = 由? y 2x t,x22 y2 1, 消去 x,得 9y2 2ty t2 8 0, 所以
7、 y1 y2 2t9 ,且 4t2 36(t2 8)0, 故 y0 y1 y22 t9,且 3b0)的右焦点为 F(1,0),右顶点为 A,且 |AF| 1. (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动直线 l: y kx m 与椭圆 C 有且只有一个交点 P,且与直线x 4 交于点 Q,问,是否存在一个定点 M(t,0),使得 MP MQ 0.若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由 解: (1)由 c 1, a c 1,得 a 2, b 3, 故椭圆 C 的标准方程为 x24y23 1. (2)由? y kx m,3x2 4y2 12, 消去 y 得 (3 4k2)x2 8kmx 4
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