全国通用版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十四圆锥曲线中的最值范围证明问题（文科）.doc

1、=【 ;精 品教育资源文库 】 = 课时达标检测（四十四） 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题 一般难度题 全员必做 1已知椭圆 E： x2a2y2b2 1(ab0)的一个焦点为 F2(1,0)，且该椭圆过定点 M?1， 22 . (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)设点 Q(2,0)，过点 F2作直线 l 与椭圆 E 交于 A， B 两点，且 F2A F2B ， 2， 1，以 QA， QB 为邻边作平行四边形 QACB，求对角线 QC 长度的最小值 解： (1)由题易知 c 1， 1a2 12b2 1， 又 a2 b2 c2， 解得 b2 1， a2 2， 故椭圆 E 的标准方程为 x22

2、y2 1. (2)设直线 l： x ky 1，由? x ky 1，x22 y2 1 得 (k2 2)y2 2ky 1 0， 4k2 4(k2 2) 8(k2 1)0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则可得 y1 y2 2kk2 2， y1y2 1k2 2. QC QA QB (x1 x2 4， y1 y2) ? ? k2k2 2 ， 2kk2 2 ， | QC |2 | QA QB |2 16 28k2 2 8k2 2，由此可知， | QC |2的大小与 k2的取值有关 由 F2A F2B 可得 y1 y 2， y1y2， 1 y2y1(y1y20) 从而 1 y1y2 y2

3、y1 y1 y22 2y1y2y1y2 6k2 4k2 2 ， 由 2， 1得 ? ? 1 ? ? 52， 2 ，从而 52 6k2 4k2 2 2，解得 0 k2 27. 令 t 1k2 2，则 t ? ?716， 12 ， | QC |2 8t2 28t 16 8? ?t 74 2 172 ， 当 t 12时，|QC|min 2. 2 (2018 河南洛阳统考 )已知抛物线 C： x2 2py(p0)，过焦点 F 的直线交 C 于 A， B=【 ;精 品教育资源文库 】 = 两点， D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点 (1)若 AB l，且 ABD 的面积为 1，求抛物线的方程； (

4、2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N.证明：直线 AN 与抛物线相切 解： (1) AB l， |FD| p， |AB| 2p. S ABD p2 1. p 1，故抛物线 C 的方程为 x2 2y. (2)证明：显然直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y kx p2， A? ?x1，x212p ， B?x2，x222p . 由? y kx p2，x2 2py消去 y 整理得， x2 2kpx p2 0. x1 x2 2kp， x1x2 p2. M(kp， k2p p2)， N? ?kp， p2 . k ANx212pp2x1 kpx212pp2x1 x1 x22x2

5、1 p22px1 x22x21 x1x22px1 x22 x1p. 又 x2 2py， y xp. 抛物线 x2 2py 在点 A 处的切线斜率 k x1p. 直线 AN 与抛物线相切 3 (2018 合肥模拟 )已知中心在原点，焦点在 y 轴上的椭圆 C，其上一点 P 到两个焦点 F1， F2的距离之和为 4，离心率为 32 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 y kx 1 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 OAB 面积的取值范围 解： (1)设椭圆的标准方程为 y2a2x2b2 1(ab0)， 由条件知，? 2a 4，e ca 32 ，a2 b2 c2，解得 a 2， c 3

6、， b 1， 故椭圆 C 的方程为 y24 x2 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， =【 ;精 品教育资源文库 】 = 由? x2 y24 1，y kx 1得 (k2 4)x2 2kx 3 0， 故 x1 x2 2kk2 4， x1x2 3k2 4， 设 OAB 的面积为 S， 由 x1x2 3k2 40， y t 1t在 t 3， ) 上单调递增， t 1t 103 ， 0b0)的右焦点 F(1,0)作直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A， B，设 |FA| |FB|， T(2,0) (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 1 2 ，求 ABT 中 AB 边上中线

7、长的取值 范围 解： (1) e 22 ， c 1， a 2， b 1， 即椭圆 C 的方程为 x22 y2 1. (2) 当直线的斜率为 0 时，显然不成立 设直线 l： x my 1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 联立? x2 2y2 2 0，x my 1 得 (m2 2)y2 2my 1 0， =【 ;精 品教育资源文库 】 = 则 y1 y2 2mm2 2， y1y2 1m2 2， 由 |FA| |FB|，得 y1 y 2， 1 y1y2 y2y1， 1 2 y1 y22y1y2 4m2m2 2， m2 27， 又 AB 边上的中线长为 12 | TA TB | 12

8、x1 x2 2 y1 y2 2 4m4 9m2 4m2 2 2m2 2 7m2 2 4 ? ?1， 13 216 . 2 (2018 武昌调研 )已知椭圆的中心在坐标原点， A(2,0)， B(0,1)是它的两个顶点，直线 y kx(k0)与直线 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E， F 两点 (1)若 ED 6 DF ，求 k 的值； (2)求四边形 AEBF 面积的最大值 解： (1)由题设条件可得，椭圆的方程为 x24 y2 1，直线 AB 的方程为 x 2y 2 0.设D(x0， kx0)， E(x1， kx1)， F(x2， kx2)，其中 x10)，即 k 12时，等号成立 故四

9、边形 AEBF 面积的最大值为 2 2. 较高难度题 学霸做 1 (2018 石家庄市质量检测 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为 A， B，且长轴长为 8， T 为椭圆上任意一点，直线 TA， TB 的斜率之积为 34. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 O 为坐标原点，过点 M(0,2)的动直线与椭圆 C 交于 P， Q 两点，求 OP OQ MP MQ 的取值范围 解： (1)设 T(x， y)，由题意知 A( 4,0)， B(4,0)， 设直线 TA 的斜率为 k1，直线 TB 的斜率为 k2，则 k1 yx 4， k2 yx 4. 由 k1k2 3

10、4，得 yx 4 yx 4 34， 整理得 x216y212 1. 故 椭圆 C 的方程为 x216y212 1. (2)当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 y kx 2，点 P， Q 的坐标分别为 (x1，y1)， (x2， y2)，直线 PQ 与椭圆方程联立， =【 ;精 品教育资源文库 】 = 得? x216y212 1，y kx 2，消去 y，得 (4k2 3)x2 16kx 32 0. 所以 x1 x2 16k4k2 3， x1x2 324k2 3. 从而 ， OP OQ MP MQ x1x2 y1y2 x1x2 (y1 2)(y2 2) 2(1 k2)x1x22k(

11、x1 x2) 4 80k2 524k2 3 2084k2 3. 所以 20 OP OQ MP MQ 523. 当直线 PQ 的斜率不存在时， OP OQ MP MQ 的值为 20. 综上， OP OQ MP MQ 的取值范围为 ? ? 20， 523 . 2 (2018 沈阳质量监测 )已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1， F2，且|F1F2| 6，直线 y kx 与椭圆交于 A， B 两点 (1)若 AF1F2的周长为 16，求椭圆的标准方程； (2)若 k 24 ，且 A， B， F1， F2四点共圆，求椭圆离心率 e 的值； (3)在 (2)的条件下，设

12、 P(x0， y0)为椭圆 上一点，且直线 PA 的斜率 k1 ( 2， 1)，试求直线 PB 的斜率 k2的取值范围 解： (1)由题意得 c 3，根据 2a 2c 16，得 a 5. 结合 a2 b2 c2，解得 a2 25， b2 16. 所以椭圆的方程为 x225y216 1. (2)法一：由? x2a2 y2b2 1，y 24 x，得 ? ?b2 18a2 x2 a2b2 0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)所以 x1 x2 0， x1x2 a2b2b2 18a2， 由 AB， F1F2互相平分且共圆， 易知， AF2 BF2，因为 F2A (x1 3， y1)， F2

13、B (x2 3， y2)， 所以 F2A F2B (x1 3)(x2 3) y1y2 =【 ;精 品教育资源文库 】 = ? ?1 18 x1x2 9 0. 即 x1x2 8， 所以有 a2b2b2 18a2 8， 结合 b2 9 a2， 解得 a2 12(a2 6 舍去 )， 所以离心率 e 32 . 法二 ： 设 A(x1， y1)， 又 AB， F1F2互相平分且共圆 ， 所以 AB， F1F2是圆的直径，所以 x21 y21 9， 又由椭圆及直线方程综合可得：? x21 y21 9，y1 24 x1，x21a2y21b2 1.由前两个方程解得 x21 8， y21 1， 将其代入第三个方程并结合 b2 a2 c2 a2 9， 解得 a2 12，故 e 32 . (3)由 (2)的结论知，椭圆方程为 x212y23 1， 由题可设 A(x1， y1)， B( x1， y1)， k1 y0 y1x0 x1， k2 y0 y1x0 x1， 所以 k1k2 y20 y21x20 x21， 又 y20 y21x20 x213? ?1 x2012 3?1 x2112x20 x21 14， 即 k2 14k1，由 2 k1 1 可知， 18 k2 14. 即直线 PB 的斜率 k2的取值范围是 ? ?18， 14 .