概率论-5分布函数连续型.课件.ppt
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- 关 键 词:
- 概率论 分布 函数 连续 课件
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1、 为了对离散型的和连续型的随机变量以为了对离散型的和连续型的随机变量以及更广泛类型的随机变量给出一种统一的及更广泛类型的随机变量给出一种统一的描述方法,我们引进了分布函数的概念描述方法,我们引进了分布函数的概念. .为为X的的分布函数分布函数. 也常记为也常记为FX(x) 设设X为为r.v. , x 是任意实数是任意实数, 称函数称函数( )(),F xP Xxx 一、定义一、定义)()(aFbFx)(bXaPab()(aXP)(bXP用分布函数计算用分布函数计算X落在落在(a,b里的概率里的概率:2.3 随机变量的分布函数及其性质随机变量的分布函数及其性质 因此因此, 只要知道了随机变量只要
2、知道了随机变量X的分布函数的分布函数, 它的统计特性就可以得到全面的描述它的统计特性就可以得到全面的描述.定理定理1.(分布函数的特征性质分布函数的特征性质)(1)(非降性非降性)F(x)单调不减,单调不减,即即)()(,2121xFxFxx(3)(右连续性右连续性) F(x) 右连续,即右连续,即1)(0 xF(2)(有界性有界性)00lim( )()xxF xF x lim()0;lim()1;xxF xFFXF xFFX F(x)=PXx用分布函数表示概率用分布函数表示概率()( )( )P aXbF bF a () 1() 1( )P X aP X aF a ()( )(0)P XaF
3、 aF a 注注2 任一函数任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件为分布函数的充分必要条件为:为:F ( x )满足上述三条性质。满足上述三条性质。 注注1 分布函数也可定义为分布函数也可定义为xXPxF)(这样定义的分布函数仍满足性质这样定义的分布函数仍满足性质13,但性质,但性质3应改为左连续性。应改为左连续性。例例1 设离散型随机量是设离散型随机量是X 的概率分布为的概率分布为 X 0 1 P0.2 0.5 0.3(1)求求X的分布函数的分布函数F(x), 并画出并画出F(x)的图形;的图形;(2)求求P 11 ,3XP X 二、举例二、举例,( )0XxF xP Xx解解 (
4、1)由于由于X只可能取只可能取, 0, 1, 2, 故故当当x0时时,当当0 x1时时, 0 ,( )0.2XxXF x当当1x2时时,当当2x时时, 101 0XXXxX或7 . 0)(xXPxF,( )1XxF xP Xx 归纳上述结果得归纳上述结果得0,00.2,01( )0.7,121,2xxF xP Xxxx (2)3(3)1,P XF 11111PXP XPX=0+F(1)F(1)=0.7 0.20.71F(x)单调非降右连续单调非降右连续,满足分布函数三条基本性质满足分布函数三条基本性质 不难看出不难看出,F(x)的图形是阶梯状的的图形是阶梯状的,在在x = 0,1,2 处有跳跃
5、处有跳跃,其跃度分别等于其跃度分别等于 0 ,1 ,2P XP XP X . .012X x1 x2 xk P p1 p2 pk xxiixx其中表示对满足的一切下标i求和。则其分布函数为( )iixxF xP Xxp 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk注意注意: F(x)是是(- ,+ )上的分段阶梯函数上的分段阶梯函数,间断点就间断点就是随机变量是随机变量X的取值点的取值点, 除最左边那段是开区间外除最左边那段是开区间外, 其余各段都是左闭右开的区间其余各段都是左闭右开的区间. ()1P XC 0 ( )1 xcF xxc
6、 特别地,特别地,若随机变量以概率若随机变量以概率1取常数,即取常数,即则称这个分布为单点分布或退化分布,它的则称这个分布为单点分布或退化分布,它的分布函数为分布函数为例例2 向平面上半径为向平面上半径为1的圆的圆D内任意投掷一个质点内任意投掷一个质点, 以以X表示该质点到圆心的距离表示该质点到圆心的距离. 设这个质点落在设这个质点落在D中中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 试求试求X的分布函数的分布函数. xX0)(xXPxF xXxX02( )F xP Xxkx ,( )1XxF xP Xx 解解 当当 x1时时,综上所述综上所述, X
7、的分布函数为的分布函数为20 0() 011 1xF xxxx 11用分布函数描述随机变量不如分布律直观用分布函数描述随机变量不如分布律直观,对非离散型随机变量对非离散型随机变量,是否有更直观的描述方法是否有更直观的描述方法?ab?bXap请看下节!请看下节!总结一、定义二、举例若离散型随机变量X的分布律为, 2 , 1,)(kpxXPkk则其分布函数为( )iixxF xP Xxp 作业:作业:P3310,11,12.上课 手机手机 关了吗?关了吗?2.4 连续型随机变量连续型随机变量()()()xFxP Xxf u du 定义定义 设设X是随机变量是随机变量, F(x)是它的分布函数是它的
8、分布函数. 若存若存在一个非负可积函数在一个非负可积函数 f(x)( x ), 使得使得则称则称X是连续型是连续型r.v., f(x)是它的概率密度函数是它的概率密度函数(p.d.f.)一、连续型一、连续型 r.v.的概念的概念 由定义可知由定义可知, 连续型随机变量的分布函数是连续型随机变量的分布函数是连续函数连续函数, 是密度函数的变上限的定积分是密度函数的变上限的定积分.( )( )dF xf xdx 由上式可得由上式可得,在在f (x)的连续点的连续点, (2) 规范性规范性()1.fx dx Th1( 密度函数的特征性质密度函数的特征性质)(1) 非负性非负性 f (x) 0, (
9、x );注注1 改变概率密度函数改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不在个别点的函数值不影响公式影响公式(2)规范性规范性, 故对固定的分布函数故对固定的分布函数, 概率概率密度函数不唯一密度函数不唯一. 注注2 满足上述两条性质的函数必是某一随机变量满足上述两条性质的函数必是某一随机变量的密度函数的密度函数. 故常利用这两个性质检验一个函数故常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性能否作为连续性 r.v.的的 p.d. f. (求求f(x)中未知参数中未知参数!)Th2 设连续型设连续型r.v.X 的分布函数的分布函数(c.d.f.)为为F(x), 概率概率分布密度函数为分布密度函数为
10、f(x), 则则( )( )dF xf xdx (2) 若若x是是f(x)的连续点的连续点, 则则(1) F(x)为连续函数为连续函数;(3)对任意实数对任意实数c, 则则PX=c0. 因为因为:(4)00()lim()lim( )0cxcxxP XcP cXcxf x dx ()( )( )( )baP aXbP aXbP aXbP aXbF bF af x dx 可见可见, ,密度函数全面描述了连续型随机变量的规律密度函数全面描述了连续型随机变量的规律. .(求求F(x)中未知参数中未知参数!)注注1. 几何意义几何意义: :()()baP aXbfx dx 它是以它是以(a,b为为底底,
11、以曲线以曲线y=f(x)为顶的曲边梯为顶的曲边梯形的面积形的面积.面积为面积为1f(x)注注2. 由由P(A)=0不能推出不能推出A=;由由P(B)=1不能推出不能推出B=.注注3. .当当 x 很小时很小时,()( )P xXxxF xxF x ( )f xx( )xf xae 2 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求常数求常数a.12a 1 证明证明( )1/2xf xe 为概率分布密度函数为概率分布密度函数.( )f x dx 0122xedx 0 xe 1证证密度函数值密度函数值f(a)并不反映并不反映X取取a值的概率值的概率.但这个值但这个值越大越大,X取取a附近值的概率
12、就越大附近值的概率就越大.也可以说也可以说,在某点密在某点密度曲线的高度度曲线的高度, ,反映了概率集中在该点附近的程度反映了概率集中在该点附近的程度. .1)求求X的分布函数的分布函数F(x); 2)求求PX (0.5,1.5)01( )2120 xxf xxx 其它其它解解:例例1.已知随机变量已知随机变量X的概率密度为的概率密度为当当x 0时时,F(x)=当当0 x 1时,时,()xf xF xdx f(x)是分段函数是分段函数,求求F(x)时要分段求时要分段求. .( )xf x dx =0002012xtdxxtd 0 xdx PX (0.5,1.5)=当当1 x 2时时, ,()x
13、f xF xdx 21212xx 当当x 2时时, ,()xf xF xdx 220,01/2,01( )1/221,121,2xxxF xxxxx 必然事件必然事件!=110100(2)xtdttddtx F(1.5)-F(0.5)=3/4(32)( )0Axxp x02x其他( 11)PX ( )1p x dx20(32)1Axxdx11 2A 101110( 11)( )( )( )PXp x dxp x dxp x dx 1011(32)126xxdx例例2. 设设X的密度函数为的密度函数为试确定常数试确定常数A,并求并求解解:例例3. 设随机变量设随机变量X 的分布函数为的分布函数为
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