电动力学-第三章-静态电磁场及其边值问题的解课件.ppt

1、第第3 3章章第三章第三章 静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解13.1 静电场分析静电场分析3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析3.3 恒定磁场的分析恒定磁场的分析3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 镜像法镜像法3.6 分离变量法分离变量法 静态电磁场：静态电磁场：场量不随时间变化，包括：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立静

2、态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立 第第3 3章章23.1 静电场分析静电场分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力第第3 3章章32. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本方程基本方程0)()(2121EEeDDenSn0ddlEqSDCS积分形式：积分形式：0)(0)(2121EEeDDenn02121ttSnnEEDD或或若分界面上不存

3、在面电荷，即若分界面上不存在面电荷，即S S0 0，则，则ttnnEEDD2121或或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件第第3 3章章4介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212211221121/tantannnntntDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的，则导体表面的边界条件为边界条件为 0EeDenSn0tSnED或或 场矢量的折射关系场矢量的折射关系 导体表面的边界条件导体表面的边界条件第第3 3章章50E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯

4、度来表示，标量函数标量函数 称为称为静电场的标量电位或简称电位。静电场的标量电位或简称电位。1. 电位函数的定义电位函数的定义E3.1.2 电位函数电位函数第第3 3章章62. 电位的表达式电位的表达式对于连续的体分布电荷，由对于连续的体分布电荷，由面电荷的电位：面电荷的电位： 1()( )d4VrrVCR故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR()1( )d4SSrrSCR()1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR线电荷的电位：线电荷的电位：rrR第第3 3章章7u3. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，

5、则有，则有ldE将将dd(dddz)dEllxyxyz 上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径进行积分，得沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用电位差也称为电压，可用U 表示；表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电

6、位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功第第3 3章章8 静电位不惟一，可以相差一个常数，即静电位不惟一，可以相差一个常数，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (电位差电位差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义； 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点； 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具

7、有确定值，可以选定空间某一点作为参考为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第第3 3章章9 例例 3.1.1 求电偶极子的电位求电偶极子的电位. . 解解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二项式展开，由于，得用二项式展开，由于，得dr ,cos21drr302020444

8、cos)(rrpreprqdrr代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq1r2rr),(rP第第3 3章章10ErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E线方程为线方程为ErE 由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度30(2cossin)4rpre ee e)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位线等位线电场线电场线电偶极子的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程：等

9、位线方程等位线方程：第第3 3章章11 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点o为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的的位置矢量为位置矢量为r，则，则000( )( )ddPPooPoElErE r rrrrrrggg若选择点若选择点o为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0o0( )PE r rrg000( )coszPE re r EE r rrr rgg 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向一的方向一致，即致，即 ，则有，则有00zEe E0Ezree z000( )()cosxzPE re E ee zE rrrrgg 在圆柱面坐标系中

10、，取在圆柱面坐标系中，取 与与x轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzoPr 例例3.1.2 求均匀电场的电位分布。求均匀电场的电位分布。第第3 3章章12xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与采用圆柱面坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln(

11、) 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l第第3 3章章132222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为 LRL 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上域内，而将电位参考点选在无穷远点

12、之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有一个任意常数，则有L 002( )ln2lLrC并选择有限远处为电位参考点。例如，选择并选择有限远处为电位参考点。例如，选择= a 的点为电位参的点为电位参考点，则有考点，则有002ln2lLCa 00( )ln2lar第第3 3章章14在均匀介质中，有在均匀介质中，有5. 电位的微分方程电位的微分方程2在无源区域，在无源区域，0EED02标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第第3 3章章15u6. 静电位的边界条件静电位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为

13、别为 1和和 2。当两点间距离当两点间距离l0时时 若介质分界面上无自由电荷，即若介质分界面上无自由电荷，即 导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PPllESnDDe)(21D由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P0Snn1122 常数，常数，Sn21Snn1122第第3 3章章16 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接地导体平板分别置于x = 0和和 x = a 处，处，在两板之间的在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。示。求两导

14、体平板之间的电位和电场。0S 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD方程的解为方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) x第第3 3章章170110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxx

15、babxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用边界条件，有利用边界条件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，最后得最后得0 x 处，处，1(0)0 x a2( )0a 处，处，所以所以0220( )( )SxbE xxea由此解得由此解得第第3 3章章18电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用； 通过电容、电感

16、、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的损失和提高电气设备的利用率； 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容第第3 3章章19 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷储存电荷能力的物理量。能力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位 的比值，即的比值，即qC

17、1. 电容电容 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第第3 3章章20 (1) 假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q 和和 -q ； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容的步骤：计算电容的步骤：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所

18、求电容。21dlEU (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；第第3 3章章21 解：解：设内导体的电荷为设内导体的电荷为q q，则由高斯定理可求得内外导体间，则由高斯定理可求得内外导体间的电场的电场44rr22qqDe,EerrababqbaqrEUba004)11(4d同心导体间的电压同心导体间的电压ababUqC04球形电容器的电容球形电容器的电容aC04当当 时，时，babo 例例3.1.4 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求

19、此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容第第3 3章章22 例例 3.1.5 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线，两导线的轴线距离为的轴线距离为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 :设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故故可近似地认为电荷分别均匀分布在两可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为lD

20、a011( )()2lxE xexDx两导线间的电位差两导线间的电位差210011d()dln2DallaDaUElxxDxa故单位长度的电容为故单位长度的电容为001F/mln()ln()lCUDaaD axyzxDa第第3 3章章23 例例3.1.6 同轴线内导体半径为同轴线内导体半径为a，外导体半径为，外导体半径为b，内外导体间，内外导体间填充的介电常数为填充的介电常数为 的均匀介质，的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外导体间的电位差内外导体间的电位差1( )dd2bblaaUEell 解解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、

21、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为故得同轴线单位长度的电容为12F/mln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第第3 3章章24 在多导体系统中，把其中任意两个在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压两个电极间加上电压U，极板上所带，极板上所带电荷分别为电荷分别为 ，则比值，则比值 称为称为这两个导体间的等效电容。这两个导体间的等效电容。q/q U（4）等效电容等效电容如图所示，

22、有三个部分电容如图所示，有三个部分电容112212CCC、导线导线 1 和和 2 间的等效电容为间的等效电容为11221121122C CCCCC导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12222111222C CCCCC导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行双导线大地上空的平行双导线第第3 3章章25 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能程中外加电源所作

23、的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。量就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。电荷

24、之间的相互作用力而作功。3.1.4 静电场的能量静电场的能量 第第3 3章章261. 静电场的能量静电场的能量 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为、电位为 。 (01) 当当增加为增加为(+ d)时，外电源做功为时，外电源做功为: (q d)。 对对从从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为101d2qq 根据能量守恒定律，此功也就是电量为根据能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电的带电体具有的电场能量场能量We ，即，即

25、12eWq 对于电荷体密度为对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具有的电场能量为具有的电场能量为1dd2eWV第第3 3章章27VWVed21SWSSed21故体分布电荷的电场能量为故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，对于面分布电荷，电场能量为电场能量为111dd222iiiieSiiSiiSSiiiWSSq 对于多导体组成的带电系统，则有对于多导体组成的带电系统，则有iq 第第i个导体所带的电荷个导体所带的电荷i 第第i个导体的电位个导体的电位式中：式中：第第3 3章章282. 电场能量密度电场能量密度 从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所

26、在的整个空间。从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDwe21电场能量密度：电场能量密度：1d2eVWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 对于线性、各向同性介质，则有对于线性、各向同性介质，则有2111222ewD EE EE 第第3 3章章29由于体积由于体积V外的电荷密度外的电荷密度0，若将上，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面内，当闭合面S

27、无限扩大时，则有无限扩大时，则有211 O( O()DRR)、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故故11dd22SVDSE D V 推证：推证：()DDD ()ddVSD VDSE D R0S11dd22eVVWVDV1()d2VDDV第第3 3章章30 例例3.1.7 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的球形空间内均匀分布有电荷体密度为的电的电荷，试求静电场能量。荷，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解：解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 VeVEDWd21 根据高斯定理

28、求得电场强度根据高斯定理求得电场强度 3220()3raEerar故故VEVEVEDWVVVed21d21d2121220210第第3 3章章31)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VeVWd21 先求出电位分布先求出电位分布 故故5202022021154d4)3(221d21arrraVWaVe第第3 3章章32 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复

29、杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常采用虚位移法来计算静电力。来计算静电力。 虚位移法：虚位移法：假设第假设第i个带电个带电导体在电场力导体在电场力Fi的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe。根据根据能量守恒定律，该系统的功能关系为能量守恒定律，该系统的功能关系为dddSiieWF gW其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。是与各带电体相连接的外电源所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或

30、假定各带电具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。导体的电荷不变。3.1.5 静电力静电力第第3 3章章331. 各带电导体的电位不变各带电导体的电位不变 此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系此时，各带电导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量统提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqq1111dd()d22NNeiiiiiiWqq系统所改变的静电能量系统所改变的静电能量即即d2dSeWW此时，所有带电体都不和外电源相连接，则此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此，因此2. 各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变ddi

31、ieF gW 式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。ddiieF gWeiiWFg 不变不变eiiWFg q不变不变第第3 3章章34例例3.1.8 有一平行金属板电容器，有一平行金属板电容器，极板面积为极板面积为lb，板间距离为，板间距离为d，用一块，用一块介质片（宽度为介质片（宽度为b、厚度为、厚度为d，介电常数，介电常数为为）部分填充在两极板之间，如图所示。）部分填充在两极板之间，如图所示。设极板间外加电压为设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。求介质片所受的静电力。0()lx

32、bbxCdd所以电容器内的电场能量为所以电容器内的电场能量为220001()22ebUWCUlxxd0200()2exUWbUFxd不变由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为eiiWFg不变 解解 平行板电容器的电容为平行板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器dbU0lx由于由于0，所以介质，所以介质片所受到的力有将其片所受到的力有将其拉进电容器的趋势拉进电容器的趋势第第3 3章章3522022 ()eqdqWCblxx2020()2 ()exqWdqFxblxx 不变000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此题也可用式此题也可用式

33、 来计算来计算eiiWFg q不变不变设极板上保持总电荷设极板上保持总电荷q不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于同样得到同样得到第第3 3章章363.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 由由J J E E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场重

34、要区别：恒定电场与静电场重要区别： （1 1）恒定电场可以存在导体内部。）恒定电场可以存在导体内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体中的恒定电要维持导体中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 第第3 3章章37EJ0d0dlESJCS00EJE0)(3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件恒定电场的基本方程和边界条件1. 1. 基本方程基本方程 恒定电场的基本方程为恒定电场的基本方

35、程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：0 J)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系0)(EEJ0 E 恒定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E02由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质中均匀导电媒质中没有体分布电荷没有体分布电荷第第3 3章章382. 恒定电场的边界条件恒定电场的边界条件0dlEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene0)(21JJen0)(21EEen 场矢量的边界条件场矢量的边界条件nnJJ21即即ttEE21

36、即即 导电媒质分界面上的电荷面密度导电媒质分界面上的电荷面密度nnnSJJJeDDe)()()(221122211121场矢量的折射关系场矢量的折射关系212211221121/tantannnntntJJEEEE第第3 3章章39 电位的边界条件电位的边界条件nn221121, 恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场恒定电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面， 因而导体表面不是等位面；因而导体表面不是等位面；ab11、 说明：说明：第第3 3章章40媒质媒质2 2媒质媒

37、质1 12012Ene1E)0(1 如如 21、且、且 290，则则 10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时，良导体表面可近似地看作为此时，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质为理想介质，即即 10，则则 J1=0，故故J2n=0 且且 E2n=0，即导体中，即导体中 的电流和电场与分界面平行的电流和电场与分界面平行。媒质媒质2 2媒质媒质1 12122E1E)(121122tantan媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene第第3 3章章413.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 如果两种场，在

38、一定条件下，场方程有相同的形式，边界如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为的方法称为比拟法比拟法。第第3 3章章42恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 静电场

39、（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,Ed0,d0SCDSEl0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC第第3 3章章43 例例3.2.1一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为 1、 1和和 2、 2，外加电压，外加电压U。求介质面分界面上的自由电荷密度。求介质面分界面上的自由电荷密度。 解解：极板是理想导体，：极板是理想导体，为等位面，电流沿为等位面，电流沿z方向。方向

40、。1212nnJJJJJ 由由12121122,JJJJEE 12121211221212()()ddddUUUE dE dJJU 12nnSDD 由由121212,SSDJDJ 下下上上21122121212112()SDDJUdd 介介U1d2d11, 22, zo第第3 3章章44 例例3.2.2 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导，外导体半径为体半径为c，介质的分界面半径为，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为 1和和 2 、电导率为、电导率为 1和和 2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接

41、地。求：，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面）介质分界面上的自由电荷面密度。上的自由电荷面密度。J1212I外导体外导体内导体内导体介质介质2 2介质介质1abc11、22、0U第第3 3章章45 （1 1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I,I,则由则由 可得电流密度可得电流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介质中的电场：介质中的电场：222()2JIEebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向

42、分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。J012ddbcabUEE1E2E第第3 3章章4612021()ln()ln()UJeacb ac b 20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为120212ln()ln()UIb ac bps sss=+01212ddlnln22bcabIbIcUE

43、Eab由于由于于是得到于是得到第第3 3章章4712011121ln()ln() SaUeEab ac b21022221ln()ln() ScUeEcb ac b1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac b Sne D （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面的电荷面密度为外表面的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为两种介质分界面上的电荷面密度为J2112I第第3 3章章48 工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作

44、电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压属材料的电导率，但毕竟不为零，因而当在电极间加上电压U 时，时，必定会有微小的漏电流必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压之比为漏电导，即漏电流与电压之比为漏电导，即UIG 其倒数称为绝缘电阻，即其倒数称为绝缘电阻，即IUGR13.2.3 漏电导漏电导第第3 3章章49(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由

45、 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导。所求电导。21dlEUUIG/ 计算电导的方法一：计算电导的方法一： 计算电导的方法二计算电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E; (4) 由由 J = E 得到得到J; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESSJIdUIG/ 计算电导的方法三：计算电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CG第第

46、3 3章章50 例例3.2.3 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径分别为a、b，长度为长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解解：直接用恒定电场的计算方法：直接用恒定电场的计算方法电导电导2ln(/)IlGUba绝缘电阻绝缘电阻11ln2bRGladdln22baIIbUEllla lba则则I2IJl2JIEl 设由内导体流向外导体的电流为设由内导体流向外导体的电流为I。第第3 3章章51012222000, 0U 方程通解为方程通解为21CC 例例3.2.4 在一块厚度在一块厚度h 的导电板上，的导电板上， 由两

47、个半径为由两个半径为r1和和r2的圆的圆弧和夹角为弧和夹角为 0的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计的两半径割出的一段环形导电媒质，如图所示。计算沿算沿 方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为方向的两电极之间的电阻。设导电媒质的电导率为。 解：解： 设在沿设在沿 方向的两电极之间外加电压方向的两电极之间外加电压U0，则电流沿则电流沿 方方向流动，而且电流密度是随向流动，而且电流密度是随 变化的。但容易变化的。但容易判定电位判定电位 只是变量只是变量 的函数，因此电位函数的函数，因此电位函数 满足一维满足一维拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到10020/,CUCU环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J第第3 3章章52电流密度电流密度00UJEe两电极之间的两电极之间的电流电流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故故沿沿 方向的两电极之间的电阻方向的两电极之间的电阻为为0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以00UEee 第第3 3章章533.3.1 恒定恒定磁场磁场的基本方程和边界条件的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位3.3.3 电感电感*3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量3.3.5 磁场力磁场力 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析