第2章5-用整体坐标表示单元刚度矩阵.课件.ppt

1、第五节第五节 用整体坐标表示用整体坐标表示单元刚度矩阵单元刚度矩阵 v前面我们已经得到单元坐标下的刚度矩阵，在装配结构总刚度矩阵时，必须把单元坐标表示的单元刚度矩阵变换到整体坐标下，本节将给出二者之间的关系，并得到各种杆单元用整体坐标表示的单元刚度矩阵。1 1. .公式推导公式推导 单元坐标下的杆端力、杆端位移单元坐标下的杆端力、杆端位移 ： )()()(eee K KF Fn整体坐标表示的单元刚度方程：整体坐标表示的单元刚度方程：n先推导整体坐标表示的单元刚度矩阵先推导整体坐标表示的单元刚度矩阵 与单元坐标表示的单元与单元坐标表示的单元刚度矩阵刚度矩阵 之间的关系：之间的关系：)(eK K)

2、(eK K(e)(e)(e)F FT TF F)()(ee(e)T)()()()()(eeeTee T TK KT TF F)()()()(eeTeeT TK KT TK K)()()(eee K KF F)(eK K)(eK K)(eF F)(e )(eF F)(e n单元刚度方程：单元刚度方程： 中的杆端位移向量中的杆端位移向量 和杆端力和杆端力向量向量 均应进行坐标变换，换成按整体坐标表示均应进行坐标变换，换成按整体坐标表示 、 。单元刚度矩阵单元刚度矩阵 也应作相应的坐标变换，换成用整体坐标也应作相应的坐标变换，换成用整体坐标表示的单元刚度矩阵表示的单元刚度矩阵 。)()()(eee

3、K KF F)()()(eee(e)(e)TKF FT T单元坐标下的刚度方程单元坐标下的刚度方程 化为：化为： 1)()(eTeT TT T上式两边分别左乘上式两边分别左乘 ， 且由且由 ： Te)(T Tv 得整体坐标表示的单元刚度矩阵：得整体坐标表示的单元刚度矩阵：2 2. .平面桁架单元整体坐标平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵表示的单元刚度矩阵 aaaaaaaaTecossin0sincoscossin0sincos)(lEAKe0000010100000101)(lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(对称K Kn由前面求得的平面桁架单元

4、的刚度矩阵和坐标变换矩阵由前面求得的平面桁架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵)()()()(eeTeeT TK KT TK K令：令： C Cx x= =coscos, ,C Cy y=sin=sin，且把上式代入且把上式代入 得：得：上式即为平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵上式即为平面桁架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵例例2-1平面桁架如图所示，各杆截面平面桁架如图所示，各杆截面EA均为常数。已知均为常数。已知P1=15kN,P2=20kN，试桁架各杆轴力。试桁架各杆轴力。 1.对结点和单元编号如图示对结点和单元编号如图示;2. 列表表示各单元参数列表表示各单元参数;单元单元单元坐标单元坐

5、标x轴方向轴方向cos即即Cxsin即即Cy单元长度单元长度l(m)120101.732 32300.8660.52.00732. 10000010100000101) 1 (EAK3.列出各单元刚度矩阵列出各单元刚度矩阵20000010100000101)2(EAK1m312P2130P12xy732.10000010100000101) 1 () 1 (EAKK4.列出整体坐标表示的各单元刚度矩阵列出整体坐标表示的各单元刚度矩阵;lEACCCCCCCCCCCCCCyyxxyyxyyxxyxxe222222)(对称K K225043302504330433075043307502504330

6、2504330433075043307502EA.)(K K第一种方法： 直接代入公式：单元（1）的单元坐标和整体坐标一致，所以单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换第二种方法： 利用坐标变换公式：)()()()(eeTeeT TK KT TK K 866. 05 . 005 . 0866. 0866. 05 . 005 . 0866. 0) 2(T20000010100000101)2(EAK866. 05 . 0005 . 0866. 00000866. 05 . 0005 . 0866. 020000010100000101866. 05 . 0005 . 0866. 0

7、0000866. 05 . 0005 . 0866. 0)2(EAK225. 0433. 025. 0433. 0433. 075. 0433. 075. 025. 0433. 025. 0433. 0433. 075. 0433. 075. 0EA) 2() 2() 2() 2(T TK KT TK KT以上代入公式：3 3. .平面刚架单元整体坐标平面刚架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵表示的单元刚度矩阵 n由前面求得的平面刚架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵由前面求得的平面刚架单元的刚度矩阵和坐标变换矩阵lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEI

8、lEIlEIlEIlEAlEAe4602606120612000002604606120612000002223232222323)(K K 1000cossin00sincos10000cossin0sincos)(aaaaaaaaTen单元刚度矩阵和坐标变换矩阵是单元的固有属性，仅有单元的单元刚度矩阵和坐标变换矩阵是单元的固有属性，仅有单元的E, I, l, a有关。利用下式即可计算出整体坐标表示的单元刚度矩阵。有关。利用下式即可计算出整体坐标表示的单元刚度矩阵。)()()()(eeTeeT TK KT TK K3 3. .平面刚架单元整体坐标平面刚架单元整体坐标表示的单元刚度矩阵表示的单

9、元刚度矩阵 上式即为平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵。一般不需专门记上式即为平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵。一般不需专门记忆，只要记住单元坐标表示的单元刚度矩阵和二者之间的关系。忆，只要记住单元坐标表示的单元刚度矩阵和二者之间的关系。)()()()(eeTeeT TK KT TK K令：令： ， ，C Cx x= =coscos, ,C Cy y=sin=sin，且把上式代入且把上式代入 得：得：lEAB lEIi ixClixCliyBCyCliyCxCliByClixBCixCliyCliixClixCliyBCyCxCliBxClixCliYBCyCliyCxCliByClixBC

10、yCliyCxCliByClixBCeK46221226)212(221222664622122)212(6221226)212(221226)212(22122)(对称平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵程序设计平面刚架整体坐标表示的单元刚度矩阵程序设计void change(double *ke, double *T)int i, j,m; double k66；for(i=0; i6; i+) for(j=0; j6; j+) kij=0; for(m=0; m6; m+) kij+=Tm*6+i*kem*i+j ;for(i=0; i6; i+) for(j=0; j6; j+) kei

11、*6+j=0; for(m=0; m6; m+) kei*6+j+= ki m* Tm*6+j ;q = 20 KN/m26m6m26m11336046060q = 20 KN/m6060606060 6m6m6m=20KN/m例例 2-3 平面刚架如图所示，各杆截面相同。平面刚架如图所示，各杆截面相同。E=1107kN/m2,A=0.24m2,I=0.0072m4，求各杆端力，并画出内力图。求各杆端力，并画出内力图。 1231234q = 20 KN/m6m6m6m解解 1.对应结点及各单元编号如图所示对应结点及各单元编号如图所示;单元单元单元坐标单元坐标x轴轴CxCy1301041050.

12、1210523450.70710.70712.82851050.08491053401041050.12105lEAB lEIi 2.列出单元参数表列出单元参数表;3.列出单元坐标表示的单元刚度矩阵列出单元坐标表示的单元刚度矩阵 5) 1 (1048. 012. 004. 000424. 012. 0048. 0012. 004. 0012. 004. 00004004称对K KlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAe460260612061200000260460612061200000222323222232

13、3)(K K将以上参数代入公式：5)2(100.3396060. 00.0142008285. 20.1698060. 000.33960060. 00.01420060. 00.01420008285. 2008285. 2称对K K) 1 () 3 (K KK K3.列出整体坐标表示的单元刚度矩阵列出整体坐标表示的单元刚度矩阵 第一种方法： 直接代入公式：单元（1）(3)的单元坐标和整体坐标一致，所以单元（2）的单元坐标和整体坐标不一致，必须经过以下变换5) 3() 1 (1048. 012. 004. 000424. 012. 0048. 0012. 004. 0012. 004. 00

14、004004称对K KK KixClixCliyBCyCliyCxCliByClixBCixCliyCliixClixCliyBCyCxCliBxClixCliYBCyCliyCxCliByClixBCyCliyCxCliByClixBCeK46221226)212(221222664622122)212(6221226)212(221226)212(22122)(对称第二种方法： 利用坐标变换公式：)()()()(eeTeeT TK KT TK K) 2() 2() 2() 2(T TK KT TK KT以上代入公式：5)2(100.3396060. 00.0142008285. 20.16

15、98060. 000.33960060. 00.01420060. 00.01420008285. 2008285. 2称对K K 10000007071. 07071. 000007071. 07071. 000000010000007071. 07071. 000007071. 07071. 01000cossin00sincos10000cossin0sincos) 2 (aaaaaaaaT521033940042430421310424304072142131169700424300424303394004243042131407210424304213104243040721421310424304072142131.)(称对K K得单元（2）整体坐标表示的单元刚度矩阵：返回目录返回目录