控制系统的状态空间描述课件.ppt

1、2022-5-311第一章第一章控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述 2022-5-3121、状态空间描述、状态空间描述2、状态空间表达式的线性变换、状态空间表达式的线性变换3、传递函数矩阵、传递函数矩阵4、离散系统的数学描述、离散系统的数学描述5、用、用MATLAB进行数学建模和模型转换进行数学建模和模型转换 第一章第一章 控制系统的状态空间描述控制系统的状态空间描述2022-5-313第一节第一节 状态空间描述状态空间描述1.1.1 1.1.1 状态空间描述的基本概念状态空间描述的基本概念1.1.2 1.1.2 状态空间方程的建立状态空间方程的建立1.1.3 1.1.3 化高阶微分

2、方程为状态空间方程化高阶微分方程为状态空间方程 2022-5-314动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。动力学系统能储存输入信息的系统，系统中要有储能元件。q ：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，状态可以理解为系统记忆，t=tot=to时刻的初始状态能记忆系统在时刻的初始状态能记忆系统在 ttot=tot=to时输入时输入的时间函数，那么，系统在的时间函数，那么，系统在t=tot=to的任何瞬间的行为就完全确的任何瞬间的行为就完全确定了。定了。：意味着这组变量是互相独立的。意味着这组变量是互相独立的。

3、减少变量，描述不减少变量，描述不完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。完整，增加则一定存在线性相关的变量，毫无必要。2022-5-315：以状态变量以状态变量 为坐标轴所为坐标轴所构成的构成的n n维空间。在某一特定时刻维空间。在某一特定时刻 ，状态向量，状态向量 是状态空是状态空间的一个点。间的一个点。)(),.,(),(21txtxtxnt)(tX X：以以 为起点，随着时间的推移，为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。在状态空间绘出的一条轨迹。)(tX X)()(0ttX XX X ：把把 这几个状态变量看成这几个状态变量看成是向量是向量 的分量，则的分量，则 称为

4、状态向量。记作：称为状态向量。记作：)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X)(tX X )()(1txtxnX(t)X(t)或：或：)().,(),()(21txtxtxtnT X X2022-5-316：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。状态方程。反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反反映系统中状态变量和输入变量的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：映每个状态变量对时间的变化关系。方程形式如下：niuuuxxxfxrnii,.,2 , 1),;,(2121 其中其中n n是状态变量个数，是状

5、态变量个数，r r是输入变量个数；是输入变量个数； 是线性或是线性或非线性函数。非线性函数。ifrnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax 221122112222121222212121212111121211112022-5-317111212122212nnnnnnn naaaaaaaaaA111212122212rrnnnrn rbbbbbbbbbBxAxBu12ruuuu12nxxxx2022-5-318：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。间的

6、函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。方程形式如下：果关系。方程形式如下：mjuuuxxxgyrnjj,.,2 , 1),;,(2121 其中其中n n是状态变量个数，是状态变量个数，r r是输入变量个数，是输入变量个数，mm是输出变量是输出变量个数，个数， 是线性或非线性函数。是线性或非线性函数。igrmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy 221122112222121222212121212111121211112022-5-319y = Cx+ D

7、u111212122212nnmmmnm ncccccccccC111212122212rrmmmrm rdddddddddD12myyyy2022-5-3110(2)(2)状态空间表达式非唯一性状态空间表达式非唯一性, ,这是和传递函数明显区别的地方。这是和传递函数明显区别的地方。状态变量非唯一，导致矩阵状态变量非唯一，导致矩阵A,B,C,DA,B,C,D非唯一。非唯一。(1)(1)为描述系统方便，经常用为描述系统方便，经常用 代表一个动力学系统。代表一个动力学系统。 ),(DCBA：将状态方程和输出方程联立，将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。一般形式如下：就构成动态

8、方程或状态空间表达式。一般形式如下：A、B、C、D矩阵含义同上。矩阵含义同上。x = Ax+ Buy = Cx+ Du2022-5-3111(3) (3) 定常系统：定常系统： A,B,C,DA,B,C,D各元素与时间无关；各元素与时间无关； 时变系统：时变系统： A,B,C,DA,B,C,D中的各元素一部分或全部是时间的函数；中的各元素一部分或全部是时间的函数； 定常系统定常系统 ； 时变系统时变系统(5)(5)系统输出与状态的区别：系统输出与状态的区别： 系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到；系统输出：希望丛系统中测得的信息，物理上可以量测到； 系统状态：描述系统内部行为的信

9、息，物理上不一定可观测。系统状态：描述系统内部行为的信息，物理上不一定可观测。 ),(DCBA )(),(),(),(tDtCtBtA(4)(4)非线性非线性系统状态空间表达式：系统状态空间表达式： 和和 是是x x与与u u的某类非的某类非线性函数。可以用线性系统来近似线性函数。可以用线性系统来近似ifig2022-5-3112 系统动态方程的模拟结构图系统动态方程的模拟结构图 ：B B C CA AD Du ux xx xy y xAxBuxAxBuyCxDuyCxDu ik 注注:负反馈时为负反馈时为注：有几个状态变量，就建几个积分器注：有几个状态变量，就建几个积分器积分器积分器比例器比

10、例器加法器加法器2022-5-3113建立状态空间表达式的前提建立状态空间表达式的前提系统储能元件的输出系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对使系统状态方程成为某种标准形式的变量（对角线标准型和约当标准型）角线标准型和约当标准型）1.1.2 状态空间方程的建立状态空间方程的建立2022-5-3114【例【例1 1】如下图所示电路，如下图所示电路， 为输入量，为输入量， 为输出为输出量。量。)(tu)(tuC)()()()(tututRidttdiLC( )( )Cduti tCdt 和和 可以表征该电路系统的行为，就是该可以表征该电路

11、系统的行为，就是该系统的一组状态变量系统的一组状态变量)(ti)(tuC2022-5-3115111 ccruiCRiuiuLLL12,cxu xi12212111 xxCRxxxuLLL1122121001110 xxCuxxRLLLxyxcux 1cuy 1xy 2022-5-311622( )( )( )( )CCCd utdutLCRCutu tdtdt12,ccxu xu 1221211CCxuxRxuxxuLCLLC 112201011xxuRxxLCLLC状态空间表状态空间表达式非唯一达式非唯一状态变量选状态变量选取非唯一取非唯一2022-5-3117练习练习22d ydymfk

12、yFdtdtFmxxmfmkxx10102121根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律选择状态变量选择状态变量yx 112xyx 2101xxy机械系统的机械系统的状态空间表状态空间表达式达式2022-5-3118 R-C-L R-C-L 网络如图所示。网络如图所示。e(t)-e(t)-输入变量，输入变量， - -输出变量。试求其状态空间描述输出变量。试求其状态空间描述 )(2tuR1.)1.)确定状态变量确定状态变量 两个储能元件两个储能元件C C和和L L，故选，故选 和和 为状态变为状态变量，组成状态向量量，组成状态向量 x= x= licuculi)(teR R1 1L Lu uc cu u

13、R2R2R R2 2c ci ic ci iL L2022-5-31192)根据克希荷夫电压定律，列写根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：个回路的微分方程： 左回路左回路右回路右回路)()(12tedtdiLiiRdtdiLiRuLLCLcC将将 代入上式，消去中间变量代入上式，消去中间变量 ，并整理得：，并整理得：cidtducicc )()()()()()(1)()(121221212112121121teLRRRiLRRRRuLRRRdtditeCRRiCRRRuCRRdtduLCLLCC )()()(1)()()()(121221212121121121teLRRRCRRiu

14、LRRRRLRRRCRRRCRRiuLCLC 所以状所以状态方程态方程为：为：2022-5-3120右电路图可知右电路图可知: :)(2122121212222teRRRiRRRRuRRRdtduCRiRuLCCCR )(21221212122teRRRiuRRRRRRRuLCR 所以输所以输出方程出方程为：为： 212212121221221212121121121,)()(1,)()()()(1RRRDRRRRRRRCLRRRCRRBLRRRRLRRRCRRRCRRA所以系所以系统各矩统各矩阵为：阵为：2022-5-3121电枢控制式电机控制系统原理如图电枢控制式电机控制系统原理如图1-3

15、1-3所所示，试建立电动机的状态空间方程。示，试建立电动机的状态空间方程。 图图1-3 电枢控制式电机控制系统原理图电枢控制式电机控制系统原理图 2022-5-31221 1、根据电机原理，电机转动时，将产生反电动势、根据电机原理，电机转动时，将产生反电动势 ，其大，其大小为小为bebbeK2 2、在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩与电枢电在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩与电枢电路的电流成正比，即路的电流成正比，即( )tTK i t3 3、根据基尔霍夫定律，电枢电路有下列关系：根据基尔霍夫定律，电枢电路有下列关系：( )bdiLRieu tdt4 4、对电机转轴，根据牛顿定律，

16、有对电机转轴，根据牛顿定律，有TJ2022-5-3123取电枢回路电流取电枢回路电流 、转角、转角 及其电机轴角速度及其电机轴角速度 为系为系统的三个状态变量统的三个状态变量 ，取电机轴转角，取电机轴转角 为系统输为系统输出，电枢控制电压出，电枢控制电压 为系统输入，我们有为系统输入，我们有( )i t123,x x x( )u t1132331321btKRxxxuLLLxxKxxxJJyx 10001000010btKRLLLuKJJyxxx或或 这是一个三阶系统这是一个三阶系统2022-5-3124如果我们对电机轴转角如果我们对电机轴转角 不感兴趣，在本例中我不感兴趣，在本例中我们可以取

17、电枢电路电流们可以取电枢电路电流 及电机轴角速度及电机轴角速度 为为系统的两个状态变量系统的两个状态变量 ，取电机轴角速度，取电机轴角速度 为系统输出，电枢控制电压为系统输出，电枢控制电压 为系统输入，我为系统输入，我们有们有( )i t12,x x( )u t11221221btKRxxxuLLLKxxxJJyx 1001btKRLLuLKJJyxxx或或 这是一个二阶系统这是一个二阶系统2022-5-3125设有一倒立摆安设有一倒立摆安装在马达驱动车装在马达驱动车上，如图上，如图1-41-4所示。所示。控制力控制力u u作用于小作用于小车上。假设倒立车上。假设倒立摆只在图摆只在图1-41-

18、4所在所在的平面内运动，的平面内运动，摆杆的重心就是摆杆的重心就是摆球的重心，试摆球的重心，试求该系统的数学求该系统的数学模型。模型。 2022-5-3126解：设小车和摆杆的质量分别为解：设小车和摆杆的质量分别为和和 ，摆杆长，摆杆长 ，所以摆杆重心的，所以摆杆重心的水平位置为水平位置为 ，垂直位置，垂直位置为为 。按照物理定律，摆杆。按照物理定律，摆杆和小车的运动方程如下：和小车的运动方程如下：Mmlsinxlcosl摆杆的转动方程：摆杆的转动方程：22sincosdJVlHldt摆杆重心的水平运动：摆杆重心的水平运动：22sindmxlHdt2022-5-3127摆杆重心的垂直运动摆杆重

19、心的垂直运动小车的水平运动：小车的水平运动：22cosdmlVmgdt22d xMuHdt2022-5-3128因为我们必须保持倒立摆垂直，所以可假设因为我们必须保持倒立摆垂直，所以可假设 和和 的量值很小，因而使得的量值很小，因而使得 ， 并且并且( ) t( ) tsin0,cos120由于摆杆的转动惯量很小，可看作由于摆杆的转动惯量很小，可看作0J对以上方程线性化，可以推导出系统微分方程数学对以上方程线性化，可以推导出系统微分方程数学模型：模型：2Mm xmlumlmlxmgl2022-5-3129若定义状态变量若定义状态变量 1234,xxxx xx系统的输出量系统的输出量 1132x

20、yyxyx 01000100000010100010000010MmgM lM lumgMMxxyx系统模型系统模型 2022-5-3130线性定常系统的状态空间表达式为线性定常系统的状态空间表达式为ububububyayayaynnnnnnn01) 1(1)(01) 1(1)( 在经典控制理论中在经典控制理论中, ,控制系统的时域模型为：控制系统的时域模型为：: :选取适当的状态变量选取适当的状态变量, ,并由并由 定出相应的系数矩阵定出相应的系数矩阵A A、B B、C C、D.D.), 1 , 0(),1(njbniaji DuCxyBuAxx 1 1、微分方程中不包含输入函数的导数项、微

21、分方程中不包含输入函数的导数项2 2、微分方程中包含输入函数的导数项、微分方程中包含输入函数的导数项2022-5-3131微分方程形式微分方程形式: ，化为状态变量，化为状态变量 的一阶微的一阶微分方程组分方程组.nxxx,21 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定则系统行为被完全确定 故选择故选择 为系统的一组状态变量。为系统的一组状态变量。输出及输出及其各阶导数其各阶导数)1(, nyyyy )(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的的输输入入及及 )1(21nnyxyxyx 令令:( )(1)(2)122100nnnnnyayaya ya ya yb u2022-

22、5-3132 ubxaxaxayxxyxxyxxyxnnnnnnn12110)1(13221 状态方程为状态方程为: 输出方程为输出方程为:ubxxxaaaxxxnnn 00100102111021 xy001 2022-5-3133 状态变量是状态变量是输出输出y及及y的各阶导数的各阶导数 系统矩阵系统矩阵A特点：主对角线上方特点：主对角线上方1个元素为个元素为1，最下面一行为，最下面一行为微分方程系数的负值，其它元素全为微分方程系数的负值，其它元素全为0，称为，称为友矩阵友矩阵 b0a 2x1uy1xnxnx 1 nx1a 1 na2 na2022-5-3134 设系统输入设系统输入-输出

23、微分方程为下式，求其状态空间表达式。输出微分方程为下式，求其状态空间表达式。uyyyy5342 若选若选 ，可导出系数矩阵，可导出系数矩阵A，B，Cyxyxyx 321, 243100010A 001 C 500B 53 2x1uy1x 3x42 3x 2022-5-31352 2、微分方程中包含输入函数的导数项、微分方程中包含输入函数的导数项微分方程形式：微分方程形式： 使导出的一阶微分方程组右边不出现使导出的一阶微分方程组右边不出现u的导数项。的导数项。 如果仍按照微分方程中不包含输入函数的导数项的方如果仍按照微分方程中不包含输入函数的导数项的方法，将法，将输出及输出的各阶导数选为状态变量

24、输出及输出的各阶导数选为状态变量，则得到，则得到的状态方程的模拟结构图如下，的状态方程的模拟结构图如下，( )(1)( )(1)110110nnnnnnnyaya ya yb ububub u2022-5-3136)2(1122311201 uxxuxxuxxuyxnnn 为了使系统状态方程中不出现为了使系统状态方程中不出现u的导数项，状的导数项，状态变量可以这样选择：态变量可以这样选择：式中系数式中系数 是待定系数是待定系数.n ,10)3(11232121 uxxuxxuxxnnn 整理整理(2)式得式得:) 4(0112110 uxyuxaxaxaxnnnn 由结构图可以看出由结构图可以

25、看出:2022-5-31372022-5-3138联立联立(3)式和式和(4)式，即可式，即可求得状态空间表达式为：求得状态空间表达式为：uxaaaxnn 11101000010 uxy0001 A仍然是友矩阵仍然是友矩阵从中可以看出，状态空间表达式中不含有从中可以看出，状态空间表达式中不含有u的各阶导数了的各阶导数了n ,.,210思路思路:由式由式(2)可以看出，将可以看出，将y表示成表示成u的各阶导数和的各阶导数和x的的形式，并代入形式，并代入 原始微分方程式原始微分方程式(1)中中 ，根据，根据u及其及其各阶导数的系数相等的原则求解：各阶导数的系数相等的原则求解：2022-5-3139

26、)5(12)2(1)1(0)1(01230120120101 uuuuxyuuuxuuxyuuxuxyuxynnnnnn 由式由式(2)可以得到下式可以得到下式：在结构图中增加一个中间变量：在结构图中增加一个中间变量：)6(1uxxnnn 1 nx令令由式由式(5)和式和式(6)可求得：可求得：uuuuuxuuuuxynnnnnnnnnnnn 12)1(1)(0112)1(1)(0)(7)2022-5-3140将式将式(5)和式和式(7)代入原始微分方程式代入原始微分方程式(1)中，根据左右等式中中，根据左右等式中u及其各阶导数的系数相等的原则可得到：及其各阶导数的系数相等的原则可得到： n

27、,10) 8(000112211002112201110102111 aaaabaababbxaxaxaxnnnnnnnnnnnnnn为便于记忆，为便于记忆，将上式写成：将上式写成：nnnnnnbbabaaabaaaa0111112310012111112022-5-3141 系统输出系统输出-输入微分方程为下式，求其状态空间表达式。输入微分方程为下式，求其状态空间表达式。640,160,0,0640,192,180123012 bbbbaaa系数系数: 2240160186401600000112203011212022130 aaabaababb按按(8)式求得：式求得：181926401

28、60640yyyyuu2022-5-3142写出状态空间表达式写出状态空间表达式:uxxxxxx 2240160018192640100010321321 321001xxxy 这种形式很繁琐，需要记忆的东西太多。这种形式很繁琐，需要记忆的东西太多。 ：一般将微分方程转换为传递函数，由传递：一般将微分方程转换为传递函数，由传递 函数来实现。函数来实现。状态方程：状态方程：输出方程：输出方程：2022-5-31431.2 1.2 状态空间方程的线性变换状态空间方程的线性变换 1.2.1 1.2.1 状态向量线性变换状态向量线性变换 1.2.2 1.2.2 化系数矩阵为对角标准形化系数矩阵为对角标

29、准形 1.2.3 1.2.3 化系数矩阵为约当标准形化系数矩阵为约当标准形 2022-5-3144 线性非奇异变换线性非奇异变换 ： 如果如果P P非奇异阵，则将非奇异阵，则将 变换称为线性非变换称为线性非奇异变换。奇异变换。 通过线性非奇异变换，可以将状态方程变成对角通过线性非奇异变换，可以将状态方程变成对角线或约当标准型。线或约当标准型。 系统状态空间表达式的非唯一性系统状态空间表达式的非唯一性 ：同一系统的不同状态变量可以通过线性变换互相得到。：同一系统的不同状态变量可以通过线性变换互相得到。1 PPxPx-1xP x1.2.1 1.2.1 状态向量线性变换状态向量线性变换xPx2022

30、-5-3145两组状态变量的关系：两组状态变量的关系： DuCxyBuAxx 其中：其中：例例：关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性关于非奇异变换阵和状态方程的非唯一性 30,02,3120 CBA考虑系统考虑系统 为：为： ),(CBA非奇异变换后非奇异变换后 ),(CBA-1-1()xPxP AxBuPAP xPBuAxBuyCxDuCP xDuxPx-1APAPBPB-1CCPDD，等价系统方程等价系统方程x = Ax+ Buy = Cx+ Du2022-5-31461）若选择非奇异变换阵）若选择非奇异变换阵P为：为： 16220P011132P 06,10,3210 CBA结论结论：不

31、同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，：不同的非奇异变换阵，对应不同的状态方程，非唯一性非唯一性2）若选择非奇异变换阵）若选择非奇异变换阵P为：为： 12111P1112P 33,22,2001 CBA2022-5-3147对于系统矩阵对于系统矩阵A，若存在一非零向量，若存在一非零向量 ，使得：，使得： 系统的特征值和特征向量系统的特征值和特征向量 Aqq则：则：矩阵矩阵A对应于特征值对应于特征值 的特征向量的特征向量 q矩阵矩阵A的特征值（的特征值（A特征方程的根）特征方程的根）矩阵矩阵A的特征方程的特征方程AI 0| AI 矩阵矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 矩阵矩阵A的特征多项式的特征多项式

32、0111|aaaAInnn q使使 ，则称，则称 为为A的对应于的对应于 的特征向量的特征向量.设设 为为A的一个特征值，若存在某个的一个特征值，若存在某个n维非零向量维非零向量 ， iqiiiAqq：i iqi 2022-5-3148一个一个n维系统的维系统的 方阵方阵A，有且仅有，有且仅有 n 个独立的特征值。个独立的特征值。nn 对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。对系统作线性非奇异变换，其特征值和传递函数阵不变。 （） A为实数方阵，则其为实数方阵，则其n个特征值或为实数，或为共轭复数对。个特征值或为实数，或为共轭复数对。 系统系统2: 特征多项式特征多项式 ， 传递函数

33、阵传递函数阵 系统系统1: 特征多项式特征多项式 ， 传递函数阵传递函数阵 |AI ),(CBA ),(CBA|AI )(sG)(sG-1-1-1-1-1IAIPAPP PPAPPIA PPIA PIA2022-5-31494）设）设 为系统矩阵为系统矩阵A的特征值的特征值, 是是A属于特属于特征值的特征向量。当征值的特征向量。当 两两相异时，两两相异时， 线线性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵性无关，因此由这些特征向量组成的矩阵Q必是非奇异的。必是非奇异的。n ,21,nqq1n ,21nnnnnnnqqqqqqQqqqqqq11121212221212 ,nqq12022-5-31505

34、）若系统矩阵）若系统矩阵A具有形式：具有形式： 110100001000010naaaA0111|aaaAInnn 则其特征多项式为：则其特征多项式为：特征方程为：特征方程为：0|0111 aaaAInnn 2022-5-31511）先求出系统矩阵）先求出系统矩阵A的所有特征值。的所有特征值。2）对于每个特征值，计算其特征向量。）对于每个特征值，计算其特征向量。 6116100010A 求下列矩阵求下列矩阵A的特征向量。的特征向量。1)计算特征值计算特征值 A的特征方程为：的特征方程为：0| AI A的特征值：的特征值：11 22 33 2022-5-3152 时特征向量：时特征向量：22 (

35、)()TIA qq2220124 时特征向量：时特征向量： 23()()TIA qq33301392）计算特征向量）计算特征向量 时特征向量：时特征向量：11 ()()TIA qq11101112022-5-31531 1）先求出系统矩阵）先求出系统矩阵A A的所有特征值。的所有特征值。2 2）对于每个特征值，计算其特征向量。并由此）对于每个特征值，计算其特征向量。并由此组成非奇异变换阵组成非奇异变换阵P P。 3 3）由变换矩阵）由变换矩阵P P和矩阵和矩阵A A，B B，C C求出求出 ，其中对角阵，其中对角阵 可以由特征值直接写出，只需求出可以由特征值直接写出，只需求出 即可。即可。 ,

36、A B CACB,2022-5-3154 对于线性定常系统对于线性定常系统 ，如果，如果A特征值特征值 互异，则必存在非奇异变换矩阵互异，则必存在非奇异变换矩阵P，通过，通过变换变换 ，将原状态方程，将原状态方程 化为对角线化为对角线规范形式规范形式 。,n1xPx ),(CBA ),(CBA： 1-12-1n0A= PAP=,B = PB ,C = CPO0 ),(CBA2022-5-3155由特征值性质由特征值性质 4)知，由知，由A特征向量构成的矩阵特征向量构成的矩阵 是非奇异的，故可以选择是非奇异的，故可以选择P为变换阵为变换阵, 其中其中12nQ = qqq-1P = QAPAP12

37、022-5-315612n12n1122nn11-112nnnA qqq= AqAqAq= q q q= qqq= P特征值定义特征值定义iiiAqq上式两端左乘上式两端左乘 得：得：PnnAPAPPP11221100002022-5-3157 将线性定常系统将线性定常系统 化为对角线标准化为对角线标准型型. 其中：其中：BuAxx 327,120010112BA当当 时，时， 2)确定非奇异矩阵确定非奇异矩阵P 21 qqqqqqqq1121312121312131011003003002120IA2110102110211)求其特征值求其特征值: 1232112022-5-3158,qqq

38、2131110q 1100取取:qqqqqqqq 1212223222223232311300000220022当当 时，时，12 ,qqq 2232120取取:q2011q 3101同理当同理当 时，时， 得得:13 取任意数取任意数2022-5-3159,PQqqqP1123101111010010011011 111211101200010010010010011021011001111720102201135-1A= PAPB = PBBA,3）求）求uxx 522100010002对角线标准型为：对角线标准型为：2022-5-3160证明：略证明：略(提示，根据特征值和特征向量的定义

39、证明提示，根据特征值和特征向量的定义证明)。对线性定常系统，如果其特征值对线性定常系统，如果其特征值 互异，互异，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵，则将系统状态方程化为对角线标准型的非奇异矩阵P是一个是一个，具有如下形式：，具有如下形式：n ,21nnnnnnPQ12122212111121112022-5-3161线性定常系统线性定常系统 ，其中，其中将状态方程化为对角线标准型将状态方程化为对角线标准型. 1579,212100010BABuAxx 1122121001det AI1, 1, 2321 由：由：得：得：2022-5-3162,PP11331111232222211

40、112332611111102111411 2521579101000100026121312121313111BPBAPPA系统状态方程对角系统状态方程对角线标准型为：线标准型为：BA,uxx 2521000100022022-5-3163xPx定理定理3 对于线性定常系统，当矩阵对于线性定常系统，当矩阵A具有重特征值，具有重特征值，但独立的特征向量的个数仍然为但独立的特征向量的个数仍然为n个。这时可以通个。这时可以通过过 变换，将变换，将A阵化为对角标准形。阵化为对角标准形。101010002A例例 己知矩阵己知矩阵 ，试化，试化A为对角标准形为对角标准形 解：解：1、求系统特征值、求系统

41、特征值 2101010120002IA1231,2有重根有重根2022-5-31642、确定非奇异变换阵、确定非奇异变换阵P 当当 时时1,21 111121310010000001qqqIA q12100 ,100 qq当当 时时32133323331010100000qqqIA q132333101qqq2022-5-3165 由于系统有由于系统有3个独立特征向量，故原系统状态空间方程可个独立特征向量，故原系统状态空间方程可化为对角标准形。对应线性变换阵化为对角标准形。对应线性变换阵P可求出为可求出为11123101101010010001001Pqqq3、化对角标准形、化对角标准形-11

42、01101101100010010010010001002001002 PAP2022-5-3166二、二、 化系数矩阵化系数矩阵A A为约当标准形为约当标准形 定理定理1-4 1-4 当矩阵当矩阵A A具有具有mm个重特征值，且对应于每个互异个重特征值，且对应于每个互异的特征值，只存在一个独立的特征向量，则必存在一个非的特征值，只存在一个独立的特征向量，则必存在一个非奇异矩阵奇异矩阵P P，将，将A A阵化为约当标准形阵化为约当标准形12-1mn nJJJPAPJ0011iJ00iii其中其中 为约当块，其形式为为约当块，其形式为 iJ2022-5-3167其中其中 称为对应于称为对应于 的

43、的广义特征向量广义特征向量此时非奇异矩阵此时非奇异矩阵P P的求法的求法1,12nqqq假设系统有假设系统有n个重特征值，设为个重特征值，设为 ，对应特征向量为，对应特征向量为 。由特征向量的定义，得到。由特征向量的定义，得到 11121211100nnA qqqqqq23,nqqq1。 此时变换矩阵为此时变换矩阵为 1112nPQqqq2022-5-3168说明说明如果如果n阶阶矩阵矩阵A有有m个重特征值个重特征值 ,n-m个互异特征个互异特征值值 .为确定线性变换矩阵为确定线性变换矩阵P，可以按上述方法求出对应于，可以按上述方法求出对应于 的的m个特征向量个特征向量 。按前面求对角标准形的

44、方法求出其余对应于按前面求对角标准形的方法求出其余对应于 的的n-m个特征向量个特征向量故对应线性变换矩阵为故对应线性变换矩阵为1112,mqqqm+1n-1n,11,mnnqqq1111mmnPQqqqqm+1n-1n,2022-5-31691 1）先求出系统矩阵）先求出系统矩阵A A的所有特征值。的所有特征值。2 2）对于每个特征值，计算其特征向量，对于重特征）对于每个特征值，计算其特征向量，对于重特征值，还要计算其广义特征向量。并由此组成非奇值，还要计算其广义特征向量。并由此组成非奇异变换阵异变换阵P P。 3 3）由变换矩阵）由变换矩阵P P和矩阵和矩阵A A，B B，C C求出求出，

45、其中约当矩阵，其中约当矩阵 可以由特征值直接写出，只需求可以由特征值直接写出，只需求出出 即可。即可。 A,BC ),(CBA2022-5-3170065102324A例例 己知矩阵己知矩阵 ，试化，试化A为约为约当标准形当标准形解：解：1、求系统特征值、求系统特征值 26512120324 IA123122、确定非奇异变换阵、确定非奇异变换阵 当当 1,21111121310010000001qqqIA q112131735qqq 2022-5-31711q121 IA qq再将再将代入代入，有，有122232165711233235qqq 1222320.60.42qqq 32133323

46、332651220322qqq IA q132333212qqq 当当时，时，2022-5-3172111213121222331323370.6230.41 ,522qqqqqqqqq P1.22.80.21414111P-11.22.80.206570.6214110230.414111324522110010002JPAP所以有所以有，3、化约当标准形、化约当标准形2022-5-3173：如果系数矩阵：如果系数矩阵A A是友矩阵是友矩阵 如果其特征值如果其特征值 是是n n重根，则将系统状态方程化为重根，则将系统状态方程化为JordanJordan约当标准型的非奇异矩阵约当标准型的非奇异

47、矩阵P P，其形式为：，其形式为：1 1211132111(1)(2)12311121000100210330(1)1nnnnnPnQ2022-5-3174例例 己知矩阵己知矩阵 ，试化，试化A为约为约当标准形当标准形010001133A解：解：1、求系统特征值、求系统特征值 3100110133IA1231 2、确定非奇异变换阵、确定非奇异变换阵 系统有三重特征值，且系数矩阵为友矩阵系统有三重特征值，且系数矩阵为友矩阵 12312111001001011021121 Qqqq2022-5-31751100110121PQ1100110121 PQ求出变换阵求出变换阵 3、化约当标准形、化约当

48、标准形-1100010100110001110121133121110011001JPAP2022-5-31761.3 1.3 传递函数矩阵传递函数矩阵1.3.1 1.3.1 由状态空间方程转换成传递由状态空间方程转换成传递函数阵函数阵 1.3.2 1.3.2 子系统串并联与闭环系统子系统串并联与闭环系统传递函数阵传递函数阵2022-5-31772）MIMO系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵系统，多输入对多输出，故引入传递函数阵G(s) ，G(s)是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；是一个矩阵，可以表征多个输入对系统输出的影响；状态空间表达式：状态空间表达式：)1( DuCxyB

49、uAxx 根据传递函数定义，根据传递函数定义，式式(1)拉氏变换，并令拉氏变换，并令 ，得式，得式(2)：0) 0(0 xx) 2()()()()()()( sDUsCXsYsBUsAXssX1）SISO系统，一输入对一输出，用传递函数系统，一输入对一输出，用传递函数G(s)描述，描述， G(s)是一个元素；是一个元素；整理（整理（2）式得：）式得：) 3()()()(1sUDBAsICsY 2022-5-3178 mrmmrrGGGGGGGGGDBAsICsUsYsG2122221112111)()()()(注意矩阵求逆注意矩阵求逆定义定义传递函数阵传递函数阵：1）dim(G(s)=mr，其

50、中，其中dim()表示表示的维数。的维数。m是输出维数，是输出维数，r是输入维数。是输入维数。)()()(sUsYsGjiij 2）G(s)的每个元素的含义：的每个元素的含义：表示第表示第i个输出中，由第个输出中，由第j个输入变量所引个输入变量所引起的输出和第起的输出和第j个输入变量间的传递关系。个输入变量间的传递关系。3）同一系统，不同的状态空间表达式对应的）同一系统，不同的状态空间表达式对应的G(s)是相同的。是相同的。2022-5-3179已知系统已知系统 求系统的求系统的G(s)0106511 1xxuyx 1125116()()65det()56sssadj ssssssIAIAIA