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1、第八章第八章 位移法位移法第八章第八章 位移法位移法教学内容：教学内容：等截面直杆的转角位移方程，位移法的基本等截面直杆的转角位移方程，位移法的基本概念、典型方程及应用，转角位移法。概念、典型方程及应用，转角位移法。教学要求：教学要求：1 1、理解位移法的基本思路，位移法计算支座位移和温、理解位移法的基本思路，位移法计算支座位移和温度变化时的超静定结构的方法步骤；度变化时的超静定结构的方法步骤；2 2、掌握加入附加刚臂和附加链杆形成基本结构的方法，、掌握加入附加刚臂和附加链杆形成基本结构的方法，荷载作用超静定结构位移法典型方程建立、系数和自由荷载作用超静定结构位移法典型方程建立、系数和自由项计

2、算、内力图的绘制，利用对称性简化计算，利用平项计算、内力图的绘制，利用对称性简化计算，利用平衡条件建立位移法方程的原理和方法。衡条件建立位移法方程的原理和方法。重点：重点：位移法的基本原理，利用位移法的典型方程计算位移法的基本原理，利用位移法的典型方程计算超静定结构。超静定结构。难点：难点：转角位移法。转角位移法。第八章第八章 位移法位移法8-1 8-1 概述概述8-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程8-3 8-3 位移法的基本概念位移法的基本概念8-4 8-4 位移法的典型方程位移法的典型方程8-5 8-5 位移法计算步骤及举例位移法计算步骤及举例8-7 8-7 直

3、接利用平衡条件建立位移法方程直接利用平衡条件建立位移法方程第八章第八章 位移法位移法第八章第八章 位移法位移法力法：力法：以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。法方程，求出内力后再计算位移。位移法：位移法：以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。立位移法方程，求出位移后再计算内力。 力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于二十世纪初。法于十九世纪末开始应用，

4、位移法建立于二十世纪初。力法计算力法计算,4,4个基本未知量个基本未知量位移法计算位移法计算, 1, 1个基本未知量个基本未知量AAAA8-1 8-1 概述概述第八章第八章 位移法位移法位移法要点：位移法要点：1.1.位移法的位移法的基本未知量是结点位移基本未知量是结点位移；2.2.位移法位移法以单根杆件为计算单元以单根杆件为计算单元；3.3.由由平衡条件平衡条件建立建立以结点位移为基本未知量的以结点位移为基本未知量的基本方程基本方程。4.4.先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结这就将复杂结构的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。构的计算问题转

5、换为简单的杆件分析与综合问题。AAAA力法计算力法计算,4,4个基本未知量个基本未知量位移法计算位移法计算, 1, 1个基本未知量个基本未知量第八章第八章 位移法位移法关于刚架的结点未知量关于刚架的结点未知量123EI=常数qZ1Z11Z1213Z1q刚架在荷载刚架在荷载q q作用下将发生如虚线所示的变形。作用下将发生如虚线所示的变形。在刚结点在刚结点1 1处发生转处发生转角角Z Z1 1，结点没有线位移。，结点没有线位移。则则1212杆可以视为一根两端固定的梁（见右杆可以视为一根两端固定的梁（见右图）。其受荷载图）。其受荷载q q作用和支座作用和支座1 1发生转角发生转角Z Z1 1这这两种

6、情况下的内力均可以由两种情况下的内力均可以由力法力法求。求。同理，同理，1313杆可以视为一根一端固定杆可以视为一根一端固定另一端铰支的梁（见右图）。另一端铰支的梁（见右图）。而在固定端而在固定端1 1处发生了转角处发生了转角Z Z1 1，其内，其内力同样由力同样由力法力法求出。求出。可见，在计算刚架时，如果以可见，在计算刚架时，如果以Z Z1 1为基为基本未知量，设法首先求出本未知量，设法首先求出Z Z1 1，则各杆，则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。本思路。ll第八章第八章 位移法位移法实现位移状态可分两步完成：实现位移状态可分两步完成：分析：分

7、析：1 1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2 2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上附加约束上的附加内力应等于的附加内力应等于0 0，按此可列出基本方程。，按此可列出基本方程。1 1）在）在可动结点上附加约束可动结点上附加约束，限制其位移，在限制其位移，在荷载荷载作用下，作用下，附加约束上附加约束上产生附加约束力产生附加约束力；2 2）使结构发生与原结构一致）使结构发生与原结构一致的结点位移的结点位

8、移, ,附加约束上产生附加约束上产生附加约束力附加约束力。132q1PR11R第八章第八章 位移法位移法位移法分析中应解决的问题：位移法分析中应解决的问题：1 1）确定杆件杆端内力与杆端）确定杆件杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系；位移及荷载之间的函数关系；2 2）确定以结构的哪些结点作）确定以结构的哪些结点作为基本未知量，选取位移法的为基本未知量，选取位移法的基本体系；基本体系；3 3）如何建立求解基本未知量）如何建立求解基本未知量的位移法方程。的位移法方程。132q1PR11R第八章第八章 位移法位移法 用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视

9、为单跨超静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产超静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移生位移( (线位移、角位移线位移、角位移) )时时的杆端内力的杆端内力( (弯矩、剪力弯矩、剪力) ), ,以以及在荷载等因素作用下的杆端内力及在荷载等因素作用下的杆端内力( (弯矩、剪力弯矩、剪力) )。一、单跨超静定梁的三种类型（近端固定）一、单跨超静定梁的三种类型（近端固定） 远端固定远端固定 远端铰支远端铰支 远端滑动支座远端滑动支座 （定向支座（定向支座) )。 BABAAB8-2 8-2 等截面直杆的转角位移方程等截面直杆的转角位移方程第八章第八章 位移法位移法二、杆端力和杆

10、端位移的正负规定二、杆端力和杆端位移的正负规定: :1 1、杆端弯矩对杆端以顺时针为正；对结点或支座以逆、杆端弯矩对杆端以顺时针为正；对结点或支座以逆时针为正。时针为正。2 2、杆端转角、杆端转角f fA A、f fB B 以顺时针方向转动为正。以顺时针方向转动为正。3 3、杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移、杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移以使以使杆件顺时针转动为正；杆件顺时针转动为正；杆端剪力以使杆件绕另一端顺时杆端剪力以使杆件绕另一端顺时针旋转为正针旋转为正 ABMABMBAlE I第八章第八章 位移法位移法1 1、两端固定、两端固定: :三、转角位移方程三、转角位移方程- -

11、形常数形常数X1X21/l1/lX2=112M1MX1=1111112212112222CACBXXXX221133221EIllEI1221112 36llEIEI CCl21f fAf fBAB第八章第八章 位移法位移法12123663ABllXXEIEIlllXXEIEIliEI l12642624ABABiXiiliXiil642ABABiMiil624BAABiMiil26612ABBAABABMMiiiVllll 线刚度线刚度X1X21/l1/lX2=112M1MX1=11f fAf fBAB第八章第八章 位移法位移法可以将上式写成矩阵形式可以将上式写成矩阵形式2642624661

12、2ABABABABiMiiliMiiliiiVlllx1x21/l1/lx2=112M1Mx1=11f fAf fBAB第八章第八章 位移法位移法2 2、几种不同远端支座的刚度方程、几种不同远端支座的刚度方程（1 1）远端为固定支座）远端为固定支座f fAMABMBA因因f fB B = 0= 0，代入，代入(1)(1)式可得：式可得：6462ABABAAiMiliMillEI2642624(1)6612ABABABABiMiiliMiiliiiVlll第八章第八章 位移法位移法f fAMAB（2 2）远端为固定铰支座）远端为固定铰支座因因M MBA BA = 0= 0，代入代入(1)(1)式

13、可得式可得33ABAiMillEI6240ABiiil 6(2) 4BAiiil2642624(1)6612ABABABABiMiiliMiiliiiVlll第八章第八章 位移法位移法fAMABMBA（3 3）远端为定向支座）远端为定向支座因因0,0BABBAVV由（由（2 2）式可得：）式可得：12AlABABAAMiMi 266120(2)ABBAABiiiVVlll lEI2642624(1)6612ABABABABiMiiliMiiliiiVlll则有：则有：第八章第八章 位移法位移法由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。（由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。（P186P186表表8

14、-18-1）单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAVAB= VBA4i2if=1ABAB1212il6il6il6ilAB103ilABf=13i023ilABf=1i-i03il第八章第八章 位移法位移法l/2l/2CABqCX1CX1=11M112ql22ql812ql224ql2EIlEIl1111321211(1)38224PlqlqlEIEI两端固定受均布荷载：两端固定受均布荷载：2111124PqlX 四、转角位移方程四、转角位移方程- -载常数载常数第八章第八章 位移法位移法l/2l/2CABq212ABqlM 12ql22ql812ql224ql20ABBAABABMMV

15、Vl212BAqlM0ABBABABAMMVVl2ql2ql第八章第八章 位移法位移法由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数（由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数（P187P187表表8-28-2）2P8Pl098Ml316PlqAB212ql212ql单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MFABMFBAVFABVFBA2ql2ql8Pl2P8MAB2l2lP2lAB2l2lP1116P516PABq28ql058ql38qlAB2l2lM098Ml其他荷载情况下的载常数可参见表其他荷载情况下的载常数可参见表8 82 2（P187P187188188）。）。第八章第八章 位移法位移法 表中单

16、位角位移是顺时针，相对线位移绕另一端表中单位角位移是顺时针，相对线位移绕另一端也是顺时针，荷载绕（左）固定端同样是顺时针的。也是顺时针，荷载绕（左）固定端同样是顺时针的。 如果单位角位移、线位移是逆时针的，则表中所如果单位角位移、线位移是逆时针的，则表中所列形常数的正负号要反号。如果荷载绕固定端（左）列形常数的正负号要反号。如果荷载绕固定端（左）是逆时针的；则表中所列载常数的正负号也要反号。是逆时针的；则表中所列载常数的正负号也要反号。 注意注意： 表表8-18-1、8-28-2列出了常见的形常数和载常数。列出了常见的形常数和载常数。形常形常数要求牢记（表数要求牢记（表8-18-1） ，载常数

17、要会载常数要会查表查表。表中单位。表中单位角位移、线位移、荷载、弯矩、剪力均设为正值。角位移、线位移、荷载、弯矩、剪力均设为正值。 当计算某一结构时，应根据杆件两端实际的位移当计算某一结构时，应根据杆件两端实际的位移方向和荷载方向，判断形常数和载常数的正负。方向和荷载方向，判断形常数和载常数的正负。 练习：根据表练习：根据表8-18-1、2 2，作出各单跨梁的弯矩图。，作出各单跨梁的弯矩图。第八章第八章 位移法位移法1234 456 1 1、结点角位移、结点角位移一、位移法的基本未知量一、位移法的基本未知量 独立的结点位移，包括独立的结点位移，包括角位移角位移和和线位移线位移 由于在同一刚结点

18、处，各杆端的转角都是相等的，因由于在同一刚结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，它们不是独立的，可不作为基本未知量。杆端的转角，它们不是独立的，可不作为基本未知量。 因此，因此，结构结构独立角位移数目独立角位移数目就就等于结构刚结点的数目等于结构刚结点的数目。例如图示刚架例如图示刚架独立的结点角位移独立的结点角位移数目为数目为2 2。8-3 8-3 位移法的基本概念位移法的基本概念第八章第

19、八章 位移法位移法ABCD上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。 CD122 2、结构线位移：、结构线位移： 每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设际相符的两个假设( (轴向刚度条件）：轴向刚度条件）：1 1）忽略轴向力产生的轴向变形；）忽略轴向力产生的轴向变形；2 2）弯曲变形是微小的，受弯直杆变形后其两端距离保）弯曲变形是微小的，受弯直杆变形后其两端距离保持不变。持不变。第八章第八章 位移法位移法线位移数的确定线位移数的确定几何方法几何方法 1 1）将结构中所有刚

20、结点和固定支座，代之以铰结点）将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，和铰支座，2 2）分析新体系的几何构造性质，若为几何可）分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，不变体系，3 3）所需增加的链杆数，即为原结构位移法计）所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。算时的线位移数。4)4)若新（铰接）体系是几何不变的，则若新（铰接）体系是几何不变的，则原结构的各点均无线位移。原结构的各点均无线位移。1ABCDABCD1 CD第八章第八章 位移法位移法40试确定图示结构的

21、独立线位移数试确定图示结构的独立线位移数第八章第八章 位移法位移法例：确定结构按位移法求解的基本未知数例：确定结构按位移法求解的基本未知数426lnnn4n2ln 3 3、位移法的基本未知数、位移法的基本未知数lnnn第八章第八章 位移法位移法思考：确定结构按位移法求解的基本未知数思考：确定结构按位移法求解的基本未知数628lnnn第八章第八章 位移法位移法增加附加约束后增加附加约束后, ,使得原结构的结点不能发生位移的结构。使得原结构的结点不能发生位移的结构。二、位移法的基本结构二、位移法的基本结构 用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根

22、单跨超静定梁。因此，单跨超静定梁。因此，位移法的基本结构就是位移法的基本结构就是：把每一根把每一根杆件都暂时变为一根单跨超静定梁杆件都暂时变为一根单跨超静定梁( (或可定杆件或可定杆件) )。通常的通常的做法是：做法是：在每个刚结点上假想地加上一个在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂附加刚臂( (仅阻仅阻止刚结点转动止刚结点转动),),同时在有线位移的结点上沿线位移的方向同时在有线位移的结点上沿线位移的方向加上加上附加支座链杆附加支座链杆( (阻止结点移动阻止结点移动) )。123456(a)例如：例如：( (见图见图a)a) 基本未知量三个。基本未知量三个。第八章第八章 位移法位移法1212

23、又例如：又例如：共有五个刚结点，结点共有五个刚结点，结点线位移数目为二，基本线位移数目为二，基本未知量为七个。基本结未知量为七个。基本结构如图所示。构如图所示。第八章第八章 位移法位移法共有四个刚结点，结点线位移数目为二，共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个。基本结构如图所示。基本未知量为六个。基本结构如图所示。2345671练习：确定基本结构练习：确定基本结构第八章第八章 位移法位移法练习：确定基本结构练习：确定基本结构第八章第八章 位移法位移法Z1Z1三、位移法方程三、位移法方程1 1、选择基本体系、选择基本体系2 2、建立基本方程：、建立基本方程：连接各单杆部连接各单杆部

24、分（使各杆协调变形）的静力平分（使各杆协调变形）的静力平衡方程：衡方程： 11110PRRR1PRlEIEI123P2l2l 123P 123Z1Z1316Pl令令Z Z1 1=1=1，则有：，则有：111110PRk ZR=1=11=1=PM1M11R4i2i3i11k第八章第八章 位移法位移法在在M MP P图取结点图取结点1 1为为脱离体，有：脱离体，有：1PR10316Pl1316PRPl 同理，在同理，在M M1 1图取结图取结点点1 1为脱离体，有：为脱离体，有：11k14i3i11437kiii将以上两式代入基本方程，得：将以上两式代入基本方程，得：137016Pli Z1311

25、2PlZi3 3、计算结点位移、计算结点位移1PR 123P 123Z1Z1316Pl=1=11=1=PM1M11R4i2i3i11k第八章第八章 位移法位移法4 4、根据叠加原理作最后弯矩图、根据叠加原理作最后弯矩图11PMM ZM13112PlZi123356Pl328Pl1156Pl1PR 123P 123Z1Z1316Pl=1=11=1=PM1M11R4i2i3i11k第八章第八章 位移法位移法练习：用位移法计算连续梁的内力，练习：用位移法计算连续梁的内力，EI=EI=常数。常数。2kN/mCA16kNB基本体系基本体系解解:1:1）基本未知量和基本体系）基本未知量和基本体系结点结点B

26、 B的角位移的角位移1Z结点结点B B加上附加约束得到基本体系加上附加约束得到基本体系2 2）位移法方程）位移法方程11110Pk ZRCAB2i11Z4i3i作用的作用的 图图11Z1M3 3）计算）计算11k令令6EIi ，计算各杆端弯矩，计算各杆端弯矩2 , 4 , 3ABBABCMi Mi Mi由结点由结点B B的力矩平衡，可得的力矩平衡，可得110, 437BMkiiiB11r4i3iCA6m3m3m2kN/m16kNB原结构原结构第八章第八章 位移法位移法4 4）计算）计算1PR基本结构在荷载作用下基本结构在荷载作用下计算各杆固端弯矩，作计算各杆固端弯矩，作 图图PM222 661

27、212FFABBAqlMMkN mCA16kNB( (单位：单位：kN.mkN.m) )荷载作用的荷载作用的 图图PM2kN/m61815633 16 6181616FBCplMkN m 由结点由结点B B的力矩平衡，可得的力矩平衡，可得10, 1860BPMRB1PR618112PRkN m5 5）求解）求解1Z11111211.7147PRZkii CA6m3m3m2kN/m16kNB原结构原结构练习：用位移法计算连续梁的内力，练习：用位移法计算连续梁的内力，EI=EI=常数。常数。第八章第八章 位移法位移法（6 6）作）作 图图M11.7142262.57FABABMiZMikN mi

28、利用叠加公式：利用叠加公式： ，计算杆端弯矩。计算杆端弯矩。11PMM ZM11.71444612.86FBABAMiZMiikN m 11.714331812.86FBCBCMiZMiikN m ( (单位：单位：kN.mkN.m) )弯矩图弯矩图CAB2.5717.5712.861.29CA6m3m3m2kN/m16kNB原结构原结构练习：用位移法计算连续梁的内力，练习：用位移法计算连续梁的内力，EI=EI=常数。常数。第八章第八章 位移法位移法一、概念复习：一、概念复习： 1 1附加刚臂：附加刚臂：控制结点转动但不能控制移动的约束，控制结点转动但不能控制移动的约束，只产生反力矩，不产生反

29、力。只产生反力矩，不产生反力。 2 2附加链杆：附加链杆：控制结点移动但不能控制转动的约束，控制结点移动但不能控制转动的约束，只产生集中反力。只产生集中反力。 3 3基本结构：基本结构：人为地增加多余联系，使结构上的每人为地增加多余联系，使结构上的每一根杆，一根杆，都变成都变成“互不相关互不相关”的的单跨超静定梁。单跨超静定梁。 8-4 8-4 位移法的典型方程位移法的典型方程第八章第八章 位移法位移法实现位移状态可分两步完成：实现位移状态可分两步完成：分析：分析：1 1）叠加两步作用效应，）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致及位移特征完全

30、一致，则其内力状态也完全相等；，则其内力状态也完全相等；2 2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束附加约束上的附加内力应等于上的附加内力应等于0 0，按此可列出基本方程。，按此可列出基本方程。1 1）在）在可动结点上附加约束可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上附加约束上产生附加约束力产生附加约束力；2 2）使结构发生与原结构一致）使结构发生与原结构一致的结点位移的结点位移, ,附加约束上产生附加约束上产生附加约束力附加约束力 。132q1PR11R第八章第八章 位移法位移法21R11R10231Z2P

31、R1PRP2l2l0123q01232Z22R12R二、位移法的典型方程二、位移法的典型方程1 1、选择基本体系、选择基本体系2 2、建立基本方程、建立基本方程11112122122200PPRRRRRRRRZ1=1Z2=1k11k21k12k221111221211222200PPkZkZRkZkZRP2l2l0123q第八章第八章 位移法位移法k k1111Z Z1 1+ + k k1212Z Z2 2+ + + + k k1n1nZ Zn n+R+R1P1P=0=0 K K2121Z Z1 1+ + K K2222Z Z2 2 + + + + K K2n2nZ Zn n+R+R2P2P=

32、0=0 k kn1n1Z Z1 1+ + k kn2n2Z Z2 2+ + + + k knnnnZ Zn n+R+RnPnP=0=0 111212122212.nnnnnnkkkkkkkkk具有具有n n个独立结点位移的超静定结构：个独立结点位移的超静定结构：kii主系数；主系数；kij= kji副系数；副系数； RiP自由项。自由项。 第八章第八章 位移法位移法系数系数k kijij表示附加约束表示附加约束j j单独发生单位位移时，在附加约单独发生单位位移时，在附加约束束i处产生的约束反力；处产生的约束反力； R RiPiP表示荷载单独作用于基本结表示荷载单独作用于基本结构时在附加约束构时

33、在附加约束i处产生的约束反力。处产生的约束反力。 系数和自由项的求解：系数和自由项的求解：1 1）根据形常数（表）根据形常数（表8-18-1）分别绘出基本结构在）分别绘出基本结构在Z Z1 1=1=1、Z Z2 2=1=1 时的弯矩图时的弯矩图 图，根据载常数（表图，根据载常数（表8-28-2）绘出在荷载单独作用时的弯矩图绘出在荷载单独作用时的弯矩图 图；图；12,MMPM2 2）根据）根据 及及 图，利用平衡条件求各系数图，利用平衡条件求各系数和自由项。和自由项。PM12,MM第八章第八章 位移法位移法20kN2m012340kN/m40kN/m2m4m014i 126i 233i 20kN

34、012340kN/m40kN/m三、计算示例：三、计算示例：用位移法计算用位移法计算图示刚架图示刚架基本结构基本结构解：解：1 1）确定基本结构）确定基本结构2 2）建立位移法典型方程：）建立位移法典型方程：1111221211222200PPk Zk ZRk Zk ZR3 3）利用形常数、载常数绘出）利用形常数、载常数绘出 图，图， 计算各系数和自由项。计算各系数和自由项。12,PMMM1Z2Z第八章第八章 位移法位移法1816801231M11k21k01232M12k22k9 4661110,18 1634Mk112210,6Mkk 1222k01102123iVl2323239 16i

35、Vl2257 16k三、计算示例：三、计算示例：用位移法计算用位移法计算图示刚架图示刚架11z 11z 21z 21z 20kN2m012340kN/m40kN/m2m4m014i 126i 233i 第八章第八章 位移法位移法80101010110,70PMR 2PR1010V230V210PR 240kN/m40kN/m20kN0131PR2PR三、计算示例：三、计算示例：用位移法计算用位移法计算图示刚架图示刚架2120kN2m012340kN/m40kN/m2m4m014i 126i 233i 第八章第八章 位移法位移法4 4）将各系数代入典型方程：）将各系数代入典型方程：1212346

36、70096571600ZZZZ123.638.93ZZ5 5）按叠加公式绘制弯矩图）按叠加公式绘制弯矩图1212PMM ZMZM1816801231M01232M9 466018 3.63 6 8.93 1034.5MkN m 1016 3.63 6 8.93 10 14.5MkN m 3202.25 8.93020.1MkN m012320.134.514.58010101080101010240kN/m40kN/m20kN0131PR2PR240kN/m40kN/m20kN0131PR2PR40kN/m40kN/m20kN0131PR2PR40kN/m40kN/m20kN0131PR2PR

37、20kN01320kN01320kN0131PR2PR第八章第八章 位移法位移法一、典型方程位移法的解题步骤小结一、典型方程位移法的解题步骤小结1 1确定基本未知量，附加刚臂或附加链杆确定基本未知量，附加刚臂或附加链杆形成基本结构形成基本结构； 2 2根据基本结构，根据基本结构，列列出位移法典型方程；出位移法典型方程；4 4求求系数及自由项。该项可以通过结点和杆段的平衡系数及自由项。该项可以通过结点和杆段的平衡 计算达到目的；计算达到目的；5 5解解典型方程求未知量典型方程求未知量Z Zi i ；6 6利用利用叠加法求杆端弯矩叠加法求杆端弯矩，绘绘制弯矩图最后弯矩制弯矩图最后弯矩7 7利用平衡

38、条件利用平衡条件校核校核内力图。内力图。 1212PMMZMZM3 3根据形常数和载常数画根据形常数和载常数画 图。注意：单图。注意：单位位 基本未知量为正（顺时针）；基本未知量为正（顺时针）；iPMM、8-5 8-5 位移法计算步骤及举例位移法计算步骤及举例第八章第八章 位移法位移法 例例8-18-1：用位移法计算图：用位移法计算图8-19a8-19a所示结构，并绘制内力图所示结构，并绘制内力图解：解：1 1）ABAB段为悬臂端，内力可以直接求出。段为悬臂端，内力可以直接求出。2 2）选择基本结构，）选择基本结构，列位移法方程：列位移法方程：11110Pk ZRBADC2EIEI4m2m6m

39、EF4mEI2EI10kN15kN mBADC2EIEI4m2m6mEF4mEI2EI10kN15kN m20kN m1Z3 3）计算系数和自由项）计算系数和自由项令令EI=6EI=6，可得各杆相对，可得各杆相对线刚度。线刚度。1.5i 3i 2i1.5i 636311Z 11kBADCEF1M作作 图，图，1,PMMBADCEFPM1PR80402010第八章第八章 位移法位移法例例8-18-1：用位移法计算图：用位移法计算图8-19a8-19a所示结构，并绘制内力图所示结构，并绘制内力图由结点平衡得：由结点平衡得：11Z11k66310801PR1115k190PRkN m 代入方程计算得

40、：代入方程计算得：16Z 636311Z 11kBADCEF1MBADCEFPM1PR80402010第八章第八章 位移法位移法例例8-18-1：用位移法计算图：用位移法计算图8-19a8-19a所示结构，并绘制内力图所示结构，并绘制内力图4 4）根据叠加原理作内力图：）根据叠加原理作内力图：11PMM ZM其中：其中：EFBADCM20263628586216Z 由弯矩图绘制剪力图，由弯矩图绘制剪力图，由剪力图绘制轴力图。由剪力图绘制轴力图。636311Z 11kBADCEF1MBADCEFPM1PR80402010第八章第八章 位移法位移法回顾：典型方程位移法的解题步骤回顾：典型方程位移法

41、的解题步骤1 1确定基本未知量，附加刚臂或附加链杆确定基本未知量，附加刚臂或附加链杆形成基本结构形成基本结构； 2 2根据基本结构，根据基本结构，列列出位移法典型方程；出位移法典型方程；4 4求求系数及自由项。该项可以通过结点和杆段的平衡系数及自由项。该项可以通过结点和杆段的平衡 计算达到目的；计算达到目的；5 5解解典型方程求未知量典型方程求未知量Z Zi i ；6 6利用利用叠加法求杆端弯矩叠加法求杆端弯矩，绘绘制最后弯矩图制最后弯矩图; ;7 7利用平衡条件利用平衡条件校核校核内力图。内力图。 1212PMMZMZM3 3根据形常数和载常数画根据形常数和载常数画 图。注意：单图。注意：单

42、位位 基本未知量为正（顺时针）；基本未知量为正（顺时针）；iPMM、第八章第八章 位移法位移法BA2EIEIE4mEI2EI16kN m120kN2m5m2mDPM1M例例8-38-3：用位移法计算图：用位移法计算图8-23a8-23a所示结构，并绘弯矩图所示结构，并绘弯矩图解：解：1 1）选择基本结构）选择基本结构1Z3 3）计算系数和自由项）计算系数和自由项令令EI=4EI=4，可得各杆相对，可得各杆相对线刚度。线刚度。 作作 图，图，12,PMMMC2Z2 2）列位移法方程：）列位移法方程：1.6i 2i 1i 1i 11k21k11Z 1111221211222200PPk Zk ZR

43、k Zk ZR2M22k21Z 12k4.842844284第八章第八章 位移法位移法例例8-38-3：用位移法计算图：用位移法计算图8-23a8-23a所示结构，并绘弯矩图所示结构，并绘弯矩图由结点平衡确定各系数由结点平衡确定各系数和自由项和自由项114.84.8816.8k5060601PR2PR602512124kk228412k110PRkN m 260PRkN mBA2EIEIE4mEI2EI16kN m120kN2m5m2mDPM1M11k21k11Z 2M22k21Z 12k4.842844284第八章第八章 位移法位移法例例8-38-3：用位移法计算图：用位移法计算图8-23a

44、8-23a所示结构，并绘弯矩图所示结构，并绘弯矩图由结点平衡确定各系数由结点平衡确定各系数和自由项和自由项114.84.8816.8k12124kk228412k110PRkN m 260PRkN m代入方程计代入方程计算得：算得：11.94Z 25.65Z 1M11k21k11Z 2M22k21Z 12k4.842844284第八章第八章 位移法位移法例例8-38-3：用位移法计算图：用位移法计算图8-23a8-23a所示结构，并绘弯矩图所示结构，并绘弯矩图11.94Z 25.65Z 4 4）由叠加法绘制弯矩图）由叠加法绘制弯矩图1122PMM ZM ZM4.8 1.945059.3BAMk

45、N m67.1BCMkN m 同理，求得其他各杆端弯矩值后，分杆端按区段叠加法作同理，求得其他各杆端弯矩值后，分杆端按区段叠加法作最后弯矩图即可，图最后弯矩图即可，图f f。1M11k21k11Z2M22k21Z 12k4.842844284PM5060601PR2PR6025BACDEBACDEBACDE第八章第八章 位移法位移法令令EI=6EI=6，2 2）列出位移法基本方程）列出位移法基本方程1111221211222200PPk Zk ZRk Zk ZR2i 1i 1i 1i i 解：解：1 1）选择基本结构，）选择基本结构，CDCD刚度无穷大，则刚度无穷大，则C C、D D点无角位移

46、点无角位移例例8-48-4：用位移法计算图：用位移法计算图8-24a8-24a所示结构，并绘弯矩图所示结构，并绘弯矩图FADCEBFADCEI 2EIEI6m20kN6m6mEIEB8kN m10kNEI2Z1Z第八章第八章 位移法位移法例例8-48-4：用位移法计算图：用位移法计算图8-24a8-24a所示结构，并绘弯矩图所示结构，并绘弯矩图11426k21k11k42211Z FADCEB1M3 3）根据形常数和载常数作基本结构的）根据形常数和载常数作基本结构的 图，图，并求系数和自由项。并求系数和自由项。12,PM M M21kDC0061CAiVl 1211k2i1i1i1iiFADC

47、EB2Z1Z第八章第八章 位移法位移法例例8-48-4：用位移法计算图：用位移法计算图8-24a8-24a所示结构，并绘弯矩图所示结构，并绘弯矩图221 3 1 3 1120.75k22k12kFADCEB2M3 3）根据形常数和载常数作基本结构的）根据形常数和载常数作基本结构的 图，图，并求系数和自由项。并求系数和自由项。12,PM M M21213CAiVl 21Z 110.521213CEiVl23112DFiVl1 31 31 122i1i1i1iiFADCEB2Z1Z22kDC第八章第八章 位移法位移法例例8-48-4：用位移法计算图：用位移法计算图8-24a8-24a所示结构，并绘

48、弯矩图所示结构，并绘弯矩图2i 1i 1i 1i i FADCEB2Z1Z130822PR 2PR1PR3 3）根据形常数和载常数作基本结构的）根据形常数和载常数作基本结构的 图，图，并求系数和自由项。并求系数和自由项。12,PM M M0003030810kN202PRDC20220PR FADCEBPM第八章第八章 位移法位移法例例8-48-4：用位移法计算图：用位移法计算图8-24a8-24a所示结构，并绘弯矩图所示结构，并绘弯矩图121,28ZZ 4 4）代入位移法方程求解得：）代入位移法方程求解得：5 5）叠加法绘弯矩图）叠加法绘弯矩图（图（图8-24f8-24f）1122PMM Z

49、M ZM2i 1i 1i 1i i FADCEB2Z1Z21k11k42211ZFADCEB1M22k12kFADCEB2M21Z 110.52PR1PR3030810kN20FADCEBPM第八章第八章 位移法位移法练习：用位移法计算图示结构，并绘制内力图练习：用位移法计算图示结构，并绘制内力图BADC2EIEIEIEI14m2m4m4m解：解：1 1）选择基本结构）选择基本结构1Z2 2）列出位移法方程）列出位移法方程11110Pk ZR3 3）求系数和自由项。绘制）求系数和自由项。绘制 和和 图图1MPM4i2i110kN m1PR1111ki4i2i11Z 1MPM3i0由由1 1结点

50、平衡，得：结点平衡，得：1110PRkN m 11k第八章第八章 位移法位移法110M30404020204 4）求解方程得：）求解方程得：110Zi5 5）绘制内力图）绘制内力图11PMM ZMBADC4i2i110kN m1PR4i2i11Z 1MPM3i011k第八章第八章 位移法位移法练习：用位移法计算图示刚架的内力。练习：用位移法计算图示刚架的内力。令令EI=6EI=6，2 2）列出位移法基本方程）列出位移法基本方程1111221211222200PPk Zk ZRk Zk ZR1i 1i 1i 1i 2i 解：解：1 1）选择基本结构）选择基本结构BADC2EIEIEIEI16mP