人教版九年级下数学相似三角形的判定课件.ppt

1、 会应用相似三角形的两个判定方法。会应用相似三角形的两个判定方法。 怎样选择合格的判定方法来判定两个怎样选择合格的判定方法来判定两个三角形相似。三角形相似。 抓住判定方法的条件，通过已知条件抓住判定方法的条件，通过已知条件的分析，把握图形的结构特点。的分析，把握图形的结构特点。1、ABCA1B1C1A =A1，B =B1， C =C1，AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k当当时，时，则则ABC 与与A1B1C1 相似，相似，记作记作ABC A1B1C1。 要把表示对应角顶点的要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上。字母写在对应的位置上。注意注意相似三角形

2、相似三角形 对应角相等、对应边成比例的三角形对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。叫做相似三角形。 ABCEDF相似的表示方法相似的表示方法符号：符号： 读作：相似于读作：相似于 相似比相似比AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = k 时，时，ABCA1B1C1则则ABC 与与A1B1C1 的相似比为的相似比为 k .或或A1B1C1 与与ABC 的相似比为的相似比为 .1k 如图，任意画两条直线如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与再画三条与l1、l2相交的平行线相交的平行线l3、l4 、l5.分别度量分别度量l3、l4 、l5 在在l1上截得的

3、两条线段上截得的两条线段AB,BC和在和在l2上截得的两条上截得的两条线段线段DE,EF的长度，的长度， 相等吗？相等吗？ABCDEFl1l2l3l4l5EFDEBCAB与 任意平移任意平移l5，再度量再度量AB,BC，DE,EF的长的长度度. 相等吗？相等吗？EFDEBCAB与 事实上，当事实上，当L3/L4/L5时，都可以得到时，都可以得到 EFDEBCAB与，还可以得到还可以得到: :平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理：,EFDEBCAB,DFDEACAB,DEEFABBC,DFEFACBCDEDFABAC,EFDFBCACABCDEFl1l2l3l4l5 三条平行线截两条直

4、线，所得的对应线段的比三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等相等. 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等边的延长线），所得的对应线段的比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5 已知：已知：DE/BC，且，且D是边是边AB的中点的中点，DE交交AC于于E . 猜想：猜想：ADE与与ABC有什么关系有什么关系?并证明。并证明。ABCDE证明证明:且且 A= A DE / BC1 =B，2 =C ADE与与ABC的对应角相等的对应角相等相似。相似。1 2三角形的中位线截得的三角形与原三角形相

5、似，相似比三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似，相似比 。 四边形四边形DBFE是平行四边形是平行四边形 DE=BF , DB= EF ADE ABCABCDEF过过E作作EF/AB交交BC于于F 又又 DE / BC又又 AD = DB AD = EF A =3， 2 =C ADE EFC DE = FC =BF， ADE与与ABC的对应边成比例的对应边成比例23AE=EC12AEAC12DEBC12ADAEDEABACBC12已知：已知：DE/BC，ADE与与ABC有什么关系有什么关系?猜想：猜想：ADE与与ABC有什么关系有什么关系?相似。相似。ABCDEF当点当点D在在AB上任意一

6、点时，上面的结论还成立吗？上任意一点时，上面的结论还成立吗？12你能证明吗？你能证明吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。相交，所构成的三角形与原三角形相似。知识要点知识要点平行于三角形一边的定理平行于三角形一边的定理ABCDE即：即：在在ABC中，中，如果如果DEBC，那么那么ADEABCA型型 你还能画出其你还能画出其他图形吗？他图形吗？ 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边（或两（或两边的延长线）边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相相交，所构成的三角形与三角形相似。似。DEACB延伸延伸

7、即：即：如果如果DEBC，那么那么ADEABC你能证明吗？你能证明吗？X型型 平行于三角形一边的直线截其它两边，平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的所得的对应线段成比例对应线段成比例。推论推论ABCDE即：即：在在ABC中，中，如果如果DEBC，那么那么,ADAEDEABACBC,ADAEDBEC,DBECADAE,ABACBCADAEDE（上比全，（上比全， 全比上）全比上）（上比下，下比上）（上比下，下比上）（下比全，全比下）（下比全，全比下）DBECABAC，,ABACDBECABCDE相似具有传递性相似具有传递性ADEABCMN 如果再作如果再作 MNDE ，共有多少对相似三角形？

8、，共有多少对相似三角形？AMNADEAMNABC共有三对相似三角形。共有三对相似三角形。定义定义判定方法判定方法全等三角全等三角形形相似三角相似三角形形回顾并思考回顾并思考三角、三边对三角、三边对应相等的两个应相等的两个三角形全等三角形全等三角对应相等三角对应相等, 三三边对应成比例的两边对应成比例的两个三角形相似个三角形相似 角边角角边角ASA角角边角角边AAS边边边边边边SSS边角边边角边SAS斜边与直角边斜边与直角边HL 判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？判定三角形相似，是不是也有这么多种方法呢？边边边边边边SSS已知：已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC111111.A

9、BBCACABBCAC求证：求证：有效利用判定定理一去求证。有效利用判定定理一去求证。探究探究1 证明：在线段证明：在线段 （或它的延长线）上截（或它的延长线）上截取取 ，过点，过点D作作 ，交，交 于点于点E根据前面的定理可得根据前面的定理可得 .11AB1ADAB11DEBC11AC1111ADEABCA1B1C1ABCDE11111111ADAEDEABBCAC1111111,ABBCACADABABBCAC1AEAC,DEBC111ABCABC1ADEABC又又A1B1C1ABCDE111111111,AEDEBCACBCBCACAC（SSS）1111ADEABC 如果两个三角形的三组

10、对应边的比如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。相等，那么这两个三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之一判定三角形相似的定理之一ABCA1B1C1.111111,ABBCACABBCAC即：即：如果如果那么那么A1B1C1ABC 三边对应成比例，两三角形相似。三边对应成比例，两三角形相似。边边边边边边SSSABBCACADDEAE，求证：求证：BAD=CAE。ADCEBABCADEBAC=DAEBACDAC =DAEDAC即即BAD=CAE已知：已知：解：解：ABBCACADDEAE，边角边边角边SAS探究探究2已知：已知：ABCA1B1C1.A1B1C1ABC

11、1111,ABBCkABBC求证：求证：B =B1 .你能证明吗？你能证明吗？ 如果两个三角形的两组对应边的比相如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之二判定三角形相似的定理之二两边对应成比例，且夹角相等，两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。两三角形相似。边角边边角边SASA1B1C1ABCABCA1B1C1.即：即：如果如果1111,ABBCkABBCB =B1 .那么那么 大家一起画一个三角形大家一起画一个三角形 ，三个角分别为，三个角分别为60、45、75，大家

12、画出的三角形相似吗，大家画出的三角形相似吗?同桌的同桌的同学，通过测量对应边的长度进行比较。同学，通过测量对应边的长度进行比较。探究探究3即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_。相似相似一定需要三一定需要三个角吗？个角吗？角边角角边角ASA角角边角角边AAS角角角角AAA1B1C1ABC已知：已知：ABCA1B1C1.求证：求证：A =A1，B =B1 .你能证明吗？你能证明吗？ 如果两个三角形的两个角与另一个如果两个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三

13、角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之三判定三角形相似的定理之三两角对应相等，两三角形相似。两角对应相等，两三角形相似。角角角角AAA1B1C1ABCABCA1B1C1.即：即：如果如果那么那么A =A1，B =B1 . 如果两个三角形有一个内角对应相等，如果两个三角形有一个内角对应相等，那么这两个三角形一定相似吗？那么这两个三角形一定相似吗？一角对应相等的两个三角形不一定相似。一角对应相等的两个三角形不一定相似。ACD CBD ABC找出图中所有的相似三角形。找出图中所有的相似三角形。“双垂直双垂直”三角形三角形BDAC有三对相似三角形

14、：有三对相似三角形：ACD CBDCBD ABCACD ABC常用的成比例的线段：常用的成比例的线段：常用的相等的角：常用的相等的角：A =DCB ；B =ACD2ACAD AB2BCBD AB2CDAD DBAC BCAB CDBDAC例题已知：已知：DEBC，EFAB.求证：求证：ADEEFC. AEFBCD解解: DEBC，EFAB（已知）（已知） ADEBEFC （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）AEDC（两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等） ADEEFC （两个角分别对应相等的两个三角形相似）（两个角分别对应相等的两个三角形相似）相似三角形对应高的比等

15、于相似比相似三角形对应高的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1 又又ADB = A1D1B1 =900 ADB A1D1B1（角角）（角角）1111ADABkADABA1B1C1ABCDD1证明：证明：相似三角形对应角平分线的比等于相似比相似三角形对应角平分线的比等于相似比 ABC A1B1C1 B = B1，BAC = B1A1C1 AD，A1D1分别是分别是BAC和和B1A1C1的角平分线的角平分线 BAD = B1A1D1 ADB A1D1B1（角角）（角角）1111ADABkADABA1B1C1ABCDD1证明：证明：相似三角形对应中线的比等于相似比相似三角形对应中线的比等

16、于相似比A1B1C1ABCDD11111ADABkADAB探究探究4已知：已知：ABCA1B1C1.1111,ABBCkABBC求证：求证：你能证明吗？你能证明吗？HLABCA1B1C1RtABC 和和 RtA1B1C1. 如果一个直角三角形的如果一个直角三角形的斜边斜边和一条和一条直角直角边边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。那么这两个直角三角形相似。知识要点知识要点判定三角形相似的定理之四判定三角形相似的定理之四HLABCABCA1B1C1.即：即：如果如果那么那么A1B1C11111,ABBCkAB

17、BCRtABC 和和 RtA1B1C1.1. 相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法： 通过定义通过定义 平行于三角形一边的直线平行于三角形一边的直线 三边对应成比例三边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等 两角对应相等两角对应相等 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相似）（三边对应成比例，三角相似）（SSS）（AA）（SAS）（HL） 对应角相等。对应角相等。 对应边成比例。对应边成比例。 对应高的比等于相似比。对应高的比等于相似比。 对应中线的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。 对应

18、角平分线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。2. 相似三角形的性质：相似三角形的性质：（1）所有的等腰三角形都相似。）所有的等腰三角形都相似。（2）所有的等腰直角三角形都相似。）所有的等腰直角三角形都相似。（3）所有的等边三角形都相似。）所有的等边三角形都相似。（4）所有的直角三角形都相似。）所有的直角三角形都相似。（5）有一个角是）有一个角是100 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（6）有一个角是）有一个角是70 的两个等腰三角形都相似。的两个等腰三角形都相似。（7）若两个三角形相似比为）若两个三角形相似比为1，则它们必全等。，则它们必全等。（8）相似的两个三角形一定

19、大小不等。）相似的两个三角形一定大小不等。1. 判断下列说法是否正确？并说明理由。判断下列说法是否正确？并说明理由。 2. ADBC于点于点D， CEAB于点于点 E ，且，且交交AD于于F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF503010030303. 下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？ACBA1C1B1DEFABC60相似相似相似相似 4. 过过ABC(CB)的边的边AB上一点上一点D 作一条直线与另一边作一条直线与另一边AC相交，截得的小三角相交，截得的小三角形与形与ABC相似，这样的直线有几条？相似

20、，这样的直线有几条？CD BCADEEBCAD ADE ABC AED ABCA=AAED=CA=AAED=B作作DE，使，使AED=C作作DE，使，使AED=B这样的直线有两条：这样的直线有两条： 5. 已知：如图，已知：如图，ABEF CD，图中共有，图中共有_对对相似三角形。相似三角形。CDABEFO3EOFCOD ABEFAOB FOE ABCDEFCDAOB DOC 6. 如果两个三角形的相似比为如果两个三角形的相似比为1，那么这两个，那么这两个三角形三角形_。 7. 若若ABC与与ABC相似，一组对应边的长相似，一组对应边的长为为AB=3 cm，AB=4 cm，那么，那么ABC与与

21、ABC的相似比是的相似比是_。 8. 若若ABC的三条边长的比为的三条边长的比为3cm、5cm、6cm,与其相似的另一个与其相似的另一个ABC的最小边长为的最小边长为12 cm，那么，那么ABC的最大边长是的最大边长是_。全等全等4324cm 9. 如图，在如图，在ABC中，中，DGEHFIBC， （1）请找出图中所有的相似三角形；）请找出图中所有的相似三角形； （2）如果）如果AD=1，DB=3，那么，那么DG：BC=_。ABCDEFGHIADGAEHAFIABC1:4ADBEC解解: （1） DE BC ADEABCAED =C = 400在在ADE中，中，ADE =180-40-45= 9510. 已知：已知：DEBC，AE=50cm，EC=30cm， BC=70cm，BAC=45，ACB=40 求：（求：（1）AED和和ADE的大小。的大小。 （2）求）求DE的长。的长。).(75.4330507050,.70305050,cmDEDEBCDEACAE所以即（2） ADEABCADBEC