第8章-传递函数矩阵的矩阵分式描述.课件.ppt

1、第第8 8章章 传递函数矩阵的矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述第第8 8章章 传递函数矩阵的矩阵分式描述传递函数矩阵的矩阵分式描述矩阵分式描述矩阵分式描述矩阵分式描述的真性和严真性矩阵分式描述的真性和严真性从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述不可简约矩阵分式描述不可简约矩阵分式描述确定不可简约矩阵分式描述的算法确定不可简约矩阵分式描述的算法规范矩阵分式描述规范矩阵分式描述8.1 矩阵分式描述矩阵分式描述矩阵分式描述矩阵分式描述 （MFD, Matrix Fraction Description）表征线性时不变系统输入输出关系表征线性时不变系统输入输

2、出关系复频域理论复频域理论实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵G(s)表示为两个多项式矩阵之表示为两个多项式矩阵之“比比”)()()()()()()()()(11111111sdsnsdsnsdsnsdsnsGqpqpqqppp维输入和维输入和q维输出的连续线性时不变系统维输出的连续线性时不变系统传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)为为qp有理分式矩有理分式矩阵阵传递函数矩阵传递函数矩阵右右MFD右矩阵分式描述：右矩阵分式描述： G(s) = Nr(s)Dr-1(s)Dr(s)右分母矩阵：右分母矩阵： pp 阶方阵阶方阵Nr(s)右分子矩阵：右分子矩

3、阵： qp 阶矩阵阶矩阵323222121313212111232322222121131312121111ccccccdndndndndndndndndndndndn其中其中dci是是G(s)中第中第i列元素的最小公分母列元素的最小公分母1321232221131211000000cccdddnnnnnn)()(1sDsNrr左左MFD 左矩阵分式描述：左矩阵分式描述： G(s) = Dl-1(s) Nl(s)Dl(s)左分母矩阵：左分母矩阵： qq 阶方阵阶方阵Nl(s)左分子矩阵：左分子矩阵： qp 阶矩阵阶矩阵22322222111311211123232222212113131212

4、1111rrrrrrdndndndndndndndndndndndn其中其中dri是是G(s)中第中第i行元素的最小公分母。行元素的最小公分母。23222113121112100nnnnnnddrr)()(1sNsDll1221)2)(1()4)(3()3)(2()2()3()3)(2)(1()1()4)(1(1)()()(ssssssssssssssssssDsNsGrrG(s) 的右的右MFDG(s)各各列列的最小公分母如下：的最小公分母如下：dc1(s) = (s+2)(s+3)2 dc2(s) = (s+3)(s+4) dc3(s) = (s+1)(s+2) 1433)1(231)3)

5、(2(1)(2ssssssssssssssG传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)为为)4)(3()3)(1()4()1()3()3)(2)(1(1)4)(3)(1()3)(2()()()(222121sssssssssssssssssssNsDsGllG(s)的左的左MFDG(s)各各行行的最小公分母如下：的最小公分母如下：dr1(s) = (s+2)(s+3)2 dr2(s) = (s+1)(s+3)(s+4) 1433)1(231)3)(2(1)(2ssssssssssssssG传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)为为(1) MFD的实质的实质 SISO线性时不变系统的传递函数的分式化表示线性时不

6、变系统的传递函数的分式化表示)()()()()()()(11snsdsdsnsdsnsgMIMO线性时不变系统的传递函数矩阵的线性时不变系统的传递函数矩阵的MFD G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = Dl-1(s)Nl(s)Dr(s)、Dl(s)为为G(s)的分母矩阵的分母矩阵Nr(s)、Nl(s)为为G(s)的分子矩阵的分子矩阵MFD的特性的特性(2) MFD的次数的次数 对传递函数矩阵对传递函数矩阵G(s)的一个右的一个右MFD，规定，规定 Nr(s)Dr-1(s) 的次数的次数 = deg det Dr(s) 对传递函数矩阵对传递函数矩阵G(s)的一个左的一个左MFD，规定，规定

7、 Dl-1(s)Nl(s) 的次数的次数 = deg det Dl(s) 注：对于同一个注：对于同一个G(s)，其右，其右MFD的次数和左的次数和左MFD的次数的次数一般一般不相等不相等。“分母矩阵分母矩阵”的行列式的次数的行列式的次数 (3) MFD的不惟一性的不惟一性对传递函数矩阵对传递函数矩阵G(s)，其右，其右MFD和左和左MFD 不惟一，且不同的不惟一，且不同的MFD可能具有不同的次数。可能具有不同的次数。22222)2()2()2()2() 1()(ssssssssssG1222122122221112)2()2() 1(00)()()()2(00)2() 1() 1()()()(

8、ssssssssDsNsGsssssssssDsNsGrrrr例例.传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)为为解：解： G(s)的两个的两个MFD为为deg detD1r(s) = 6deg detD2r(s) = 5次数是不等次数是不等.)()()()()(),()()(,)()()(111MFDsGsWsDsWsNsDsNsGMFDsGsDsN的一个右也是则即的一个右为若(4)最小阶最小阶MFDG(s) = Dl-1(s)Nl(s)为最小阶左为最小阶左MFDG(s) = Nr(s)Dr-1(s)为最小阶右为最小阶右MFDdeg det Dr(s)最小最小deg det Dl(s) 最小最小注意：

9、注意：n 最小阶最小阶MFD也不唯一也不唯一n 通常称最小阶通常称最小阶MFD为不可简约为不可简约MFD(5) MFD的基本特性的基本特性n 真性严真性真性严真性n 不可简约性不可简约性8.2 矩阵分式描述的真性和严真矩阵分式描述的真性和严真性性)()()()()()()()()(11111111sdsnsdsnsdsnsdsnsGqpqpqqppp维输入和维输入和q维输出的连续线性时不变系统维输出的连续线性时不变系统传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)为为qp有理分式矩有理分式矩阵阵严格真有理矩阵严格真有理矩阵有理矩阵有理矩阵 G(s) 满足满足 G() = 0真有理矩阵真有理矩阵有理矩阵有理矩

10、阵 G(s) 满足满足 G() = G0 (非零常数非零常数)定义定义1严格真有理矩阵严格真有理矩阵真有理矩阵真有理矩阵)()()()()()()()()(11111111sdsnsdsnsdsnsdsnsGqpqpqqpp对对i=1,2,q, j=1,2,p, G(s)满足满足 degnij(s) degdij(s)对对i=1,2,q, j=1,2,p, 至少存在一个至少存在一个G(s)元满足元满足 degn(s) = degd(s)其余元满足其余元满足 degnij(s) degdij(s)定义定义2设设G(s) 是是 rm 阶真性阶真性(严真性严真性)有理矩阵，有理矩阵， G(s) =

11、Nr(s)Dr-1(s) = Dl-1(s)Nl(s)，则，则risDsNsDsNmjsDsNsDsNlrilrilrilrircjrcjrcjrcj, 2 , 1)()()()(, 2 , 1)()()()(和242120)(,1624737412)(223222sssssssDsssssssssNrr例：真有理矩阵例：真有理矩阵G(s) = Nr(s)Dr-1(s)，其多项式矩阵，其多项式矩阵Nr(s) 、Dr(s)如下如下 从两个多项式矩阵可知，从两个多项式矩阵可知， c1Nr(s) = 2 c1Dr(s) = 2 c2Nr(s) = 2 c2Dr(s) = 3 注意注意：上述定理的逆命

12、题并不成立，下面是一个说明这个：上述定理的逆命题并不成立，下面是一个说明这个问题的实例。问题的实例。判别准则判别准则- 分母矩阵为既约的情况分母矩阵为既约的情况 例：矩阵例：矩阵 G(s) = Nr(s)Dr-1(s)，多项式矩阵，多项式矩阵Nr(s) 、Dr(s)如下如下111)(,21)(2ssssDsNrr 解解 由两个多项式矩阵可知，由两个多项式矩阵可知， cjNr(s) cjDr(s) ， j =1, 2但是，但是，G(s) = Nr(s)Dr-1(s) = -2s1 2s2-s+1 却却是多项式矩阵是多项式矩阵，既不是真有理矩阵，更不是严格真有理矩阵。既不是真有理矩阵，更不是严格真

13、有理矩阵。设设Nr(s)和和Dr(s) 是是rm和和 mm 阶多项式矩阵，且阶多项式矩阵，且Dr(s) 是列既约的是列既约的，则有，则有理矩阵理矩阵 Nr(s)Dr-1(s)是真性是真性(严真性严真性)有理矩阵的充要条件是有理矩阵的充要条件是mjsDsNsDsNrcjrcjrcjrcj, 2 , 1)()()()(判别准则判别准则- 分母矩阵为非既约的情况分母矩阵为非既约的情况每一个非奇异多项式方阵每一个非奇异多项式方阵M(s)都可以通过单模矩阵都可以通过单模矩阵Ur(s)或或Ul(s)将其变换成列既约矩阵将其变换成列既约矩阵M(s)Ur(s)或行既约矩阵或行既约矩阵Ul(s)M(s)。8.4

14、 不可简约矩阵分式描述不可简约矩阵分式描述最小阶最小阶MFD（祥见上一章）（祥见上一章） 定理定理7-4 (多项式矩阵除法定理多项式矩阵除法定理)设设Nr(s)和和Dr(s)是两个是两个rm和和mm阶多项阶多项式矩阵，且式矩阵，且Dr(s)非奇异非奇异，则存在唯一的，则存在唯一的rm阶多项式矩阵阶多项式矩阵Qr(s)和和R(s)使得使得 Nr(s) = Qr(s)Dr(s) + R(s) (7-31)且且 R(s)Dr-1(s) 是严真性有理矩阵，或者说在是严真性有理矩阵，或者说在Dr(s)为列既约条件下为列既约条件下 cj R(s) cj Dr(s), j=1,2,m (7-32) 定理定理

15、7-4的对偶定理的对偶定理 设设Nl(s)和和Dl(s)是两个是两个rm和和rr阶多项式矩阵，且阶多项式矩阵，且Dl(s)非奇异非奇异，则存在唯一的，则存在唯一的 rm 阶多项式矩阵阶多项式矩阵Ql(s)和和L(s)使得使得 Nl(s) = Dl(s)Ql(s) + L(s) (7-33)且且 Dl-1(s)L(s) 是严真性有理矩阵，或者说在是严真性有理矩阵，或者说在Dl(s)是行既约的条件下，有是行既约的条件下，有 ri L(s) deg dij(s)，j=1, 2, , i-1。 当当dii(s) = 1，满足关系式，满足关系式 dij(s) = 0，j=1, 2, , i-1 。则称则

16、称Nrh(s)Drh-1(s)为为G(s)的列的列Hermite型型MFD。)407()()()()()()()(21222111sdsdsdsdsdsdsDpppprh 定义定义7-2 行行Hermite型型MFD 对于对于qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)的左的左MFD，G(s) = Dlh-1(s)Nlh(s) ， 如果如果qq分母矩阵分母矩阵Dlh(s)具有行具有行Hermite型：型：其中，其中， 对角元对角元dii(s)为首为首1多项式，多项式，i = 1, 2, , q。 当当dii(s)为含为含s多项式，满足关系式多项式，满足关系式deg dii(s)deg dji(s)，j

17、=1, 2, , i-1。 当当dii(s) = 1，满足关系式，满足关系式 dji(s) = 0，j=1, 2, , i-1 。则称则称Nrh(s)Drh-1(s)为为G(s)的列的列Hermite型型MFD。)417()()()()()()()(22211211sdsdsdsdsdsdsDqqqqlh Hermite型型MFD的惟一性的惟一性 对对qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右，其所有不可简约右MFD均具有相同均具有相同列列Hermite型型MFD Nrh(s)Drh-1(s)，其所有不可简约左，其所有不可简约左MFD均具有相同均具有相同行行Hermite型型MFD

18、 Nlh(s)Dlh-1(s)。 证明证明 略。略。 2 Popov型型MFD 对对qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)，给出，给出Popov型右型右MFD和和Popov型左型左MFD的定的定义。义。 定义定义7-3 Popov型型MFD 对于对于qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)的的MFD，G(s) = NrE(s)DrE-1(s) = DlE-1(s)NlE(s) 。如果。如果pp分母矩阵分母矩阵DrE(s)具有具有Popov型，则称型，则称NrE(s)DrE-1(s)为为G(s)的的Popov型右型右MFD；如果；如果qq分母矩阵分母矩阵DlE(s)具有具有Popov型，则称型，则称N

19、lE(s)DlE-1(s)为为G(s)的的Popov型左型左MFD 。 Popov型型MFD的惟一性的惟一性 对对qp传递函数矩阵传递函数矩阵G(s)，其所有不可简约右，其所有不可简约右MFD均具有相同均具有相同Popov型型右右MFD NrE(s)DrE-1(s)，其所有不可简约左，其所有不可简约左MFD均具有相同均具有相同Popov型左型左MFD NlE(s)DlE-1(s)。 证明证明 略。略。 在在 中中,若若N(s),D(s)是右互质的是右互质的,则则它是最小阶的它是最小阶的.反之亦成立反之亦成立. 若若N(s),D(s)非互质非互质,消去最大公因子消去最大公因子,可得最小阶可得最小

20、阶MFD.对对N(s),D(s)已互质的最小阶已互质的最小阶MFD,最大公因子是单模阵最大公因子是单模阵,其行列式为非零常数其行列式为非零常数,不影响不影响G(s)的阶次的阶次. 也是最也是最小阶的小阶的,故最小阶故最小阶MFD也不唯一也不唯一,但次数不变但次数不变. 对互质的对互质的MFD(也称为不可简约分式描述也称为不可简约分式描述)最感兴趣最感兴趣.要要着重研究着重研究. 只有正则的只有正则的G(s)是物理可实现的是物理可实现的,因而着重研究正则有因而着重研究正则有理矩阵理矩阵G(s)的不可简约矩阵分工描述的不可简约矩阵分工描述. 对非正则的情形对非正则的情形,即即)()()(1sDsN

21、sG)()()()()()(1单模sUsUsDsUsNsG多项式矩阵严格正则总有类似于非正则)()()()()()(,)()()(111sQsDsRsDsNsGSISOsDsNsG 二二.不可简约矩阵分式描述不可简约矩阵分式描述G(s)的右互质和左互质的右互质和左互质MFD,统称为统称为G(s)的不可简约的不可简约MFD.1. 性质性质(1)不可简约不可简约MFD不唯一。所有左（或右）不可简约不唯一。所有左（或右）不可简约MFD之间通过单模矩阵联系。在这个意义上，亦称其为广之间通过单模矩阵联系。在这个意义上，亦称其为广义唯一的。义唯一的。 .)()()()()()()()()()()()(:2

22、121122111为单模矩阵则不可简约设即sUsUsNsNsUsDsDsDsNsDsNsG.)(.)(,)(),(,.)()()()()()()()()()()()()(),()()()()()()(,)(),(.)(),(.)(),()()()()()()()()()()(:111111111121122222111211221122111是单模矩阵故为多项式矩阵可得右互质由同理是多项式矩阵代入将有由贝佐特等式判据右互质已知都是多项式矩阵即证为单模矩阵只要证设证明sUsUsDsNsNsYsDsXsUIsUsNsYsDsXsUsNsNsUsDsDIsNsYsDsXsDsNsUsUsUsUsDs

23、DsDsDsNsNsDsNsDsN(2)所有的可简约所有的可简约MFD,如如 都可通过不可简都可通过不可简约的约的MFD如如 得到。即总有多项式矩阵得到。即总有多项式矩阵T(s)（不是单模矩阵）（不是单模矩阵）,使使 说明：说明： 可简约，其最大公因子可简约，其最大公因子R(s)不是单模矩阵，但非奇。提出并约去不是单模矩阵，但非奇。提出并约去R(s)，可得一互，可得一互质的，即不可简约的质的，即不可简约的MFD。这样得到的不可简约的。这样得到的不可简约的MFD很可能不同于给定的很可能不同于给定的 ，但其只差一，但其只差一个单模矩阵个单模矩阵U(s)，由此单模矩阵和，由此单模矩阵和R(s)即可构

24、造出即可构造出T(s)=U(s)R(s).(3)所有的不可简约所有的不可简约MFD，)()(1sDsN)()(1sDsN)()()()()()(sTsDsDsTsNsN)()(1sDsN)()(1sDsN具有相同的不变多项式分母不变多项式相同形具有相同的分子, 2 , 1),()(, 2 , 1),(, 2 , 1),()()(1isDSmithisNisDsNsGiiii说明：说明：前面讨论的是右前面讨论的是右MFD，对左，对左MFD有相似的结论，形式上有相似的结论，形式上对偶。对偶。也可照书可按相同的方法证对形相同所以.)()()()()()()()()()()()()()()(111sD

25、smithsVsNsUsVsUsNsUsVsNsUssUsNsNjjjjjj2. 求不可简约矩阵分式描述求不可简约矩阵分式描述算法算法1：由一个可简约的：由一个可简约的MFD 求不可简约的求不可简约的MFD.)()()(,.)(),()()()(),()()()()()(),()()(,)(,0)()()()(,)(),(,)()()(1111MFDsDsNsGsDsNsRsDsDsRsNsNsRsDsDsRsNsNgcrdsRsRsDsNsUgcrdsDsNMFDsDsNsG就是一个不可简约由此一定是右互质的故有的定义由但非奇异非单模可用构造定理求出其非右互质为任一可简约的设算法算法2：由一

26、个可简约的：由一个可简约的MFD 求不可简约的求不可简约的MFD.)()()()()()(),()()()()()()(0)()()()()(0)()(0)()()()(,)(,0)()()()(,)(),(),()()(11121211121112221121111MFDsVsVsGsRsVsNsRsVsDsRsVsRsVsRsVsVsVsVsRsVsRsUsNsDsRsRsNsDsUsDsNsDsNsG是一个不可简约的右故有但非奇异非单模非右互质设算法算法3：由一个可简约的：由一个可简约的右右MFD 求不可求不可简约的简约的左左MFD)()(1sDsN.),()()(),()()()(:2

27、)()()()(),(0)()()()(:11111MFDsBsAsGsBsAsBsAstepsBsAsGsBsAsNsDsAsBstep即左不可简约得再求左互质由求出多项项矩阵解由矩阵方程3. 规范形规范形MFD史密斯史密斯-麦克米伦标准形麦克米伦标准形形态特征：将多项式矩阵的形态特征：将多项式矩阵的smith形推广应用到有理分式矩阵形推广应用到有理分式矩阵G(s) 得到得到Smith-McMillan形形00)()(0)()()()()()(11sssssMsVsGsUrr左上角为左上角为r*r对角阵，余为对角阵，余为0，且，且 互质。互质。 )()(ssii2)(| )(1)()(00)

28、(0)()(1)()()()()()()(1)()()(| )(),(| )(1111特征由特征的公因子消掉初等变换列通过行形化为再将可表为sssdssssdsVsGsUsmithsNsNsdsGsGssssiiiriiii几点讨论：几点讨论：（1）Smith-Mcmillan形对给定的形对给定的G(s)唯一，但唯一，但U(s),V(s)不唯一不唯一。（2）若）若G(s)为方阵，且非奇异，则为方阵，且非奇异，则（3）M(s)可表为可表为 riiisssG1)()()(det)(11)(11)()(00)(0)()(srsrIsssssM.)(),(,)(),()(),()()()()()()()()()()()()()()()(0)()(,0)()()()()(),(,?,.)()()(,)(),()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(11111111111111右互质单模的最大公因子也是故单模右互质由互质性的秩判据为何互质无疑是的不可简约是必为右互质sDsNsRsRsDsNsNsDsUssUssVsUsssUsVsUsVsUsRsRsRsssUssMFDMFDsGsDsNsDsNsDsNssVssUsVsssUsVsMsUsGsssMsVsGsU