数值分析中的(插值法)课件.ppt

1、理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.1数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编8 8 三次样条插值三次样条插值2 2 Lagrange插值插值1 1 引言引言7 7 分段低次插值分段低次插值6 6 Hermite插值插值5 5 差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式4 4 均差与均差与Newton插值公式插值公式3 3 逐次线性插值法逐次线性插值法( (自学自学) )9 9 评述评述第二章第二章 插插 值值 法法理理 学学 院院Anhui Universi

2、ty of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.2数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编上的函数值，即已知函数表上的函数值，即已知函数表 例：例：设在实际问题中，某些变量之间的函设在实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示，只数关系是存在的，但通常不能用式子表示，只能由实验、观测得到能由实验、观测得到 yf x 在一系列离散点在一系列离散点xy0 xnx1x0y1y ijxxij,ny第一节第一节 引引 言言一、一个实例一、一个实例 fx那么如何计算那么如何计算 ？ 01ixx in, ,

3、理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.3数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 设设 y= f(x) 是区间是区间a , b 上的一个实函数上的一个实函数, , xi ( i=0, 1, . ,n)是是a,b上上n+1个互异实数个互异实数, ,称为称为节点节点。已知已知 y=f(x) 在点在点xi 的值的值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), , 求一求一简单函数简单函数P(x)，满足满足 P(xi)=yi (i=0,1, ., n) ( 2.11 )二

4、、插值问题的一般性提法二、插值问题的一般性提法 即简单函数即简单函数P(x)的曲线要经过的曲线要经过 上已知上已知的的n+ +1 1个点个点( )yf x 0011nnx yx yx y,理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.4数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编同时在其它点同时在其它点 上估计误差为上估计误差为 ,xa b ( )( )( )R xf xP xY( )p x( )f x0 x1x1nxnx2x0y1y2y1nynyXx理理 学学 院院Anhu

5、i University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.5数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 若若p( (x) )是次数不超过是次数不超过n的代数多项式的代数多项式, ,即即 （2.12.12 2）则称则称p( (x) )为插值多项式，相应的插值法称为为插值多项式，相应的插值法称为多项式多项式插值插值。若。若p( (x) )为分段多项式，就是分段插值。若为分段多项式，就是分段插值。若p( (x) )为三角多项式，就是三角插值为三角多项式，就是三角插值, ,还有有理插值还有有理插值等。本章主要讨论多项

6、式插值与分段插值。等。本章主要讨论多项式插值与分段插值。nnnxaxaxaaxp.)(2210 注：插值法还有其他许多用途，如函数的近似表注：插值法还有其他许多用途，如函数的近似表示；曲线曲面拟合；导出其它数值方法的依据（导出示；曲线曲面拟合；导出其它数值方法的依据（导出数值积分、数值微分、微分方程数值解）等。数值积分、数值微分、微分方程数值解）等。理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.6数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编若满足条件的若满足条件的 存在，又如

7、何构造？存在，又如何构造？ nPx三、多项式插值问题中需要研究的问题三、多项式插值问题中需要研究的问题 nPx满足插值条件的多项式满足插值条件的多项式 是否存在？唯一？是否存在？唯一？ nPx fx用用 近似代替近似代替 的误差估计？的误差估计？理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.7数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 定理定理1 1 设节点设节点xi (i=0,1, ,n)互异互异, 则则满足插满足插值条件值条件Pn(xi)=yi 的次数不超过的次数不超过

8、n的多项式存在且唯的多项式存在且唯一。一。下面先研究第一个问题下面先研究第一个问题 定理定理1 1不仅解决了问题不仅解决了问题1 1，其证明过程也给出了，其证明过程也给出了问题问题2 2求插值多项式的一种方法。但一般不用求插值多项式的一种方法。但一般不用这种方法，因为范得蒙矩阵一般是病态的。即使求这种方法，因为范得蒙矩阵一般是病态的。即使求解过程是精确的，多项式求值的误差也是解过程是精确的，多项式求值的误差也是可观的。可观的。理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.

9、8数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编v 拉格朗日插值多项式的优缺点拉格朗日插值多项式的优缺点v 截断误差截断误差v 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式v 数值实例数值实例第二节第二节 拉格朗日插值拉格朗日插值理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.9数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 一、拉格朗日插值多项式一、拉格朗日插值多项式 其中其中 01010110( ),( ).xxxxlxlxxxxx 1. 1.两个互异节点两个互异节点( (x0 0, ,y

10、0 0),(),(x1 1, ,y1 1) )1100101001011)()()(yxlyxlyxxxxyxxxxyxL1100)(1001)(10iixliixlii且满足：且满足：理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.10数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编021201010210120122021()()()()(),(),()()()()()()().()()xxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxxxxlxxxxx 2.2.三个节点三个节点( (

11、x0 0, ,y0 0),(),(x1 1, ,y1 1) )，( (x3 3, ,y3 3) )2211002)()()()(yxlyxlyxlxL其中：其中：021201010210120122021()()()()(),(),()()()()()()().()()xxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxxxxlxxxxx 021201010210120122021()()()()(),(),()()()()()()().()()xxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxxxxlxxxxx 令令jijixlji01)(满足：满足：理理 学学 院院Anhui University of S

12、cience and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.11数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 3. 3.有有n+1+1个互异节点个互异节点( (x0 0, ,y0 0),(),(x1 1, ,y1 1) ) ( (xn n, ,yn n) ), 0()()()(0nixxxxxlnikkkiki显然：显然：jijixlji01)(设：设： 我们称我们称n次多项式次多项式Ln(x)为为拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式，Li i( (x) )为为插值基函数。插值基函数。显然满足显然满足()(0,1, )njjLxyjn 0( )(

13、 )nni iiL xy l x (2.2(2.21)1)取取插值条件插值条件理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.12数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 注：注：（1 1） 插值基函数插值基函数l i(x) (i=0,1, ,n)仅由插值节仅由插值节点点xi (i=0,1, ,n)确定确定, ,与被插函数与被插函数 f(x)无关无关. . （3 3）对于插值节点）对于插值节点, ,只要求它们互异只要求它们互异, ,与大小次与大小次序无关。序无关。1)(0

14、niixl （2 2）以）以 xi (i=0,1,n)为插值节点为插值节点, , 函数函数 f(x) 1作插值多项式作插值多项式, , 则由插值多项式的唯一性立即得到则由插值多项式的唯一性立即得到基函数的一个性质基函数的一个性质理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.13数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHY

15、SICS2.14数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 关于截断误差关于截断误差Rn(x)=f (x) -Ln(x)有下面定理有下面定理。 定理定理2 2 设设f (x)在区间在区间a ,b上存在上存在n+1 阶导数阶导数, xi a, b (i=0,1, , n) 为为n+1个互异节点个互异节点, 则对任何则对任何x a ,b, , 有有(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn ( , )a b 且与且与x 有关有关) )()(n0i1inxxx 其中其中二、截断误差（插值余项）二、截断误差（插值余项）理理 学学 院院Anhui University

16、of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.15数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 证证 由插值条件和由插值条件和 n+1(x) 的定义的定义, 当当x=xk 时时, 式式子显然成立。且子显然成立。且x0 , x1, , xn 都是函数都是函数 n+1(x) 的零点的零点, 也是也是Rn(x)的零点，从而的零点，从而 Rn(x) 可表示为可表示为 1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 其中其中K(x)是待定函数是待定函数。1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt 对于任意

17、固定的对于任意固定的x a,b, x xk ,构造自变量构造自变量t 的辅助的辅助函数函数理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.16数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 由式由式 n+1(xk)=0 和式和式 Ln(xk)=yk( k=0,1,n ), ,以及以及1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 可知：可知：x0 , x1, , xn和和x是是 (t) 在区间在区间a,b上的上的n+2个个互异零点互异零点, 因此根据罗尔因此根据罗尔

18、(Rolle)定理定理, 至少存在一点至少存在一点 = (x) (a,b), ,使使 (1)( )0n (1)( )( )(1)!nfK xn 即即(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 所以所以理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.17数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 niinnnxxnfxLxfxR0) 1()()!1()()()()( 注注： 1.1.余项表达式只有在高阶导数存在时才能使用。余项表达式只有在高阶

19、导数存在时才能使用。2.2.在（在（a，b）内的具体位置通常不能给出。）内的具体位置通常不能给出。3.3.一般说来，外插比内插效果差。一般说来，外插比内插效果差。niibxanbxanxxnxfxR0)1()(max)!1()(max)(4.4.理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.18数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 例例 已知已知 sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274, , 用用Lagr

20、ange插值计算插值计算sin0.3367的值，并估计截断误差。的值，并估计截断误差。解：解：f ( (x)= )= sinx , ,取取 1202102012010210122120 x x x xx x x xx x x xP xyyyx x x xx x x xx x x x 0011220 32 0 3145670 34 0 3334870 36 0 352274,., .,., .,., .x yx yx y三、数值实例三、数值实例理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS P

21、HYSICS2.19数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 于是有于是有 44407689 1003367031456700008389 1005511 1003334870352274000040000803303742.sin0.3367P. 可以发现，结果与有六位有效数字的可以发现，结果与有六位有效数字的sin x表完全一致。表完全一致。理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.20数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 截断误差为截断误差为其中其中 故有故

22、有 32012013,! fRxxxxxxxxx x 3201 03145670828coscos. fx01, xx72210772. 10233. 00033. 00167. 0828. 061)3367. 0(3367. 0sin)3367. 0(PR理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.21数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 0011220 32 0 3145670 34 0 3334870 36 0 352274,., .,., .,., .x y

23、x yx y记记插值点插值点sin0.3367实际误差实际误差备注备注(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)0.3303740.000000内插比外插内插比外插效果好效果好 Matlab eg2_1(x0,y0), (x1,y1)0.3303650.000009 (x1,y1), (x2,y2)0.3303870.0000133367. 0 x理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.22数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编四、四、Lagrange插值

24、公式优缺点插值公式优缺点n优点：结构清晰、紧凑，适用于作理论分优点：结构清晰、紧凑，适用于作理论分 析；析；n缺点：当节点个数有所变动，整个插值公缺点：当节点个数有所变动，整个插值公式发生变化，在实际应用时不方便。式发生变化，在实际应用时不方便。理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.23数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编第四节均差与牛顿插值公式第四节均差与牛顿插值公式 差商及其基本性质差商及其基本性质 牛顿插值多项式牛顿插值多项式 牛顿插值多项式与牛顿插值多

25、项式与拉格朗日插值多项式的比较拉格朗日插值多项式的比较 数值实例数值实例理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.24数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一、差商及其基本性质一、差商及其基本性质英英1642-1727 定义定义1 称称101010)()(,xxxfxfxxf 为为 f (x)在在x0、x1点的一阶差商点的一阶差商.一阶差商的差商一阶差商的差商202110210,xxxxfxxfxxxf 称为函数称为函数f (x)在在x0、x1 、x2 点的二阶差商

26、。点的二阶差商。理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.25数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一般地，一般地，n-1阶差商的差商阶差商的差商nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf 01112010, 称为称为f (x)在在x0 , x1 , , xn点的点的 n 阶差商。阶差商。差商的计算步骤与结果可列成差商表如下差商的计算步骤与结果可列成差商表如下:理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPA

27、RTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.26数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编xkf(xi)一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商. x0 x1 x2 x3 . f (x0) f (x1) f (x2) f (x3) . f x0 , x1 f x1 , x2 f x2 , x3 . f x0, x1, x2 f x1, x2, x3 . f x0, x1, x2 , x3 .表表41理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.27

28、数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编这一性质表明差商与节点的排列次序无关，即这一性质表明差商与节点的排列次序无关，即 fx0 , x1 , x2 , ., xn= fx1 , x0 , x2 , ., xn= = fx1 , x2 , ., xn , x0 称之为差商的对称性。称之为差商的对称性。 nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)()()()(,性质性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即差商可以表示为函数值的线性组合，即 nkknkxxf01)()( 理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDE

29、PARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.28数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编性质性质2 若若f(x)在在a,b上存在上存在n阶导数阶导数, 且节点且节点x0 , x1 , xn a,b ,则至少存在一点则至少存在一点 a, b 满足下式满足下式!)(,)(10nfxxxfnn 例例1 f (x)=- -6x8+7x5- -10, 求求f 1,2, ,9及及f 1,2, ,10. 解解 f (8)(x)=- -68 !, f 1,2, ,9=- -6， f (9)(x)=0, f 1,2, ,10=0.理理 学学 院院Anhui University of Sc

30、ience and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.29数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编二、牛顿插值多项式二、牛顿插值多项式设设x是是a，b上一点，由各阶差商定义得上一点，由各阶差商定义得)(,)()(000 xxxxfxfxf )(,110100 xxxxxfxxfxxf 01010 , ,()nnnnf x xxf xxxf x xxxx )(,221021010 xxxxxxfxxxfxxxf 000)()(,xxxfxfxxf110010,xxxxfxxfxxxf理理 学学 院院Anhui University of S

31、cience and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.30数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编依次把后式代入前式，最后得依次把后式代入前式，最后得 其中：最后一项中其中：最后一项中, , 差商部分含有差商部分含有x, ,为余项部为余项部分分, ,记作记作Rn( (x) )；而前；而前n+1+1项中项中, , 差商部分都不含有差商部分都不含有x , ,因而前因而前n+1+1项是关于项是关于x 的的n次多项式次多项式, ,记作记作Nn( (x) )。)(,)()(,)(,)(,)()(101010102100100 xxxxfxxxxx

32、xxfxxxxxxxfxxxxfxfxfnnnn理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.31数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 可见可见, Nn(x)为次数不超过为次数不超过n 的多项式的多项式,且易知且易知 Rn(xi)= 0 即即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, ,n) 满足插值条件满足插值条件, 称称Nn( (x) )为为牛顿均差插值多项式牛顿均差插值多项式。由插值多项式的唯一性知由插值多项式的唯一性知: :Ln(x) Nn(x)( )( )(

33、 )nnf xN xR x 001001201001( )( ) ,() ,()() ,()()nnnN xf xf x xx xf x x xx xx xf xxx xx x 001( ) ,()()()nnnRxf x xxxxxxxx即：即：理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.32数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编余项公式余项公式)()(,)(010nnnxxxxxxxxfxR 1. 牛顿插值多项式的递推形式牛顿插值多项式的递推形式)()(,)()(

34、1001 nnnnxxxxxxfxNxN注注：2. 牛顿插值多项式可记为牛顿插值多项式可记为)(,)(,)()()(1021010 xxxfxxxfxxfxNnnn其中其中1)(1x理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.33数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.34数值分析第二章插值法李庆扬王能

35、超易大义编三、拉格朗日插值与牛顿插值的比较三、拉格朗日插值与牛顿插值的比较 （1 1）与）与 均是均是n次多项式次多项式, ,且均满足插且均满足插值条件值条件: :由插值多项式的唯一性由插值多项式的唯一性, , ,因而两因而两个公式的余项是相等的个公式的余项是相等的, ,即即( )nL x( )nN x( )( )( ), 0,1,nknkkL xN xf xkn( )( )nnL xN x)()!1()()(,1)1(110 xnfxxxxxfnnnn理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMA

36、TICS PHYSICS2.35数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编则可知则可知n 阶差商与导数的关系如下（性质阶差商与导数的关系如下（性质2 2）：）：( )01( ), , !nnff x xxa bn（2 2）当插值多项式从）当插值多项式从 n-1 -1 次增加到次增加到n 次时次时, ,拉格朗日型插值必须重新计算所有的所有的插值基拉格朗日型插值必须重新计算所有的所有的插值基函数函数; ;而对于牛顿型插值而对于牛顿型插值, ,只需用表格再计算一个只需用表格再计算一个n阶差商阶差商, ,然后加上一项即可。节省计算量，便于编程。然后加上一项即可。节省计算量，便于编程。（3 3）牛顿型插值

37、余项公式对是由离散点给出）牛顿型插值余项公式对是由离散点给出或导数不存在时均适用。因此更具一般性。或导数不存在时均适用。因此更具一般性。理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.36数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编五、数值实例五、数值实例 例例1 1 根据下表建立不超过三次的拉格朗日根据下表建立不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式，并验证插值多插值多项式和牛顿插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。项式的唯一性。x0 124f(x)19233例例2 2

38、 教材教材P P2424例例2.32.3理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.37数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一阶差商一阶差商二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商四阶差商四阶差商五阶差商五阶差商0.400.400.410750.41075 0.550.550.578150.578151.116001.11600 0.650.650.696750.696751.186001.186000.280000.28000 0.800.800.888110.88811

39、1.275731.275730.358930.358930.197330.19733 0.900.901.026521.026521.384101.384100.433480.433480.213000.213000.031340.03134 1.051.051.253821.253821.515331.515330.524930.524930.228630.228630.031260.03126-0.00012-0.00012xif(xi)理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS P

40、HYSICS2.38数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 解解 从均差表看到四阶均差近似常数。故从均差表看到四阶均差近似常数。故取四次牛顿插值多项式取四次牛顿插值多项式N4(x)做近似即可做近似即可95504441063. 3)596. 0(,)( 63195. 0)596. 0()596. 0( )8 . 0)(65. 0)(55. 0)(4 . 0(03134. 0)65. 0)(55. 0)(4 . 0(19733. 0)55. 0)(4 . 0(28. 0)4 . 0(116. 141075. 0)(xxfxRNfxxxxxxxxxxxN截断误差截断误差于是于是理理 学学 院院An

41、hui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.39数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编第五节第五节 差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式 差分及其性质差分及其性质 等距节点的等距节点的Newton向前插值公式向前插值公式 等距节点的等距节点的Newton向后插值公式向后插值公式 数值实例数值实例理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.40数值分析第二章

42、插值法李庆扬王能超易大义编一、差分及其性质一、差分及其性质 设插值节点为等距节点：设插值节点为等距节点：如右图所示如右图所示h称为步长，函数称为步长，函数 在节点处的函数值记为在节点处的函数值记为 00 1, ,kxxkh kn yf x .kkff x 0 x1xnx1 nxh hh1x2理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.41数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编一阶向前差分：一阶向前差分：1kkkfff （一）（一） 差分的概念差分的概念21211()(

43、)kkkkkkkfffffff 二阶向前差分：二阶向前差分： 注注：称为向前差分算子，表示向后差分称为向前差分算子，表示向后差分算子。各阶差分可用下表表示。算子。各阶差分可用下表表示。111nnnkkkfff n 阶向前差分：阶向前差分：同理可定义二阶、同理可定义二阶、n 阶向后差分阶向后差分一阶向后差分：一阶向后差分：1kkkfff理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.42数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编函数函数值值一阶一阶差分差分二阶二阶差分差分三阶三

44、阶差分差分四阶四阶差分差分. f (x0) f (x1) f (x2) f (x3)f (x4) . f0 f1 f2 f3 . 2f0 2f1 2f2 . 3f0 3f1. 4f0 . ( f1) ( f2) ( f3) ( f4) ( 2f2) ( 2f3) ( 2f4) ( 3f3) ( 3f4) ( 4f4) .理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.43数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编 除差分算子外，常用的算子符号还有：除差分算子外，常用的算子符号

45、还有：不变算子不变算子I I : ;: ;移位算子移位算子E E ： 由上面各种算子的定义可得算子间的关系：由上面各种算子的定义可得算子间的关系：由由可得可得kkIff1kkEff1()kkkkkkfffEfIfEI f.EI 同理可得同理可得1EI理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.44数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编（二）差分的性质（二）差分的性质（步长均为（步长均为h）性质性质1 1: : 各阶差分均可用函数值表示。各阶差分均可用函数值表示。00(

46、)( 1 )( 1 )nnnnjn jjkkkn k jjjnnfE I fEffjj 100()( 1 )( 1 )nnnnn jj nn jkkkk j njjnnfI EfE ffjj 理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.45数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编性质性质3 3: : 各种差分之间可以互化。如各种差分之间可以互化。如mmkkmff 性质性质4 111,!1,!miii mimmi mi miimf x xxfm hf xxxfm h性质性

47、质2 2: : 可用各阶差分表示函数值。可用各阶差分表示函数值。如：如：njkjknknknfjnfIfEf0)(理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.46数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编)1()1(!)1(! 2)()(002000 ntttnfttftffthxNxNnnn称为称为牛顿前插公式。牛顿前插公式。 插值节点为插值节点为 xi=x0+ih (i=0,1, ,n), 如果要计算如果要计算 x0附近点附近点 x 处的函数值处的函数值f(x), 可

48、令可令 x=x0+th (0 t 1),代入代入牛顿插值公式牛顿插值公式 ,可得可得二、二、Newton向前插值公式向前插值公式理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.47数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编),()()!1()() 1()()(0) 1(10nnnnnxxfhnntttthxRxR其余项为其余项为理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS

49、 PHYSICS2.48数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编)1()1(!)1(! 2)()(2 ntttnfttftffthxNxNnnnnnnnn),(, )()!1()()1()()(0)1(1nnnnnnxxfhnntttthxRxR 及其余项及其余项三、三、NewtonNewton向后插值公式向后插值公式类似地类似地, 若计算若计算 xn 附近的函数值附近的函数值 f(x), 可令可令 x=xn+th (- 1 t 0) ，可得，可得牛顿后插公式牛顿后插公式理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT O

50、F MATHEMATICS PHYSICS2.49数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编例例 设设 y=f(x)=ex, xi=1, 1.5, 2, 2.5, 3, 用三次牛顿用三次牛顿插值多项式求插值多项式求f(1.2).相应的函数值及差分表如下相应的函数值及差分表如下:四、数值实例四、数值实例解解 用牛顿前插公式用牛顿前插公式, 由由 1.2=1+0.5t, 得得t=0.4理理 学学 院院Anhui University of Science and TechnologyDEPARTMENT OF MATHEMATICS PHYSICS2.50数值分析第二章插值法李庆扬王能超易大义编xi