工程设计中的优化方法课件.ppt
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- 工程设计 中的 优化 方法 课件
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1、第第5章章 工程设计中的优化方法工程设计中的优化方法n 优化设计的基本概念和步骤优化设计的基本概念和步骤n 优化设计方法的优化设计方法的种类种类和特点和特点n 优化设计方法的原理和优化设计方法的原理和应用应用l 优化设计的数学模型和基本步骤优化设计的数学模型和基本步骤l 无约束优化方法无约束优化方法重点:重点:内容:内容:优化结构几何参数,使构件质量优化结构几何参数,使构件质量最轻或用料最省最轻或用料最省优化材料配方或成分,使材料的优化材料配方或成分,使材料的性能最佳性能最佳优化工艺参数,使产品性能最佳优化工艺参数,使产品性能最佳用成分不同的原料进行配料,设用成分不同的原料进行配料,设计成本最
2、低的配料方案计成本最低的配料方案5.1 最优化问题概述最优化问题概述0. 工程中的最优化设计问题工程中的最优化设计问题 结构优化结构优化 材料优化材料优化 工艺优化工艺优化 配料优化配料优化注:所有设计都要在一定的约束条件下进行注:所有设计都要在一定的约束条件下进行一种新的设计方法,应用数学的一个分支。它一种新的设计方法,应用数学的一个分支。它能使一项设计在一定技术和物质条件下,获得能使一项设计在一定技术和物质条件下,获得一个技术经济指标最佳的设计方案,应用广泛一个技术经济指标最佳的设计方案,应用广泛. 在给定的技术、经济等客观条件下选择设计在给定的技术、经济等客观条件下选择设计参数,使设计指
3、标达到最优值参数,使设计指标达到最优值 在一定约束条件下求多变量函数极值的方法在一定约束条件下求多变量函数极值的方法优化设计是研究和解决优化设计是研究和解决在一切可能方案中寻求在一切可能方案中寻求最优方案最优方案的科学方法。的科学方法。n 优化设计主要研究内容优化设计主要研究内容 建模理论和方法建模理论和方法(从实际问题中抽象出最优数学模型从实际问题中抽象出最优数学模型); 求解最优化问题的理论和方法。求解最优化问题的理论和方法。n 优化设计的基本思想优化设计的基本思想 从研究对象的整体来考察和解决问题,并从从研究对象的整体来考察和解决问题,并从组成整体各个部分的相互联系、相互影响和组成整体各
4、个部分的相互联系、相互影响和相互制约中寻求最优方案。相互制约中寻求最优方案。n 优化设计的基本步骤优化设计的基本步骤 分析实际问题分析实际问题建立建立数学模型数学模型选择选择优化方优化方法法求解最优方案求解最优方案2. 优化设计的数学模型优化设计的数学模型 数学模型是优化设计的基础。要对一个实际设计数学模型是优化设计的基础。要对一个实际设计问题进行优化,首先必须建立问题的数学模型。问题进行优化,首先必须建立问题的数学模型。优化设计问题的数学模型,是指用数学符号和公优化设计问题的数学模型,是指用数学符号和公式描述优化设计问题的一种模型。式描述优化设计问题的一种模型。 设计变量设计变量 目标函数目
5、标函数 约束条件约束条件该数学模型包含三个要素:该数学模型包含三个要素:(1) 设计变量设计变量一个设计方案可以用一组设计参数来表示。一个设计方案可以用一组设计参数来表示。设计参数设计参数设计常量设计常量设计变量设计变量 需要在设计过程中优选需要在设计过程中优选的独立参数的独立参数根据设计要求事先给定根据设计要求事先给定的参数的参数(值不变)(值不变) 设计变量表示方法设计变量表示方法Xn维列向量,维列向量,T转置符,转置符,Rnn维设计空间维设计空间设有设有n个设计变量个设计变量x1,x2,xn,则,则X = (x1, x2, , xn)T XRn设计空间:以设计变量为坐标轴所构成的空间设计
6、空间:以设计变量为坐标轴所构成的空间设计空间的设计空间的维数维数:即设计变量的即设计变量的个数个数 n个设计变量即构成个设计变量即构成n维设计空间维设计空间(记为(记为XRn)。设计空间及其维数设计空间及其维数设计变量、设计空间和设计方案之间的关系一组设计变量设计空间一点一个设计方案Px1x2x3 三维设计空间R3设计变量的数目设计变量的数目选择余地或影响不大的参数,根据经验定为常量。选择余地或影响不大的参数,根据经验定为常量。设计变量个数应尽量减少设计变量个数应尽量减少。选定原则:只把与问题本质有关、对结果影响选定原则:只把与问题本质有关、对结果影响大的参数定为设计变量。大的参数定为设计变量
7、。连续变量:值能连续变化。连续变量:值能连续变化。离散变量:值不能连续变化。离散变量:值不能连续变化。设计变量的类型设计变量的类型对于离散变量的优化设计问题,通常先按连续变量处对于离散变量的优化设计问题,通常先按连续变量处理,找到最优解后,再按工艺规范或标准系列调整。理,找到最优解后,再按工艺规范或标准系列调整。在优化设计中,用于评价设计变量好坏的函数,在优化设计中,用于评价设计变量好坏的函数,称为目标函数,记作称为目标函数,记作 优化目标函数就是求目标函数的极小值或极大优化目标函数就是求目标函数的极小值或极大值值,即,即min f (X) 或或 max f (X)。(2)目标函数目标函数对目
8、标函数进行优化,就可以得到最优方案。对目标函数进行优化,就可以得到最优方案。f (X)=f (x1, x2, , xn) 用用效果函数效果函数( (如性能指标、利润等如性能指标、利润等) )作目标函数,则是作目标函数,则是求极大值求极大值; 用用费用函数费用函数( (如能源、材料、经费等如能源、材料、经费等) )作目标函数,则作目标函数,则求极小值求极小值。 单目标优化问题:只包含一个优化目标的问题单目标优化问题:只包含一个优化目标的问题多目标优化问题:存在两个或两个以上优化目多目标优化问题:存在两个或两个以上优化目标的问题标的问题n 单目标和多目标优化问题单目标和多目标优化问题一般来讲,目标
9、函数越多,设计结果越趋完善,一般来讲,目标函数越多,设计结果越趋完善,但优化设计的难度也相应加大。但优化设计的难度也相应加大。实际中实际中应尽量控制目标函数的数量应尽量控制目标函数的数量,抓住问题,抓住问题的主要矛盾,保证重点要求的实现,其余要求的主要矛盾,保证重点要求的实现,其余要求可处理成设计约束来加以保证。可处理成设计约束来加以保证。 例如:一个结构应满足的强度和刚度等条件。例如:一个结构应满足的强度和刚度等条件。(3) 约束条件约束条件n 约束条件的定义:对设计变量取值的限制条件。约束条件的定义:对设计变量取值的限制条件。n 约束条件的数目约束条件的数目 约束条件愈接近实际,则最优解愈
10、接近最优约束条件愈接近实际,则最优解愈接近最优方案。但约束条件数增加时,可行方案数量将方案。但约束条件数增加时,可行方案数量将大大减少,计算工作量也会增大。大大减少,计算工作量也会增大。n 约束条件的类型约束条件的类型 边界约束边界约束 设计变量的变化范围设计变量的变化范围(如板材厚度范围)(如板材厚度范围) 性能约束性能约束 由某种性能设计要求导出的约束条由某种性能设计要求导出的约束条件件(如结构设计中,弯曲应力必须小于或等于许用弯曲应力等如结构设计中,弯曲应力必须小于或等于许用弯曲应力等) hi(X)=hi(x1, x2, , xn)=0 i=1, 2, , m, mnn 约束条件的类型约
11、束条件的类型 不等式约束不等式约束 等式约束等式约束 同一个优化设计问题可同时含有等式和不等式同一个优化设计问题可同时含有等式和不等式约束。约束。 对于不等式约束,对于不等式约束,0型和型和0型可互相转化。方型可互相转化。方法是改变约束条件的符号,即令法是改变约束条件的符号,即令gj(X)= -gj(X)gj(X)=gj(x1, x2, , xn)0 或或 0 j=1, 2, , pm,p 等式约束数和不等式约束数。等式约束数和不等式约束数。 hi(X), gj(X)约束函数约束函数;约束条件把设计空间划分为两个区域:可行域约束条件把设计空间划分为两个区域:可行域和不可行域。和不可行域。n 可
12、行域和可行点可行域和可行点 可行域可行域 域内设计点(设计域内设计点(设计方案)满足所有约束条件。方案)满足所有约束条件。可行域内的设计点称为可行域内的设计点称为可行点可行点。约束优化设计中,约束优化设计中,最优点一般是约束区域的边界点最优点一般是约束区域的边界点,即设计点位于某个约束面上:即设计点位于某个约束面上: gu(X)=0 (1up)不可行域可行域gu(X)=0设计空间 不可行域不可行域 域内的设计点域内的设计点不不满足或不全满足约束条件。满足或不全满足约束条件。不可行域内的设计点不可行域内的设计点称为称为不可行点不可行点,一般是工程实际,一般是工程实际不能接受的方案不能接受的方案。
13、优化设计的数学模型是实际设计的数学抽象。优化设计的数学模型是实际设计的数学抽象。任何一个优化设计问题可归结为如下描述:任何一个优化设计问题可归结为如下描述:在给定的约束条件下,选择适当的设计变量在给定的约束条件下,选择适当的设计变量X,使其目标函数使其目标函数 f (X)达到最优值。达到最优值。(4)数学模型)数学模型建立数学模型是解决优化设计的关键设计变量设计变量 在满足约束方程在满足约束方程 的条件下,求目标函数的条件下,求目标函数f (X)的最优值。的最优值。X= (x1, x2, , xn)T XRnhi(X)=0, i=1, 2, , mgj(X)0, j=1, 2, , p其数学表
14、达式其数学表达式(数学模型数学模型)为为 n 优化设计数学模型的简化表示优化设计数学模型的简化表示s.t.“满足于满足于”或或“受约束于受约束于”;Rnn维欧氏空间维欧氏空间利用优化方法求解上述数学模型,可得到一组最优设利用优化方法求解上述数学模型,可得到一组最优设计参数或一个最优设计方案计参数或一个最优设计方案X*称为称为最优点最优点,f(X*) 称为称为最优值最优值。最优点和最优值构成一个最优点和最优值构成一个约束最优解约束最优解。min f (X), XRnhi(X)=0, i=1, 2, , mgj(X)0, j=1, 2, , ps.t.X* = (x1*, x2*, , xn*)T
15、n 优化设计问题的最优解优化设计问题的最优解实际工程的优化设计问题:实际工程的优化设计问题:非线性约束优化问题非线性约束优化问题 n 优化设计问题的类型优化设计问题的类型 线性规划问题线性规划问题 优化问题的目标函数和优化问题的目标函数和约束函数都是设计变量的线性函数约束函数都是设计变量的线性函数 非线性规划问题非线性规划问题 目标函数和约束函数目标函数和约束函数不全是设计变量的线性函数不全是设计变量的线性函数函数与函数与变量间变量间的关系的关系 无约束优化问题无约束优化问题 只有目标函数而无约只有目标函数而无约束条件的优化问题束条件的优化问题 约束优化问题约束优化问题 有约束条件的优化问题有
16、约束条件的优化问题有无约有无约束条件束条件例例5-1 已知箱形梁的长度已知箱形梁的长度l和载荷和载荷F1、F2,许用挠度许用挠度 f = l /700。设梁高为。设梁高为x1,梁宽为,梁宽为x2,腹板厚度为腹板厚度为x3,翼缘板的厚度为,翼缘板的厚度为x4。试设计该箱形梁,使其试设计该箱形梁,使其质量最轻质量最轻。(长度单位为长度单位为mm,力的单位为,力的单位为N)x1x2x3x4箱形截面梁计算简图F1F2ll / 2设计变量设计变量 取箱形梁横截面待定尺寸取箱形梁横截面待定尺寸x1,x2,x3及及x4为设计变量,则为设计变量,则目标函数目标函数 优化目标为优化目标为质量最轻质量最轻。 梁的
17、跨度已知,故可用梁的梁的跨度已知,故可用梁的截面面积截面面积作为目作为目标函数。截面面积之半可近似为标函数。截面面积之半可近似为 f (X) = x1x3 + x2x4 使质量最轻就是使使质量最轻就是使f (X)的值最小。的值最小。X = x1, x2, x3, x4 T,XR4 (忽略了-2x3x4项,厚度的乘积)约束条件约束条件 设计的箱形梁需满足一定的设计的箱形梁需满足一定的强度、强度、刚度、稳定性以及几何要求刚度、稳定性以及几何要求。推导得。推导得式中,k1=3l/4;W=x1x3+x2x4, k2=F1l3/(16.810-5)。强度条件刚度条件(梁跨中挠度限制)翼缘板局部稳定性条件
18、腹板局部稳定性条件几何约束条件(板厚不得小于5mm)03310000/8 . 7)(4223212321421111xxxxxFxxxxxWlFkXg03)(331422122fxxxxxkXg060)(423xxXg0160)(314xxXg05)(35xXg05)(46xXgf f (厚度与宽度之比)箱形梁优化设计的数学模型箱形梁优化设计的数学模型属约束非线性规划问题属约束非线性规划问题。选用。选用可行方向法可行方向法求解。求解。跨度l(cm)常规设计(mm)优化设计(mm)减轻自重(%)x1x2x3x4x1x2x3x410501350165076088010103403904406661
19、01010790870102031038037056686819.818.813.7表5-1 箱形梁设计结果比铰 min f (X), XR4gj(X)0, j=1, 2, , 6s.t.优化结果优化结果:取出三种跨度的优化结果见表:取出三种跨度的优化结果见表5-1。所用数据为:所用数据为:F1=120kN, F2=12kN,=140MPa3. 优化设计的计算方法优化设计的计算方法 无约束优化方法无约束优化方法约束优化方法约束优化方法优化方法优化方法解析法解析法数值法数值法直接法直接法间接法间接法无约束优化方法是优化设计的基础无约束优化方法是优化设计的基础许多约束优化问题可转化为无约束优化问题
20、求解许多约束优化问题可转化为无约束优化问题求解求解无约束优化问题求解约束优化问题解析法解析法 用求导数或变分方法求出极值存在的用求导数或变分方法求出极值存在的必要条件,再求出它们的解析解。然后按照充必要条件,再求出它们的解析解。然后按照充分条件或问题的实际物理意义确定最优解。分条件或问题的实际物理意义确定最优解。 仅适用于目标函数和约束条件较为简单明确的情况。仅适用于目标函数和约束条件较为简单明确的情况。n 无约束优化方法无约束优化方法数值法数值法 利用函数在某一局部区域的性质和一利用函数在某一局部区域的性质和一些己知点的数值,确定下一步的计算点,经过些己知点的数值,确定下一步的计算点,经过迭
21、代搜索,最后达到最优点。迭代搜索,最后达到最优点。可解决复杂的优可解决复杂的优化设计问题,是化设计问题,是优化设计采用的主要方法优化设计采用的主要方法。 无约束优化方法分为解析法和数值计算法两类。无约束优化方法分为解析法和数值计算法两类。根据处理问题的方法,约束优化方法可分为两大类:根据处理问题的方法,约束优化方法可分为两大类:n 约束优化方法约束优化方法直接解法直接解法 直接从可行域中找出约束最优解直接从可行域中找出约束最优解X* 和和 f (X*)。如:如: 网格法、随机试验法、随机方向搜索法、复网格法、随机试验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。合形法、可行方向法等。间接解法间接
22、解法 将约束优化设计求解问题,转换成将约束优化设计求解问题,转换成求无约束极值问题。求无约束极值问题。 可用于求解同时存在不等式约束和等式约束的可用于求解同时存在不等式约束和等式约束的优化设计问题。优化设计问题。以惩罚函数法应用最为广泛。以惩罚函数法应用最为广泛。计算方法特点及适用范围直接搜索法消去法黄金分割法 黄金分割法计算过程简单,收敛较快,应用较广Fibonacci插值法二次插值法 二次插值法算法成熟,收敛较快,应用广。函数性态较好时,其效果比消去法好三次插值法爬山法-非导数法坐标轮换法 计算简单,占内存少,收敛慢,可靠性差,适用于维数n10共轭方向法 收敛较快,可靠性较好,占用内存少,
23、特别适用于n1| f (X(k+1) f (X(k) | f (X (k+1) 1 梯度准则梯度准则 当某次迭代点目标函数梯度模达到当某次迭代点目标函数梯度模达到充分小时终止迭代,即充分小时终止迭代,即| f (X (k) |若上述准则之一满足,则认为目标函数值已收若上述准则之一满足,则认为目标函数值已收敛到最小值,这样即求得敛到最小值,这样即求得近似最优解近似最优解:X*=X(k+1)实际中常将点距和函数下降量准则结合起来使实际中常将点距和函数下降量准则结合起来使用,即要求两者同时满足。用,即要求两者同时满足。最优解的确定最优解的确定5.2 无约束最优化方法无约束最优化方法目标函数或约束条件
24、为非线性函数的规划问题属目标函数或约束条件为非线性函数的规划问题属非线性规划。它是优化设计中最常见的数学形式非线性规划。它是优化设计中最常见的数学形式.中,中,有一个或多个函数是变量有一个或多个函数是变量X的非线性函数的非线性函数,则此最优问题称为则此最优问题称为非线性规划非线性规划。1. 非线性规划非线性规划若在数学模型若在数学模型 min f (X) gi(X)0, ( i=1, 2, , m mn)hj(X) = 0, ( j=1, 2, , p)XRn线性规划:线性规划:f (X)、gi (X) 、hj (X)为线性函数时。为线性函数时。二次规划:二次规划:f (X)为二次函数,为二次
25、函数, gi (X) 、h j (X)为为线性函数时。它是一种特殊的非线性规划。线性函数时。它是一种特殊的非线性规划。 应用最多的求解方法是将非线性规划转换成无应用最多的求解方法是将非线性规划转换成无约束最优问题来求解,约束最优问题来求解,即将有约束的最优化问即将有约束的最优化问题化为无约束最优问题。题化为无约束最优问题。对无约束问题的求解,具有十分重要的意义。对无约束问题的求解,具有十分重要的意义。n 非线性规划非线性规划问题的求解方法问题的求解方法函数的等值线:当函数函数的等值线:当函数f (X)的值依次等于一系的值依次等于一系列常数时,自变量取得一系列值的集合。列常数时,自变量取得一系列
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