层次分析法的基本原理和步骤课件.ppt

1、3-1 层次分析法的基本 原理和步骤3-2 模糊层次分析方法AHP model and its application一、递阶层次结构建立1.1、递阶层次结构及组成二、构造比较判断矩阵四、层次总排序前言1、背景知识2、基本思想与建模步骤1.2、四个注意点2.1、两两比较法2.2、比较判断矩阵 的四个说明3.1、单准则下的排序三、单准则下的排序 及一致性检验3.2、一致性的检验4.1、层次总排序的步骤4.2、总排序一致性检验五、判断矩阵的调整六、群组决策6.1、比较判断矩阵综合法6.2、权重向量综合排序法 人们在各项日常活动中，常常会面对一些决策问题。比如，大学毕业生对职业的选择，他们会从专业对

2、口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等各方面加以考虑，比较，判断，然后进行决策。假如有m个单位可供选择，你会选择哪一个？ 随着人们面对的决策问题越来越复杂，例如，科研成果的评价、综合国力（地区综合实力）比较、各工业部门对国民经济贡献的比较、企业评估、人才选拔等问题。项目决策者与决策的模型及方法之间的交互作用变得越来越强烈和越来越重要。许多问题由于结构复杂且缺乏必要的数据，很难用数学模型来解决。 1、背景知识 由美国运筹学家T.L.saaty教授在70年代中期提出的层次分析法（Analytic Hierarchy Process）简称AHP ，是指将决策问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次

3、，在此基础上进行定性分析和定量分析的一种决策方法. 这一方法的特点，是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种简便的决策方法。层次分析法的发展过程可追溯到上个世纪的70年代初期，1971年，美国匹兹堡大学数学教授在为美国国防部研究“应急计划”中，充分注意到了当前社会的特点及很多决策科学方法的弱点。他开始寻求一种能综合进行定量与定性的决策方法，这种方法不仅能够保证模型的系统性、合理性，又能让决策人员充分运用其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在197

4、2年发表用其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在1972年发表了“用于排序和计划的特征根分配模型”。之后，Saaty教授又发表了一系列关于AHP应用方面的文章。1977年获得了美国管理研究院的最佳应用研究成果奖。同年，Saaty教授在第一届国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模层次分析理论”,从此,AHP方法开始受到人们的关注，得到深入的研究和应用。 AHP的应用范围十分广泛，涉及面主要有以下几个方面：经济与计划;能源政策与资源分配;政治问题及冲突;人力资源管理;预测;项目评价;教育发展;环境工程;医疗卫生;企业管理与生产经营决策;会计;军事指挥，武器评价.以上种种只是给出一些总体

5、范围，在每个范畴内，又有许多不同的应用。2、基本思想与建模步骤 层次分析法的基本思路与人们对复杂的决策问题的思维判断过程大体一样的。当一个决策者在对问题进行分析时，首先要将分析对象的因素建立起彼此相关因素的层次递阶系统结构，这种层次递阶结构可以清晰地反映出诸相关因素（目标、准则、对象）的彼此关系，使得决策者能够把复杂的问题顺理成章。然后进行逐一比较、判断，从中选出最优的方案。运用层次分析法建模，大体上分成四个步骤:建立递阶层次结构；构造比较判别矩阵；在单准则下的排序及一致性检验；总的排序选优。 层次分析法首先把决策问题层次化。所谓层次化根据问题的性质以及要达到的目标，把问题分解为不同的组成因素

6、，并按各因素之间的隶属关系和关联程度分组，形成一个不相交的层次。引例 大学毕业生对职业的选择。假设有四个单位可供他们选择，他们会从专业对口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等多方面进行反复的考虑、比较，从中选出自己最满意的职业。按照这种思路，我们可以得到这样的分析图（见图3-1）。 1.1、递阶层次结构及组成满意的职业专业对口发展潜力单位名气地点收入单位1单位2单位3单位4图3-1 最佳职业的递阶层次结构在AHP方法中，首先要建立决策问题的递阶层次结构的模型，通过调查分析弄清决策问题的范围和目标，问题包含的因素，各因素之间的相互关系。然后将各个因素按照他们的性质聚集成组，并把它们的共同特征看成

7、是系统中高一层次的一些因素。如此构成一个以目标、若干准则层及方案层所组成的递阶层次结构。在图3-1中上一层次的元素对相邻的下一层次的全部或部分元素起支配作用，从而形成一个自上而下的逐层支配关系。具有这种性质的结构称为递阶层次结构。典型的递阶层次结构见下面图3-2。 层次分析法先将层次分为若干层次。最高一层称为目标层，这一层中只有一个元素，就是该问题要达到目标或理想的结果；中间层为准则层，层中的元素为实现目标所采用的措施、政策、准则等。准则层中可以不止一层，可以根据问题规模的大小和复杂程度，分为准则层、子准则层；最低一层为方案层，这一层包括了实现目标可供选择的方案。 在递阶层次结构中，各层均由若

8、干因素构成。当某个层次包含因素较多时，可将该层次进一步划分成若干子层次。通常应使各层次中的各因素支配的元素一般不超过9个，这是因为支配元素过多会给两两比较带来困难。决策目标 准则1准则2准则3准则m子准则1子准则2子准则n方案1方案2方案3方案t图3-2 典型递阶层次结构目标层 准则层方案层整个结构不受层次限制；一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因此在建立递阶层次结构时，应注意到：从上到下顺序地存在支配关系，用直线段表示上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一层次及不相邻元素之间不存在支配关系； 最高层只有一个元素，每个元素所支配元素一般不超过9个。元素过多可进一步分层；对某些具有子层

9、次结构可引入虚元素，使之成为典型递阶层次结构。1.2、四个注意点递阶层次结构是最简单的层次结构形式。在实际问题中我们常常会遇到更复杂的层次结构。如层次内部因素之间存在相互影响类型的内部依存层次结构（例如以行驶性能为目标对各种型号汽车作评价时，准则层有刹车、转向、加速、运行等，这些准则之间就是相关的。）；下层反过来对上层有支配作用，形成循环，从而无法区分上下层类型的反馈层次结构（例如可以用教学、科研等多项指标评价几位教师，也可以反过来对于每一个教师比较他的教学、科研等哪一方面表现最为突出，从而在指标层和对象层之间形成循环）。在这里我们只讨论递阶层次结构，其余的模型读者可参阅其他文献。在建立递阶层

10、次结构后，上下层元素间的隶属关系就被确定了。假设以上一层次元素C为准则，所支配的下一层次的关系为u1,u2,un，我们的目的是要按它们对于准则C相对重要性赋予u1,u2,un相应的权重。对于有些问题可以直接给出权重，如学生的考试成绩、某工程的投资额。但在大多数社会经济活动中,尤其是较复杂的问题中，元素的权重无法直接获得，这就需要通过适当的方法导出它们的权重。AHP所用导出权重的方法就是两两比较方法。2.1、两两比较法两两比较法具体方法是：当以上一层次某个因素C作为比较准则时，可用一个比较标度aij来表达下一层次中第i个因素与第j个因素的相对重要性（或偏好优劣）的认识。aij的取值一般取正整数1

11、9（称为标度）及其倒数。由aij构成的矩阵称为比较判断矩阵A=(aij)。关于aij取值的规则见表3-1。表3-1 元素aij取值的规则元素元素标度标度规规 则则aij1 1以上一层某个因素为准则，本层次因素以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素与因素j相比相比，具有同样重要。具有同样重要。3 3以上一层某个因素为准则，本层次因素以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素与因素j相比相比，i比比j稍微重要。稍微重要。5 5以上一层某个因素为准则以上一层某个因素为准则, ,本层次因素本层次因素i与因素与因素j相比相比，i比比j明显重要。明显重要。7 7以上一层某个因素为准则以上一层某个因素为

12、准则, ,本层次因素本层次因素i与因素与因素j相比相比，i比比j强烈重要。强烈重要。9 9以上一层某个因素为准则，本层次因素以上一层某个因素为准则，本层次因素i与因素与因素j相比相比，i比比j极端重要。极端重要。比较判断矩阵的特点：aij取值也可以取上述各数的中值2，4，6，8及其倒数，即若因素i与因素j比较得aij，则因素j与因素i比较得1/aij。; 0)1( ija;/1)2(jiijaa . 1)3( iia)., 2, 1,(nji .1.11.11.121212112为为比比较较判判断断矩矩阵阵即即 nnnnaaaaaaA具有上述三个特点的n阶矩阵称为正互反矩阵。 14/15/16

13、/17/1412/13/135215/1363513/173/13/131A在引例的图3-1中, 以满意的职业为准则(C), 支配着5个因素: 对专业对口(u1)、发展潜力(u2)、单位名气(u3)、地点(u4)、收入(u5)五个因素作出成对比较，得到比较判断矩阵仔细分析比较判断矩阵A可以发现，既然u1与u2之比为1:(1/3), u1与u3之比为1:3, 那么u2与u3之比应该为1:9,而不是1:5，这样才能说明问题是合理的。也就是中的所有的的元素aij必须具有传递性，即aij满足等式：aijajk=aik，i,j,k=1,2,n。定义3.1.1 设n阶矩阵A=(aij)为正互反矩阵, 若对

14、于一切i,j,k,都有aijajk=aik, i,j,k=1,2,n,称A为一致矩阵.由比较判断矩阵A知，在对n个因素比较中，我们只要作n(n-1)/2次成对比较即可。但要求这n(n-1)/2次断矩阵A一定满足一致性。比较全部一致，太苛刻在实际工作中，我们并不要求比较判断矩阵A一定要满足一致性.关于比较判断矩阵，有以下四个问题需要我们进一步说明：2.2、比较判断矩阵的四个说明为什么要用两两比较？ 涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们往往凭自己的经验和知识进行判断。当因素较多时给出的结果是不全面和不准确的。如果只是定性结果，又常常不被人们接受。如

15、果采用把所有的因素放在一起两两比较，得到一种相对的标度，既能适应各种属性测度，又能充分利用专家经验和判断，提高准确度。其二，在比较判断矩阵建立上，教授采用了19比例标度，这是因为人们在估计成对事物的差别时，用五种判断级别就能很好地表示，即相等、较强、强、很强、极强表示差别程度。如果再细分，可在相邻两级中再插入一级，正好9级，用9个数字来表达就够用了。为什么要用19比例标度？ 一般地在一个准则下被比较的对象不超过9个, 是因为心理学家认为，进行成对比较因素太多将超出人的判断能力。最多大致在72范围，如果以9个为限，用19比例标度表示它们之间的差别正合适。为什么要限制比较个数不超过9? 为什么要比

16、较n(n-1)/2次?最后，在把n个因素与某个因素进行比较时,有人认为只需要进行n-1次就可以了。这种做法的弊病在于，任何一个判断的失误都可能导致不合理的排序，对于难以定量的系统更应该尽量避免判断失误。进行n(n-1)/2次成对比较，可以提供更多的信息量，从不同角度进行比较，以得到一个合理的排序。例1 某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如图3-3所示，对之构造比较判断矩阵。选购电视机品牌耗电量厂家信誉售后服务清晰度外形价格尺寸ABCD解：构造比较判别矩阵如表3-2。表3-2 满意电视机的比较判别表满意的满意的电视机电视机品品牌牌外外形

17、形价价格格尺尺寸寸耗电耗电量量 厂家厂家信誉信誉清晰清晰度度售后售后服务服务品牌品牌1 15 53 35 51/31/31/51/51/31/31/41/4外形外形1/51/51 11/31/35 51/51/51 11/51/51/71/7价格价格1/31/31/31/31 16 63 34 46 65 5尺寸尺寸1/51/51/51/5 1/61/61 11/31/31/41/41/71/71/81/8耗电量耗电量3 35 51/31/33 31 12 23 32 2厂家信誉厂家信誉5 51 11/41/44 41/21/21 11/51/51 1清晰度清晰度3 35 51/61/67 7

18、1/31/35 51 12 2售后服务售后服务4 47 71/51/58 81/21/21 11/21/21 1例 2 设某港务局要改善一条河道的过河运输条件，为此需要确定是否建立桥梁或隧道以代替现有的轮渡。分析：在此问题中，过河的方式的决策取决于过河方式的效益与代价（即成本）的之比通常我们用费效比（即效益/代价）作为选择方案的标准。为此我们分别给出下面两个层次结构，它们分别考虑了影响过河的效益与代价的因素，这些因素可分为三类：经济的、社会的和环境的。过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1建筑就业C5民间商业C3当地商业C4收入C2安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C

19、9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3过河的代价a经济代价b1社会代价b2环境代价b3资金投入c1冲击渡船业c3操作维护c2冲击地方生活方式c4交通拥挤c5居民搬迁c6汽车排放物c7对水的污染c8对生态破坏c9桥梁d1隧道d2渡船d3 注意，上面两个模型中的判断依据都是由决策者自行设计的（这就需要用到设计者的专业知识）。决策的制定将取决于根据两个层次结构确定的方案的效益权重与代价权重之比。例如:我们构造过河的效益比较判别矩阵如下：1 7 5B3 1/71 1/5 B2 1/5 5 1B1 B3 B2 B1过河的效益3.1、单准则下的排序 层次分析法的信息基础是比较判断矩阵。由于每个

20、准则都支配下一层若干个因素，这样对于每一个准则及它所支配的因素都可以得到一个比较判断矩阵。因此根据比较判断矩阵如何求出各因素u1,u2,un , 对于准则的相对排序权重的过程称为单准则下的排序。 计算权重w1,w2,wn的方法有许多种，其中特征根方法是AHP中比较成熟并得到广泛应用的方法，它对于AHP的发展在理论上和实践上都有重要意义。 特征根方法的理论依据是正矩阵的Perron定理，它保证了所得到的排序向量的正值性和唯一性。 特征根方法的理论依据定理3.1.1 (Perron定理):设n阶方阵AO, lmax为A的模最大特征根，则 lmax必为正特征根,且对应特征向量为正向量；对于A的任何其

21、它特征值，恒有|l|lmax ； lmax为A的单特征根，因而它所对应的特征向量除相差一个常数因子外是唯一的。定理3.1.2 对于任何一个正互反矩阵均有lmax n， 其中lmax为A的模最大特征根。证明证明(略),212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA设设 nwwwW21，是其最大特征值所对应的特征向量, ,max21max21212222111211WwwwwwwaaaaaaaaaAWnnnnnnnnl ll l )., 2 , 1(max1niwwainkkik l l即即两边同除以wi，得)., 2 , 1(max1niwwankikik l l两边同时对i求和,得

22、 niniinkkikwwa11max1/l l, 1 iia,/1ijjiaa ., 2 , 1,nji ，. )1()1(1max njijiijijijnwwawwal l,ijijijwwab 记记. )1()1(1max njiijijnbbl l则则有有, 21 ijijbb njinjiijijnnbbn11max)1(2)1()1(l l),1()1(max nnnl l故故.maxn l l因因而而有有。 nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA/212221212111定理3.1.3 n阶正互反矩阵A=(aij)为一致矩阵的充分必要条件是A的最大特征根为n.证明(

23、必要性)因为n阶矩阵A为一致矩阵，设1 ijjiijijijwwwwwwab, )1(2)1()1(11max njinjiijijnnbbnl l.maxn l l从从而而(充分性). 1,1 ijijijijijwwabbb即即则则必必有有个个正正数数的的和和是是由由于于,)1()1(1 nnbbnjiijij则则若若,maxn l l.)1()1(21maxnnnbbnjiijij l l)()(), 2 , 1,(jiijjiijwwaAnjiwwa 即即因而因而是一个正互反矩阵。 那么如何求一般正互反矩阵A的最大特征根呢?这实际上有一定的困难，特别是当A的阶数很高时。由于在做比较判断

24、矩阵时我们基本上是定性比较量化的结果，对它的精确计算是没有必要的。所以我们可用一些简便的方法计算判断矩阵的最大特征值及所对应的特征向量。下面介绍一些求正互反矩阵排序向量的方法。 在实际应用中，比较判断矩阵A并不一定是一致矩阵，由定理3.1.2知比较判断矩阵A的阶数n不超过A的最大特征值lmax .求正互反矩阵排序向量的方法特征根方法(EVM) 对于正矩阵，有一种求特征向量的简易算法（幂法）。下面的定理为幂法提供了理论依据。定理3.1.4 设n阶矩阵,nRxOA ,limcVxAxxAkTkk .limWeAeeAkTkk 其中V为与A的最大特征值对应的特征向量, c是常数。 如果令x=e(e为

25、单位向量)，则有 其中W为与A的最大特征值对应的规范化特征向量，下面称权重向量或排序向量。第一步：将判断矩阵的列向量归一化 );(1 niijijijaaA按按行行得得：将将第第二二步步ijA:TnjnjnjniijnjniijjniijjaaaaaaW).,(11111211 ；归归一一化化后后得得，将将第第三三步步TnwwwWW),(:21 .)(1:1的的最最大大特特征征值值为为第第四四步步AwAWnniii l l和法解： 15/ 17/ 1513/ 1731A 222. 0849. 0929. 1行行和和.074. 0283. 0643. 0权权重重向向量量即即为为所所求求的的 W例

26、3求判断矩阵 15/ 17/ 1513/ 1731A的最大特征值和权重向量。 223. 0867. 0010. 2074. 0283. 0643. 015/ 17/ 1513/ 1731AW076. 3074. 0223. 0283. 0867. 0643. 001. 231 l l 077. 0048. 0097. 0385. 0238. 0226. 0538. 0714. 0677. 0列归一列归一 074. 0283. 0643. 0归归一一化化第一步：将判断矩阵的列向量归一化 );(1 niijijijaaA按按行行得得：将将第第二二步步ijA:根法Tnjnniijnjnjnniijj

27、njnniijjaaaaaaW)( ,)( ,)(1/111/1121/111 ；归归一一化化后后得得，将将第第三三步步TnwwwWW),(:21 .)(1:1的的最最大大特特征征值值为为第第四四步步AwAWnniii l l解 091. 0077. 01 . 0364. 0308. 03 . 0545. 0615. 06 . 014/16/1412/1621列列归归一一A 0890. 03236. 05873. 00888. 03228. 05859. 0归一化归一化行根行根 0890. 03236. 05873. 0W 2678. 09735. 07688. 10890. 03236. 0

28、5873. 014/16/1412/1621AW0097. 30890. 02678. 03236. 09735. 05873. 07688. 131 l l例4 求判断矩阵 14/ 16/ 1412/ 1621A的最大特征值和权重向量。3.2、一致性的检验由于客观事物的复杂性，会使我们的判断带有主观性和片面性，完全要求每次比较判断的思维标准一致是不大可能的。因此在我们构造比较判断矩阵时，我们并不要求n(n+1)/2次比较全部一致。但这可能出现甲与乙相对重要，乙与丙相比极端重要，丙与甲相比相对重要，这种比较判断严重不一致这种情况。事实上，在作比较判断矩阵时，我们虽然不要求判断具有一致性。但一个

29、混乱的，经不起推敲的比较判断矩阵有可能导致决策的失误，所以我们希望在判断时应大体上的一致。而上述计算权重方法，当判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了。故对于每一层次作单准则排序时，均需要作一致性的检验。设A为n阶正互反矩阵，由定理3.1.2知，且且,maxWAWl l .maxn l l.max的的不不一一致致程程度度越越严严重重大大得得多多，则则比比若若Anl l1max nnCIl l令令CIA,max的的最最大大特特征征值值为为其其中中l l 可作为衡量不一致程度的数量标准，称CI为一致性指标(Consistency Index).当判断矩阵A的最大特征值稍大于n, 称A具

30、有满意的一致性。然而“满意的一致性”说法不够准确，A的最大特征值lmax与n是怎样的接近为满意？这必须有一个量化。Saaty教授采用的方法：固定n，随机构造正互反矩阵A=(aij)n, 其中aij是从1,2,3, ,9,1/2,1/3, ,1/9共17个数中随即抽取。这样的正互反矩阵A是最不一致的。计算1000次上述随机判断矩阵的最大特征lmax , Saaty教授给出了RI值(称为平均随即一致性指标，见表3-3)。表3-3 平均随机一致性指标n123456789RI000.580.941.121.241.321.411.45表3-3中n=1,2时RI=0，因1，2阶判断矩阵总是一致的。 当n

31、3时，令CR=CI/RI，称CR为一致性比例。当CR0.1, CR2=0.2130.1, CR3=0.1170.1, CR6=0.1700.1, 因此第1，2，3，6个比较判断矩阵的一致性没有通过，需要对比较判断矩阵进行修改。而第4，5，7，8个比较判断矩阵通过一致性检验。 计算同一层次中所有元素对于最高层(总目标)的相对重要性标度(又称排序权重向量)称为层次总排序。为了把这个问题搞清楚，来看一个事实。 设有五块石头A1,A2,A3,A4,A5分成两组。第一组由A1,A2组成，第二组由A3 ,A4,A5组成。这两组石头可看成一块石头分裂成石块A1,A2,A3,A4,A5 。把系统划分成三个层次

32、,如图3-4所示重量第一组第二组25.075.0A3A4A5A1A252. 048. 0467. 0261.0272.0图3-4 分裂成石块的巨砾 204. 0196. 0351. 0120. 0130. 075. 025. 0272. 00261. 00467. 00048. 0052. 0),()2()3(54321)3(wpwwwwwwT已知最高层对第二层的排序向量为,)75. 0,25. 0()2(Tw 而第三层对第二层单准则的排序为 272. 00261. 00467. 00048. 0052. 0)3(p则第三层五个元素相对总重量的排序权值向量为4.1、层次总排序的步骤计算同一层次

33、所有因素对最高层相对重要性的排序权向量，这一过程是自上而下逐层进行；层次总排序的步骤为：;),()1()1(2)1(1)1(1Tknkkkkwwww ；设已计算出第k-1层上有nk-1个元素相对总目标的排序权向量为： 第k层有nk个元素,它们对于上一层次(第k-1层)的某个因素ui 的单准则排序权向量为Tkinkikikikwwwp),()()(2)(1)( (对于与k-1层第i个元素无支配关系的对应uij取值为0);.),(),()1()(1)(2)(1)()(2)(1 kkkkkTknkkwpppwwwk第k层nk个元素相对总目标的排序权向量为4.2、总排序一致性检验人们在对各层元素作比较

34、时，尽管每一层中所用的比较尺度基本一致，但各层之间仍可能有所差异，而这种差异将随着层次总排序的逐渐计算而累加起来，因此需要从模型的总体上来检验这种差异尺度的累积是否显著，检验的过程称为层次总排序的一致性检验。假设第k-1层第j个因素为比较准则，第k层的一致性检验指标为则第k层各因素两两比较的层次单排序一致性指标为,)1( kjRI平均随机一致性指标为,)1( kjCI)1(1 kkkwCICI)1()1(量量层层对对总总目目标标的的总总排排序序向向表表示示第第 kwk).3(,1)1(1nkRICICRCRwRIRIkkkkkkk 另另有有，如如1 . 0 kCR可认为评价模型在k层水平上整个

35、达到局部满意一致性.层次分析法的基本步骤为以下四步：(总排序)即计算各方案对总系统目标排序权向量。建立系统的递阶层次结构；构造两两比较判断矩阵；计算下一个层次对上一层的某个准则的排序权向量;下面举例来说明层次分析法的基本步骤。例5 某工厂在扩大企业自主权后，有一笔留成利润，要由厂领导和职代会来决定如何使用，可供选择的方案有：P1发奖金； P2扩建集体福利事业； P3办职工业余技校； P4建图书馆、俱乐部； P5引进新设备。这些方案都各具有其合理的因素，因此如何对这些方案进行综合评价，并由此进行方案排序及优选是厂领导和职代会面临的实际问题。分析： 上述问题属于方案排序与优选问题，且各待选方案的具

36、体内容已经确定，故可采用AHP法来解决。解：建立方案评价的递阶层次结构模型。该模型最高一层为总目标A：合理使用企业利润。第二层设计为方案评价的准则层,它包含有三个准则：最低层为方案层，它包含从P1P5五种方案.其递阶层次结构如图3-5：B1：进一步调动职工劳动积极性；B2：提高企业技术水平；B3：改善职工物质与文化生活。合理使用企业利润AB1B2B3P1P2P3P4P5图3-5 合理分配利润的递阶层次结构构造比较判断矩阵:矩矩阵阵第第一一层层的的两两两两比比较较判判别别层层对对经经征征求求意意见见后后给给出出第第二二 13/133153/15/11分别给出第三层对第二层的三个比较判别矩阵： 1

37、3/12/15/17/13122/14/122/113/15/152313/174531 133/153/115/1335175/13/17/11 113/13/1113/13/133113311层次单排序及其一致性检验对于上述各比较判断矩阵，用Matlab数学软件求出其最大的特征值及其对应的特征向量，将特征向量经归一化后，即可得到相应的层次单排序的相对重要性权重向量，以及一致性指标CI和一致性比例CR，见表3-5。表3-5 合理使用企业利润的计算结果矩阵矩阵层次单排序的权重向量层次单排序的权重向量l lmaxCIRICRA-B(0.1047,0.6370,0.2583)T 3.03850.0

38、1930.58 0.0332B1-P(0.4956,0.2319,0.0848,0.1374,0.0503)T 5.07920.01981.12 0.0177B2-P (0.0553,0.5650,0.1175,0.2622)T4.11700.03890.90.0433B3-P (0.375,0.375,0.125,0.125)T400.90由此可见，所有四个层次单排序的CR的值均小于 0.1，符合满意一致性要求。层次总排序已知第二层(B层)相对于总目标A的排序向量为 TW2583. 0637. 0047. 1)2( 而第三层(P层)以第二层第i个因素Bi为准则时的排序向量分别为： 0503.

39、 01374. 00848. 02319. 04956. 0)3(1P 2622. 01175. 05650. 00553. 00)3(2P 0125. 0125. 0375. 0375. 0)3(3P)2()3(3)3(2)3(1)(WPPPW T1723. 01215. 04011. 01564. 01488. 0 2583. 06370. 01047. 002622. 00503. 0125. 01175. 01374. 0125. 05650. 00848. 0375. 00553. 02319. 0375. 004956. 0则第三层(P层)相对于总目标的排序向量为TCI)0 ,03

40、9. 0 ,0198. 0()2( TRI)9 . 0 , 9 . 0 ,12. 1()2( TCIWCI)0 ,039. 0 ,0198. 0(2583. 0637. 01047. 0)2()2()3( 269. 0 层次总排序的一致性检验 TRIWRI)9 . 0 , 9 . 0 ,12. 1(2583. 0637. 01047. 0)2()2()3( 923. 0 1 . 00624. 0923. 00269. 00332. 0)3()3()2()3( RICICRCR总排序一致性通过。结论：某工厂合理使用企业留成利润这一总目标，所考虑的五种方案排序的相对优先排序为： P3(开办职工业务

41、技校)，权重为0.4011； P5(引进新技术设备)，权重为0.1723； P2 (扩建集体福利事业)，权重为0.1564； P1(发奖金)，权重为0.1488； P4(建图书馆，俱乐部)，权重为0.1215.厂领导和职代会可根据上述分析结果，决定各种方案的实施先后次序，或决定分配使用企业留成利润的比例。Matlab程序（详见P195197，从略）经验调整法：让专家对判断矩阵的某些元素进行重新调整，这类方法存在着一定的主观随意性，缺乏理论科学依据；当一个比较判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度就值得怀疑了，这时就必须对判断矩阵进行调整。在实际应用中，需要对判断矩阵进行多次调整，才能够通过一致性

42、检验。目前，关于修正判断矩阵的方法有多种，大致分成三类:用一定的方法, 构造一个完全一致的判断矩阵, 通过甲醛方法提取原始判断矩阵与完全一致矩阵的信息,以达到调整的目的。此类方法具有一定的盲目性；利用矩阵元素的变化与一致性之间的关系，确定影响一致性的关键元素并进行调整。此类方法对原始判断矩阵的元素改变较少，保留了较多的原始信息。下面介绍一种属于第三类的判断矩阵调整方法，称之为AHP判断矩阵一致性调整的前瞻算法。 具体算法如下：构造矩阵 。 是判断矩阵A中的元素aij用aikakj (称为元素aij的第k种间接判断)替换，而aji用1/aikakj替换后得到的矩阵，即 ，其中 )(kijA)(k

43、ijA)()()(kijkijaA 其其他他stktskktskkstaitjsaajtisaaa,/1,)(由于askakt可能大于9，1/askakt可能小于1/9 ，这与判断矩阵的定义不相符合，需要进行微调，作微调如下： .,)(/ 1,)()(其其他他stktskktskkstaitjsaaFjtisaaFa 9/109/119/1/1 19199xxxxxxxF其其中中计算以 及Dij)(kijD Dx表示对x进行四舍五入取整。以后所有的矩阵 都是经过微调得到的矩阵，由于是成对的微调，故有 。)(kijA)()(kjikijAA )(kijD D 是矩阵A中的元素aij进行第k种调整

44、后一致性比率变小的数值，表征着aij进行第k种调整对矩阵一致性的改善程度。 , 0)(.)(.)()( kijkijARCARCD D如如),(.)(.)()(kijkijARCARC D D,;,Nkjik n-2种可能改善程度.说明第k种调整无助于甚至有碍于改善判断矩阵的一致性，因此在算法实现中令它为零。共有设N=1,2, ,n,计算)(.)(.max)(,kijjikNkijARCARC D DDij是判断矩阵A中的元素aij的n-2个可能改善程度的最大值，又称Dij为元素aij的不一致程度。若Dij=0，说明aij的所有调整方向都无助于改善判断矩阵的一致性。.)(,)()()(是对称阵

45、是对称阵故故由于由于构造矩阵构造矩阵nnijkjikijnnij D DD DD DD DD DD D计算Tij 。 Tij是aij对矩阵一致性的最大可能改善程度Dij所对应的调整策略序号。称aij的第Tij种调整方法为aij的最优调整方向，若Dij =0 ，说明aij的所有调整方向都无助于改善判断矩阵的一致性，令Tij =0 ，构造矩阵T=(Tij )nn，则T是对称矩阵。 )(.)(.maxargmaxarg)(,)(,kijjikNkkijjikNkijARCARCT D D选D为(D ij )nn中最大元素，确定该元素所在的行与列，找到判断矩阵相对应的元素就是最矛盾（不一致）元素。对它

46、按上述方法进行调整，直到得到通过一致性检验。解 例5 求 1858/ 117/ 15/ 171A的排序向量，并检验一致性。TW)7125.0 ,0545.0 ,2331.0( 使用MATLAB计算，得排序向量为：, 1 . 01372. 0 CR一致性比例 没有通过一致性检验，需要进行调整。调整过程如下：.,)1(12)3(12aA调整元素调整元素计算计算, 6 . 185/1321312 aaa, 9112 a即即, 2)3(12 a取取,1858/112/15/121)3(12 A则则,0031. 0)(,)3(12 ACR经计算经计算:)(12计计算算结结果果为为kD D)(12kD D

47、k1231341. 0.,)2(13)2(13aA调整元素调整元素计算计算, 8/778/1231213 aaa,19/113 a即即, 1/1/113)2(13 aa取取,1858/117/1171)2(13 A则则,0011. 0)(,)2(13 ACR经计算经计算:)(13计计算算结结果果为为kD D)(13kD Dk1231361. 0.,)3(23)1(23aA调整元素调整元素计算计算,35/15/17/1132123 aaa, 9/1023 a即即,9/1)2(13 a取取,1959/117/15/171)3(12 A则则,1797. 0)(,)1(23 ACR经计算经计算:)(2

48、3计计算算结结果果为为kD D)(23kD Dk1230,1341. 0max)(122,112 kkNkD DD D,1361. 0max)(133, 113 kkNkD DD D, 0max)(233,223 kkNkD DD D, 3max)(122,112 kkNkardTD D, 2maxarg)(133, 113 kkNkTD D, 0maxarg)(233,223 kkNkTD D,00214. 01361. 00214. 001341. 013611. 01341. 00 D D.012103230 T D13=0.1361是的最大元素，相应判断矩阵元素a13是矛盾元素，需要调

49、整。由于对应调整方向是T13=2,调整方案是：将a13用a12a23替换，即a13=a12a23=71/8 =7/8，并取a13=1/1/(7/8)=1. 181811711711A 4791. 00626. 04583. 0W, 1 . 00011. 0)(1 ACR计计算算出出得到新的判断矩阵由此得到排序向量通过了一致性检验。可以证明，上述的算法是收敛的。我们知道，AHP方法不仅可以进行定量分析，也可以进行定性分析，它可以把决策过程中的定量与定性因素有机地结合起来，用一种统一的方法进行处理。AHP法改变了最优化技术中只能对定量问题进行处理的局限。不仅如此，它的方法简单、直观，容易掌握，是一

50、种很好的决策方法。但应该看到，AHP方法也有着应用上的局限，主要有以下三个方面： AHP方法的应用主要是针对那种方案大体确定的决策问题，即只能从原方案中选优，不能生成新的方案; AHP方法比较粗糙，不适应于精度要求很高的决策问题，对于这类问题，若将AHP和别的方法结合起来使用，会得到令人满意的结果；由于AHP方法的使用受人的主观因素影响较大，得到的决策结果不易为众人接受。 针对上述存在的问题,我们可以采用AHP方法与群组决策相结合的方法, 尽量使得决策结果得到众人的认可。 在运用AHP方法进行决策分析时，评判者往往不是一个人，而是由若干个专家组成的小组。尤其是在对重大问题的决策分析时，评判者有