第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚课件.ppt

1、第五章 波色系统：波色-爱因斯坦凝聚5.1 理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚,11)(112/33zzVzgv回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程：这里比容v=V/N,平均热波长 。易逸度z的定义为 ，其中为化学势。对波色气体，我们有： ， 由定义知显然成立； 可由动量为0的态的平均占据数 确定。函数 一般地由下式确定：当z取0至1的值时， 是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的值）。对于n1有这是黎曼Zeta函数。当 ， 发散。 产生凝聚的条件：把比容的方程改写为： 凝聚要求 当 时，这必然成立（因 是增函数）。这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动

2、量为零的粒子组成，令一个由动量不为零的粒子组成。),1ln(1)(12/53zVzgTkPBTmkB22 ez 10 zz01z0)1/(0zzn1)(lnnnlzzg)(zgn)(zgn) 1()(1) 1 (1nnlglnn1n) 1 (ng).(2/3303zgvVn, 00Vn) 1 (2/33gv)(zgn分割面方程由 确定，由此可得临界温度 和临界比容 (固定温度T时):当 （v一定）或 （T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。即低温和高密度是产生波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数量级。) 1 ()(2/32/33gzgvcTcv) 1 (,

3、) 1 (22/333/22/32gvvgmTkccBcTT cvv 大V极限下的易逸度z：对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。由 我们可反解出z: 。因此在大V极限下我们有： 填布数 与温度和比容的关系（大V极限下）：利用 和上面的结果可得：粒子在动量空间动量空间里凝聚。T=0时所有粒子都占据p=0态。 )1/(0zzn) 1/(00nnz).1 (的根，)(方程);1 (, 12/332/332/33gvzgvgvz0nVnzgVN02/33)(1).1 (0，);1 (,112/332/332/30gvgvvvTTNncc 物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因 ，它最多

4、是 的量级，对大系统可忽略。因此物态方程为物态方程在 连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。 其它热力学量：应分为两段讨论，如内能：熵：定容比热：在T=0附近我们有 ，这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在 处比热是连续的（因 发散），比热的导数不连续。11ln1)1ln(10nVzVNNln1.，) 1 (1;),(12/532/53ccBvvgvvzgTkPcvv .，) 1 (23;),(23232/532/53cBcBvvgTvkvvzgTvkPvNU.，) 1 (25;,ln)(252/532/53ccBvvgvvvzzgvNkS.，) 1 (415;,)()(49

5、)(4152/532/12/32/53ccBVvvgvvvzgzgzgvNkC2/3TCVcT) 1 (2/1g5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量为：这里我们把势能项看作微扰。设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为 其中 为单粒子态中粒子的填布数。在一级近似下，系统能量为：成立条件为 k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度。即粒子只能激发到动量较小的态。上面最后一个等式的推导见杨展如书93-95页。在基态，我们让 ，而其它所有 为零，基态能量为：而低激发态能级同时含有连续谱和

6、分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达式可进一步近似为：下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即 并用n代表 ，能量的动能部分记为 ，记 ，配分函数为：其中 为理想波色气体的配分函数。 是对理想波色气体的统计平均。. )(42222jijiiimamHrr,pnnpnppppnjijinppnnnnNmVanmpmanmpHE2222222142)(,42,rr, 1, 1/3/1kavaNn 0pnvmVNmammvaNE,22220.214220222nNmVanmpEppn, 1/, 1/2vaapnppnnmp22Nn /002)0(22222vaNNnvaNHNeZ

7、eeTreZn)0(NZ0每个粒子的自由能为：压强可由自由能得到：作近似 后可得：这个相变是二级相变。022)0(022)0(02)0(2114)2(ln22mvaNFvaTkNFeNTkNFNFBvaNBvvvmaPvFPNT020222)0(,212111422002),(.112),(,4222)0(22)0(cccccTTvvvvmaPTTvvmvaPP5.3 波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理实验困难：大多数气体在极低温下不呈现气态。1995年：三个研究组用Rb, Na 和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色-爱因斯坦凝聚现象。实验的基本原理有两个：（1）多普勒致冷（动量空间

8、的压缩）：恰当选取激光频率 ，这里 是原子最低激发频率，可使得原子在多次吸收激光后，动量不断减小：原子接受迎面光子激发（有方向性，动量减小），再通过自发辐射退激发（无方向性）。（2）磁-光陷阱（坐标空间囚禁）：在磁场中原子激发态能级发生分裂，原子通过两束沿z轴相对运动的激光激发。激光频率小于原子无磁场时的跃迁频率( )。这样，不论在z0还是z0区域内只能吸收向坐标原点方向传播的激光，受到一个指向z=0点的辐射力F=-kz，这样原子处于一个辐射力造成的简谐势阱中。ALAAL5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚详见杨展如书98-102页。5.5 简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因

9、斯坦凝聚温度很低时，原子的德布罗意波长（热波长）比原子相互作用程大很多，原子间的相互作用是很弱的完全被量子力学中讨论过的S-波散射所支配，因此我们只需考虑二体碰撞。 S-波散射可以用散射长度a来表征，相互作用势可近似写为:因此在外界简谐势场 中，波色场算符满足（海森堡绘景，坐标表象）：这个方程可在平均场近似下求解。关键是把波色场算符分为凝聚部分和非凝聚部分(波戈留波夫近似)：均匀空间情形：理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态，其低激发态仍有量级为N的粒子占据零动量态，而 的态的占据数很少。我们假定这对近理想波色气体仍然成立。令 为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符，我们有)()

10、(0rrUrrU)(rVtrap),( ),( ),(),( )(2),( ),( )(),()(2),( ),( 022322trtrtrUtrrVmtrtrrrUtrrdrVmHtrttritraptrap0p)(ppaaNaaaaNNaa1,0000000),(),(),( trtrtr),( ),(trtr),(tr),(),()(2),(20022trtrUNrVmttritrap故这表明在这种近似下我们可以忽略 的非对易性，把它们当作非算符的量（C数）。这样场算符可以写为两部分：推广到空间非均匀和与时间有关的情形，我们有：这里 ， 是围绕平均值的量子和热涨落（一个小量）。带入到上面

11、的方程即得（GP方程）：000001aaNaappaa,)()()()( 000rVNaraarrpppppp用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。凝聚部分的哈密顿量为：统计平衡时系统的 的平均值有极小值，故有 ，从上式代入并解之得：)()()()(21)()(2)()()(*0322*3*30000rrrrrUdrrVmrrdrrrdHNHKtrapK0*0K),(),(),()(220022trtrtrUNrVmtrap5.6 波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据序参量：描述连续相变（二级相变）特征（自发对称破缺）的参量。在相变点附近，它是唯一重要的热力学量。理想波色气体系统理想波色气体系统

12、：我们考察单粒子密度矩阵单粒子密度矩阵：这里 表示系综平均 ， 为正则系综统计算符， 为单自由粒子场算符（可用平面波平面波展开）， 分别为平面波的波矢量为k的湮灭和产生算符。上式表示如在y处失去一个粒子，则可在x处找到一个粒子的概率密度。考虑一个有平移不变性的系统，这时动量和哈密顿量对易，利用Tr(AB)=Te(BA)可证：另一方面，直接计算可得：因此对这种系统我们有于是kqqkiaaeV,y)qx(k11(y)(x)(x,y)(y)kkaa,)(kqaaTrHkqkqeZaapTraap10,kqkqaaqkaap)(,kkqkkkqkqnaaaa,|ln|22)2(11(x,y)0/20y

13、)(x3300y)(x0y)(x10zTmkrreTmkVNnekdVNaaeVVNaaeVBrrBkikkkkikkkkik当r=|x-y|时，上式中的积分为零。因此在这个极限下 与空间位置无关。物理意义物理意义：在系统里存在着恒定密度的零动量粒子。这正是波色-爱因斯坦凝聚存在的标志。有相互作用的系统有相互作用的系统：单粒子动量不是一个好量子数， 与哈密顿量不对易，上面的计算不适用。Penrose和Onsager建议采用下列波色-爱因斯坦凝聚存在的一般判据:这里 称为超流序参量，若 则说明存在动量空间的有序，即波色-爱因斯坦凝聚。非零非零序参量的出现表征系统中出现了“对称破缺对称破缺”。VN

14、01(x,y)0N(y)(x)(y)(x)(x,y)|1yx)()()( xiexrx0)(xr5.7 陷阱中波色-爱因斯坦凝聚的激发态在5.6节我们把一般的场算符分为了两部分： ，并考虑了C数部分(r,t)的贡献，这里我们将考虑涨落算符 的贡献。涨落算符的对易关系与常算符的相同，因此有： ),(),(),( trtrtr),(tr.0)(),()(),();()(),(rrrrrrrr哈密顿量为： ，其中上面最后一式里我们已经略去了涨落算符二次方以上的项。由上可知粒子数密度为：故总粒子数为：而 实际是一个C数。由此我们可写出涨落算符的动力学方程（海森堡方程）：把 的表达式带入，可得： KKN

15、HK0.)()()(21)()|)(|2)();()(),( )();()(|)(|21)()();( )()( )( )()(21)( )(23020330323030003303ccrrrrdUrrUVTrrdKrrrdNrrrdNrrrrdUrVTrrdNHKrrrdrrrrrdUrVTrrdKtraptraptrap)()()()()()()( )()(0rnrnrrrrrrrnNNNrnrdrrndrrndN03033)()()(0K,KtiKtiK.)()|2(,)()|2(2*0202020UUVTtiUUVTtitraptrap方程求解：把涨落算符用一套简正模集合 来展开（波戈

16、留波夫变换波戈留波夫变换）：同时令 ，并设 ， 遵守等时波色对易关系。带入到方程中得：解之即得 和相关的本征值。相应地，通过上面的展开式 也可简单地表示成：即 可用假想的波色粒子的湮灭和产生算符来表达，它是能量为 的各种假想的无相互作用的波色粒子的能量之和，这种粒子称为准粒子准粒子。 vu,).()()()(),(),()()()(),(*trvtrutrtrvtrutr/)(,)(tiEtiEetet).()()()()|2();()()()()|2(2*0202020rvErurUrvUVTruErvrUruUVTtraptrapvu,KnEConstEConstK.KE第六章 波色系统：

17、超流性6.1液He中的超流相变自然界中的氦有两种稳定的同位素： 和 。 是费米子， 是玻色子。氦原子间相互作用很弱，原子的质量很小从而零点振动能很大，这使得在常压下直到接近绝对零度氦仍可保持液态。在很低的温度下，量子效应起主导作用，因此液氦是典型的量子液体量子液体。液He有两个不同的相：正常相He I和超流相He II，正常相沿饱和蒸汽压曲线降温，在温度T=2.18K和比容v=46.2/原子处发生He I到He II的相变。相变无潜热和体积变化，在相变点比热以对数形式趋于无穷大，表明这是二级相变二级相变。比热线很像，因此此相变又称为相比，曲线AB称为线。在T=0附近，比热以 规律趋于零。3He

18、4He3He4He3T6.2 液He II的特性 二流体模型液He II的特性：1.液He II能沿极细的毛细管流动而不呈现任何粘滞性，这称为超流性。而且存在一个临界速度，在这个速度以上，超流性被破坏。2.如用一细丝悬挂一薄圆盘浸泡在液He II里，并让圆盘作扭转振动，可以用来测粘滞系数。结果比“毛细管”法测得的大10倍（与正常相的相似）。且测得的系数强烈依赖于温度，随T0K而趋于零。3.当液He II由容器A通过多孔塞（或极细的毛细管）流出时，A内液He II的温度升高（见右下图）。这称为机械热效应，其逆过程称为热机械效应。4.液He II的热导率很大，数量级为室温下铜的800 倍，而且其热

19、导与通常流体不同，并不正比于 温度梯度。二流体模型二流体模型的解释：1.液He II由正常流体和超流体两种成分组成。超流体没有粘滞性，熵也为零；正常流体具有粘滞性和熵，用 和 表示超流体和正常流体的质量密度，速度场为 和 ，则总质量密度为： ，总质量流为： snnsTT/ssvnvnnssvvv2.T=0K时，全部液体为超流体； 时，全部为正常成分。二者之间时 是温度的函数。3.超流成分的速度场是无旋的，即 。且两种流体成分可以相对流动而彼此间无摩擦（无动量交换）。0sv只有超流成分可通过毛细管，这解释了特性一；只有正常流体成分才对圆盘振动起阻尼作用，这解释了特性二；机械制热效应：由毛细管流出

20、的只是超流成分，不带走熵。因而容器内流体的单位质量的熵将增加，导致温度增加。这解释了特性三；特性四：设想均匀温度的液He II中，某点附近温度突然稍稍上升。按二流体模型，热点的 要增加，而 将减小，造成两种成分的密度涨落。为恢复平衡，热点附近的超流成分将向热点流动，同时正常成分将向反方向流动而离开热点，这称作“内运流”。这种内部调整进行的很快，使液He II有极好的导热性。由于液He II中有两种成分，朗道预言He II中会有两种独立的振动波：若 和 方向一致，则振动波传递密度和压强的变化，这是普通的声(第一声)；若 和 方向相反，则可能在保持总密度 基本不变的情况下， 分别有涨落。由于超流成

21、分熵为零， 的涨落决定了熵密度的涨落和温度的涨落（如图所示）。 /n/ssvnvsvnvnsns,n6.3 超流体的涡旋运动昂萨格和费因曼在理论上指出，在液He II的基态或液He II的超流成分中，可以存在一种“组织化的运动”-量子化的涡旋。设N个玻色子组成的超流体的基态波函数为 ，若液He II相以匀速 运动，则系统波函数为：这里 是超流体宏观运动的动量，R是质心坐标。若各粒子 不均匀，在局部意义上上式仍是一个较好的近似。即在比速度发生显著变化的距离小得多的范围内，由局部位移引起的波函数的相位变化为：现在考虑超流体的涡旋。设想液He II相中的一个闭合环，使环上每一原子从其原位置移到其最近

22、邻位置上。由于波函数的对称性，波函数不变。因此这种位移引起的波函数的相位变化必为2的整数倍，即注意求和只对环上的所有原子求和，对宏观尺度的闭合环，求和可换为积分：这表明，环流是量子化的，环流量子为h/m。由此可证超流成分的无旋性。由斯托克斯定理，S为积分回路包围的曲面面积。若此区域是单连通的，且流速 在S内处处连续，则左方的积分可以随S连续地趋于零，但右方不能连续变化，故只有 。 0svNjjsRpirNNmvies1exp00ssNmvpsvjjsrvmj)(),2,1,0(2)(nnrvmjjsj),2,1,0(nmhndlvs),2,1,0()(nmhndsvSssv0sv但对复连通区域

23、或 有奇点的情形上式不成立。如一个中心在r=0处的柱对称的涡旋，其速度场为 。r=0是v的奇点。除涡旋轴（r=0）外，我们仍有 ，但对以r=0为中心且垂直于z轴的圆的积分回路，我们有实验已观测到量子化涡旋，其半径为1左右。圆柱型容器中超流体的旋转：对正常液体，由于重力和离心力，液体的自由表面呈抛物面状：对超流体又如何？实验发现超流体和正常液体的形状是一样的。如何与 的假设协调？如右图，考虑一系列互相平行的涡旋线的均匀分布阵列。sv)0 ,0(),(rvvvvzr0sv),2,1,0(2nmhnrvdlvsgrzrz2)0()(220sv每一（最小）涡旋的环流为h/m，以N表示单位面积的涡旋线数

24、。考虑半径为r及r+dr的两园之间的封闭面元。涡旋线环流之和是N2rdrh/m。除去r和r+dr的园边界外，相邻涡旋的速度场彼此抵消。另一方面，面元周界内的净环流又可以计算如下：两种算法的结果应相等，故有若要超流体和正常液体以相同的方式旋转，只需取 即可。涡旋线间的距离 ，当=1rad/s时，d约为0.1mm量级，这远比量子化涡旋大。)(22)(2)(rvdrvdrrdvvdrrvdhrmN)(hmConstN/2.Nd/16.4 朗道超流理论朗道理论的基本图像是把液He II看成受弱激发的量子波色系统，弱激发态与基态(T=0K)的偏离表现为在安稳的背景上出现了由元激发或准粒子组成的气体，后者

25、与二流体模型中的正常液体成分对应，而前者代表超流成分（回忆上章最后一节的另一个例子）。当温度很低时，元激发的密度很低，可以把它们看作元激发的理想气体。令p和(p)代表元激发的动量和能量，n(p)表示相应的元激发数，则系统低激发态的总能量和动量为：朗道进一步假设液He II中存在两种不同的波色型元激发（准粒子），即声子和旋子。当时，液He II的比热随 变化，这是声子的特征，其能谱为=cp，c为声子速度。当温度稍高时，比热有一如exp-/kBT的附加项，其中为常数。由此推测对较大的动量，元激发能量有一个能隙，朗道假定在这个动量范围内能谱为： 是旋子的有效质量。热力学性质热力学性质：这里准粒子被看

26、作是理想波色气体，准粒子数目不确定，系统的化学势为零。准粒子在能量 的平均占据数为：由此可得内能： 和定容比热ppppnPppnEE.)(, )()(0TT 3T*202*202)(2)()(mkkmpppk*mk,1/1kenk,1202200kekdkVEnEUkkkkVVTUC因此声子部分贡献的比热为：旋子贡献的比热在假设 为小量时，可得这些结果与实验符合的很好。超流的临界速度超流的临界速度：设质量为M的超流体以宏观速度v运动，其动量和能量为：因此动量和能量的任何变化必满足：设这一变化是由超流体产生了一个新的元激发引起，其动量为p，能量为(p)。按能量和动量守恒，元激发的动量和能量必由消

27、耗超流体的宏观流动的动量和能量而来，故因此我们有 或 。上式说明，要能产生元激发，必须超流体的宏观流速大于(p)/p；反之对一切小于(p)/p的v值，则由于宏观流动而产生新的元激发是不可能的，即流体继续保持超流。由此得到超流判据： 即为超流的临界速度。由此易知自由粒子能谱 不可能有超流，因332声)(15)(2cTkvNkCBB/TkB2/3/20*旋)2()(2TkvekmNkCBTkBBMPMvEMvP221,22PvEEpPp)(,vppvp)(ppv/ )(cvppvmin)(cvmpp2)(2. 02)(minminmpppvc6.5简并性近理想波色气体 波戈留波夫变换这里我们用一个

28、简并型近理想波色气体模型来来微观地给出液He II的声子能谱。近理想气体是稀薄的（即密度低），相互作用很弱（可以看作微扰）的粒子系统。此外我们仅考虑系统的低温性质，这时量子效应很明显。几个相关参数： 散射长度a,它反映相互作用势的强度和作用范围； 平均热波长 ，它代表粒子波包的平均空间范围，属于量子效应，低温时 可以很大； 粒子间平均距离l， （n为气体密度）。我们假定这三个参数间有如下关系：因此相互作用可以按小量 展开。哈密顿量及其简化哈密顿量及其简化：设近理想波色气体由N个全同的，自旋为零的波色子组成，系统哈密顿量为：采用二次量子化表述，上式可写为：其中第二式的求和要满足动量守恒条件， 及

29、 分别为动量为p的单粒子态的产生和湮灭算符，它们满足波色算符的对易关系：相互作用矩阵元为其中 是动量为p的单粒子态的波函数。TT3/1nl)为容器线度(;LLllaaTTTa/jijiNiiHHrrumpHint012)( 212,| |21,212212121,2121int20pppppppppppaaaappuppHaampHpa pa .0,ppppppppaaaaaa),()()( )()(| |12212*1*231321211221rrrrurrrdrdppupppppprpipeVr1)(把波函数表达式代入即可得这里在低温下，由量子力学低能散射的波恩近似，对散射长度a我们有:在

30、低能散射下，动量转移p很小，可取近似 。因此因此体系的哈密顿量可写为：再进一步，我们可以考虑波戈留波夫近似，即 和 近似地代之以C数（可交换数） 。而且由于我们只考虑低激发态，有：因此 和 可看作小量，我们只保留到二次项，而略去三次及以上的高阶小量。故其中二次项的六项近似为 。因此哈密顿量最终近似为： , )(1| |/ )(32121ruredVppupprpi.,212211rrrppppp,)(4/ )(2drerumarpi1/ )(rpieVuppuppmudrruma02121202| |,4)(4.22122102pppppppaaaaVuaampH0 a0 a0n. )0( 1

31、/, 1/0pNnNnppa )0(pap000000000000000000int高次项2pppppppppppppaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaVuH,202200000pppaaNNnaaaappppppaaaaaan40.2222000022ppppppppppaaaaaaVNuVuNaampH波戈留波夫变换波戈留波夫变换：类似上章末节，我们可以通过波戈留波夫变换来把哈密顿量严格对角化。引入新的波色产生和湮灭算符 和 ：其中 和 为两个待定参数，常取为实数，且 。可以验证若令 则和 满足波色对易关系（注意这两个参数还有一个自由度）。上式的逆变换为：带入到哈密顿

32、量表达式中得我们可取两个待定参数的值使得： ，则上式最后一项为零，哈密顿量被对角化。解出参数的值可得： ，其中故哈密顿量为：其中pbpb,ppppppppppavaubavaubpupvppppvvuu,122ppvupbpb,ppppppppppbvbuabvbua0220020002202020202.222222ppppppppppppppppppppbbbbvuVNuvuVNumpbbvuVNuvuVNumpvuVNuvVNumpVuNH02222002ppppvuVNuvuVNump221,11pppppLLvLu.4,2)(102/122222mVNuVmaNumumppmuLp, )()(0000pppppnpEbbpEH.2)(,2)(21212/1022222432220pmppuppummumppNmuE