江苏专版2019版高考数学一轮复习第二十章计数原理0.1两个计数原理排列与组合课件.ppt

1、第二十章 计数原理 20.1 两个计数原理、排列与组合 高考数学 1.分类计数原理、分步计数原理 (1)完成一件事有几类办法 ,各类办法相互独立 ,每类办法中又有多种不 同的方法 ,则完成这件事的不同方法数是各类办法中不同方法种数的 和 ,这就是分类计数原理 . (2)完成一件事需要分成 n个步骤 ,每一步的完成有多种不同的方法 ,则完 成这件事的不同方法种数是各步不同的方法种数的乘积 ,这就是分步计 数原理 . 知识清单 2.分类计数原理与分步计数原理都涉及完成一件事的不同方法的种数 . 它们的区别在于 :分类计数原理与分类有关 ,各种方法相互独立 ,用其中 任意一种方法都可以完成这件事 ;

2、分步计数原理与分步有关 ,各个步骤 相互依存 ,只有各个步骤都完成了 ,这件事才算完成了 . 3.排列 (1)定义 :从 n个不同元素中取出 m(m n)个元素 ,按照一定的顺序排成一 列 ,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的一个排列 . (2)排列数定义 :从 n个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同排列 的个数 ,叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的排列数 ,用 表示 . (3)排列数公式 : = n(n-1) (n-m+1) . (4)全排列 :n个不同元素全部取出的一个排列 ,叫做 n个不同元素的一个 全排列 , =n(n-1)(n-2) 321=n!.于是排列数公式写成

3、阶乘形式为 mnAmnAnnA mnA= ,规定 0!=1. 4.组合 (1)定义 :从 n个不同元素中取出 m(m n)个元素并成一组 ,叫做从 n个不 同元素中取出 m个元素的一个组合 . (2)组合数 :从 n个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合个数 , 叫做从 n个不同元素中取出 m个元素的组合数 ,用 表示 . (3)计算公式 : = = = .由于 0!=1,所以 = 1. 5.组合数的性质 n!(n m)!?mnCmnC mnmmAAn ( n 1 ) ( n m 1 )m ( m 1 ) 1? ? ? ? ? ?n!m !(n m )!? 0nC(1) = ,(2

4、) = + . mnC nmnC? mn1C? mnC m1nC?两个基本原理应用的解题策略 1.分类计数原理与分步计数原理的区别 一个与分类有关 ,一个与分步有关 .在综合运用这两个计数原理时 ,既要 会合理分类 ,又能合理分步 ,一般情形是先分类后分步 .分类计数原理中 无论是哪一类方法都能单独完成这件事 ;分步计数原理的每一个步骤都 依次完成后 ,这件事才完成 . 2.计数原理与涂色问题 涂色问题是计数原理应用的典型问题 .由于涂色本身就是策略的一个运 用过程 ,能较好地考查学生的思维连贯性与敏捷性 ,加之涂色问题的趣 味性 ,自然成为高考的热点之一 . 方法技巧 方法 1 例 1 如图

5、 ,要给 1,2,3,4,5五块区域分别涂上四种颜色中的某一种 ,允许 同一种颜色使用多次 ,但相邻区域必须不同颜色 ,则不同的涂色方法数 为 . 解析 解法一 :按区域顺序分步涂色 . 先涂 5号区域 ,有 4种不同的涂法 ;涂剩下的 4个区域要分两种情形 : 若 1,3号区域同色 ,则 1,3号区域有 3种涂法 ,此时 2,4号区域各有 2种涂法 , 由分步计数原理知有 3 2 2=12种涂法 . 若 1,3号区域不同色 ,则 1,3号区域有 3 2=6种涂法 ,此时 2,4号区域各只有 1种涂法 ,由分步计数原理知有 6 1 1=6种涂法 . 由分类和分步计数原理知总共有 4 (12+6

6、)=72种不同的涂色方法 . 解法二 :按所用颜色种数分类涂色 . 第一类 ,4种颜色全用 ,则 1,3号区域同色 ,且 2,4号区域不同色 ;或 1,3号区域 不同色 ,且 2,4号区域同色 ,故有 2 4 3 2=48种不同的涂色方法 . 第二类 ,只用 3种颜色 ,则 1,3号区域同色 ,且 2,4号区域也同色 ,故有 =24 种不同的涂色方法 . 由分类计数原理知总共有 48+24=72种不同的涂色方法 . 答案 72 34A排列、组合及其应用的解题策略 求解排列、组合问题的基本思路是“排组分清 ,加乘明确 ;有序排列 ,无 序组合 ;分类相加 ,分步相乘” . 1.简单问题直接法 直

7、接列式计算 . 例 2 将字母 a,a,b,b,c,c排成三行两列 ,要求每行的字母互不相同 ,每列的 字母也互不相同 ,则不同的排列方法共有 种 . 方法 2 解析 从 a,b,c中任选两个排在第一行 ,有 种方法 ,则另一个字母在第 二行有 种方法 ,其余则确定 ,共有 =12种方法 . 23A12C 23A 12C答案 12 评析 遇到有相同元素的排列问题时 ,一般应画出图表 ,这样比较直观 , 还能避免出现重复计数 . 2.相邻问题捆绑法 在特定条件下 ,将几个相关元素当成一个元素来考虑 ,待整个问题排好 之后再考虑它们“内部”的排列 ,它主要用于解决相邻问题 . 例 3 用字母 A、 Y,数字 1、 8、 9构成一个字符不重复的五位号牌 ,要求 字母 A、 Y不相邻 ,数字 8、 9相邻 ,则可构成的号牌个数是 .(用 数字作答 ) 解析 先把 8、 9捆绑 ,有 2种方法 ,再把它与 1排列 ,有 2种排法 ,此时共有 3 个空供字母 A、 Y插入 ,有 6种方法 ,故可构成的号牌个数是 2 2 6=24. 答案 24 评析 本题考查“相邻”与“不相邻”问题 ,考查捆绑法和插空法 .把 相邻元素当成一个元素时 ,一定要注意这些相邻元素要作全排列 .