江苏专版2019版高考数学大一轮复习第六章数列第33讲等差数列课件.ppt

1、第33讲等差数列,考试要求1.等差数列的概念(B级要求)；2.等差数列的通项公式与前n项和公式(C级要求)；3.等差数列与一次函数、二次函数的关系(A级要求).,1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(1)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的.()(3)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列.()(4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.()(5)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(),诊 断 自 测,解析(4)若公差d0，则通项公式不是n的一

2、次函数.(5)若公差d0，则前n项和不是二次函数.答案(1)(2)(3)(4)(5),2.(2017全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为_.,3得(2115)d24，6d24，d4.答案4,3.已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100_.,a100a1090d98.答案98,4.在等差数列an中，已知S824，S1632，那么S24_.,解析设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d，由已知条件得,1.等差数列的定义,一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于_，那么这个数列就叫做等

3、差数列，这个常数叫做等差数列的_，通常用字母_表示.,知 识 梳 理,2.等差数列的通项公式,如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是_.,同一个常数,公差,d,akalaman,3.等差中项,由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的_.,4.等差数列的四种判断方法,(1)定义法：an1and(d是常数)?an是等差数列.(2)等差中项法：2an1anan2 (nN*)?an是等差数列.(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)?an是等差数列.(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A，B为常数)?an是等差数列.,等差中项,5.等差数列的

4、常用性质,(1)通项公式的推广：anam_(n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则_.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为_.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_的等差数列.(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列.,(nm)d,akalaman,2d,md,6.等差数列的前n项和公式,7.等差数列的前n项和公式与函数的关系,8.等差数列的前n项和的最值,在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最_值.,大,小,

5、考点一等差数列基本量的运算,【例11】 (1)(2016江苏卷)已知an是等差数列，Sn是其前n项和.若a1a3，S510，则a9的值是_.,(2)(2018常州一模) 设Sn为等差数列an的前n项和，若a34，S9S627，则S10_.解析(1)设等差数列an公差为d，则由题设可得,(2)Sn为等差数列an的前n项和，a34，S9S627，,(1)求Sn；(2)求Tn及Tn的最小值.,规律方法等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n

6、，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.,【训练1】 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6_.,(2)(2017南京三模)设等差数列an的前n项和为Sn.若Sk18，Sk0，Sk110，则正整数k_.,解析(1)设等差数列an的公差为d，由题意得S33a13d63d12，所以d2，a6a15d12.,答案(1)12(2)9,考点二等差数列的判定与证明,(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.,所以当n3时，an取得最小值1，当n4时，an取得最大值3.,规律方法等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对

7、任意正整数n都有an1an等于同一个常数(直接用作差代入得结论更简单).(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2后，可递推得出an2an1an1ananan1an1an2a2a1，根据定义得出数列an为等差数列.(3)通项公式法：得出anpnq后，得an1anp对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列an为等差数列.(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列an为等差数列.,【训练2】 数列an满足a11，a22，an22an1an2.,(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式.(1)证明由an22

8、an1an2，得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列.(2)解由得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.,所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.,考点三等差数列通项及求和问题,因为an0，所以an1an2，an1an2，所以当n2时，an是公差d2的等差数列.因为a2，a5，a14构成等比数列，,因为a2a1312，所以an是首项a11、公差d2的等差数列.所以数列an的通项公式为an2n1.,规律方法(1)等差数列的判断，主要通过等差数列的定义进行判断：an1an为常数d，而不能

9、是关于n变化的函数f(n).(2)等差数列的求和是数列中考查频率比较高的知识点，通常会与解不等式及求最值等知识点综合考查.,【训练3】 已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列.,(1)求数列an的通项公式.(2)记Sn为数列an的前n项和，问：是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由.解(1)设数列an的公差为d，依题意得2，2d，24d成等比数列，所以(2d)22(24d)，解得d0或d4.当d0时，an2；当d4时，an2(n1)44n2，所以数列an的通项公式为an2或an4n2.,令2n260n800，即n230n4000

10、，解得n40或n60n800成立，n的最小值为41.综上所述，当an2时，不存在满足题意的正整数n；当an4n2时，存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41.,考点四等差数列性质的应用【例41】 (1)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.,(2)已知an，bn都是等差数列，若a1b109，a3b815，则a5b6_.解析(1)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，所以a55，故a2a82a510.(2)因为an，bn都是等差数列，所以2a3a1a5，2b8b10b6，所以2(a3b8)(a1b10)(a5

11、b6)，即2159(a5b6)，解得a5b621.答案(1)10(2)21,【例42】 (1)设等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S945，则S12_.,解析(1)因为an是等差数列，所以S3，S6S3，S9S6，S12S9成等差数列，所以2(S6S3)S3(S9S6)，即2(S612)12(45S6)，解得S63.又2(S9S6)(S6S3)(S12S9)，即2(453)(312)(S1245)，解得S12114.,S2 0182 018.答案(1)114(2)2 018,【训练4】 (1)在等差数列an中，已知S3020，S9080，那么S60_.,(2)已知数列an的前n项和Sn

12、n26n，那么数列|an|的前6项和T6_.(3)(一题多解)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，则当n为_时，Sn取得最大值，并求出它的最大值为_.解析(1)设S60x，则20，x20，80x成等差数列，,(2)由Snn26n，得an是等差数列，且an2n7.当n3时，an0，所以T6a1a2a3a4a5a6S62S318.,(3)a120，S10S15，,得a130.即当n12时，an0，当n14时，an0.当n12或n13时，Sn取得最大值，,nN*，当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.法三由S10S15，得a11a12a13a14a150.5a130，即a130.当n12或n13时，Sn有最大值，且最大值为S12S13130.,