江苏专版2019版高考数学一轮复习第二十二章选修4系列22.2坐标系与参数方程课.ppt

1、 22.2 坐标系与参数方程 高考数学 1.极坐标系 (1)在平面上取一个定点 O,由 O点出发的一条射线 Ox,一个长度单位、 一个角度单位及计算角度的正方向 (通常取逆时针方向 ),这样就建立了 一个极坐标系 .O点称为极点 ,Ox轴称为极轴 .平面上任一点 M的位置可 以由线段 OM的长度 和从 Ox到 OM的角度 来刻画 (如图所示 ).这两个 数组成的有序数对 (,)称为点 M的极坐标 ,称为极径 ,称为极角 . 知识清单 (2)极坐标与直角坐标的转化 设 M为平面上任意一点 ,它的直角坐标为 (x,y),极坐标为 (,).由图可知 下面的关系式成立 : 或 顺便指出 ,上式对 0也

2、成立 . x,ycossin?2 2 2 ,( 0) . xyytan xx? ? ?这就是极坐标与直角坐标的互化公式 . (3)圆的极坐标方程 a.圆心在极点 ,半径为 R的圆的极坐标方程为 =R. b.圆心在极轴上的点 (a,0)处 ,且圆过极点 O的圆的极坐标方程为 =2acos . c.圆心在点 处且过极点的圆的极坐标方程为 =2asin . 注 :当圆心 M(x0,y0)不在直角坐标系的坐标轴上时 ,要建立圆的极坐标方 程 ,通常把极点放置在圆心处 ,极轴与 x轴正半轴同向 ,然后运用极坐标与 直角坐标的变换公式求解 . 或 a,2?00x,yx co sy sin?2 2 2000

3、0( ) ( ) ,. x x y yyytanxx? ? ? ? ? ? ?2.参数方程 (1)直线的参数方程 过点 (x0,y0)且倾斜角为 的直线的参数方程为 (t为参数 ). (2)圆的参数方程 若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程为 (为 参数 ). (3)椭圆的参数方程 若椭圆的中心不在原点 ,而在点 M0(x0,y0),相应的椭圆的参数方程为 (为参数 ). 00x,yx tc osy tsin?00x,yx R c o sy R s in? 00x,yx ac osy bsin?通常规定参数 的范围为 0,2). 解决参数方程与极坐标方程问题的方法 极坐标

4、方程往往要与普通方程进行相互转化 ,在转化时 ,以直角坐标系 的原点 O为极点 ,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ,且在两坐标系中 取相同的长度单位 . 参数方程化为普通方程的常见方法有三种 :代入法 :利用解方程的技 巧表示出参数 ,然后代入消去参数 .三角法 :利用三角恒等式消去参数 . 整体消元法 :根据参数方程本身的结构特征 ,从整体上消去 .化参数方 程为普通方程 .在消参过程中 ,注意变量 x、 y取值范围的一致性 . 例 1 (2017江苏南通中学期中 )已知曲线 C的极坐标方程为 =2cos ,直 线 l的极坐标方程为 sin =m.若直线 l与曲线 C有且只有一个公共 点

5、,求实数 m的值 . 6?方法技巧 方法 解析 曲线 C的极坐标方程为 =2cos ,化为直角坐标方程为 x2+y2=2x, 即 (x-1)2+y2=1, 表示以 (1,0)为圆心 ,1为半径的圆 . 直线 l的极坐标方程是 sin =m,即 cos + sin =m,化为直角 坐标方程为 x+ y-2m=0. 因为直线 l与曲线 C有且只有一个公共点 , 所以 =1,解得 m=- 或 m= . 所以 ,所求实数 m的值为 - 或 . 6?12 32322|1 2m |1 ( 3 )?12 3212 32例 2 (2017江苏南通中学期中 )在平面直角坐标系 xOy中 ,已知曲线 C: (为参

6、数 , R),直线 l: (t为参数 ,t R),求曲线 C 上的动点 P到直线 l的距离的最小值 . x 4 ,y3cossin?2x 3 ,22y32tt? ? ? ?解析 将直线 l的参数方程 化为普通方程为 x-y-6=0. 因为点 P在曲线 C: (为参数 )上 ,所以设 P(4cos ,3sin ). 点 P到直线 l的距离 d= = ,其中 tan = ,是锐角 . 所以当 cos(+)=1时 ,dmin= . 所以点 P到直线 l的距离的最小值为 . 2x 3 ,22y32tt? ? ? ?x 4 ,y3cossin?| 4 3 6 |2c o s sin?| 5 ( ) 6 |2co s ? 342222