系统零状态响应课件.ppt
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- 系统 状态 响应 课件
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1、X系统数学模型的时域表示 时域分析方法时域分析方法: :不涉及任何变换,直接求解不涉及任何变换,直接求解系统的微分、积分方程式,这种方法比较直观,系统的微分、积分方程式,这种方法比较直观,物理概念比较清楚,是学习各种变换域方法的基物理概念比较清楚,是学习各种变换域方法的基础。础。 元一阶微分方程元一阶微分方程状态变量描述状态变量描述阶微分方程阶微分方程一元一元输入输出描述输入输出描述 : :NN本课程中我们主要讨论本课程中我们主要讨论输入、输出描述法输入、输出描述法。X系统分析过程 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求零零输输入入双双零零
2、法法经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程:,:经典法经典法: :前面电路分析课里已经讨论过,但与前面电路分析课里已经讨论过,但与 (t)有关的问题有待进一步解决有关的问题有待进一步解决 h(t);卷积积分法卷积积分法: : 任意激励下的零状态响应可通过任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。冲激响应来求。( (新方法新方法) )X本章主要内容线性系统完全响应的求解;线性系统完全响应的求解;冲激响应冲激响应h(t)的求解;的求解;卷积的图解说明;卷积的图解说明;卷积的性质;卷积的性质;零状态响应:零状态响应: 。 thtfty zsX主要内容
3、物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法X一物理系统的模型许多实际系统可以用线性系统来模拟。许多实际系统可以用线性系统来模拟。若系统的参数不随时间而改变,则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变,则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述。来描述。X二微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统,主要是根据对于电路系统,主要是根据元件特性约束元件特性
4、约束和和网络拓扑网络拓扑约束约束列写系统的微分方程。列写系统的微分方程。 元件特性约束:元件特性约束:表征元件特性的关系式。例如二端元表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束:网络拓扑约束:由网络结构决定的电压电流约束关系由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL,KVL。X三n 阶线性时不变系统的描述 一个线性系统,其激励信号一个线性系统,其激励信号 与响应信号与响应信号 之间之间的关系,可以用下列形式的微分方程式
5、来描述的关系,可以用下列形式的微分方程式来描述)(te)(tr)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 若系统为时不变的,则若系统为时不变的,则C,E均为常数,此方程为均为常数,此方程为常系数的常系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。阶次阶次:方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。方程的阶次由独立的动态元件的个数决定。X四求解系统微分方程的经典法分析系统的方法:分析系统的方法:列写方程,求解方程。列写方程,求解方程。 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解
6、零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求解解零零输输入入应应零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程: ,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是:就是:齐次解齐次解+特解。特解。 X 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0 ,响应,响应为为 时的方程的解,初始条件时的方程的解,初始条件 0t齐次解:齐次解:由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 nktkkA1e 注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解:解:根据微分方程右端函
7、数式形式,设含待定系根据微分方程右端函数式形式,设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程代入原方程,比较系数,比较系数 定出特解。定出特解。1122d)0(d,d)0(d,d)0(d, )0( nntrtrtrr 初始条件的初始条件的确定确定是此课程要解决的问题。是此课程要解决的问题。经典法kA全全 解:解:齐次解齐次解+特解,由特解,由初始条件初始条件定出齐次解定出齐次解 。X几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121 ppppBtBtBtBt etB e t cos t sin tBtB sinc
8、os21 tttp sine tttp cose tDtDtDtDtBtBtBtBtpppptpppp sinecose11211121 X例2-2-1电感电感电阻电阻 tvRtiR1 d1 tLvLti电容电容 ttvCtiCdd 根据根据KCL titititiCLRS 代入上面元件伏安关系,并化简有代入上面元件伏安关系,并化简有 ttitvLttvRttvCdd1dd1ddS22 这是一个代表这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。并联电路系统的二阶微分方程。 求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 tv tis tisRRiLLiCciab tv
9、X这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型,都是线两个不同性质的系统具有相同的数学模型,都是线性常系数微分方程,只是系数不同。对于复杂系统,则性常系数微分方程,只是系数不同。对于复杂系统,则可以用高阶微分方程表示。可以用高阶微分方程表示。 例2-2-2msFf机械位移系统,质量为机械位移系统,质量为m的刚体一端由弹簧的刚体一端由弹簧 tv牵引,弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩牵引,弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦力为擦力为 ,外加牵引力为,外加牵引力为 ,其外加牵引力,其外加牵引力 与与刚体运动速度
10、刚体运动速度 间的关系可以推导出为间的关系可以推导出为 tFSf tFS ttFtkvttvfttvmddddddS22 kX例2-2-3 的的齐齐次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233系统的特征方程为系统的特征方程为 01216723 0322 3 , 221 重重根根 tthAAtAtr33221ee 特征根特征根因而对应的齐次解为因而对应的齐次解为X例2-2-4 如果已知:如果已知: 分别求两种情况下此分别求两种情况下此方程的特解。方程的特解。 tettetrttrttr dd3dd2dd22 ,e 2 ; 12ttette 给定微分方程
11、式给定微分方程式 3221pBtBtBtr 为使等式两端为使等式两端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端将将平衡,试选特解函数式平衡,试选特解函数式 将此式将此式代入方程代入方程得到得到 为待定系数。为待定系数。这里这里321, , BBB ttBBBtBBtB2322 34323212121 X等式两端各对应幂次的系数应相等,于是有等式两端各对应幂次的系数应相等,于是有 032223413321211BBBBBB联解得到联解得到2710 ,92 ,31321 BBB所以,特解为所以,特解为 271092312p tttrX 这里,这里,B是待定系数。是待定系数。 代
12、入方程后有:代入方程后有: 。可可选选很很明明显显时时当当ttBtrtee , ,e tttttBBBeee3e2e 31 B。于于是是,特特解解为为te31 相相加加即即得得方方程程的的完完全全解解和和特特解解上上面面求求出出的的齐齐次次解解trtrph trAtrnitip1ie (2)X例2-2-5 时的变化。时的变化。在在方程并求解方程并求解的微分的微分。建立电流。建立电流转向转向由由时时达到稳态。当达到稳态。当的位置而且已经的位置而且已经处于处于开关开关给定如图所示电路,给定如图所示电路,0)()(21S01S0 ttititt21S ti V4 te V2 teF1 C 11R t
13、iC tiLH41 L 232RX根据电路形式,列回路方程根据电路形式,列回路方程 tetvtiRC 1 2ddRtititLtvLLC 列结点电压方程列结点电压方程 titvtCtiLC dd , tvC先消去变量先消去变量 , 把把电电路路参参数数代代入入整整理理得得再再消消去去变变量量tiL tetettettitittit4dd6dd10dd7dd2222 (1)(1)列写电路的微分方程X(2)求系统的完全响应系统的特征方程系统的特征方程01072 052 即即特征根特征根5 , 221 齐次解齐次解 0 ee5221tAAtitth V4 0 tet时时由于由于 , , 44pBti
14、 因因此此令令特特解解4410 B581016 B方程右端自由项为方程右端自由项为代入式代入式(1)(1)要求系统的完全响应为要求系统的完全响应为 0 58ee5221tAAtitt特解特解X(3) 0dd0iti和和确确定定换换路路后后的的 A5420021 RRiiL 00dd it V56V23540 Cv换路前换路前21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232RX A514A5641100101 CveRi s/A20dd0dd10dd1 CvtetRit因而有因而有 :0dd0 iti和和换换路路后后的的由于电容两端电压和电感中的电流不会发生
15、突变由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变, ,21S ti V4 te V2 teF1 C 11R tiC tiLH41 L 232RX(4) 时时的的完完全全响响应应在在求求 0tti 的表示式的表示式由由 ti 2520dd5145802121AAitAAi求得求得要求的完全响应为要求的完全响应为 1523421AA 0 581523452tAeetitt电容电压的突变电容电压的突变电感电流的突变电感电流的突变冲激函数匹配法确冲激函数匹配法确定定初始条件初始条件X)0()0()0()0( LLCCiivv我们来进一步讨论我们来进一步讨论 的条件。的条件。 一起始点的跳变 0t 112
16、2d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr状态、起始状态状态、起始状态 0O 0 0t导出的起始状态导出的起始状态状态、初始条件、状态、初始条件、 0 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrrX当系统用微分方程表示时,系统从当系统用微分方程表示时,系统从 到到 状态有状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含 及及其各阶导数项。其各阶导数项。 0 0 t 说明一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中的电流不会发生突变。这就是在电路分析中
17、的换路定则换路定则: .00 ,00 LLCCiivv 0对于一个具体的电网络,系统的对于一个具体的电网络,系统的 状态就是系统中状态就是系统中储能元件的储能元件的储能情况储能情况; ; 00 到到但是当有但是当有冲激电流冲激电流强迫作用于电容或有强迫作用于电容或有冲激电压冲激电压强迫强迫作用于电感,作用于电感, 状态就会发生跳变。状态就会发生跳变。 X1电容电压的突变由伏安关系由伏安关系 tCCiCtv d)(1)( tCCCiCiCiC0000d)(1d)(1d)(1 tCCCiCiCv000d)(1d)(1)0( 0d)(1)0()0(,000 CCCiCvvt令令为有限值为有限值如果如
18、果)(tic, 0d)(00 Ci ttic 为为如果如果)(,CiCC1d)(100 )0()0( CCvv此时此时CvvCC1)0()0( 此时此时当有冲激电流当有冲激电流或阶跃电压作或阶跃电压作用于电容时:用于电容时:)0()0( CCvvC)(tvC)(tiCX例2-3-1EvC )0(0)0( Cv)(d)(d)(tCEttvCtiCC 电流为冲激信号。电流为冲激信号。C)(tvC)(tiC)(tEuX2电感电流的突变 tLLvLti d)(1)( 00d)(1)0()0( LLLvLii)(tiL)(tvLL)0()0( LLii此时此时 0d)(00, Lv如果为有限值,如果为有
19、限值,)(tvL,为为如果如果 )()(ttvL 00 , 1d)(100LLLiiLvL此时此时 冲激电压或阶冲激电压或阶跃电流作用于跃电流作用于电感时:电感时:)0()0( LLiiX例2-3-2)(tiL)(tvLL)(stuIttiLtvLLd)(d)( ttLILiiLLd)(1)0()0(00s s)0(IiL )( d)(dsstLIttvIL X配平的原理:配平的原理:t =0 时刻微分方程左右两端的时刻微分方程左右两端的(t)及各阶及各阶导数应该平衡导数应该平衡( (其他项也应该平衡,我们讨论初始条件,其他项也应该平衡,我们讨论初始条件,可以不管其他项)可以不管其他项) tt
20、rtrt 33dd 0,0rr求求已知已知例例: 三冲激函数匹配法确定初始条件该过程可借助该过程可借助数学描述数学描述 ttrtrdtd 33 tt 33 t 3 t 9 t 9 tu 93 X在在 中中 时刻有时刻有 tr0 t tu 9分析 t 3方程右端含方程右端含 tttr 3dd中必含中必含 ttr 3中包含中包含 t 方程右端不含方程右端不含 ttrtttr 939dd中的中的以平衡以平衡必含必含 900 rr 900 rr即即中的中的 trtdd t 9 表示表示 到到 的相对跳变函数,所以,的相对跳变函数,所以, tu 0 0X 可可知知由由方方程程ttrtrt 33dd 项,
21、项,方程右端含方程右端含t trtdd它一定属于它一定属于数学描述 tubtatr ttubtatuctbta 333 900 brr tuctbtatrt dd设设则则代入方程代入方程得出得出所以得所以得 900 rr即即 03033bcaba 993cba即即X例2-3-3 。和和用冲激函数匹配法求用冲激函数匹配法求和和如图,已知如图,已知输入输入的微分方程为的微分方程为描述描述 0dd0, 00dd540 )(4dd6dd10dd7dd LTIS2222rtrrtrtetetettettrtrttrt(1)将)将e(t)代入微分方程,代入微分方程,t0得得 trtrttrt10dd7dd
22、22 tutt 8122 te24OtX(2)方程右端的冲激函数项最高阶次是方程右端的冲激函数项最高阶次是 ,因而有,因而有 t tuatrtubtatrttuctbtatrt dddd22)00( t trtrttrt10dd7dd22 tutt 8122 代入微分方程代入微分方程 tuatubtatuctbta 107 tutt 8122 X 81071272abcaba求得求得 20dd0dd20dd0dd2002222crtrtbrtrtarr状状态态为为要要求求的的 0因而有因而有 20dd20dd514542020rtrtrr起始状态与激励源的等效转换起始状态与激励源的等效转换系统
23、响应划分系统响应划分对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识X一起始状态与激励源的等效转换在一定条件下,激励源与起始状态之间可以等效转换。在一定条件下,激励源与起始状态之间可以等效转换。即可以将原始储能看作是激励源。即可以将原始储能看作是激励源。电容的等效电路电容的等效电路电感的等效电路电感的等效电路外加激励源外加激励源系统的完全响应系统的完全响应共同作用的结果共同作用的结果可以看作可以看作起始状态等效激励源起始状态等效激励源系统的完全响应系统的完全响应 = =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应( (线性系统具有叠加性线性系统具有叠加性 ) )X电容器的等效电路 tCCiCtv
24、 d)(1)( tCCiCiC00d)(1d)(1 tCCtiCv00d)(1)0( C)(tvC)(tiC0, 0)0( tvC电路等效为起始状态为零的电容与电压源电路等效为起始状态为零的电容与电压源 的的串联串联 tuvC)0( 等效电路中的等效电路中的电容器的起始电容器的起始状态为零状态为零C)(tvC)(tiC)0(CvX tLLvLti d)(1)( tLLvLvL00d)(1d)(1 )(tiL )(tvLL)0( d)(1)0(0 tvLitLL 故电路等效为起始状态为零的电感故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源和电流源的并联。的并联。)()0(tuiL 电感的等效电路0 0
25、)0( tiL,)(tiL)(tvLL)0( LiX二系统响应划分自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)X 也称固有响应,由系统本身特性决定,与也称固有响应,由系统本身特性决定,与外加激励形式无关。对应于齐次解。外加激励形式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内,完全响应中是指激励信号接入一段时间内,完全响应中暂时出现的有关成分
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