轨道微分方程课件.ppt

1、复习复习:tpFddtLMdd12dpptFI12dLLtMHlleMMtTFdd12dTTrFW保守力保守力:kzVjyVixVVVFgradVrFdd0F势函数的极小处为稳定平衡点，极大处为非稳定平衡点势函数的极小处为稳定平衡点，极大处为非稳定平衡点第二章有心运动和两体问题第二章有心运动和两体问题 2.1 有心力和有心运动有心力和有心运动 2.2 距离平方反比引力作用下的质点运动距离平方反比引力作用下的质点运动 2.3 圆轨道的稳定性圆轨道的稳定性 2.4 与距离平方成反比的斥力作用与距离平方成反比的斥力作用 粒子粒子 的散射的散射 2.5 两体问题两体问题*2.6 任意幂有心力问题的计算

2、任意幂有心力问题的计算*2.7 埃农埃农黑尔斯势问题黑尔斯势问题有心运动：物体在有心力作用下的运动有心运动：物体在有心力作用下的运动力的作用线总是通过空间某一固定点力的作用线总是通过空间某一固定点或称辏力或称辏力力指向的固定点称为力心力指向的固定点称为力心有心运动是一种常见的运动：有心运动是一种常见的运动： 天体的运行天体的运行 原子核外电子的运动原子核外电子的运动 人造地球卫星的发射和运行人造地球卫星的发射和运行 两体问题：如行星绕太阳的运动两体问题：如行星绕太阳的运动 是行星在太阳引力作用下的一种运动，而太是行星在太阳引力作用下的一种运动，而太阳本身并非固定不动（绕银河系中心运动）。阳本身

3、并非固定不动（绕银河系中心运动）。 两体问题研究的是两个相互作用的物体组成两体问题研究的是两个相互作用的物体组成的体系的运动。的体系的运动。2.1 有心力和有心运动有心力和有心运动研究单体绕力心（固定不动）的运动研究单体绕力心（固定不动）的运动（一）基本特性（一）基本特性选力心为坐标原点选力心为坐标原点有心力对力心有心力对力心( (坐标原点坐标原点) )的力矩的力矩有心力作功有心力作功rdd rcosddrrP1P2O1r2rrdrd与路径无关，有心力为保守力与路径无关，有心力为保守力-0)()()(rrrFrrreeeF或：或：有心运动的基本特性：有心运动的基本特性：1. 对力心的动量矩守恒

4、对力心的动量矩守恒2. 有心运动是平面运动有心运动是平面运动),(vrL 决定的平面决定的平面),(00vr和和 为同一平面为同一平面),(vr3. 机械能守恒机械能守恒VF动能定理：动能定理：VrrFdd)(（二）运动方程（二）运动方程( (动力学方程动力学方程) )有心运动为平面运动，宜用平面极坐标有心运动为平面运动，宜用平面极坐标, ree ,reeeea rrrraarrr22（2.4） 221rr rr这个积分实际上是质点角动量守恒定律的极坐标表示式：这个积分实际上是质点角动量守恒定律的极坐标表示式：mL0（2.6）（2.7）（三）轨道微分方程（三）轨道微分方程将上述微分方程消去时间

5、将上述微分方程消去时间t，得到得到r()dduh（2.9）dddduthtuhdddddd22dduh（2.6）（2.10） 二阶非线性微分方程二阶非线性微分方程 比内（比内（BinetBinet）公式）公式2.2 距离平方反比引力作用下的质点运动距离平方反比引力作用下的质点运动轨道及其特性轨道及其特性（一）轨道（一）轨道万有引力，异性电荷万有引力，异性电荷间的相互吸引力，等间的相互吸引力，等（2.10）（2.11b）适当选择极轴方向，使适当选择极轴方向，使0=0（2.15）典型的圆锥曲线极坐标方程典型的圆锥曲线极坐标方程力心（坐标原点）：圆锥曲线的焦点力心（坐标原点）：圆锥曲线的焦点Fe：轨

6、道的偏：轨道的偏/离心率离心率椭圆椭圆1e抛物线抛物线1e双曲线双曲线1ep：正焦弦（：正焦弦（QQ）长度的一半）长度的一半aGG21EGEFaceF：焦点之一，坐标原点：焦点之一，坐标原点EFbac22b：半短轴：半短轴ES1PHPFe(2) 抛物线：与点抛物线：与点F、直线、直线l等距离的动点轨迹等距离的动点轨迹lPH(3) 双曲线：与双曲线：与F、F距离之差为距离之差为2a的动点轨迹的动点轨迹aGG21EGEFeac(1) 椭圆：与椭圆：与 距离之和为距离之和为2a的动点轨迹的动点轨迹FF, 数学知识：圆锥曲线数学知识：圆锥曲线 2007年年10月月24日，嫦日，嫦娥一号月球探测卫星成功

7、娥一号月球探测卫星成功发射升空。发射升空。 地月距离地月距离38万万km。当月球探测卫星在离月球。当月球探测卫星在离月球6.6万万km之外之外时，卫星主要受地球引力作用，其轨道为相对于地球的椭圆型时，卫星主要受地球引力作用，其轨道为相对于地球的椭圆型轨道；在离月球轨道；在离月球6.6万万km之内以后，卫星主要受月球引力作用，之内以后，卫星主要受月球引力作用，其轨道为相对于月球的双曲线轨道。其轨道为相对于月球的双曲线轨道。 只要使月球探测卫星的初始速度只要使月球探测卫星的初始速度10.6km/s(介于第一宇宙介于第一宇宙速度速度7.9km/s 和第二宇宙速度和第二宇宙速度11.2km/s之间），

8、卫星就可以飞之间），卫星就可以飞向月球，进入月球轨道向月球，进入月球轨道 。 1970年年4月月24日，日，中国在酒泉卫星发射中国在酒泉卫星发射中心成功发射第一颗中心成功发射第一颗人造地球卫星人造地球卫星“东方东方红一号红一号” ，中国航，中国航天活动的序幕从此拉天活动的序幕从此拉开。开。 中国已经发射过各种轨道的人造中国已经发射过各种轨道的人造地球地球卫星，但卫星，但是发射人造是发射人造月球月球卫星尚属首次。从地球到月球不但卫星尚属首次。从地球到月球不但距离遥远（距离遥远（38万万km），而且月球自身还在围绕地球），而且月球自身还在围绕地球进行公转，平均运动速度进行公转，平均运动速度1.02

9、3km/s。因此，让嫦娥。因此，让嫦娥一号卫星与运动着的月球精确交会，并沿着卫星在一号卫星与运动着的月球精确交会，并沿着卫星在月球上的工作轨道运行，是一个非常困难的事情。月球上的工作轨道运行，是一个非常困难的事情。在世界探月历史上，多次发生卫星距离月球很远飞在世界探月历史上，多次发生卫星距离月球很远飞过，与月球过，与月球“失之交臂失之交臂”，也曾发生过卫星未能进，也曾发生过卫星未能进入环绕月球的轨道，撞到月球表面上入环绕月球的轨道，撞到月球表面上“粉身碎骨粉身碎骨”。由此可见，嫦娥一号飞行轨道的设计是整个工程中由此可见，嫦娥一号飞行轨道的设计是整个工程中的一项关键技术。的一项关键技术。 当时，

10、中国的航天当时，中国的航天器已经到达的距地球最器已经到达的距地球最远的距离为远的距离为7万公里，而万公里，而地月距离为地月距离为38万公里，万公里，而且月球及其与地球和而且月球及其与地球和太阳的相对关系非常复太阳的相对关系非常复杂。所以嫦娥一号卫星杂。所以嫦娥一号卫星与一般的地球卫星有很与一般的地球卫星有很大不同，在轨道设计、大不同，在轨道设计、测控、制导导航与控制、测控、制导导航与控制、热控和数据接收天线研热控和数据接收天线研制等方面具有自己的特制等方面具有自己的特殊性和关键技术。殊性和关键技术。 2010年年10月月1日日, 嫦娥二号嫦娥二号发射升空。与嫦娥一号相比，发射升空。与嫦娥一号相

11、比，嫦娥二号在外形和重量上并没有太大变化，其最大优点是嫦娥二号在外形和重量上并没有太大变化，其最大优点是飞到月球更快了，嫦娥一号环绕地球飞到月球更快了，嫦娥一号环绕地球7天，然后才飞向月球。天，然后才飞向月球。而嫦娥二号将直接飞到月球，飞行时间约而嫦娥二号将直接飞到月球，飞行时间约120h。 除了除了“直飞直飞”月球外，嫦娥二号的绕月飞行轨道将由月球外，嫦娥二号的绕月飞行轨道将由嫦娥一号时的嫦娥一号时的200km高度降低到高度降低到100km，因而把月球看得更，因而把月球看得更清楚了。由于其主要任务是获得更清晰更详细的月球表面清楚了。由于其主要任务是获得更清晰更详细的月球表面影像数据，因此卫星

12、上搭载的影像数据，因此卫星上搭载的CCD分辨率更高，使拍摄的分辨率更高，使拍摄的月球图片分辨率从月球图片分辨率从120m提高到提高到10m。 2013年年12月月14日，日，嫦娥三号嫦娥三号探测器在月球表面预选着陆探测器在月球表面预选着陆区域成功着陆，标志着我国继前苏联和美国之后成为世界区域成功着陆，标志着我国继前苏联和美国之后成为世界上第三个实现地外天体软着陆的国家。上第三个实现地外天体软着陆的国家。 （二）轨道的特性（二）轨道的特性(2.15)最最小小r ,0离力心距离最近离力心距离最近/ /远远最最大大r ,对椭圆轨道，分别称近对椭圆轨道，分别称近日点日点(G)和和远日点远日点(G)机械

13、能：机械能：VrrFdd)(因机械能守恒，取近日点进行计算因机械能守恒，取近日点进行计算2min/rh(2.19)讨论：讨论：行星的运动，电子绕原子核的运动行星的运动，电子绕原子核的运动r有限有限椭圆椭圆(2.15)1e0E质点没有足够的能量达到无穷远处，只能围绕力心质点没有足够的能量达到无穷远处，只能围绕力心在有限范围内运动在有限范围内运动抛物线的开口抛物线的开口0E恰好可使质点脱离力心束缚恰好可使质点脱离力心束缚双曲线的两条渐近线双曲线的两条渐近线质点有充分的能量脱离力心的吸引质点有充分的能量脱离力心的吸引彗星轨道彗星轨道(E0)，宇宙飞船，宇宙飞船(Emin=0)彗星轨道彗星轨道(E0时

14、时)椭圆轨道的特性：椭圆轨道的特性：轨道的半长轴轨道的半长轴无关与hE,1而而 轨道的半长轴由总机械能决定轨道的半长轴由总机械能决定 机械能确定后，偏心率由角动量确定机械能确定后，偏心率由角动量确定ehE0轨道越扁轨道越扁EGEFace小结小结:有心运动的基本特性有心运动的基本特性对力心的力矩为零，动量矩守恒对力心的力矩为零，动量矩守恒有心运动是平面运动，用平面极坐标描述有心运动是平面运动，用平面极坐标描述有心力为保守力，机械能守恒有心力为保守力，机械能守恒mrFrr)(2 有心运动的动力学方程：有心运动的动力学方程：mLhr02ErVrrm)(21222)(dd2222uFuuumh有心运动

15、的轨道微分方程：有心运动的轨道微分方程：平方反比引力作用下质点的运动：平方反比引力作用下质点的运动：cos1 epr椭圆椭圆1e抛物线抛物线1e双曲线双曲线1eEkmhe4221椭圆轨道：椭圆轨道：akE22ehE0轨道越扁轨道越扁rkV2例例2.1 质量为质量为m的人造地球卫星，以圆轨道绕地球转动。为使其轨道半径的人造地球卫星，以圆轨道绕地球转动。为使其轨道半径r1r2(r1)，卫星先沿一与两圆轨道相切的椭圆轨道运动，到达轨道，卫星先沿一与两圆轨道相切的椭圆轨道运动，到达轨道2后后再加速进入圆轨道再加速进入圆轨道2。求出卫星在两轨道处的速度增加值。求出卫星在两轨道处的速度增加值v1和和v2。

16、引力。引力常数为常数为G，地球质量为，地球质量为m。忽略空气阻力。忽略空气阻力。Eka22椭圆半长轴椭圆半长轴椭圆轨道椭圆轨道A点点AB椭圆轨道椭圆轨道B点点(3)(4)解方程解方程(1)(4)得：得：Eka22地球卫星轨道运动地球卫星轨道运动规律及变轨方法；规律及变轨方法；有心运动机有心运动机械能守恒；械能守恒；例例2.2 彗星的轨道为抛物线，其近日点距离是地球彗星的轨道为抛物线，其近日点距离是地球( (圆圆) )轨道半径的轨道半径的1/n，求证，求证此彗星在地球轨道内运行的时间为一年的此彗星在地球轨道内运行的时间为一年的近日点近日点nRpr0cos1min(1)求彗星在地球轨道内运行的时间求彗星在地球轨道内运行的时间00t t求(2)轨道轨道mm)(0t轨道方程交点： 角动量守恒角动量守恒 一年？地球绕太阳运动的轨道周期一年？地球绕太阳运动的轨道周期Tt dd12cos2cos22nmRGh2地球绕太阳转动的角速度为地球绕太阳转动的角速度为，则，则一年一年得证得证(2)作作业业P72(4), 5, (8)