电磁场的边界条件课件.ppt

1、1第第2章章 电磁场基本方程电磁场基本方程Fundamental Equations of Electromagnetic Fields u1831年法拉第发现了电磁感应现象，导致发电机的发明和人类电气时代的到来.u1864年麦克斯韦创立了普遍的电磁场方程组麦克斯韦方程组,它是宏观电磁现象的基本规律，是本书学习的核心.(1)库仑(Coulumb)定律(2)安培(Ampere)定律(3)法拉第(Faraday)电磁感应定律电磁学三大基本实验定律2主要内容主要内容第第2 2章章 电磁场基本方程电磁场基本方程32.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量Fundament

2、al Laws and Basic Vectors of Static EM Fields库仑定律库仑定律221RqqkRF 21RqkRE RRR112RqRqkE411一、基本定理一、基本定理42.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields积分形式积分形式 微分形式微分形式 特点特点静电场：静电场：无旋场（保守场，无旋场（保守场，位场）位场）静电场的环路定律静电场的环路定律有散场，通量有散场，通量源是电荷源是电荷vEoror高斯定理高斯定理0E vD0ldE

3、l(1)(1)即即QsdDS(2)(2)52.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields安培定律安培定律24RRldIlIdFdllRRldIlIdF24lRRldIB24dvJl dsdJl dI vdvRrJB4 vdvRRrJB24 rJRrJRRrJ1162.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量Fundamental Laws and Basic Vectors of Static EM Fields恒定电流的磁场：恒定电

4、流的磁场：有旋场，旋涡源有旋场，旋涡源是电流是电流安培环路定律安培环路定律无散场（管形无散场（管形场）场）0 Horor磁通连续性原理磁通连续性原理静电场有散无旋，其通量源是静止电荷；恒定磁场有旋无散，其静电场有散无旋，其通量源是静止电荷；恒定磁场有旋无散，其旋涡源是电流。它们互不相关。旋涡源是电流。它们互不相关。JH 0B Il dHl0sdBS积分形式积分形式 微分形式微分形式 特点特点(1)(1)(2)(2)7二、基本场矢量二、基本场矢量图图2.1-4 2.1-4 电流密度的定义电流密度的定义 电场强度电场强度电通（量）密度电通（量）密度 磁场强度磁场强度磁通（量）密度磁通（量）密度体电

5、荷密度体电荷密度体电流密度体电流密度 ( (不是不是 ！) )/(mVEEDmCD：)/(2mAHHBmWbB：)/(23mCv2mA3mA2.1 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量8三、欧姆定律、电荷守恒定律三、欧姆定律、电荷守恒定律EJRIU 2.1 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量欧姆定律的微分形式，本构关系欧姆定律的微分形式，本构关系欧姆定律欧姆定律tJv电流连续性方程电流连续性方程vvvvsdvtdvdtddtdQsdJ9例例2.12图图2.1-3 2.1-3 同轴线同轴线ll和ED及EME如图如图2.1-

6、32.1-3所示，同轴线的内外导体所示，同轴线的内外导体半径分别为半径分别为a a和和b b。在内外导体间加。在内外导体间加电压电压U U，则内导体通过的电流为，则内导体通过的电流为I I，外导体返回的电流为外导体返回的电流为-I-I。a)a)设内外导体上单位长度的带电量分别为设内外导体上单位长度的带电量分别为 ， 求内外导体间的求内外导体间的 ；b)b)用电压用电压U U来表示，则来表示，则 = =？其最大值？其最大值 = =？c)c)若给定若给定b=1.8cmb=1.8cm，应如何选择，应如何选择a a以使用同轴线承受的耐压以使用同轴线承受的耐压最大？最大？2.1 2.1 静态电磁场的基本

7、定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量10ballDdsDls2,2lD 得得D解解 a) 介质层中的电场都沿径向介质层中的电场都沿径向 ，垂直于内外导体表面，垂直于内外导体表面，其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径其大小沿圆周方向是轴对称的。应用高斯定理，取半径 长长1 1 的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，的同轴圆柱为高斯面。作为封闭面，还应加上前后圆盘底面，但是它们与但是它们与 相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。相平行，因而没有通量穿过，不必考虑。于是于是2lDE2.1 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量a

8、bddlEUllballn22故故 abUEln b)b) 11c)c) EMEM最大值发生于最大值发生于 0) 1(ln)ln(2abaUdadEabM得得 1lnabeab故故 cmeba662. 0718. 28 . 12.1 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量同轴线内最大电场强度同轴线内最大电场强度EMEM发生于内导体表面处：发生于内导体表面处： abMaUEln12高斯定理解题步骤：高斯定理解题步骤：（1）分析电场是否具有对称性。）分析电场是否具有对称性。（2）取合适的高斯面）取合适的高斯面(封闭面封闭面)，即取在，即取在E相等的曲面上。相等的曲

9、面上。（4）分别求出）分别求出 ，从而求得，从而求得 及及 。sdDs内SiqDE（3）E相等的面不构成闭合面时，另选法线相等的面不构成闭合面时，另选法线 的面，的面，使其成为闭合面。使其成为闭合面。En 2.1 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量静态电磁场的基本定律和基本场矢量132.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律Faradays Laws of Electromagnetic Induction and the Total Current Law 静电场和静磁场的场源分别是静电荷和等速运动静电场和静磁场的场源分别是静电荷和等速运动的电荷，它们

10、是相互独立的的电荷，它们是相互独立的. .但是时变的电场和但是时变的电场和磁场之间是相互关联的。这首先由英国迈克磁场之间是相互关联的。这首先由英国迈克尔尔法拉第在法拉第在18311831年的实验中发现。年的实验中发现。ldlE回路所感应的电动势回路所感应的电动势 SmsB d回路所交链的磁通量回路所交链的磁通量 问题引入：问题引入：Michael Faraday Michael Faraday （1791179118671867）法拉第电磁感应定律：法拉第电磁感应定律： dtdm一、法拉第电磁感应定律一、法拉第电磁感应定律电场强度沿任一闭合路径的线积分等于该路径所交链的磁通量时电场强度沿任一闭

11、合路径的线积分等于该路径所交链的磁通量时间变化率的负值间变化率的负值 14引起磁通变化的原因分为二类：引起磁通变化的原因分为二类： 回路不变，磁场随时间变化回路不变，磁场随时间变化 磁场不变，回路切割磁力线情形有变磁场不变，回路切割磁力线情形有变2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律 称为感生电动势，如变压器称为感生电动势，如变压器sdtBdtds 称为动生电动势，如发电机称为动生电动势，如发电机lldBvdtd应用应用StokesStokes定理，如果回路是静止的定理，如果回路是静止的( (右边第二项为零右边第二项为零) )，则，则sBsEdd)(SSt

12、tBE因因S S是任意的，从而有是任意的，从而有意义：随时间变化的磁场将激发电场意义：随时间变化的磁场将激发电场 该感应电场是非保守场，其电力线呈闭合曲线。变化的磁场该感应电场是非保守场，其电力线呈闭合曲线。变化的磁场 是产生感应电场的涡旋源。是产生感应电场的涡旋源。t B15二、位移电流和全电流定律二、位移电流和全电流定律现有方程：现有方程： vq D静态电场：静态电场：0qEJH q0qB静态磁场：静态磁场：tiBE时变电场：时变电场：tQSdddsJ电荷守恒定律：电荷守恒定律： 用散度定理，将上式两端用体积分表示用散度定理，将上式两端用体积分表示 dvtdvtvVvVvVdJ得电流连续性

13、方程：得电流连续性方程： tvJ(e)(e)目标：总结出既适合静态场又适合时变场的普遍方程目标：总结出既适合静态场又适合时变场的普遍方程2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律16电场：电场：t BE(a)(a)00,tEEEEqqi因vD(b)(b)00,viiqiDDDD因磁场：磁场：0,iqiBBBB0 B(c)(c)JH ）静态场除非不符合0t)(e (EqJ0H:bv0电流连续性方程电流连续性方程tvJ(e)(e)(d)(d)2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律17tJHv0 btDJH由此得由此得 ettD

14、Jv0t, JH,DDD,HHHqqiqi因tDJH利用利用Eq(cEq(c) , , 则则vDMaxwellMaxwell提出，应保证提出，应保证Eq(eEq(e) )成立，即取成立，即取定义(Displacement current density)(Displacement current density)tDJd位移电流密度位移电流密度22mASm/C：量纲（ ）2安/米James Clerk MaxwellJames Clerk Maxwell（1831183118791879）2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律182.2 2.2 法拉第电磁

15、感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律tBEtDJHvD0BMaxwell方程组方程组19位移电流的性质位移电流的性质1）实质是变化电场，）实质是变化电场，不产生焦耳热！不产生焦耳热！2）在激发磁场方面与）在激发磁场方面与I等效等效3）激发的磁场）激发的磁场B与其成右手螺旋关系：与其成右手螺旋关系：0 tDdIBD0 tDDBdI2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律20磁场强度沿任意闭合路径的线积分，等于该路径所包围曲面上的全电流。磁场强度沿任意闭合路径的线积分，等于该路径所包围曲面上的全电流。 对对Eq.(bEq.(b) ) 两端作面积分，

16、两端作面积分，并用并用StokesStokes定理将左边的面积分化为线积分，定理将左边的面积分化为线积分，得到积分形式的全电流定律得到积分形式的全电流定律 tDJHsldstDJdlH)(2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律21三、全电流连续性原理三、全电流连续性原理a) a) 各个电流特点如下各个电流特点如下 1 1、传导电流：在导体中，由自由电子的定向运动形成：、传导电流：在导体中，由自由电子的定向运动形成：EJc2 2、运流电流：在真空和气体中，带电粒子的定向运动形成：、运流电流：在真空和气体中，带电粒子的定向运动形成：vJvv3 3、位移电流：电

17、通量密度的时间变化率、位移电流：电通量密度的时间变化率 tDJd传导电流、运流电流和位移电流之和称为全电流：传导电流、运流电流和位移电流之和称为全电流： ddvctJJJJJJ2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律22b) b) 全电流连续性原理全电流连续性原理 将磁场的旋度方程将磁场的旋度方程Eq.(bEq.(b) )两端取散度并用散度定理两端取散度并用散度定理 0d)(SdvcsJJJ2.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律穿过任一封闭面的各类电流之和恒为穿过任一封闭面的各类电流之和恒为0 0 0dvcIII23例例

18、2.2-2 已知平板电容器的面积为已知平板电容器的面积为 , , 相距为相距为d, , 介质的介电常数介质的介电常数 ，极板间电压为极板间电压为U。试推导电容器的电流与电压的关系。试推导电容器的电流与电压的关系。 0A平板电容器 解解 忽略极板的边缘效应和感应电场忽略极板的边缘效应和感应电场dtUEDdUE)(,电场电场位移电流密度位移电流密度)(dtdUdtDJd位移电流位移电流IdtdUCdtdUdAdSJISdd)(0二平板间位移电流等于传导电流二平板间位移电流等于传导电流dAC02.2 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律2.3 Maxwell方程组方程

19、组Maxwells Equations 一一、Maxwell方程组及电流连续性方程方程组及电流连续性方程 综上所述综上所述, ,电磁场基本方程组电磁场基本方程组 (Maxwell(Maxwell方程组方程组) )为为tBE（a） tDJH（b） vD（c） 0B（d） dstBdlEsladstDJdlHsl)( bQdsDs c0dsBsd251.1.四个方程的简称和所反映的物理意义四个方程的简称和所反映的物理意义（a a）法拉弟定律：时变磁场将激发电场；）法拉弟定律：时变磁场将激发电场；（b b）全电流定律：电流和时变电场都将激发磁场；）全电流定律：电流和时变电场都将激发磁场；（c c）高

20、斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于该面所包围）高斯定理：穿过任一封闭面的电通量等于该面所包围 的自由电荷电量；的自由电荷电量；（d d）磁通连续性原理：穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。）磁通连续性原理：穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。2.2.电流连续性方程：电流连续性方程： ceJJJbveJJJ或tJv(e)(e)dtdQdsJs e2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组263.3.只有只有(a)(b(a)(b) )是独立方程，是独立方程，(c)(d(c)(d) )可由之导出：可由之导出： 0)(:tDJb 0)D(ttev：代入上式将常数CDv则则得故上式中处处，时由于.

21、 0C, 0D, 00tv cDv同理可导出同理可导出(d)(d)4.4.麦克斯韦麦克斯韦教授根据教授根据(a)(b(a)(b) )导出电磁波的波动方程，发现其传播导出电磁波的波动方程，发现其传播速度与光速相同。他进而推断光也是一种电磁波，并预言其他电速度与光速相同。他进而推断光也是一种电磁波，并预言其他电磁波的存在磁波的存在。2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组27图图2.3-3 2.3-3 赫兹的电磁波实验赫兹的电磁波实验 18871887年德国年青教授赫兹首次发射和接收到电磁波。年德国年青教授赫兹首次发射和接收到电磁波。18881888年证实电磁波以光速传播。从而证实

22、了年证实电磁波以光速传播。从而证实了MaxwellMaxwell的预言。的预言。18951895年马可尼和波波夫成功地进行了无线电报传送实验，开年马可尼和波波夫成功地进行了无线电报传送实验，开始了人类应用电磁波的新纪元。始了人类应用电磁波的新纪元。Heinrich Rudolf HertzHeinrich Rudolf Hertz（1857185718941894）2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组28科学上新的事实与原有理论之间的矛盾是不断出现的，科学上新的事实与原有理论之间的矛盾是不断出现的，并不断地推动着科学的进一步发展并不断地推动着科学的进一步发展-创新。创新。（

23、思考：不是完全对称的。为什么？）（思考：不是完全对称的。为什么？）5. 5. 麦克斯韦方程组反映了自然界电磁现象的和谐美麦克斯韦方程组反映了自然界电磁现象的和谐美。6. Maxwell6. Maxwell电磁理论是相对真理电磁理论是相对真理, ,而不是绝对真理，仅适用而不是绝对真理，仅适用于宏观电磁现象。于宏观电磁现象。2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组29二、本构关系和波动方程二、本构关系和波动方程 a) a) 本构关系本构关系 00导电媒质：理想导体：理想介质：简单媒质是指均匀、线性、各向同性的媒质简单媒质是指均匀、线性、各向同性的媒质 若媒质参数与位置无关，称为均匀

24、媒质；若媒质参数与位置无关，称为均匀媒质；若媒质参数与场强大小无关，称为线性媒质；若媒质参数与场强大小无关，称为线性媒质；若媒质参数与场强方向无关，称为各向同性媒质；若媒质参数与场强方向无关，称为各向同性媒质；若媒质参数与场强频率无关，称为非色散媒质；若媒质参数与场强频率无关，称为非色散媒质；反之反之 称为色散媒质。称为色散媒质。EDHBEJ2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组30b) b) 波动方程波动方程将本构关系，代入将本构关系，代入MaxwellMaxwell方程组，消去方程组，消去 和和 分量，得到分量，得到 和和 的方程组：的方程组： DBEHMaxwellMa

25、xwell方程组限定形式方程组限定形式(2.3-1a)(2.3-1a)(2.3-1b)(2.3-1b)(2.3-1c)(2.3-1c)(2.3-1d)(2.3-1d)tHEtHJHvE 0 H2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组31无源区无源区( )波动方程的推导波动方程的推导: :0, 0vJ将将(1b)(1b)式式和和(1c)式代入上式，并考虑无源情况，得式代入上式，并考虑无源情况，得到电场到电场 的齐次波动方程的齐次波动方程 E同理可得同理可得对对(1a) 式两端取旋度式两端取旋度:HtEEE21方程的解是一种电磁波动，其传播速度是方程的解是一种电磁波动，其传播速度是

26、媒质中媒质中的光速的光速 0222tEE0222tHH2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组32有源区：有源区：场强与场源的关系复杂，一般不直接求解上述方场强与场源的关系复杂，一般不直接求解上述方程，而是引入位函数来求解程，而是引入位函数来求解 和和 .EH可见可见，)(222vtJtEEJtHH2222.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组33三三、电磁场的位函数、电磁场的位函数(了解了解)目的：将非齐次波动方程的求解化为较简单的位函数的求解，目的：将非齐次波动方程的求解化为较简单的位函数的求解， 在求出位函数后便可容易地得出场量在求出位函数后便可容易地得出

27、场量 和和 。HEa) a) 矢量位函数矢量位函数 0:AA从电磁场基本方程组出发从电磁场基本方程组出发, ,vJ、场源H、场量E（直接法）积分微分A位函数（间接法）、图图2.3-4 2.3-4 由场源求场的两种方法由场源求场的两种方法 0B由ABAH1或或b) b) 标量位函数标量位函数 0:这样，我们就将这样，我们就将 和和 用矢量用矢量 和标量和标量 表示表示 EHAt BE由0)(tAEtAE2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组34t DJH由)(ttAJAv Dvt)(A由由vtA2c) c) 位函数的非齐次波动方程位函数的非齐次波动方程 tAtJAA222得因,

28、2AAA：对洛仑兹规范洛仑兹规范（条件条件）定义定义 的散度的散度: :AtA因此，因此，非齐次波动方程非齐次波动方程JtAA222vt2222.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组352) 2) 若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程若场不随时间变化，波动方程蜕变为泊松方程: :1 1） 洛仑兹规范的重要意义洛仑兹规范的重要意义A 简化了位函数与场源之间的关系，使得简化了位函数与场源之间的关系，使得 单独由单独由 决定，决定， 单独由单独由 定，给解题带来了方便；定，给解题带来了方便；vJ洛仑兹规范与电流连续性原理相一致。洛仑兹规范与电流连续性原理相一致。代入洛仑兹规范代入

29、洛仑兹规范J)(222ttJ上式括号为上式括号为 的非齐次波动方程的左边，的非齐次波动方程的左边，因此因此)(etvJ证明：对证明：对 的非齐次波动方程式两边取散度：的非齐次波动方程式两边取散度： JAA)()(222tA 确定确定 的值，与的值，与 共同惟一确定共同惟一确定 ；ABAAv22.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组JA236例例2.31解解 根据麦氏方程式（根据麦氏方程式（aa）有）有 试用麦克斯韦方程组导出图试用麦克斯韦方程组导出图2.3-52.3-5所示的所示的RLCRLC串联电路的串联电路的电压方程（电路全长远小于波长）。电压方程（电路全长远小于波长）。

30、dtddlEl将回路电压分段表示，得将回路电压分段表示，得 0dtdUUUUdacdbcabIRlAIlJldJUbaab10101AlR， dtdILdtdUmbcIdtCUcd1dtdUCI （例（例2.2-22.2-2得：得： ） 图图2.3-5 RLC2.3-5 RLC串联电路串联电路2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组37设外加电场为设外加电场为 则有则有eEedaeadedaUldEldEU因为回路中的杂散磁通可略，因为回路中的杂散磁通可略， 从而得从而得 0dtdeUIdtCdtdILIR1 基尔霍夫电压定律基尔霍夫电压定律 采用复数表示（设角频率为采用复数表

31、示（设角频率为 ) )：)1(CLjIIRUe可见，电路理论的基本方程不过是场方程的一种特殊化。可见，电路理论的基本方程不过是场方程的一种特殊化。 2.3 Maxwell2.3 Maxwell方程组方程组38例例2.32可见导体内的电荷衰减得铜,mF10854. 8,mS108 . 51207利用电流连续性方程和麦氏方程组证明导电媒质内部利用电流连续性方程和麦氏方程组证明导电媒质内部 0v证证 电流连续性方程电流连续性方程 tvJ将简单媒质中麦氏方程将简单媒质中麦氏方程 代入上式，得代入上式，得 /v E0vvttEv因因, EJ有有其解为其解为 t0vve3m/C2.3 Maxwell2.3

32、 Maxwell方程组方程组的时间）为驰豫时间（衰减至此为衰减函数,e1秒191051.可看作零使其中非常快,v392.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件 Boundary Conditions of EM Fields 实际应用中，常需要求解麦氏方程组在不同区域的特解，实际应用中，常需要求解麦氏方程组在不同区域的特解，比如微波电路中通常用到的微带线，它就涉及三种媒质：介比如微波电路中通常用到的微带线，它就涉及三种媒质：介质基片中的媒质、金属导带和空气质基片中的媒质、金属导带和空气 000,111,微带线不同媒质的介电常数不同媒质的介电常数、磁导率、磁导率、电导率、电导率不同，在分界面两侧的

33、不同，在分界面两侧的媒质参数有突变媒质参数有突变。 边界上边界上MaxwellMaxwell方程组的微分失去意义方程组的微分失去意义 从积分形式的从积分形式的MaxwellMaxwell方程组出发推导边界两侧电磁场间的关系方程组出发推导边界两侧电磁场间的关系。40一、一般情形一、一般情形0d)(d2121SttltlElEsBlElElElJItIlHlHsSttlsDlHdd21ttEE21sttJHH21分界面上电场强度的切向分量连续分界面上电场强度的切向分量连续 的切向边界条和HEa) aMaxwell的方程方程组由件 bMaxwell方程组的方程由（不是（不是J J！）！）2.4 2.

34、4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件41 是与小回路面积相垂直方向上的传导电流密度是与小回路面积相垂直方向上的传导电流密度( (单位单位:A/m):A/m) 时，时， 两面积分可以忽略两面积分可以忽略当分界面上有面电流时，小回路包围电流当分界面上有面电流时，小回路包围电流 sJ0h0S2.4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件lJIs向边界条件的和法BDb)420)(d21SBBnnSsBsnnDD21SSDDSSsnnS)()(d2121nDnDsD分界面上磁通密度的法向分量连续分界面上磁通密度的法向分量连续 dMaxwell方程组的方程由BD取一个圆柱形小体积元如右图所示，忽略穿出侧

35、壁的通量，取一个圆柱形小体积元如右图所示，忽略穿出侧壁的通量，计算通过上下底面的通量，面上的计算通过上下底面的通量，面上的 和和 可以视为常数。可以视为常数。 由由MaxwellMaxwell方程组的方程方程组的方程c（不是（不是 ）v ( (单位：单位：C/mC/m2 2) )是分界面上自由电荷的面密度（理想导体是分界面上自由电荷的面密度（理想导体电导率电导率 ，内部不存在电场，电荷只存在于理想导体表，内部不存在电场，电荷只存在于理想导体表面，形成面电荷）面，形成面电荷） snnBB212.4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件43EH(a) (a) 任何分界面上任何分界面上电场电场

36、的切向分量连续的切向分量连续。 (b) (b) 分界面上若分界面上若存在面电流，则磁场存在面电流，则磁场 的切向分量不连续的切向分量不连续，其差等于面电流密度，其差等于面电流密度， （这种情况只在理想导体表面存在，即，只有理想导体（这种情况只在理想导体表面存在，即，只有理想导体表面存在面电流）；表面存在面电流）； 否则磁场否则磁场 的切向分量连续的切向分量连续。 H代数式 矢量式 ttEE21sttJHH21snnDD21nnBB21021EEnsJHHn21sDDn21021BBn(1a)(1b)(1c)(1d)(2a)(2b)(2c)(2d)2.4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件

37、44D(c)(c)分界面上分界面上有面电荷时，电通密度的法向分量不连续有面电荷时，电通密度的法向分量不连续，其差等于面电荷密度，（这种情况也只在理想导体表面存其差等于面电荷密度，（这种情况也只在理想导体表面存在，即，只有理想导体表面存在面电荷）；在，即，只有理想导体表面存在面电荷）； 否则电通密度否则电通密度 的法向分量连续。的法向分量连续。(d)(d)任何分界面上任何分界面上磁通密度磁通密度 的法向分量连续。的法向分量连续。 B 基于两个散度方程得出的边界条件与基于两个旋度方程得出的基于两个散度方程得出的边界条件与基于两个旋度方程得出的边界条件是否完全相独立？边界条件是否完全相独立？ 的切向

38、分量边界条件成立，则的切向分量边界条件成立，则 的法向分量边界条件必成立的法向分量边界条件必成立( (例例2.4-3) 2.4-3) ； 的切向分量边界条件成立，则的切向分量边界条件成立，则 的法向分量边界条件也必的法向分量边界条件也必成立。成立。 在分析时变场问题时，只需用在分析时变场问题时，只需用 和和 在分界面上的切向分量在分界面上的切向分量边界条件即可。边界条件即可。 2.4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件EHDBEH45二、两种常见情形二、两种常见情形a) 两种理想介质间的边界条件两种理想介质间的边界条件 0理想介质理想介质 的分界面上的分界面上 ，0sJ0s代数式代数式

39、矢量式矢量式 ttEE21sttJHH21snnDD21nnBB2121EnEn21HnHn21DnDn21BnBn2.4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件46b)理想介质与理想导体间的边界条件理想介质与理想导体间的边界条件代数式代数式 01tEstJH 1snD101nB矢量式矢量式 01EnsJHn1sDn101Bn设媒质设媒质是理想介质，是理想介质，是理想导体是理想导体 022 DE022 HB导体表面处导体表面处：电场只有法向分量，而磁场只有切向分量。：电场只有法向分量，而磁场只有切向分量。理想导体表面的电磁场 1Hn ssJ1E0“电立不躺，磁躺不立电立不躺，磁躺不立” 2.

40、4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件47习题习题2.1-42.1-4abcxII题图题图2-1 2-1 同轴线横截面同轴线横截面 解解 圆柱坐标系下直流导体中通过圆柱坐标系下直流导体中通过的电流密度是均匀的。的电流密度是均匀的。外导体外导体SlSdtsJsDJlHd)(d应用应用MaxwellMaxwell方程组的方程方程组的方程 ： b2aIJa内导体的电流密度大小：内导体的电流密度大小： HH同轴线通过直流电流同轴线通过直流电流I I，内外导体，内外导体上电流大小相等，方向相反。求各上电流大小相等，方向相反。求各区域中的磁场区域中的磁场 和其旋度和其旋度 ，并验证各分界面处的边界条

41、件。并验证各分界面处的边界条件。22bcIJb（a a）内导体区域）内导体区域: a22aJH22 aIH22aIH2.4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件48azaIHHzHHHHzJzzzzH2)(1)( )( 11bab)(IH22IH0)2(1IzHcbc)(222222)(2bccIbJIHb22222bccIH)()2(1222222bcIbccIzzHcd)(02IIH0H0H2.4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件49 处aaaaIHHt2112aaIHHt2222aIHHtt221 处bbbIHHt222bIHHt233bIHHtt232 处cc0222223

42、bccccIHt04tHttHH43所以各分界面处的切向磁场分量连续另外，所以各分界面处的切向磁场分量连续另外，法向分量法向分量BnBn，即，即 处处为处处为0 0，因此它也是，因此它也是连续的。连续的。B下面验证边界条件：下面验证边界条件：2.4 2.4 电磁场的边界条件电磁场的边界条件502.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量Poynting Theorem and Poynting Vector 一、坡印廷定理 电磁场是具有能量的。时变电磁场中的能量守恒定律电磁场是具有能量的。时变电磁场中的能量守恒定律坡印廷定理；坡印廷定理； 坡印廷矢量是描述电磁场能量流动的物理量。坡印廷

43、矢量是描述电磁场能量流动的物理量。)()()(HEEHHE利用矢量恒等式将将Maxwell Eqs(a) 、(b)代入后：代入后： )()()(tDJEtBHHEJEtDEtBHHE)(即即51VVSdvEdvHEt222)2121(d)sHE(对简单媒质：对简单媒质： 代入上式，两端作体积分，应用散度定理后，有代入上式，两端作体积分，应用散度定理后，有,21212EttEEtEEtDEe2wE21电场能量电场能量( (体体) )密度密度，)21(212HttHHtHHtBHm2wH21磁场能量磁场能量( (体体) )密度密度，2EEEJEp2E热损耗功率密度热损耗功率密度2.5 2.5 坡印

44、廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量522.5 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量 右端代表体积右端代表体积V V中电磁场能量的增加率和热损耗功率中电磁场能量的增加率和热损耗功率 左端是单位时间内流入封闭面左端是单位时间内流入封闭面S S的能量。的能量。 表示表示体积体积V V中电磁场能量的增加率和热损耗功率，等于单中电磁场能量的增加率和热损耗功率，等于单位时间内流入封闭面位时间内流入封闭面S S的能量的能量。此即时变电磁场中的能量守恒定律，称为此即时变电磁场中的能量守恒定律，称为PoyntingPoynting定理定理。二、坡印廷矢量二、坡印廷矢量W/mW/m2 2定义

45、坡印廷矢量：定义坡印廷矢量：HES表示单位时间内流过单位面积的电磁表示单位时间内流过单位面积的电磁能量，亦即功率流密度；能量，亦即功率流密度； 的方向代的方向代表波传播的方向，也是电磁能量流动表波传播的方向，也是电磁能量流动的方向。的方向。SvmvesdvpdvwwtdsS)(53例例 2.5-32.5-3 用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量用坡印廷矢量分析直流电源沿同轴电缆向负载传送能量的过程。设内外导体半径分别为的过程。设内外导体半径分别为a a和和b b，为理想导体。为理想导体。 解解 理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。理想导体内部电磁场为零。电磁场分布如图所示。

46、电场强度电场强度)/ln(abUE2IH磁场强度磁场强度2)/ln(IabUzHES坡印廷矢量坡印廷矢量单位时间内流入内外导体间的横截面单位时间内流入内外导体间的横截面A A的总能量为的总能量为2.5 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量baAUIdabUIdsP2/ln22S54 穿过任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部传穿过任一横截面的能量相等，电源提供的能量全部传给了负载。给了负载。 电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导电磁能量是通过导体周围的介质传播的，导线只起导向作用。向作用。这表明：这表明：2.5 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量z

47、zSz HES传递给负载：传递给负载：SzzHES0若导体若导体 ，导体中有欧姆电流，导体中有欧姆电流 则有则有,JEz E,EJz Jzz这一部分形成导体损耗。这一部分形成导体损耗。55例 2.5-1 导线半径为导线半径为a，长为，长为 ，电导率为，电导率为 ，试用坡印廷矢，试用坡印廷矢量计算导线损耗的能量。量计算导线损耗的能量。l 解解 思路：思路：PISHE,设2aIzJE导体内电场强度导体内电场强度22aIH磁场强度磁场强度以导体表面为闭合面，则导体吸以导体表面为闭合面，则导体吸收的电磁场功率为收的电磁场功率为Sd)HE(PSadl2aa2IaI22SRIalI222图图2.5-32.

48、5-3直流导线段直流导线段2.5 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量562.5 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量可见，传给导体的电磁场功率就等于该导体电阻的损耗功率可见，传给导体的电磁场功率就等于该导体电阻的损耗功率RI2上面我们从场的观点也导出了电路中的焦耳定理：上面我们从场的观点也导出了电路中的焦耳定理： , ,其微分形式为：其微分形式为：RIP222JEJEP三、场与路的一些对应关系三、场与路的一些对应关系ldlEUdlHIl 电路理论中电压电路理论中电压U U和电和电流流I I是某一物理区域中电是某一物理区域中电磁反应的总和：磁反应的总和： 57E

49、HHESEJRUI 22JEpRIRUP22tEJddtdUCI 221Ewe221CUWe221Hwm221LIWm电场强度电场强度磁场强度磁场强度功率流密度功率流密度电阻导体电阻导体电容器电容器电感电感 场场路路UI电压电压电流电流IUP功率功率582.6 惟一性定理惟一性定理Uniqueness Theorem 问题引入：问题引入：用麦氏方程组求解电磁场问题时，在什么条件下用麦氏方程组求解电磁场问题时，在什么条件下所得解是惟一的？所得解是惟一的？一、惟一性定理表述一、惟一性定理表述 2211,HEHE设设 为满足同一麦氏方程组和边界条为满足同一麦氏方程组和边界条件的解，并设媒质是线性的，

50、则麦氏方程组也是线性件的解，并设媒质是线性的，则麦氏方程组也是线性的，因此它们的线性组合的，因此它们的线性组合 21EEE21HHH必是麦氏方程组的解。必是麦氏方程组的解。E对于时变电磁场，对封闭面对于时变电磁场，对封闭面S S所包围的体积所包围的体积V V，若给定，若给定S S面上电场面上电场 或磁场或磁场 的切向分量，则在体积的切向分量，则在体积V V内任内任一点，场方程的解是惟一的。一点，场方程的解是惟一的。 HVVSdvdvts222)2121(d)EHEnHE(由坡印廷定理得由坡印廷定理得590 En0 Hn或或方程左边的方程左边的积分项积分项0) () ()(EnHHEHEnn因而