直线的方程两直线的交点坐标与距离公式课件.ppt

1、1名称方程适用范围斜截式不能表示垂直于x轴的直线点斜式不能表示垂直于x轴的直线两点式不能表示垂直于坐标轴的直线截距式不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式AxByC0(A2B20)能表示平面上任何直线yk kxbyy1k k(xx1)提示：提示：截距和距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与截距和距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y轴的轴的交点的纵坐标，横截距是直线与交点的纵坐标，横截距是直线与x轴的交点的横坐标；距离是一个非负数轴的交点的横坐标；距离是一个非负数2 线段的中点坐标公式线段的中点坐标公式若点若点P1，P2的坐标分别为的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线

2、段且线段P1P2的中点的中点M的的坐标为坐标为(x，y)，则，则x 且且y . 直线直线l1：A1xB1yC10与与l2：A2xB2yC20的交点坐标就是方的交点坐标就是方程组程组 的的 .2解解33 距离公式距离公式(1)两点间的距离公式：已知点两点间的距离公式：已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)，|AB| ；(2)点到直线的距离公式：已知点点到直线的距离公式：已知点P(x0，y0)，直线，直线l：AxByC0，则则d ；(3)两平行线间的距离公式：已知直线两平行线间的距离公式：已知直线l1：AxByC10，直，直 线线l2：AxByC20，则，则d .44【思考思考】 在应用点到直线

3、的距离公式与两条平行线间的距离公式在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式时应注意什么问题？时应注意什么问题？答案：答案：(1)求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；(2)求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算般形式后，才能套用公式计算51过点过点(1，1)和和(0，3)的直线在的直线在y轴上的截距为轴上的截距为()A B. C3 D3解析：解析：由斜率公式求得由斜率公式求得k k2，直线方程为：直线方程为：y32x令令x0，y3.答案：答案

4、：D6若三条直线若三条直线2x3y80，xy10和和xk kyk k 0相交相交于一点，则于一点，则k k等于等于()解析：解析：由由 得得(1，2)，代入，代入xk kyk k得得k k答案：答案：B27已知点已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段，则线段AB的垂直平分线的方程为的垂直平分线的方程为()A4x2y5 B4x2y5Cx2y5 Dx2y5解析：解析：k kAB 则线段则线段AB的垂直平分线的斜率的垂直平分线的斜率k k2，又线，又线段段AB的中点坐标为的中点坐标为 则线段则线段AB的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为y 2(x2)，即，即4x2y5.答案：答案：B38已知点已知

5、点(a,2)(a0)到直线到直线l：xy10的距离为的距离为2，则则a等于等于_解析：解析：由点到直线的距离公式得：由点到直线的距离公式得：|a1|2 ，又，又a0，a12答案：答案：1249确定一条直线需要两个独立条件，故求直线方程时就应围绕如何根据已知条确定一条直线需要两个独立条件，故求直线方程时就应围绕如何根据已知条件确定或找出能确定直线方程的两个条件，从而达到求出直线方程的目件确定或找出能确定直线方程的两个条件，从而达到求出直线方程的目的一般地，已知直线过一点，一般考虑点斜式或斜截式；已知直线过两点，的一般地，已知直线过一点，一般考虑点斜式或斜截式；已知直线过两点，一般考虑两点式；已知

6、直线与两坐标轴相交得到的三角形的相关条件，一般一般考虑两点式；已知直线与两坐标轴相交得到的三角形的相关条件，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式10 求经过点求经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程思维点拨：思维点拨：选择截距式和斜截式均可选择截距式和斜截式均可解：解法一：解：解法一：设直线设直线l在在x，y轴上的截距均为轴上的截距均为a，若若a0，即，即l过点过点(0,0)和和(3,2)，l的方程为的方程为y 即即2x3y0.若若a0，则设，则设l的方程为的方程为l过点过点

7、P(3,2)，a5，l的方程为的方程为xy50，综上可知，直线综上可知，直线l的方程为的方程为2x3y0或或xy50.【例例1】 11解法二：解法二：由题意，所求直线的斜率存在且由题意，所求直线的斜率存在且k0，设直线方程为设直线方程为y2k k (x3)，令令y0，得得x3 ，令令x0，得得y23k k，由已知由已知3 23k k，解得解得k k1或或k k 直线直线l的方程为的方程为：y2(x3)或或y2 (x3)即即xy50或或2x3y0.12 求经过点求经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程的直线方程解：解：当直线过原点

8、时，截距相等且均为零截距，当直线过原点时，截距相等且均为零截距，直线方程为直线方程为y2x.当直线不过原点时，可设方程为：当直线不过原点时，可设方程为： 1，将将(1,2)代入可求得代入可求得a3或或a1，直线方程为直线方程为xy3或或xy1.故所求直线方程为故所求直线方程为2xy0或或xy30或或xy10.拓展拓展1：13求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法确定其中的参数，待定系数法求直线方程的步骤：法确定其中的参数，待定系数法求直线方程的步骤：设出所求直线方程；设出所求直线方程；由条件建立所求参数

9、的方程由条件建立所求参数的方程(组组)；解这个方程解这个方程(组组)求出参数；求出参数；把参数的值代入所设的方程把参数的值代入所设的方程14 直线直线l经过点经过点P(3,2)且与且与x，y轴的正半轴分别交于轴的正半轴分别交于A、B两点，两点，OAB的面积为的面积为12，求直线，求直线l的方程的方程思维点拨：思维点拨：题中题中OAB的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式【例例2】解：解法一解：解法一：设直线：设直线l l的方程为的方程为 1(a0，b0)，A(a,0)，B(0，b)，所求直线所求直线l l的方程为的方程为 1，即即2x3y120

10、.15解法二：解法二：设直线设直线l的方程为的方程为y2k k (x3)，令令y0，得直线，得直线l在在x轴的正半轴上的截距轴的正半轴上的截距a3令令x0，得直线，得直线l在在y轴的正半轴上的截距轴的正半轴上的截距b23k k， (23k k)24，解得，解得k k所求直线所求直线 l 的方程为的方程为y2 (x3)，即即2x3y120.16 一条直线一条直线l过点过点P(1,4)，且分别交且分别交x轴轴，y轴的正半轴于轴的正半轴于A、B两点两点，O为原点，求为原点，求AOB的面积最小时直线的面积最小时直线l的方程的方程解：解：设直线设直线l： 1(a，b0)因为点因为点P(1,4)在在l上上

11、，所以所以 1.由由1所以所以SAOB ab8.当当 即即a2，b8时取等号，且此时时取等号，且此时AOB的面积最小的面积最小故故4xy80为所求直线为所求直线l的方程的方程. .变式变式2：17应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时，直线方程应应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时，直线方程应 化为一般式，特别是两平行线距离公式中化为一般式，特别是两平行线距离公式中x、y系数必须相等系数必须相等 过点过点P(1,2)引一直线，使它与两点引一直线，使它与两点A(2,3)，B(4,5)的距离相等，求的距离相等，求 这这条直线方程条直线方程【例例3】18解：解法一：解：

12、解法一：设直线设直线l的方程为的方程为y2k k (x1)，即即k kxyk k20.由题意知由题意知即即|3k k1|3k k3|，k k 直线直线l的方程为的方程为y2即即x3y50.当直线当直线l的斜率不存在时，直线方程为的斜率不存在时，直线方程为x1，也适合题意，也适合题意故所求直线方程为故所求直线方程为x3y50或或x1.解法二：解法二：当当ABl时，有时，有k kk kAB直线直线l的方程为的方程为y2 即即x3y50.当当l过过AB中点时中点时，AB中点为中点为(1,4)直线直线AB方程为方程为x1，故所求直线故所求直线l的方程为的方程为x3y50，或，或x1.19在对称问题中，

13、点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；也可以先求出过点也可以先求出过点A与与l垂直的直线方程，再求中点坐标，处理线关于线的垂直的直线方程，再求中点坐标，处理线关于线的对称可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称都可转对称可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称都可转化为点关于点的对称来处理，结合化为点关于点的对称来处理，结合“代入法代入法”求轨迹方程的思想方法解题求

14、轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法也是这类问题的一个通法20 求直线求直线l1：y2x3关于直线关于直线l：yx1对称的直线对称的直线l2的方程的方程思维点拨：思维点拨：转化为点关于直线的对称，利用方程组求解转化为点关于直线的对称，利用方程组求解解：解：解法一：由解法一：由知直线知直线l1与与l的交点坐标为的交点坐标为(2，1)， 设直线设直线l2的方程为的方程为y1k k (x2)，即即k kxy2k k10.在直线在直线l上任取一点上任取一点(1,2)，由题设知点由题设知点(1,2)到直线到直线l1、l2的距离相等，的距离相等，由点到直线的距离公式得由点到直线的距离公式得解得解得

15、k k (k k2舍去舍去)，直线直线l2的方程为的方程为x2y0.【例例4】21解法二：解法二：设所求直线上一点设所求直线上一点P(x，y)，则在直线则在直线l1上必存在一点上必存在一点P1(x0，y0)与点与点P关于直线关于直线l对称对称由题设：直线由题设：直线PP1与直线与直线l垂直，且线段垂直，且线段PP1的中点的中点P2在直线在直线l上上代入直线代入直线l1：y2x3，得，得x12(y1)3，整理得，整理得x2y0.所以所求直线方程为所以所求直线方程为x2y0.22【方法规律方法规律】1直线一定有倾斜角，但不一定都存在斜率；因此在求直线方程时，一直线一定有倾斜角，但不一定都存在斜率；

16、因此在求直线方程时，一定要判断所求直线是否存在斜率，若斜率存在时再选择适当的方程形式定要判断所求直线是否存在斜率，若斜率存在时再选择适当的方程形式求直线方程求直线方程2求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法系数，这种方法叫待定系数法3重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点P(x，y)，再找出再找出x，y的一次关系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关的一次关系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关于直线对称的直

17、线方程就可用轨迹法来求于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.23【高考真题高考真题】(2009全国全国卷卷)若直线若直线m被两平行线被两平行线l1：xy10与与l2：xy30所所截得的线段的长为截得的线段的长为2 则则m的倾斜角可以是的倾斜角可以是1530456075其中正确答案的序号是其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号写出所有正确答案的序号)24【规范解答规范解答】解析：解析：两平行线间的距离为两平行线间的距离为d 如图所示，可知直线如图所示，可知直线m与与l1、l2的夹角为的夹角为30，l1、l2的倾斜角为的倾斜角为45，所以直线，所以直线m的倾斜角等于的倾斜角等于304575或

18、或453015.故填故填.答案：答案：点评：点评：最常出现的错误就是漏解最常出现的错误就是漏解25【探究与研究探究与研究】本题的目的是考查考生利用直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行本题的目的是考查考生利用直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等基础知识灵活解决问题的能力及数形结合思想的运线间的距离等基础知识灵活解决问题的能力及数形结合思想的运用用26该类问题的一般解决方法是通过数形结合转化为两直线该类问题的一般解决方法是通过数形结合转化为两直线的夹角问题如图所示，设直线的夹角问题如图所示，设直线m m被两条平行线被两条平行线l l1 1、l l2 2所所截得的线段长度为截得的线段长度为l

19、 ，两平行线间的距离是，两平行线间的距离是d.当当l=d时，时，直线直线m与与l1、l2垂直，根据垂直关系解决；垂直，根据垂直关系解决；当当l d时，根据图中的直角三角形可以求出直线时，根据图中的直角三角形可以求出直线m与直与直线线l1、l2的夹角，根据这个夹角和直线的夹角，根据这个夹角和直线l1、l2的倾斜角就可以求出直线的倾斜角就可以求出直线m的倾斜角的倾斜角27本题也可以直接设出直线方程求解：当直线本题也可以直接设出直线方程求解：当直线m的斜率不存在时，不妨设直线的斜率不存在时，不妨设直线m的方程为的方程为x0，此时直线，此时直线m与直线与直线l1，l2的交点是的交点是(0,1)，(0,3)，这两点之间的距，这两点之间的距离为离为2，不等于，不等于2 故直线故直线m的斜率一定存在设直线的斜率一定存在设直线m：ykx(这样设不失这样设不失一般性一般性)，与，与l1的方程联立得交点坐标是的方程联立得交点坐标是 与与l2的方程联立得交点坐的方程联立得交点坐标是标是 根据两点间的距离公式得根据两点间的距离公式得 , 化简，得化简，得k k24k k10，解得，解得k k2 故直线故直线m的倾斜角是的倾斜角是15或或75.