洛仑兹变换课件.ppt

1、1 前已看出，相对论的时间和空间是相互联系不前已看出，相对论的时间和空间是相互联系不可分割的。三维空间和一维的时间构成了统一可分割的。三维空间和一维的时间构成了统一的四维时空空间。本节我们进一步把四维时空的四维时空空间。本节我们进一步把四维时空理论用简洁的四维形式表示出来，进而将物理理论用简洁的四维形式表示出来，进而将物理量表示成明显的四维协变形式，从而清楚的显量表示成明显的四维协变形式，从而清楚的显示出一些物理量之间的内在联系。示出一些物理量之间的内在联系。 在讨论四维时空变换之前，先复习二维在讨论四维时空变换之前，先复习二维(三维三维)的空间旋转变换的性质。的空间旋转变换的性质。2 对于二

2、维坐标旋转变换，如对于二维坐标旋转变换，如图坐标系图坐标系S旋转旋转变为变为S S 坐坐标系。设平面上任一点标系。设平面上任一点P P在在S S系和系和S S 上的坐标分别为上的坐标分别为) , (),(yxyx和cossinsincosxxyyxxyxyxcossinsincos2222yxyxaaIaa) (oo SS x x yy) , (),(yxyxP 它们之间的变换关系为它们之间的变换关系为 用矩阵形式表示用矩阵形式表示 它是一个正交矩阵，它是一个正交矩阵， 正交条件正交条件a3 对于三维空间旋转变换的讨论与二维相同。对于三维空间旋转变换的讨论与二维相同。) , , (),(,zy

3、xzyxSS系，相应的坐标系zayaxazzayaxayzayaxax333231232221131211)3 , 2 , 1,(jiaij的函数和是321,xzxyxx) 3 , 2 , 1(ixaxjiji取值到是自由指标，代表可从求和到是相同指标，代表从3131ij 新旧坐标之间的变换一般可写成新旧坐标之间的变换一般可写成 若用若用 上方程就可表示成如下的简洁形式上方程就可表示成如下的简洁形式4 矩阵形式矩阵形式321333231232221131211321xxxaaaaaaaaaxxxjkikijiiiiaaIaaaaxxxxxxxxxx还可用矩阵元表为单位矩阵用矩阵表示可表示成)(

4、232221232221) 3 , 2 , 1(ixaxjjii 旋转变换距离保持不变，即具有正交性旋转变换距离保持不变，即具有正交性 据此可得上述变换的反变换据此可得上述变换的反变换5 证明：对证明：对 两边同乘以两边同乘以 得得)3 , 2 , 1(ixaxjijiikakjkjjijikiikxxxaaxa 正交性)3 , 2 , 1(kxaxiikk即)(1321321aaxxxaxxx 此即反变换。其矩阵形式为此即反变换。其矩阵形式为6 第二章我们已经介绍了物理量按张量分类，可第二章我们已经介绍了物理量按张量分类，可归纳为归纳为 1）标量：坐标旋转变换下不变的量，如）标量：坐标旋转变

5、换下不变的量，如q=q 2）矢量：其分量在坐标旋转变换下按如下坐）矢量：其分量在坐标旋转变换下按如下坐标的变换关系变换标的变换关系变换)3 , 2 , 1(iuaujiji算符九个分量)3 , 2 , 1,(jiTaaTkljlikij 例如：速度，力，电场强度，例如：速度，力，电场强度， 3）二阶张量：其分量在坐标旋转变换下按如）二阶张量：其分量在坐标旋转变换下按如下形式变化下形式变化7 两个矢量的并积就是一二阶张量。两个矢量的并积就是一二阶张量。 可定义高阶张量。可定义高阶张量。 注意注意：重复指标代表求和，这种运算称为：重复指标代表求和，这种运算称为指标收缩。一般有几个自由指标，就是几指

6、标收缩。一般有几个自由指标，就是几阶张量。阶张量。 如如 AiBi是标量，是标量，uiTij 有一个自由指标，是有一个自由指标，是一阶张量（即矢量），一阶张量（即矢量），uiTjk有三个自由指有三个自由指标，代表三阶张量。标，代表三阶张量。83 洛仑兹变换的四维形式洛仑兹变换的四维形式 形式上引入第四维虚数坐标形式上引入第四维虚数坐标ictx 4矩阵形式1443322411xixxxxxxxixx43214321000100001000 xxxxiixxxx返回)4 , 3 , 2 , 1(xax 则洛仑兹变换的形式变为则洛仑兹变换的形式变为9 相应的间隔不变可表示为相应的间隔不变可表示为阵元

7、）是洛仑兹变换矩阵（矩其中)(aa不变量xxxxaaIaaaa或 xax 它就等价于洛仑兹变换的正交性条件它就等价于洛仑兹变换的正交性条件 由此还可得洛仑兹反变换由此还可得洛仑兹反变换 可见，可见，洛仑兹变换可形式上看成是四维洛仑兹变换可形式上看成是四维时空的转动变换，此变换具有正交性时空的转动变换，此变换具有正交性。10 注意注意：三维和四维指标符号表示不同，三维和四维指标符号表示不同，三维情况下，各量分量的下标用三维情况下，各量分量的下标用i，j，k等拉丁字母表示，它可以从等拉丁字母表示，它可以从1到到3取值，取值，相应的相同指标代表从相应的相同指标代表从1到到3求和。为了求和。为了与三维

8、区分，在四维时空空间，各量分与三维区分，在四维时空空间，各量分量的下标均用希腊字母量的下标均用希腊字母 等来表等来表示，它可从示，它可从1到到4取值，其相同指标代表取值，其相同指标代表从从1到到4求和。求和。,11 在四维形式中，时间和空间统一在四维时空空在四维形式中，时间和空间统一在四维时空空间内，惯性参考系的变换相当于四维时空空间间内，惯性参考系的变换相当于四维时空空间的的“转动转动”。由于物质在时空中运动，描述物。由于物质在时空中运动，描述物质运动及属性的物理量必然会反映时空变换的质运动及属性的物理量必然会反映时空变换的特点。在此将三维形式推广，我们就可以将物特点。在此将三维形式推广，我

9、们就可以将物理量在四维空间理量在四维空间“转动转动”（洛仑兹变换）下的（洛仑兹变换）下的性质进行分类。性质进行分类。 1）洛仑兹不变量（标量）：在洛仑兹变换下）洛仑兹不变量（标量）：在洛仑兹变换下不变的量，如：间隔、固有时等不变的量，如：间隔、固有时等12 2）四维矢量：具有四个分量，且每个分量在）四维矢量：具有四个分量，且每个分量在洛仑兹变换下与四维时空坐标的变换形式相同，洛仑兹变换下与四维时空坐标的变换形式相同，即即xax)4 , 3 , 2 , 1,(TaaT 3）二阶张量：它有）二阶张量：它有16个分量，且每个分量在个分量，且每个分量在洛仑兹变换下满足如下变换形式洛仑兹变换下满足如下变

10、换形式 高阶张量可同样定义。高阶张量可同样定义。 下面我们分别对四维速度矢量和四维波矢量进下面我们分别对四维速度矢量和四维波矢量进行讨论行讨论13 通常意义下的速度通常意义下的速度ui=dxi/dt，它不代表四维速，它不代表四维速度矢量的分量，因为度矢量的分量，因为dxi按矢量变化，同时按矢量变化，同时dt也也在洛仑兹变换下变化。实际上，这一点我们也在洛仑兹变换下变化。实际上，这一点我们也可直接从洛仑兹速度变换公式看出可直接从洛仑兹速度变换公式看出，2122332122222111/1/1/1/1/1cucuucucuucuuu 显然它不是洛仑兹变换。显然它不是洛仑兹变换。它在洛仑兹变换下不是

11、它在洛仑兹变换下不是按四维时空坐标的形式按四维时空坐标的形式变化所以它不代表四维变化所以它不代表四维速度矢量的分量。速度矢量的分量。14 定义定义 为为四维速度矢量四维速度矢量。ddxU),(ictxxiddtdtdxddx22321/1/1),(cuddticuuudtdxu而),(),(321icuicuuuddxUuu 它是一个四维矢量是显然的，因为它是一个四维矢量是显然的，因为d是一个不变是一个不变量，而量，而dx是一个四维矢量。是一个四维矢量。x是一个四维坐标是一个四维坐标 所以所以15UaUiiuU , 1 注意注意：四维速度矢量的前三分量并不是普通：四维速度矢量的前三分量并不是普

12、通意义下的速度，其联系为当意义下的速度，其联系为当 uc时，时， 即四维速度矢量的前三分量在即四维速度矢量的前三分量在 uc时就趋于时就趋于普通意义下的速度。这也就是定义它为四维速普通意义下的速度。这也就是定义它为四维速度矢量的原因。度矢量的原因。 四维速度矢量既然是四维矢量，那么它在洛仑四维速度矢量既然是四维矢量，那么它在洛仑兹变换下按四维矢量变化，即兹变换下按四维矢量变化，即16 设有一角频率为设有一角频率为，波矢为，波矢为k的平面电磁波在真的平面电磁波在真空中传播。在另一个参考系观察该平面电磁波空中传播。在另一个参考系观察该平面电磁波的频率和传播方向都将会发生改变（这分别由的频率和传播方

13、向都将会发生改变（这分别由多普勒效应和光行差效应所证实）。现以多普勒效应和光行差效应所证实）。现以和和 k表示表示S上观察到这同一平面电磁波的频率和上观察到这同一平面电磁波的频率和波矢。那么它们之间将满足怎样的关系呢？为波矢。那么它们之间将满足怎样的关系呢？为了回答这个问题，我们先来说明了回答这个问题，我们先来说明相位相位txk构成四维矢量及),(cik 是洛仑兹不变量是洛仑兹不变量17 设参考系设参考系S和和S的原点在时刻的原点在时刻t=t=0重合。在该时刻，原重合。在该时刻，原点处的电磁波处于波峰（事点处的电磁波处于波峰（事件件1），相位为），相位为0. 即即) (SS) (xx) (oo

14、S) (xxo o S)0, 0(0ttxxtxktxk 在在S上一周期上一周期t0之后原点之后原点x=0 处于第二个波峰，相位为处于第二个波峰，相位为-2 （这是事件（这是事件2）,其时空坐标为其时空坐标为S(0，t0)。在。在S上上观察事件观察事件2，它的时空坐标为（，它的时空坐标为（x，t），），18 同样观察这第二事件也应该处于波峰（这是物同样观察这第二事件也应该处于波峰（这是物理事实），所以相位也应是理事实），所以相位也应是-2，从而我们可，从而我们可以看出在参考系变换下，相位应该是不变的，以看出在参考系变换下，相位应该是不变的，即相位是洛仑兹不变量即相位是洛仑兹不变量不变量txkt

15、xk 注意注意：在此不变性是物理事实（也就是从实验：在此不变性是物理事实（也就是从实验的角度考虑的）。关于相位不变性我们还可以的角度考虑的）。关于相位不变性我们还可以通过洛仑兹变换证明它的不变性；可用场的变通过洛仑兹变换证明它的不变性；可用场的变换来证明以及通过光子的四动量变换关系证明换来证明以及通过光子的四动量变换关系证明.对此不作证明，下面依据相位不变讨论问题对此不作证明，下面依据相位不变讨论问题19 据相位不变有据相位不变有不变量txktxk不变量ticcixkticcixk不变量),(),() , (), (ticxcikticxcik 它可作如下变形它可作如下变形 进一步可写为进一步

16、可写为 我们知道，我们知道，(x，ict) 构成四维坐标矢量，而构成四维坐标矢量，而(k，i/c) 与此四维矢量点乘的结果是四维标量。与此四维矢量点乘的结果是四维标量。故故(k，i/c)也构成四维矢量。也构成四维矢量。20 标记为标记为),(cikkkxk x 不变量)4 , 3 , 2 , 1(kak 它的前三个分量就是通常意义下的波矢。它的前三个分量就是通常意义下的波矢。 这时相位不变可表示为这时相位不变可表示为 波矢量在洛仑兹变换下按一般的四维矢量形式波矢量在洛仑兹变换下按一般的四维矢量形式变化，即变化，即 对特殊洛仑兹变换它就可写为对特殊洛仑兹变换它就可写为21 可见，尽管从可见，尽管

17、从S系看这波仍然是平面波，但其系看这波仍然是平面波，但其频率和传播方向都发生变化。频率和传播方向都发生变化。)4()()3()2() 1 ()(13322211kkkkkckk则轴方向的夹角为与现设波矢),() () (xxkksinsincoscos11ckckckck22 由由（1）得得)4()/cos1 ()4(c得：由)1 ()/(cos)/cos(coscc)2(sinsinkk)/cos1 ()/(cossintancc)4()1/()2(光行差公式光行差公式多普勒效应多普勒效应 由（由（2）和（）和（3）得）得 所以有所以有23 设设S相对于光源静止，则相对于光源静止，则 =0，

18、从而得相对，从而得相对论多普勒效应论多普勒效应)/cos1 (0c）横向（2/220/1c220/1/cTTc)()/cos1 (0经典多普勒效应c运动时钟延缓运动时钟延缓横向多普勒效应横向多普勒效应24 说明：说明：1）光行差公式也可通过速度变换公式）光行差公式也可通过速度变换公式推得；推得；2 2）光行差现象最早由）光行差现象最早由Bradley（布（布拉特莱）于拉特莱）于1728年用天文观测所发年用天文观测所发现。在地球上观测恒星时，任一恒现。在地球上观测恒星时，任一恒星的视位置（表观位置）在一年内星的视位置（表观位置）在一年内有周期性的变化，或者说观察用的有周期性的变化，或者说观察用的

19、望远镜跟踪恒星时镜筒指向将会出望远镜跟踪恒星时镜筒指向将会出现周期性的近似于圆的椭圆运动现周期性的近似于圆的椭圆运动（如图）。这可作如下解释（如图）。这可作如下解释25 如图如图a设地球相对于太阳系设地球相对于太阳系S的运的运动速度为动速度为，在，在S系上看到某一恒系上看到某一恒星发出的光线的倾角为星发出的光线的倾角为=-（恒星很运可认为恒星发的是平（恒星很运可认为恒星发的是平行光），在地球上（行光），在地球上（S系）用望系）用望远镜观察该恒星时，倾角为远镜观察该恒星时，倾角为 =- ，由于，由于c则则c/cossintan图a图b 由于地球绕太阳公转，一年内其运动方向变化一由于地球绕太阳公转

20、，一年内其运动方向变化一个周期，因此同一恒星发出的光线的表观方向亦个周期，因此同一恒星发出的光线的表观方向亦变化一个周期（如图变化一个周期（如图b）。这已由天文学实验证实）。这已由天文学实验证实.sintan (cos/ ) c26 在相对论以前的理论中，上述光行差的存在被在相对论以前的理论中，上述光行差的存在被解释为地球相对于解释为地球相对于“以太以太”的运动。但其后的的运动。但其后的迈克耳孙迈克耳孙莫莱实验却否定了地球相对于莫莱实验却否定了地球相对于“以太以太”的运动。正是这种矛盾的出现，才导的运动。正是这种矛盾的出现，才导致了致了“以太以太”和绝对参考系的被否定。从而建和绝对参考系的被否

21、定。从而建立了狭义相对论。立了狭义相对论。27 在参考系变化时方程形式不变的性质称为在参考系变化时方程形式不变的性质称为协变性协变性。具有协变性的方程中的物理量就称为具有协变性的方程中的物理量就称为协变量协变量。只有。只有方程中各项是同类协变量的方程才具有协变性，反方程中各项是同类协变量的方程才具有协变性，反过来具有协变性的方程各项必须是同类协变量。过来具有协变性的方程各项必须是同类协变量。 如如F=G +T 的两边都是四维矢量，所以此方程是的两边都是四维矢量，所以此方程是协变的，它在任何惯性参考系下都可表示成这同一协变的，它在任何惯性参考系下都可表示成这同一形式。利用反变换形式。利用反变换T

22、GFTaTGaGFaF形式不变，方程具形式不变，方程具有协变性。有协变性。28 据相对性原理，电磁现象的基本规律对任意惯据相对性原理，电磁现象的基本规律对任意惯性系都可表示成相同的形式。而麦氏方程组总性系都可表示成相同的形式。而麦氏方程组总结了宏观电磁现象的基本规律，由它导出的电结了宏观电磁现象的基本规律，由它导出的电磁波在真空中以光速磁波在真空中以光速c传播等一系列推论都被传播等一系列推论都被实验所证明。因此麦氏方程组就应适用于任何实验所证明。因此麦氏方程组就应适用于任何惯性系，它就能表示成相对论的四维协变形式惯性系，它就能表示成相对论的四维协变形式. 因为在麦氏方程组中出现有电流密度和电荷

23、密因为在麦氏方程组中出现有电流密度和电荷密度。它们是激发电磁场的源，现先讨论它们的度。它们是激发电磁场的源，现先讨论它们的变换性质。变换性质。29 据电荷守恒定律，带电体系的总电荷应该始终据电荷守恒定律，带电体系的总电荷应该始终保持不变，即总电荷保持不变，即总电荷Q不随坐标系的变化而改不随坐标系的变化而改变，它是洛仑兹标量。变，它是洛仑兹标量。0dVdVdVQdVQQQQ缩短纵向按横向不变2222/1/1cucudVdV 设电荷系统固结于设电荷系统固结于S系，它相对于系，它相对于S系以速度系以速度u运动，那么运动，那么30 从而我们就可得到从而我们就可得到022022/1/1/ ucucu)

24、1 (00uuuJuu)2(04icicJuUicuicJJu00),(),( 可见电荷体密度在洛仑兹变换下是一变化的量可见电荷体密度在洛仑兹变换下是一变化的量. 当粒子以速度当粒子以速度u运动时，其电流密度为运动时，其电流密度为 如果引入电流密度的第四个分量如果引入电流密度的第四个分量 则按前面定义的四维速度矢量，（则按前面定义的四维速度矢量，（1）和（）和（2）式合起来可表示成式合起来可表示成31 在此电流密度在此电流密度J和电荷密度和电荷密度 合为四维矢量，这显合为四维矢量，这显示了这两个物理量的统一性。在参考系改变时，示了这两个物理量的统一性。在参考系改变时，它们可相互转化。但电荷守恒

25、定律在任何惯性参它们可相互转化。但电荷守恒定律在任何惯性参考系中都是适用的，现可表示成考系中都是适用的，现可表示成0 xJ显然它是协变的，是显然它是协变的，是一个洛仑兹标量。一个洛仑兹标量。 从这一事实充分说明，由于相对论时空的统一，从这一事实充分说明，由于相对论时空的统一，使得在相对论中不同的物理量之间显示出了它们使得在相对论中不同的物理量之间显示出了它们的统一性。下面我们还将看出电场和磁场（矢势的统一性。下面我们还将看出电场和磁场（矢势和标势）等也具有这种统一性。和标势）等也具有这种统一性。32 在讲电磁波的辐射时将电磁场用势在讲电磁波的辐射时将电磁场用势A和和 来表示，来表示，描述电磁场

26、的麦氏方程组化成了势所满足的波描述电磁场的麦氏方程组化成了势所满足的波动方程。为方便我们先讨论在洛仑兹规范条件动方程。为方便我们先讨论在洛仑兹规范条件下势所满足的达朗伯尔方程所具有的协变形式下势所满足的达朗伯尔方程所具有的协变形式（性）（性）)01(1120222202222tcAtcJtAcA33利用四维时空坐标，达朗伯尔方程的左边可写为利用四维时空坐标，达朗伯尔方程的左边可写为AxxxxAtc)()1(2422322222122222xx这里242232222212xxxx0/)()(40020icJicicc 称为称为。进一步将。进一步将 变形得变形得AAxx34 所以有所以有 此式与此

27、式与 的右边构成四维矢量的右边构成四维矢量 所以它们的左边也应构成四维矢量。而所以它们的左边也应构成四维矢量。而是洛是洛仑兹标量算符，则仑兹标量算符，则 构成四维矢量。构成四维矢量。 用用 表示，即表示，即40)(JciJA0J0)/,(ciAA),(ciAA00 xAJA 这样势所满足的达朗伯尔方程及洛仑兹规范条这样势所满足的达朗伯尔方程及洛仑兹规范条件就可分别表为件就可分别表为35 在参考系变换（洛仑兹变换）下，四维在参考系变换（洛仑兹变换）下，四维势矢量按四维矢量变换势矢量按四维矢量变换 即即)()(13322211AAAAAcAA)4 , 3 , 2 , 1(AaA36 电磁场用势表示

28、分别为电磁场用势表示分别为tAEAB,211231331232231xAxABxAxABxAxAB)()()(433434224241141xAxAicExAxAicExAxAicE 其分量形式为其分量形式为37 如果我们引入一个反对称的四维张量如果我们引入一个反对称的四维张量)(AAxAxAF123132231FBFBFB343242141icFEicFEicFE334224114123213312,EciFEciFEciFBFBFBF 从定义的上述反对称张量可将电场和磁场分别从定义的上述反对称张量可将电场和磁场分别表为表为 由此得由此得38 则此反对称张量用矩阵形式可表示为则此反对称张量用

29、矩阵形式可表示为0000321312213123EciEciEciEciBBEciBBEciBBFFaaF 电磁场张量是四维二阶张量，它在洛仑兹变换电磁场张量是四维二阶张量，它在洛仑兹变换下按二阶张量的规律变化。即下按二阶张量的规律变化。即39 电磁场可以表示成电磁场张量，用电磁场张量电磁场可以表示成电磁场张量，用电磁场张量可将麦克斯韦方程组表示成如下的四维协变形可将麦克斯韦方程组表示成如下的四维协变形式式JtEBE0000tBEB0)(0AJxF)(0BxFxFxF40 下面下面推导推导上述的麦克斯韦方程组的协变形式上述的麦克斯韦方程组的协变形式)(0203322110iciccxExExE

30、E40332211JxEcixEcixEci) 1 (40404034324214144JxFJxFxFxFF 41 用电磁场张量表示为用电磁场张量表示为101001)(JtEB101232231JtEcxBxB)2(10104141031321211JxFxFJxFxFF )3()(202202002JxFJtEB)4()(303303003JxFJtEB 同理可得同理可得42 将（将（1）（4）式合起来即为（）式合起来即为（A）式）式)()4 , 3 , 2 , 1(0AJxF00332211xBxBxBB)6(0)(4233422344111xFxFxFxBictBE)3, 2, 1()

31、5(0312231123xFxFxF)4, 3, 2(43 同理得同理得)7(0)(13441334122xFxFxFtBE)8(0)(24112441233xFxFxFtBE)2, 1, 4() 1, 4, 3()()4 , 3 , 2 , 1:(0BxFxFxF3421 综合（综合（5）（8）式便可得式（）式便可得式（B）44研究的问题是：两个相对运动的惯性系中研究的问题是：两个相对运动的惯性系中在确定的时空点在确定的时空点P PS S 系系)(tzyx S系系)(tzyxE BEBEDB H场量场量EDB H场量场量EB已已知知EB已已知知45 电磁场表示成电磁场张量，电磁场的变换关系电

32、磁场表示成电磁场张量，电磁场的变换关系可通过电磁场张量的变换关系推出，电磁场张可通过电磁场张量的变换关系推出，电磁场张量的变换关系为量的变换关系为FaaF123332232231BFaaFaaFBFaaFB31132)()(3223343141311EcBaFaFa)(2233EcBB)(),(,23332211BEEBEEEE 同理可得同理可得4611EE 322BEE233BEE11BB 3222EcBB2233EcBB（- -）逆变换逆变换11EE)(322BEE)(233BEE)()(2233322211EcBBEcBBBB47 变换可表示成如下的矢量形式变换可表示成如下的矢量形式|B

33、EEEEBEEEE2|2|EcBBBBEcBBBB481 1）在运动方向上在运动方向上 ，电场、磁场分量相等，电场、磁场分量相等2 2）在在垂直运动方向上垂直运动方向上 ，电场、磁场之间有关系，电场、磁场之间有关系3 3）矢势和标势统一为四维势矢量，电场和磁场统一为）矢势和标势统一为四维势矢量，电场和磁场统一为电磁场张量。这反映了电磁场的统一性和相对性。电电磁场张量。这反映了电磁场的统一性和相对性。电场和磁场是同一种物质的两个方面，在给定参考系下场和磁场是同一种物质的两个方面，在给定参考系下，电场和磁场表现出不同的性质；但参考系变化时，电场和磁场表现出不同的性质；但参考系变化时，它们可以相互转

34、化，这正是它们的统一性。它们可以相互转化，这正是它们的统一性。4 4）如果产生场的电荷在某个惯性系中静止，则在这个）如果产生场的电荷在某个惯性系中静止，则在这个系中只有静电场，没有磁场。但在另一与之有相对运系中只有静电场，没有磁场。但在另一与之有相对运动的惯性系就既有电场，也有磁场。动的惯性系就既有电场，也有磁场。讨论讨论49逆变换逆变换332211EEEEEE223322110EcBEcBBB BBBxyz000特殊情况：特殊情况：在一个参考系中只有静电场在一个参考系中只有静电场则在则在S S系，不仅有系，不仅有电场电场还有还有磁场磁场EcB21很容易得到很容易得到50 从前面的讨论我们似乎

35、可以看出，通过洛仑兹从前面的讨论我们似乎可以看出，通过洛仑兹变换总可以使变换总可以使E和和B有任意取值。其实这种电场有任意取值。其实这种电场和磁场的相对性之中还包含着绝对性的一面，和磁场的相对性之中还包含着绝对性的一面，这就是电磁场的不变量。这就是电磁场的不变量。 因为电磁场用电磁场张量因为电磁场用电磁场张量F来表示，故我们要来表示，故我们要找电磁场的不变量只需求出电磁场张量可能的找电磁场的不变量只需求出电磁场张量可能的各种标积，显然我们只能构成两个独立不变量各种标积，显然我们只能构成两个独立不变量它们都是四维标量FFFF51 可证可证不变量不变量EBciFFBcEcFF)(22222不变量不

36、变量EBBcE222讨论讨论0BEBE 故电磁场构成两个不变量故电磁场构成两个不变量 1）若电场和磁场在一惯性系中是相互垂）若电场和磁场在一惯性系中是相互垂直的直的 ，则，则 那么在任意惯性系中都将是垂直的。那么在任意惯性系中都将是垂直的。 52 2）如）如 的绝对值在一惯性系中相等，即的绝对值在一惯性系中相等，即 ，则在任意惯性系中它们还相，则在任意惯性系中它们还相等等(如平面波如平面波)BcE和0222BcE性系使得，则我们找不到一个惯若在惯性系中BcE)3 4）若在一个惯性系中）若在一个惯性系中E和和B的夹角是钝角的夹角是钝角(锐锐则我们找不到相反，若在一惯性系中BcEBcE;BcE一个

37、惯性系使得53 角角)，则在任意惯性系中，则在任意惯性系中 的夹角也是钝角的夹角也是钝角(锐角锐角)。BE和222222BcEBcE还是 5）若在一惯性系中，若在一惯性系中，EB=0，则总能找到一个，则总能找到一个惯性系，使其中只有电场或只有磁场。具体是惯性系，使其中只有电场或只有磁场。具体是只有电场还是只有磁场，就要看只有电场还是只有磁场，就要看 至此，电磁现象的参考系问题就完全获得解决。至此，电磁现象的参考系问题就完全获得解决。54例例 匀速运动的点电荷的电磁场量匀速运动的点电荷的电磁场量已知：实验室参考系中点电荷已知：实验室参考系中点电荷q求：求：EB解：取电荷在其静止的参考系为解：取电

38、荷在其静止的参考系为S S系系实验室参考系为实验室参考系为 系系 S Eqrr402 B0 EqxrEqyrEqzrxyz444030303 x 运动速度运动速度S系中系中分量式分量式55Sqyyx x rPEEqxrxx 403 zzyyEEEEyzzyxxEcBEcBBB220由场量变换得由场量变换得56利用洛仑兹坐标变换得用利用洛仑兹坐标变换得用S S系的量表示的结果，要注系的量表示的结果，要注意的是所有距离都是对意的是所有距离都是对S S系同时测量的。系同时测量的。zzyyxx,2/1222zyxr2211c2/1222zyxr57EEEExyz2222/32222030)(144zy

39、xrqrrqEqrrsin4110222232 2cEB结果结果2/32222330)1 (14rzyrrq2322220sin114rq581)1)电力线电力线041022Eqr241102212Eqr2)2)高斯定理高斯定理在两个惯性系中同时画的闭合面在两个惯性系中同时画的闭合面0qsdES q0与运动无关与运动无关0qSdES高斯定理也适用于运动电荷的电场高斯定理也适用于运动电荷的电场场强不同场强不同 但电力线的总条数不变但电力线的总条数不变讨论讨论593)3)低速时低速时Eqrrsin411022223 2 rrq4200 静电场静电场2024rrqcEBqPr608 狭义相对论动力学

40、基础狭义相对论动力学基础 高速运动时动力学概念如何？高速运动时动力学概念如何？ 基本出发点：基本出发点： 1）基本规律在洛仑兹变换下形式不变，牛顿）基本规律在洛仑兹变换下形式不变，牛顿力学理论需要修改；力学理论需要修改； 2）低速时回到牛力学）低速时回到牛力学 本节我们通过力学中的几个基本问题的分析，本节我们通过力学中的几个基本问题的分析，得到相对论的协变力学方程。得到相对论的协变力学方程。61 描述经典力学的基本规律是牛顿定律描述经典力学的基本规律是牛顿定律dtPdF 这一规律在旧时空的伽利略变换下是协变的，这一规律在旧时空的伽利略变换下是协变的，然而新时空观要求力学规律应在洛仑兹变换下然而

41、新时空观要求力学规律应在洛仑兹变换下是协变的。那么这首先要求把力学方程修改为是协变的。那么这首先要求把力学方程修改为四维形式。这样问题就归结为怎样引入四维动四维形式。这样问题就归结为怎样引入四维动量和四维力的问题。量和四维力的问题。62 在经典力学情况下，在经典力学情况下， 是经典动量，它在旧时空是经典动量，它在旧时空的伽利略变换下是协变的，然而在相对论中，的伽利略变换下是协变的，然而在相对论中， 不再是协变量，即不是四维协变量的前三分量，不再是协变量，即不是四维协变量的前三分量，它与四维速度矢量相联系它与四维速度矢量相联系 ，且在低，且在低速情况下，四维速度的前三分量就近似为普通意速情况下，

42、四维速度的前三分量就近似为普通意义下的速度义下的速度 。现我们就利用四维速度矢量定义。现我们就利用四维速度矢量定义一个四维动量。一个四维动量。m),(icU),(000cimmUmP 定义定义 按空间分量和时间分量可分为按空间分量和时间分量可分为63 当当c时时，P就趋于经典动量，因此我们就可就趋于经典动量，因此我们就可以认为以认为P 就是相对论中物体的动量。就是相对论中物体的动量。 下面我们再来分析下面我们再来分析P4的物理意义，首先将其在的物理意义，首先将其在c时的低速情况下进行展开时的低速情况下进行展开2220042200/1/1/ccmcicimPcmmPP时间分量空间分量)21(20

43、204mcmciP 括号内的第二项就代表物体的动能，可见括号内的第二项就代表物体的动能，可见P4与与物体的能量有关。物体的能量有关。64 进一步可进一步可证明证明物体的总能量为物体的总能量为2220/1ccmWWciP 4),(WciPP200cmW 2022200/1cmccmWWT20cmTW（内部能量）（内部能量） 所以四维动量可表为所以四维动量可表为 即构成即构成 当当=0时，物体的动能为零总能量为时，物体的动能为零总能量为 即即65 1）在此，静止能量是一个常数）在此，静止能量是一个常数m0c2，在经典情形，在经典情形，我们知道对能量附加一个常数是无意义的。然而在我们知道对能量附加一

44、个常数是无意义的。然而在相对论情形，物体的静止能量（相对论情形，物体的静止能量（ m0c2 ）的出现是）的出现是狭义相对论协变性直接要求狭义相对论协变性直接要求的，不可删掉。的，不可删掉。 2）从物理的角度看，自然界最基本的定律之一是）从物理的角度看，自然界最基本的定律之一是能量转化和守恒定律。对于在此出现的能量附加项能量转化和守恒定律。对于在此出现的能量附加项只当它可以转化为其它形式的能量时才有物理意义。只当它可以转化为其它形式的能量时才有物理意义。那么它就能够在一定的条件下转变成其它形式的能那么它就能够在一定的条件下转变成其它形式的能量。这一点已被实验所证明量。这一点已被实验所证明(原子能

45、的利用等原子能的利用等)讨论讨论66 由四维动量可构成不变量由四维动量可构成不变量不变量222cWPPP200, 0cmWWP2202220cmcWP420222cmPcWW20cmPc 在物体静止时，在物体静止时， 即即67 1）质能关系）质能关系 前述前述m0c2是相对论协变性所要求的，它代表的是相对论协变性所要求的，它代表的是物体静止时所具有的内部能量。这说明，静是物体静止时所具有的内部能量。这说明，静止物体的内部还存在着运动，一定质量的粒子止物体的内部还存在着运动，一定质量的粒子就对应着一定的内部能量。反之，带有一定内就对应着一定的内部能量。反之，带有一定内部运动能量的粒子就表现有一定

46、的惯性质量。部运动能量的粒子就表现有一定的惯性质量。200cmW 它的被揭示是相对论的重要推论之一。它的被揭示是相对论的重要推论之一。68 由于协变性与物体的具体结构无关。所以对于由于协变性与物体的具体结构无关。所以对于复合物体，上述质能关系仍然成立，即复合物体，上述质能关系仍然成立，即200cMW 复合物体静止复合物体静止(质心静止质心静止)时的总内部能量时的总内部能量复合物体的静止质量复合物体的静止质量 当一组物体构成复合物体时，由于各粒子之间当一组物体构成复合物体时，由于各粒子之间有相互作用能以及相对运动的动能，因而当物有相互作用能以及相对运动的动能，因而当物体整体静止时，它的总能量一般

47、就不等于构成体整体静止时，它的总能量一般就不等于构成组合粒子的静止能量之和，即组合粒子的静止能量之和，即69 两者之差就称为两者之差就称为，即，即200cmWi第第i个粒子的质量个粒子的质量020WcmWi00MmMi200/cWM 与此对应物体的质量与此对应物体的质量M0= W0/c2 亦不等于组成亦不等于组成它的各粒子静止质量之和，两者之差称为它的各粒子静止质量之和，两者之差称为：1）质能关系已被大量实验相当好的证）质能关系已被大量实验相当好的证明，这反过来更加说明了狭义相对论的正确性明，这反过来更加说明了狭义相对论的正确性70 质能关系是原子能利用的主要依据。我们可以说法使物质能关系是原

48、子能利用的主要依据。我们可以说法使物体的质量亏损（如聚变和裂变过程），从而可使物体的体的质量亏损（如聚变和裂变过程），从而可使物体的惯性质量向小的方向转化，以释放出能量。惯性质量向小的方向转化，以释放出能量。衰变0)(2光子无静止质量光子的能量cm 2）质能关系反映了作为惯性量度的质量和作为运动量度的）质能关系反映了作为惯性量度的质量和作为运动量度的能量之间的关系。在物质反应和转化过程中，物质的存在能量之间的关系。在物质反应和转化过程中，物质的存在形式发生变化，运动形式也发生变化，但不是说物质转化形式发生变化，运动形式也发生变化，但不是说物质转化为能量。物质在转化过程中并未消灭，而只是从一种形

49、为能量。物质在转化过程中并未消灭，而只是从一种形71 式转化为另一种形式。式转化为另一种形式。(如如 )，在转化，在转化过程中，能量保持守恒。在相对论中，能量和动过程中，能量保持守恒。在相对论中，能量和动量守恒仍然是自然界最基本的定律。量守恒仍然是自然界最基本的定律。0VMmm22112022cMmc0V022002122mcmmM 两全同粒子以相同的速率相向运动，碰后复两全同粒子以相同的速率相向运动，碰后复合。求复合粒子的速度和质量。合。求复合粒子的速度和质量。 解：设复合粒子质量为解：设复合粒子质量为M， 速度为速度为V，碰撞过程，碰撞过程，由动量和能量守恒得由动量和能量守恒得72 为使牛

50、顿力学方程在新时空的洛仑兹变换下是为使牛顿力学方程在新时空的洛仑兹变换下是协变的，上述我们已经构成了四维动量协变的，上述我们已经构成了四维动量即能即能量动量四维矢量量动量四维矢量P。如果用固有时来量度能量。如果用固有时来量度能量动量变化率，则此变化率动量变化率，则此变化率ddPddPK 因此若外界对物体的作用可以用一个四维力矢因此若外界对物体的作用可以用一个四维力矢量量K 来描述的话，则来描述的话，则就可写成就可写成如下的协变形式如下的协变形式 也是一四维矢量。也是一四维矢量。73 在低速近似下，上方程应过渡到经典的牛顿定在低速近似下，上方程应过渡到经典的牛顿定律。律。 的空间分量也应过渡到经