弹簧谐振子课件.ppt

1、 为迎接香港回归，柯受良为迎接香港回归，柯受良19971997年年6 6月月1 1日驾车飞跃黄河壶口。日驾车飞跃黄河壶口。东岸跑道长东岸跑道长265m265m，柯受良驾车从跑道东端起动，到达跑道终端，柯受良驾车从跑道东端起动，到达跑道终端时速度为时速度为150km/h150km/h，他随即以仰角，他随即以仰角5 5 冲出，飞跃跨度为冲出，飞跃跨度为57m57m，安，安全落到西岸木桥上。全落到西岸木桥上。第第1章章 质点运动学质点运动学力力 学：学：研究机械运动规律的学科研究机械运动规律的学科. .运动学运动学动力学动力学静力学静力学：只描述只描述物体的运动，物体的运动，不涉及不涉及引起运动和改

2、变运动的原因；引起运动和改变运动的原因；：研究研究物体的运动物体的运动与与物体间相互作用的内在联系；物体间相互作用的内在联系；: : 研究研究物体在相互作用下的物体在相互作用下的平衡问题平衡问题. .1.1 质点运动的描述质点运动的描述主要内容：主要内容：1. 质点质点 参考系参考系 坐标系坐标系2. 位置矢量与运动方程位置矢量与运动方程3. 位移与路程位移与路程4. 速度速度5. 加速度加速度第第1章章 质点运动学质点运动学1.1.1 质点质点 参考系参考系 坐标系坐标系在所研究的问题中，可忽略形状和大小的物体在所研究的问题中，可忽略形状和大小的物体xyzOP参照物参照物参考系参考系：参照物

3、：参照物 + + 坐标系坐标系(1) 运动学运动学参考系可任选参考系可任选。(2) 参考物选定后，参考物选定后，坐标系可任选坐标系可任选。运动形式相同，数学表述不同。运动形式相同，数学表述不同。(3) 常用坐标系常用坐标系直角坐标系直角坐标系（ x , y , z ） 球坐标系球坐标系（ r, ）柱坐标系柱坐标系（ , , z ） 自然坐标系自然坐标系 ( s )质质 点点：有质量而无形状和大小。有质量而无形状和大小。 理想模型：突出了理想模型：突出了物体物体的的质量质量和和位置。位置。意意 义：义：简化问题、研究一般问题的基础简化问题、研究一般问题的基础1.1 质点运动的描述质点运动的描述（

4、地球、分子（地球、分子)质点某时刻位置质点某时刻位置P1.1.2 确定质点位置的常用方法确定质点位置的常用方法与与运动方程运动方程1. 直角坐标法直角坐标法zxyOz),(zyxPyx参参考考物物2. 位置矢量法位置矢量法kzj yi xr由由位置矢量位置矢量 表示。表示。r位矢的大小为：位矢的大小为：222zyxrzxyO),(zyxPr参考物参考物rxcos cosrzrycosP(x, y, z)位置矢量位置矢量的直角坐标的直角坐标表示：表示：位矢的方向：位矢的方向：意义：意义：.3. 自然坐标自然坐标法法已知已知质点的质点的运动轨迹运动轨迹时，用时，用自然自然坐标坐标法法。4. 运动方

5、程运动方程直角坐标直角坐标形式形式)(txx )(tyy )(tzz ktzjtyitxtrr)()()()(自然坐标自然坐标形式形式)(tss 已知运动方程，可求质点已知运动方程，可求质点运动轨迹运动轨迹、速度速度和和加速度加速度参参考考物物OsP s)(Pss 意义意义:自然坐标：自然坐标：位置矢量形式位置矢量形式运动方程运动方程构成了对质点运动的构成了对质点运动的完备描述完备描述. .5.5.轨迹方程轨迹方程从运动方程中消去参数从运动方程中消去参数 t 得运动轨迹方程。得运动轨迹方程。( (描述质点位置的描述质点位置的) )坐标坐标随随时间变化的关系时间变化的关系. .1.1 质点运动的

6、描述质点运动的描述u确定质点位置的常用方法确定质点位置的常用方法直角坐标直角坐标形式形式位置矢量形式位置矢量形式自然坐标自然坐标形式形式u运动方程运动方程直角坐标直角坐标形式形式)(txx )(tyy )(tzz ktzjtyitxtrr)()()()(自然坐标自然坐标形式形式)(tss 位置矢量形式位置矢量形式运动方程运动方程构成了对质点运动的完备描述构成了对质点运动的完备描述. .一质点作匀速率圆周运动，半径为一质点作匀速率圆周运动，半径为r ，角速度为，角速度为 。建立：直角坐标系建立：直角坐标系OXY ，t = 0: 质点位于质点位于O 点点t 时刻时刻: :质点位于质点位于P（x ,

7、 y） costrxxyPt xyOrs例例解解 ),(yxO 求求 用用直角坐标直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动方程。、位矢、自然坐标表示的质点运动方程。+直角坐标表示直角坐标表示的运动方程为的运动方程为 sin trytrs用用位矢表示位矢表示用用自然坐标表示自然坐标表示j tri trj yi xrsincos求求解解hvx220) ()(htltxv坐标表示为坐标表示为例例 如图所示，以恒定如图所示，以恒定速率速率v 收绳，收绳，绳跨绳跨一定滑轮拉湖面上一定滑轮拉湖面上的船，已知绳初始的船，已知绳初始长度长度 l 0 0，岸高，岸高 h取坐标系如图取坐标系如图依题意有依题意有tl

8、tl )(0v0l)(tl)(txO船的运动方程船的运动方程总结：总结： 确定运动学方程的步骤确定运动学方程的步骤：（1）建立（参考系）坐标系）建立（参考系）坐标系（2）明确起始条件）明确起始条件（3）找出质点坐标随时间变化的函数关系。）找出质点坐标随时间变化的函数关系。1.1.3 位移与路程位移与路程 1. 位移位移)(tr在直角坐标系中：在直角坐标系中： 注意注意:1.位移位移与坐标的选取无关，与坐标的选取无关，位置矢量位置矢量与坐标的选取有关。与坐标的选取有关。)()(trttrr),(BBBzyxB),(AAAzyxAr)(ttrzyxo)( )(AAABBBkzjyixkzjyixr

9、kzzjyyixx)()()(ABABABkzj yi x(描述质点位置变化的物理量描述质点位置变化的物理量)rtrttr)()(OrOr2. 与与 的区别的区别.rrr的意义：的意义：)()(trttrrrr所以所以zyxo)(tr)(ttrrAB即即当当t 0 时时 即即 2. 路程路程定义定义: :当当t 很小时很小时近似近似相等，即相等，即srsrtt00limlimsrdd质点沿质点沿运动轨迹运动轨迹所经过的所经过的实实际路径际路径的长度。的长度。路程与位移的比较路程与位移的比较: :(1)路程路程是标量，是标量，位移位移是矢量。是矢量。(2)位移位移的大小一般不等于的大小一般不等于

10、路程路程。srs)(trxyz)(ttrABo1.1.4 速度速度trv1.平均速度平均速度大小：大小：tr |v方向：方向：r的方向。的方向。2.瞬时速度瞬时速度trtrtddlim0v（描述物体运动快慢及运动方向的物理量）（描述物体运动快慢及运动方向的物理量）ro)(tr)(ttrAB1B2Br速度等于速度等于位置矢量位置矢量对时间的一阶导数。对时间的一阶导数。（回顾）（回顾） Avrt平均速率平均速率tsvs瞬时速率瞬时速率tststddlim0v讨论：讨论：比较比较瞬时速度瞬时速度与与瞬时速率瞬时速率速度的大小：速度的大小：(瞬时速度的大小瞬时速度的大小)大小：大小：在直角坐标系中在直

11、角坐标系中vvtststrttddlimlim00ktzjtyitxtrddddddddvkjizyxvvv222zyxvvvvv 根据速度和速率的定义根据速度和速率的定义|v|trddl 注意注意vvtstrddddtrddrd意义？意义？rOrrrddkzj yi xr建立坐标系，则建立坐标系，则 路程路程 速度增量速度增量 质点作半径为质点作半径为R，速率为，速率为v 的匀速率圆周运动。的匀速率圆周运动。试写出试写出由由A点到点到B点点下列各物理量：位移下列各物理量：位移 、路程、路程s、速度变、速度变化化 、速度变化的大小、速度变化的大小 、速率的变化、速率的变化 。rv|vRs21A

12、Bvvv例例解解vABrrryoxAvBRiRrAjRrBjAvviBvvjRiR位移位移 jivv Ar速度增量的大小速度增量的大小 速率的增量速率的增量 vvvv2220vvvvu运动方程运动方程直角坐标直角坐标形式形式)(txx )(tyy )(tzz ktzjtyitxtrr)()()()(自然坐标自然坐标形式形式)(tss 位置矢量形式位置矢量形式u位移位移)()(trttrrkzj yi xu速度速度ktzjtyitxtrddddddddvkjizyxvvvro)(tr)(ttrAB1B2BAv1.1 质点运动的描述质点运动的描述1.1.5 加速度加速度（反映速度变化快慢的物理量）

13、反映速度变化快慢的物理量）1. 平均加速度平均加速度vtttttta)()(vvv2. 瞬时加速度瞬时加速度讨论讨论ttttat)()(lim0vv)(tv)(ttvvAB)(tv)(ttv)(tr)(ttrO(1) 加速度反映加速度反映速度速度（矢量矢量）的变化情况。）的变化情况。(2) 加加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一面。)()(tttvvvt ddv22ddtr)(tv)(ttvv/vv/vvv limlim/00ttattvvvAB)(tv)(ttv)(tr)(ttrOtttt/00limlimvvaan结论：结论：)(trrtrddv22ddd

14、dtrtavu速度速度大小大小的变化和的变化和方向方向的变化讨论的变化讨论直角坐标系：直角坐标系：taddvktjtitzyxddddddvvvktzjtyitx222222ddddddkajaiazyx222zyxaaaaakzj yi xrtxxddvA)(tv)(trO)(takzj yi xrkjizyxvvvvkajaiaazyxtxxddv22ddddtxtaxxv1.2 质点运动学的基本问题质点运动学的基本问题主要内容：主要内容：1. 运动学第一类问题运动学第一类问题2. 运动学第二类问题运动学第二类问题1. 第一类问题第一类问题 已知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速已

15、知质点的运动方程，求质点在任意时刻的位置，速度和加速度。度和加速度。 trrtrddv22ddddtrtavl 只要知道只要知道运动方程运动方程，就可以，就可以确定确定质点在任意时刻的质点在任意时刻的位置位置、 速度速度和和加速度加速度。 微分问题微分问题1.2 质点运动学的基本问题质点运动学的基本问题求求解解hvx220) ()(htltxv例例 如图所示，以恒定如图所示，以恒定速率速率v 收绳，收绳，绳跨绳跨一定滑轮拉湖面上一定滑轮拉湖面上的船，已知绳初始的船，已知绳初始长度长度 l 0 0，岸高，岸高 h取坐标系如图取坐标系如图0l)(tl)(txOt t 时刻船的速度时刻船的速度和加速

16、度。和加速度。速度速度vvvvvvv22000) ( cos htltlxtlx2202) (htlxv加速度加速度xxx 22vvavvvx) (0tlx22vvx xaxixvv x22) cos11 (viaax讨论：讨论：.已知一质点的运动方程为：已知一质点的运动方程为：式中式中a, b均为正常数。均为正常数。本题属于运动学第一类问题本题属于运动学第一类问题: : 例例证证j tbi tar2sin2cosj tbi tatr2cos22sin2ddvj tbi tata2sin42cos4dd22v证明质点的加速度恒指向椭圆中心。证明质点的加速度恒指向椭圆中心。求求)2sin2cos

17、(42j tbi tar24加速度矢量加速度矢量 与位矢与位矢 方向相反，加速度恒指向椭圆中心。方向相反，加速度恒指向椭圆中心。aryoxr质点所受合力？质点所受合力？r kfor讨论讨论：什么情况小球做圆周运动？：什么情况小球做圆周运动？ 什么情况小球做椭圆运动？什么情况小球做椭圆运动？00)(rlrkfra24水平水平光滑光滑桌面桌面水平光滑桌面水平光滑桌面r2. 第二类问题第二类问题 已知质点运动的速度已知质点运动的速度 或加速度或加速度 ， 及初始条件（即及初始条件（即t=0时，时，质点的位置质点的位置 和速度和速度 ）。）。0r0vva 积分问题积分问题求质点的运动方程。求质点的运动

18、方程。taddvtrddvtaddvtta0dd0vvvtta00dvvtrddvtrrtr0dd0vttrr00dv解解ja16已知已知ja16kri8060)(,)(vv求求和和运动方程运动方程。例例,t =0 时时t ddvtjt0(t)(0) d16dvvvjt d16dvjtt 16(0) )(vvjtt 16(0) )(vvtjtir)d 166(dkjti ttr88 6)(2代入初始条件代入初始条件kr8(0) 代入初始条件代入初始条件jtit 166)(v)(ddttrvttrrtjtir0)()0()d 166(d讨论：讨论：抛物运动？抛物运动？一质点沿一质点沿x轴作直线运

19、动，已知其加速度轴作直线运动，已知其加速度)s(m 43-2xa初始条件为初始条件为x0 = 0, v0 = 0。例例求求质点在质点在 x 位置时的速度。位置时的速度。解解xa43ddtvxtx43dd22x关于关于t的微分方程，作恒等变换的微分方程，作恒等变换 xtxxtaddddddddvvvv分离变量分离变量 两边积分两边积分 xxx00d)43(dvvvxa43ddxvvxx d)43(dvv22321xx2v质点速度质点速度 -12sm 46xxv讨论：讨论：弹簧谐振子？弹簧谐振子？解解选向下为选向下为x轴正向轴正向（1）vvBgtadd分离变量并两边积分分离变量并两边积分 ttB0

20、0dgdvvv)1 (BteBgv一石子从空中由静止下落。已知一石子从空中由静止下落。已知 ，例例vBga 石子的速度和运动方程。石子的速度和运动方程。求求式中式中g为重力加速度，为重力加速度，B为大于零的常量。为大于零的常量。ttBBB00dg)d(g1vvvtBtB00)(glnvvBteBg)(gv（2）由）由 求运动方程求运动方程 (设设 t =0 时，时，x =0 )txddvtxtx00ddvteBgxtBtd )1 (0)1 (2BteBgtBg讨论讨论：石子下落速度随时间增长按指数规律变化；石子下落速度随时间增长按指数规律变化； t 时时, , vg/B( (常量常量) )，最

21、大速度，最大速度（收尾速度）（收尾速度）。ox 运动学第二类问题解法总结运动学第二类问题解法总结（以一维运动为例）（以一维运动为例） 00, 0vv xxt初始条件：初始条件： taddv1.1.加速度是时间函数加速度是时间函数)(taa ttad)(dvtttat00d)()(vvtttxtx00d)()(vttxd)(dv若若 a常量常量 att0)(vv20021attxxv00, 0vv xxt初始条件：初始条件： taddv2.2.加速度是坐标函数加速度是坐标函数)(xaa taddvtxx ddddvxddvvtxxd)(dvxxxxax0d)(2)(202vvxxad)(dvvx

22、xxxt0)(dv若若 a常量常量 )(20202xxavv20021attxxv00, 0vv xxt初始条件：初始条件： taddv3.3.加速度是速度函数加速度是速度函数)(vaa tad)(dvvvvvv0)(dattttxx00d)(vttxd)(dv求速度与时间关系求速度与时间关系求求位置与速度的关系位置与速度的关系taddvtxx ddddvxddvvxad)(dvvvtxxd)(dvvvvvv0)(d0axxxxxxt0)(dv1.3 抛体运动（自学）抛体运动（自学）主要内容：主要内容：1. 无阻力抛体运动无阻力抛体运动2. 阻力与速度阻力与速度(低速低速)成正比的抛体运动成正

23、比的抛体运动小球从距地面高小球从距地面高h处以速度处以速度v0沿水平方向抛出，因阻力原沿水平方向抛出，因阻力原因，小球除具重力加速度外，还具有一与速度方向相反的因，小球除具重力加速度外，还具有一与速度方向相反的加速度加速度 ， 为小球的速度，为小球的速度，k为常量。为常量。以小球为研究对象，建立如图以小球为研究对象，建立如图所示的坐标系。所示的坐标系。解解例例求求 小球的运动方程小球的运动方程0voyhvv ka初始条件为：初始条件为：t =0时时, x =0, y = 0,0 x=0,0y =0t t 时刻的加速度为时刻的加速度为 vkj ga) (jikj gyxvvjgkikyx) (v

24、vjaiayxyyykgtavvdd ddxxxktavvxyyykgtavvdd ddxxxktavv分离变量，并积分分离变量，并积分 txxtkx0dd0vvvvktx0lnvvktxe0vvtyytkgy00ddvvvtyytkkk00dg)d(g1vvvktyekg)(gv再积分，可得小球运动方程再积分，可得小球运动方程)1 (ktyekgvtktxtex000ddv)1 (0ktekxvtekgytktyd )1 (d00 )1 (2ktekgtkgy（1 1）收尾速度？（）收尾速度？（2 2）若）若 k = 0 , ,情况怎样？情况怎样？1.4 自然坐标及自然坐标中的速度、加速自然

25、坐标及自然坐标中的速度、加速度度主要内容：主要内容：1. 自然坐标自然坐标2. 匀速率圆周运动匀速率圆周运动中的加速度中的加速度3. 变速变速率率圆周运动中的加速度圆周运动中的加速度4. 圆周运动圆周运动的角量描述的角量描述5. 一般曲线运动一般曲线运动中的加速度中的加速度6. 自然坐标中的运动学问题自然坐标中的运动学问题so1.4.1 自然坐标自然坐标(平面运动平面运动)(tss netel自然坐标中的速度：自然坐标中的速度： 不是恒矢量。不是恒矢量。tenenePtea s1.4 自然坐标及自然坐标中的速度、加速自然坐标及自然坐标中的速度、加速度度tddets vtev注意注意：（：（1）

26、自然坐标）自然坐标 s 不是路程；（不是路程；（2）说明）说明 v 的物理意义的物理意义tsddvl自然坐标中质点的加速度：自然坐标中质点的加速度：nteeaantated)d(tvteetddddttvvtaddvt00limlimetstrttvntddeeta2vvABrs1.4.2 匀速率圆周运动中的加速度匀速率圆周运动中的加速度tatlim0vtaatlim0v的大小：的大小：vRoABvvv 质点作半径为质点作半径为 R , 速率为速率为v 的匀速圆周运动的匀速圆周运动aBBvAAvroAvBv由几何关系由几何关系vv RrrRvv RtrRat20limvv的方向的方向:a当当t

27、0时时， 0 0, ,Aav所以所以n2nneReaavvtRrntddeeta2vvneRa2vtead)d(tvteetddddttvvRo质点作半径为质点作半径为 R 匀速圆周运动匀速圆周运动BBvAAvr0ddtvteeteteABtttt0t0tlimlimddvvvBetAettAtBeeet teotAetBe由几何关系由几何关系ttee RrRrR2vtetett0tlimddvvtrRtlim0v当当t0时时， 0 0, ,的方向的方向:nte/e所以所以n2nneReav0taRa2nvteddtvteddtv讨论讨论：若若 情况怎样？情况怎样？0ddtvl 确定质点位置的

28、常用方法确定质点位置的常用方法1. 直角坐标法直角坐标法2. 位矢法位矢法3. 自然坐标自然坐标法法l 运动方程运动方程l 位移位移)()(trttrrl 速度速度trttrttrtdd)()(lim0vl 加速度加速度220dddd)()(limtrtttttatvvvl 用直角坐标表示速度和加速度用直角坐标表示速度和加速度l 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度xyzOPrvaPa1Osnvkjizyxvvvvvv kajaiaazyxanaan . . . dd txxvvvtsdd. . dddd 22txtaxxvttsadddd22v

29、Ran2v1.4.3 变速圆周运动中的加速度变速圆周运动中的加速度ABvvv tn vvvtttatttt0n00limlimlimvvvBBvAAvRorovBvAvnvtvtnaattatvv0limddtead)d(tvteetddddttvvn2eRvteddtvn2tddeRetavvtsddvn2t22)dd(1ddetsRetsBetAettddets vtevteeABttt0limv结论：结论：自然坐标中，变速圆周运动的加速度自然坐标中，变速圆周运动的加速度2n2taaa222ddRtvvtnarctanaa 讨论讨论ttnntneaeaaaaOPanatavRan2vtad

30、dtvsonePtea)(tss tddets vtevttnntneaeaaaatead)d(tvteetddddttvvtatddv22ddts s o2vnan2tddeetavvn2t22ddeetsv2n2taaa222ddvvttnarctanaa 1.4.4 一般平面曲线运动的加速度一般平面曲线运动的加速度n2eRvteddtvteeABttt0limv 思考题思考题 如果质点在运动中切向加速度和法向加速度始终为下列各如果质点在运动中切向加速度和法向加速度始终为下列各种情况，质点作何种运动？种情况，质点作何种运动？ 1.1. ， ；0ta0na2.2. ， ；0ta0na3.3.

31、 ， ；0ta0na4. 4. ， 。0ta0na一质点沿一质点沿x轴作直线运动，已知其加速度轴作直线运动，已知其加速度)s(m 43-2xa初始条件为初始条件为x0 = 0, v0 = 0。例例求求质点在质点在 x 位置时的速度。位置时的速度。解解xa43ddtvxtx43dd22x关于关于t的微分方程，作恒等变换的微分方程，作恒等变换 xtxxtaddddddddvvvv分离变量分离变量 两边积分两边积分 xxx00d)43(dvvvxa43ddxvvxx d)43(dvv22321xx2v质点速度质点速度 -12sm 46xxv和和-12sm 46xxv讨论：讨论：弹簧谐振子？弹簧谐振子

32、？O4/32/3xsonePtea)(tss tddets vtevttnntneaeaaaatead)d(tvteetddddttvvtatddv22ddts s o2vnan2tddeetavvn2t22ddeetsv2n2taaa222ddvvttnarctanaa 1.4.4 一般平面曲线运动的加速度一般平面曲线运动的加速度1.4.5 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述)(tPQo )极轴(xl 极坐标、极坐标、角位置与角位移角位置与角位移角坐标角坐标对圆周运动：对圆周运动：)(trr （运动方程（运动方程) )极径极径rcr )(t（运动方程（运动方程) )角位移角位移 t( (逆

33、时针逆时针 为为正正) )l 角速度角速度（描述质点转动快慢的物理量描述质点转动快慢的物理量） ttttddlim0描述质点转动快慢描述质点转动快慢和方向的物理量和方向的物理量l 角加速度角加速度（描述转动角速度变化快慢的物理量描述转动角速度变化快慢的物理量） t220ddddd)()(limttttttt加速（转动）？匀速？减速？加速（转动）？匀速？减速？1.4.5 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述)(tPQo )极轴(xl 极坐标、极坐标、角位置与角位移角位置与角位移角坐标角坐标对圆周运动：对圆周运动：)(trr （运动方程（运动方程) )极径极径rcr )(t（运动方程（运动方程)

34、)角位移角位移 t( (逆时针逆时针 为为正正) )l 角速度角速度（描述质点转动快慢的物理量描述质点转动快慢的物理量） ttttddlim0描述质点转动快慢描述质点转动快慢和方向的物理量和方向的物理量l 角加速度角加速度（描述转动角速度变化快慢的物理量描述转动角速度变化快慢的物理量） t220ddddd)()(limttttttt加速（转动）？匀速？减速？加速（转动）？匀速？减速？rsl 角量与线量的关系角量与线量的关系PQo )极轴(xrtrtsddddrvtrtatddddv22nrravra t2nra o sttnneaeaa两类问题两类问题（圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述）)

35、(tt dd22ddddtt1. 第一类问题第一类问题已知运动学方程，已知运动学方程， 求求2. 第二类问题第二类问题 已知已知角加速度角加速度 和和初始条件初始条件求求)( ),(tttttdd0)(0tttdd0)(0为常量，则为常量，则tt0)(200 21)(ttt 匀变速圆周运动匀变速圆周运动匀变速直线运动匀变速直线运动 匀速圆周运动匀速圆周运动匀速直线运动匀速直线运动 法向加速度法向加速度切线加速度切线加速度 角加速度角加速度 加速度加速度 角速度角速度 速度速度 角位移角位移 位移位移 角位置角位置 位置位置 线量和角量的关系线量和角量的关系 角角 量量 线线 量量 r0rrrt

36、r/ddvta/ddvta/ddtvra/2nvtxvat0vvt0t t/ddt/dd0 rv tra 2nra 角量与线量的比较角量与线量的比较20021tt)(2020220021attxxv)(20202xxavv1.4.6 自然坐标中的运动学问题自然坐标中的运动学问题第一类问题（第一类问题（微分问题微分问题）：）： 已知质点运动方程已知质点运动方程 s=s(t) ，求质点在任意时，求质点在任意时刻的速度和加速度。刻的速度和加速度。第二类问题第二类问题（积分问题）（积分问题） ： 已知质点运动的速率已知质点运动的速率v或切向加速度或切向加速度at ，求求曲线曲线运动的运动方程运动的运动

37、方程s=s(t) 。u自然坐标中运动学的两类问题自然坐标中运动学的两类问题（已知质点的运动轨迹）（已知质点的运动轨迹）：求求 汽车在汽车在t=1s时的加速度。时的加速度。汽车在半径为汽车在半径为200 m的水平圆弧形弯道上行驶，发现路障的水平圆弧形弯道上行驶，发现路障后司机刹车。若将开始刹车的时刻作为记时起点，则刹车后司机刹车。若将开始刹车的时刻作为记时起点，则刹车阶段汽车的运动方程为阶段汽车的运动方程为 。例例32 . 020tts本题为自然坐标中第一类问题。本题为自然坐标中第一类问题。解解26 . 020ddttsv切向加速度切向加速度 tta2 . 1ddtv法向加速度法向加速度 RtR

38、a222n)6 . 020(v总加速度总加速度 tn22tn2 . 1)6 . 020(e teRtaaa当当t t1s1s时时2tsm2 . 1a22nsm88. 1200) 16 . 020(atn2 . 188. 1eeat t1s1s时，加速度的大小时，加速度的大小22ntaaa222sm23. 2)2 . 1(88. 15667. 12 . 188. 1tantnaa 加速度加速度 与速度与速度 的夹角为的夹角为av33122一质点作半径为一质点作半径为R的圆周运动，其速度随时间变化的规律的圆周运动，其速度随时间变化的规律为为 ，式中，式中v0、b均为正的常量。均为正的常量。t=0时

39、，质点位时，质点位于自然坐标的原点。于自然坐标的原点。例例bt0vv求求 (1) 自然坐标中质点的运动方程；自然坐标中质点的运动方程；(2) 当加速度的大小为当加速度的大小为b时，质点沿圆周运动了几圈？时，质点沿圆周运动了几圈？ (1) 本题为自然坐标中的第二类问题，根据速度的定义本题为自然坐标中的第二类问题，根据速度的定义 解解btts0ddvv分离变量分离变量 tbtsd)(d0 v两边积分两边积分 tstbts000d)(dv2021bttsv)(10btRvRbR00v2021ttRbtRa22)(0nvv24022n2t)(Rbtbaaav4022)(1btbRRav由由 bbtbR

40、Ra4022)(1v解得解得 bt0v这时质点运行的圈数为这时质点运行的圈数为 Rsn2btaddtvRbbb2)(21)(2000vvvRb420v2021bttsv(2) 当加速度的大小为当加速度的大小为b时，质点沿圆周运动了几圈？时，质点沿圆周运动了几圈？ bt0vv 说明：说明：运动方向？运动方向？如图所示，炮弹的出口速率为如图所示，炮弹的出口速率为v0，发射角为发射角为，不计阻力。，不计阻力。例例(1) 任一时刻任一时刻t的切向加速度的切向加速度at 及法向加速度及法向加速度an ； (2) 轨迹最高点的曲率半径轨迹最高点的曲率半径 。 炮弹作抛体运动，建立炮弹作抛体运动，建立Oxy

41、坐标坐标解解(1) 为恒矢量为恒矢量gat 时刻炮弹速度的分量时刻炮弹速度的分量 xcos0vv gtysin0vv求求gv0 yxocos0vj ga0v22yxvvv任一时刻任一时刻 t 的切向加速度的切向加速度 22tddddyxttavvv2020)sin()cos(ddgttvv20200)sin()cos(singtgtgvvv法向加速度法向加速度 2t2t22t2n)(1gagagaaa20200)sin()cos(cosgtgvvvgv0 yxocos0vcoscos0vvcosnga (2)(2)轨迹最高点的曲率轨迹最高点的曲率ga220n2cosvv任意时刻质点所在处的曲率

42、半径？任意时刻质点所在处的曲率半径？ 讨论：讨论：20202)sin()cos(gtvvv20200)sin()cos(cosgtganvvvggtcos)sin()cos(02/32020vvvtxcos0v2021singttyvyxyxyx 2/322)(xcos0vv gtysin0vvgy gv0 yxocos0v1.5 相对运动相对运动不同参考系中的速度和加速度变换不同参考系中的速度和加速度变换主要内容：主要内容：1. 基本参考系与运动参考系基本参考系与运动参考系2. 伽利略坐标变换伽利略坐标变换3. 伽利略速度变换伽利略速度变换1.5.1 基本参考系与运动参考系基本参考系与运动参

43、考系l 基本概念基本概念r rtu基本参考系基本参考系s ，运动参考系运动参考系s (研究对象研究对象)三种运动三种运动 s 系相对于系相对于s 系的位移：系的位移：tu P 点相对于点相对于s 系的位移：系的位移： r P 点相对于点相对于s 系的位移：系的位移：rP绝对绝对、相对相对和和牵连运动牵连运动二个考照系二个考照系（两参考系做相对平动两参考系做相对平动） sooyxsuPA AP一个动点一个动点 牵连位移牵连位移 相对位移相对位移 绝对位移绝对位移 turr不同参考系中的位移关系：不同参考系中的位移关系：1.5 相对运动相对运动1.5.2 经典力学中的平动坐标系变换经典力学中的平动

44、坐标系变换r rtu sooyxsuPA APr rRt t 时刻，质点时刻，质点P P 在两个不同参考系在两个不同参考系中中位置矢之间的关系位置矢之间的关系Rrr turr不同参考系中的位移关系：不同参考系中的位移关系：不同参考系中的不同参考系中的速度关系速度关系 ttutrtr0tuvv对速度变换作时间的一阶求导，可得加速度变换关系对速度变换作时间的一阶求导，可得加速度变换关系ttutddddddvv0aaa00aaa定矢量u( (伽利略变换公式伽利略变换公式) )xvvxxuxaaxxa0eravvvreaaaa一个带篷子的卡车，篷高为一个带篷子的卡车，篷高为h=2m ，当它停在马路边时

45、，雨，当它停在马路边时，雨滴可落入车内达滴可落入车内达 d=1m ，而当它以，而当它以15km/h 的速率运动时，的速率运动时，雨滴恰好不能落入车中。雨滴恰好不能落入车中。eravvv4 .63arctgdhhdavevrv根据速度变换定理根据速度变换定理画出矢量图画出矢量图m/s)( 3 . 9km/h5 .33cos15coseavvev例例解解雨滴的速度矢量。雨滴的速度矢量。求求升降机以加速度升降机以加速度 1.22 m/s2 上升，有一螺母自升降机的上升，有一螺母自升降机的天花板松落，天花板与升降机的底板相距天花板松落，天花板与升降机的底板相距 2.74m 。haOxOx取螺母刚松落为

46、计时零点取螺母刚松落为计时零点. . 三种三种加速度加速度为为: :? , ,reaaiaaigaearreaaaaaaa ,agaaaexaxrx) s (0.71.229.802.7422 ,212aghttahr动点动点为螺母为螺母, ,取二个取二个坐标系坐标系如图如图例例解解螺母自天花板落到底板所需的时间螺母自天花板落到底板所需的时间. .求求船逆流而上，遇一桥时，箱子掉落水中顺水漂流，船逆流而上，遇一桥时，箱子掉落水中顺水漂流，1小时小时后发觉，返回追赶，在桥下有后发觉，返回追赶，在桥下有 5 公里处赶上箱子。公里处赶上箱子。水流速度（设船相对水的速度恒定）。水流速度（设船相对水的速

47、度恒定）。例例解解求求地面参考系地面参考系5km流水参考系流水参考系: 箱子静止，船速恒定。船离开箱子，箱子静止，船速恒定。船离开箱子，回追箱子经过路程相同。回追箱子经过路程相同。 回回追箱子所用的时间也是追箱子所用的时间也是1小时小时。箱子掉入水中后相对于地面运动了箱子掉入水中后相对于地面运动了5公里公里，所以水流速度，所以水流速度km/h5 . 225u飞机水平飞行，速率为飞机水平飞行，速率为 v机机。当飞机在导弹正上方且距离。当飞机在导弹正上方且距离为为a 时，导弹发射，速率为时，导弹发射，速率为 v弹弹 。导弹追上飞机的时间导弹追上飞机的时间例例求求a解解以飞机为参考系以飞机为参考系e

48、rvvvervvv)cos(ervvvttterdcosdd 000vvvrvveva 连线投影连线投影tedcos0vvvvet dcos0相对于地面，飞机、导弹在水平方向走过距离相同相对于地面，飞机、导弹在水平方向走过距离相同相对于飞机，导弹在连线方向走过距离为相对于飞机，导弹在连线方向走过距离为aea22 vvvtaedcos0vvvvvveea)1 (22vvvea0d ar r以飞机为参考系以飞机为参考系ervvv222revvv22ervvvrvveva ea22 vv 2)(1vvvea)1 (22vvvea若导弹不具有跟踪功能，在若导弹不具有跟踪功能，在v恒定的情况下，如何恒定

49、的情况下，如何.222)()(aevvl 确定质点位置的常用方法确定质点位置的常用方法1. 直角坐标法直角坐标法2. 位矢法位矢法3. 自然坐标自然坐标法法l 运动方程运动方程l 位移位移)()(trttrrl 速度速度trttrttrtdd)()(lim0vl 加速度加速度220dddd)()(limtrtttttatvvvl 用直角坐标表示速度和加速度用直角坐标表示速度和加速度l 用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度用自然坐标表示平面曲线运动中的速度和加速度xyzOPrvaPa1Osnvkjizyxvvvvvv kajaiaazyxanaan . . . dd txxvvvtsdd.

50、 . dddd 22txtaxxvttsadddd22v2vnal 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角量与线量的关系角量与线量的关系极坐标极坐标)(trr )(t（运动学方程（运动学方程) )两类问题两类问题Po)极轴(xr对圆周运动：对圆周运动：)(t角位移角位移)( )(ttt 角速度角速度tttddlim0rvraran2v角加速度角加速度角量与线量的关系角量与线量的关系22ddddttl 经典力学中的平动坐标系变换经典力学中的平动坐标系变换( (伽利略变换公式伽利略变换公式) )Rrr turrvvuxvvxxueravvv. .0aaaxaaxxa0reaaaa. .习习 题题