数量积-向量积-混合积课件.ppt
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- 关 键 词:
- 数量 向量 混合 课件
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1、sF解解: : 由物理知由物理知, 与位移平行的与位移平行的分力作功分力作功, 与位移垂直的与位移垂直的分力不作功分力不作功. 于是于是第二节第二节 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积一、两向量的数量积一、两向量的数量积 (Scalar Product)SFW cos例如例如: 设力设力 F 作用于某物体上作用于某物体上, 物体有一段位移物体有一段位移 S , 求功的表示式求功的表示式.cos SF ab 结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积向量在这向量的方向上的投影的乘积. .向向量量a与与b的的
2、数数量量积积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义,Prjcos|bba ,Prjcos|aab abbabPrj| .Prj|baa 0数量积是一个实数数量积是一个实数。数量积也。数量积也记作记作ba或或),(ba称为称为“点积点积”、“内积内积”. .1.1.数量积的定义数量积的定义关于数量积的说明:关于数量积的说明:证证证证. aaa 即即)(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos . ba 即即,2|)1(aaa )(,ba ,0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa ,2 ,2 0)2( ba.ba (1) 交换
3、律交换律(2) 结合律结合律),(为实数abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律分配律cbcacba事实上, 当0c时, 显然成立 ;时当0cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac2. 数量积的运算规律数量积的运算规律利用向量证明三角形的余弦定理利用向量证明三角形的余弦定理例例1 1证证ab c.cos2222 abbac , bac 由于由于)()( 2babaccc babbaa 2, cos222baba .cos2222 abbac 3. 数量
4、积的坐标表达式数量积的坐标表达式,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 在直角坐标系下,在直角坐标系下, cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 4. 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为 解ba )1(2)4()2(111 .9 222222cos)2(zyxz
5、yxzzyyxxbbbaaabababa ,21 .43 )2,2, 1 (,)4, 1, 1 (baba ba已知 例例2 2, 求;(2)(1) 与的夹角. 二、两向量的向量积二、两向量的向量积 (Vector Product)先研究物体转动时产生的力矩先研究物体转动时产生的力矩LFPQO 设设 O 为为一一根根杠杠杆杆 L 的的支支点点, 有有一一力力 F 作作用用于于这这杠杠杆杆上上 P 点点处处力力 F 与与 OP 的的夹夹角角为为 ,力力 F 对对支支点点 O 的的力力矩矩是是一一向向量量 M,它它的的模模 |FOQM sin| |FOP M 的的方向方向: 垂直于垂直于OP与与F
6、 所在的平所在的平面面, 指向使指向使OP、F与与M 满足满足右手规则右手规则.定义定义向向量量a与与b的的向向量量积积 bac 规规定定为为 sin|)1bacc 的的模模大大小小:(其其中中 为为a与与b的的夹夹角角) 2)2)方向方向:c的方向同时垂直于的方向同时垂直于 a和和b, 即垂直于, 即垂直于a, ,b所决定的平所决定的平面面, ,a, ,b和和ba 成右手系成右手系. . 向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”. .bac ab向量积是一个向量向量积是一个向量1.1.向量积的定义向量积的定义 (1 1)两向量的向量积的两向量的向量积的几何意义几何意义 : (i)
7、(i) 表示以表示以 和和 为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积 . . |ba ab sin|baba ha |ab sin|bh sin|bh 其中其中 (ii) (ii) a b 的方向与一切既平行于的方向与一切既平行于 a 又平行于又平行于 b 的的平面相垂直平面相垂直 . .(2 2)0 ba 当当且且仅仅当当 ba/. . (3 3)0 aa )(,0 ba,0| a,0| b,0sin ,0 )(.0sin .0sin| baba证证ba/ba/ 或或0 证毕证毕两个非零向量共线两个非零向量共线它们的向量积它们的向量积0 0向量积符合下列运算规律:向量积符合下列运算规
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