带有等式约束的最优化问题及其经济学应用课件.ppt

1、第第 4 章章带有等式约束的最优化问带有等式约束的最优化问题及其经济学应用题及其经济学应用4.1 带有等式约束的函数求带有等式约束的函数求 极值的必要和充分条件极值的必要和充分条件一、二元函数带等数约束的极值问题一、二元函数带等数约束的极值问题二、多元函数带多个等数约束的极值问题二、多元函数带多个等数约束的极值问题4.2 拟凹函数与拟凸函数拟凹函数与拟凸函数一、拟凹函数与拟凸函数的定义一、拟凹函数与拟凸函数的定义MNMNyyxxOOvuvu4.2 拟凹函数与拟凸函数拟凹函数与拟凸函数 1. 一元拟凹函数和拟凸函数的定义一元拟凹函数和拟凸函数的定义 对于一元函数对于一元函数 y = f(x) 的

2、定义域（凸集）中的定义域（凸集）中的任意点的任意点 u 和和 v ，假设，假设 f(v) f(u) 。如果对于任意。如果对于任意的的 t 0, 1，有：，有： f(1 t)u + tv f(u)，则称，则称 f 为为拟凹的拟凹的 f(1 t)u + tv f(v)，则称，则称 f 为为拟凸的拟凸的 在在 u v 且且 t (0, 1) 的情况下，如果上两式是严格的情况下，如果上两式是严格 或或 或或 时，即严格拟凹或拟凸。时，即严格拟凹或拟凸。4.2 拟凹函数与拟凸函数拟凹函数与拟凸函数 对于多元可微函数对于多元可微函数 F(x) ，其中，其中 x = (x1, x2, , xn)，任取函数，

3、任取函数 F(x) 定义域内两个不同的点定义域内两个不同的点 u = (u1, u2, , un) 和和 v = (v1, v2, , vn) ，假设，假设 F(v) F(u) 。 F(x) 拟凹的充要条件为拟凹的充要条件为 u F(x) 拟凸的充要条件为拟凸的充要条件为 v 其中：其中： ， 。 niiiiuvF10 niiiiuvF10 iixFFux iixFFx = uvxx = v4.2 拟凹函数与拟凸函数拟凹函数与拟凸函数 2. 二阶微分判别准则二阶微分判别准则 设设 F 是定义在开凸集是定义在开凸集 U Rn 上的二阶可微上的二阶可微函数，令：函数，令： nkxFxxFxxFxF

4、xxFxFxxFxFxxFxxFxFxFxFxFxFxCkkkkkkkk,.,2 , 1,0222212222221222122122121214.2 拟凹函数与拟凸函数拟凹函数与拟凸函数 F 是拟凹的必要条件为是拟凹的必要条件为 (-1)k Ck(x) 0 拟凹的充分条件为拟凹的充分条件为 (-1)k Ck(x) 0 F 是拟凸的必要条件为是拟凸的必要条件为 Ck(x) 0 拟凸的充分条件为拟凸的充分条件为 Ck(x) 0, y 0）为拟凹函数。）为拟凹函数。4.2 拟凹函数与拟凸函数拟凹函数与拟凸函数四、拟凹函数和拟凸函数的最优化四、拟凹函数和拟凸函数的最优化 max z = f(x1,

5、x2, , xn) s.t. gi(x1, x2, , xn) = ci，i = 1, 2, , m 假设假设 (x1*, x2*, , xn*) 满足等式约束极值的一阶满足等式约束极值的一阶充分条件，若充分条件，若 z 是严格拟凹函数且约束集为凸集，是严格拟凹函数且约束集为凸集，则则 z* = f(x1*, x2*, , xn*) 是目标函数的整体最大值；是目标函数的整体最大值；若若 z 是严格拟凸函数且约束集为凸集，则是严格拟凸函数且约束集为凸集，则 z* = f(x1*, x2*, , xn*) 是目标函数的整体最小值。是目标函数的整体最小值。4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较

6、静态分析一、均衡解的比较静态分析一、均衡解的比较静态分析 max y = f(x, a) s.t. g(x, a) = 0 其中：其中：x = (x1, x2, , xn) 内生变量内生变量 a = (a1, a2, , am) 外生变量外生变量 等式约束最优化问题的比较静态分析就是分析均等式约束最优化问题的比较静态分析就是分析均衡解衡解 x* 的各个分量的各个分量 x1*, x2*, , xn* 关于关于 ai 的偏导数。的偏导数。考虑等式约束的最优化问题：考虑等式约束的最优化问题：4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 如何分析呢如何分析呢？ 假设二阶充分条件得到满足假设二阶

7、充分条件得到满足 首先，建立首先，建立 Lagrange 函数：函数： L = f(x, a) + g(x, a) 然后，求其一阶然后，求其一阶 必要条件：必要条件： 0,1111axgaxfxLLxx0,2222axgaxfxLLxx0,axgaxfxLLnnxxnn0,axgLL4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 假定隐函数定理成立，求解上述方程组可得均衡解：假定隐函数定理成立，求解上述方程组可得均衡解： x1* = x1*(a)， xn* = xn*(a)，* = *(a) 将这些均衡解代回上述一阶必要条件方程组，有：将这些均衡解代回上述一阶必要条件方程组，有： 0,*

8、11axgaxfxx0,*22axgaxfxx0,*axgaxfnnxx0,*axg4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 对上面这个方程组中的每一个式子对对上面这个方程组中的每一个式子对 ai 求偏导求偏导数。我们以第一个式子为例，利用链式求导法则有：数。我们以第一个式子为例，利用链式求导法则有：ixinnxixixafaxxfaxxfaxxf*2*2*1*11111ixinnxixixagaxxgaxxgaxxg*2*2*1*1*11110,*1axgaxi4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 上式可整理为：上式可整理为： 简写为：简写为：inxxxxixxx

9、xixxxxaxgfaxgfaxgfnn* * *2 * *1 * 11212111110 * *111iiaxaxixgfag01*1*212*1111iaixinniiLagaxLaxLaxL4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 同样道理，方程组中其他式子对同样道理，方程组中其他式子对 ai 求偏导数，有：求偏导数，有： 02*2*222*1212iaixinniiLagaxLaxLaxL0*22*11innaixinnnininLagaxLaxLaxL0*2*121inainxixixgaxgaxgaxg4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 写成矩阵的形式

10、，有：写成矩阵的形式，有：21*2*121222211121102121iiiinnanaaaiiniixxxxnnnnxnxngLLLaaxaxaxggggLLLgLLLgLLL4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 假定二阶充分条件得到满足，那么，系数矩假定二阶充分条件得到满足，那么，系数矩 阵的行列式阵的行列式不等于不等于 0 （记为（记为 或或 ）。）。 于是，根据克莱姆法则，可解得：于是，根据克莱姆法则，可解得：HJHHaxHHaxHHaxninii*2*21*1,HHani1*4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析二、最优值函数的比较静态分析二、最优值函

11、数的比较静态分析 考虑等式约束的最优化问题考虑等式约束的最优化问题 max y = f(x, a) s.t. g(x, a) = 0 其中：其中：x = (x1, x2, , xn) 内生变量内生变量 a = (a1, a2, , am) 外生变量外生变量4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 关于最优值函数的比较静态分析问题，可关于最优值函数的比较静态分析问题，可以采用传统的方法来解决，即：以采用传统的方法来解决，即： 首先，构造首先，构造 Lagrange 函数，利用一阶必要条件和二函数，利用一阶必要条件和二 阶充分条件，求解出均衡解阶充分条件，求解出均衡解 x* 然后，将然

12、后，将 x* 代入目标函数，得最优值函数代入目标函数，得最优值函数fx*(a); a) 最后，计算最后，计算 fx*(a); a) / ai 。 也可以用也可以用包络定理包络定理。4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 前述前述带有等式约束的最优化问题的带有等式约束的最优化问题的包络定理包络定理： 最优化问题的最优化问题的 Lagrange 函数为函数为 L = f(x, a) + g(x, a) 则有：则有： 包络定理包络定理。 iiaLdadV,x* ,*ax a4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 包络定理包络定理的证明：的证明： 最优化问题的一阶必要条件为

13、：最优化问题的一阶必要条件为： 可求解出：可求解出： xi* = xi*(a)，* = *(a) 。 将将 xi* 和和* 代入到目标函数，可得最优值函数：代入到目标函数，可得最优值函数： V(a) = fx*(a); a) 0,axgaxfxLLiixxii0,axgLL4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 对上述最优值函数两端对对上述最优值函数两端对 ai 求偏导，有：求偏导，有： a 又由于又由于 （前证）（前证），两边乘以，两边乘以 1*ijanjijxifaxfdadV01*ijanjijxigaxgag01*ijanjijxgaxg4.3 极值问题的比较静态分析极值

14、问题的比较静态分析 两式相加，可得：两式相加，可得： a 由前面一阶必要条件可知：由前面一阶必要条件可知：0 ，所以：，所以： a x a 得证。得证。 1*iijjaanjijxxigfaxgfdadV iaaiaLgfdadVii,举两个例子：包络定理举两个例子：包络定理 1. 效用函数效用函数 max U = x10.25x20.25 s.t. P1x1 + P2x2 = 10 试分析两商品价格试分析两商品价格 P1 和和 P2 变化对总效用的影响。变化对总效用的影响。 2. 记记 w1* = x1*(a), y1*(a), z1*(a) 和和 w2* = x2*(a), y2*(a),

15、 z2*(a) 为极大值（或极小值）问题：为极大值（或极小值）问题： max (or min) f(x, y, z) = x + y + a3z s.t. x2 + a2y2 + z2 = a1举两个例子（续）：包络定理举两个例子（续）：包络定理 （接第接第 2 题题） 的均衡解。对应的的均衡解。对应的 Lagrange 乘子分乘子分别为别为1*(a) 和和2*(a)，对应的最优值分别为，对应的最优值分别为 f1*(a) 和和 f2*(a) 。 求求 f1*(a) 和和 f2*(a) 在在 a = (3, 1, 1) 处关于处关于 a1、a2、a3 的偏导数；的偏导数； 当目标函数变为当目标函

16、数变为 f(x, y, z) = x + y + 1.03z 、等、等式约束变为式约束变为 x2 + 1.02y2 + z2 = 3.01 时，极大化和极小时，极大化和极小化问题目标函数的最优值的改变量分别为多少？新化问题目标函数的最优值的改变量分别为多少？新的极大化和极小化问题目标函数的最优值分别为？的极大化和极小化问题目标函数的最优值分别为？4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析三、三、Lagrange 乘子的经济学意义乘子的经济学意义 在等式约束的最优化问题中：在等式约束的最优化问题中：max y = f(x, a) s.t. g(x, a) = b 其中：其中：x = (

17、x1, x2, , xn)，a = (a1, a2, , am) 和和 b 外生。外生。 Lagrange 函数为：函数为： L = f(x, a) +b g(x, a) 。 根据包络定理，有：根据包络定理，有： a x a*,bbLbbVx* ,*4.3 极值问题的比较静态分析极值问题的比较静态分析 即：即：* 表示约束条件右端变动引起目标函表示约束条件右端变动引起目标函数最优值的变化情况。数最优值的变化情况。 假设假设 b 增加一个单位，约束变松，从而目标函增加一个单位，约束变松，从而目标函数的最优值会增加，增加的部分（数的最优值会增加，增加的部分（*）就是单位）就是单位 b 的价值的价值

18、 在经济学上，称为在经济学上，称为资源的边际价值资源的边际价值； 或称为或称为资源的影子价格资源的影子价格。 它反映了系统内部资源的紧缺程度（与外部市它反映了系统内部资源的紧缺程度（与外部市场因素无关），场因素无关），* 越大，说明这种资源越是相对紧越大，说明这种资源越是相对紧缺，反之则说明这种资源相对不紧缺。缺，反之则说明这种资源相对不紧缺。（特例说明）（特例说明）4.4 效用极大化问题效用极大化问题一、效用极大化问题的静态分析一、效用极大化问题的静态分析 令消费者对两种商品令消费者对两种商品 x 和和 y 的消费量均大于的消费量均大于 0，且是在竞争市场上以且是在竞争市场上以 Px 和和

19、Py 的恒定价格购得，消的恒定价格购得，消费者货币收入为费者货币收入为 M。在消费者偏好具有非饱和性的。在消费者偏好具有非饱和性的假设下，消费者会将所有的收入用来购买假设下，消费者会将所有的收入用来购买 x 和和 y 。 在既定收入水平下的效用极大化模型为：在既定收入水平下的效用极大化模型为： max U = U(x, y) s.t. Px x + Py y = M4.4 效用极大化问题效用极大化问题 构建上述效用极大化问题的构建上述效用极大化问题的 Lagrange 函数为：函数为： L(x, y,) = U(x, y) +(M Px x Py y) 一阶必要条件为：一阶必要条件为： Lx

20、= U x Px = 0 Ly = U y Py = 0 L= M Px x Py y = 04.4 效用极大化问题效用极大化问题 由前两个方程可推出：由前两个方程可推出： 所以，一阶必要条件实际上是要求在预算约束所以，一阶必要条件实际上是要求在预算约束下满足上式。为使效用最大化，消费者必须分配其下满足上式。为使效用最大化，消费者必须分配其预算，以使每一物品的边际效用与价格之比相等。预算，以使每一物品的边际效用与价格之比相等。 按照无差异曲线的概念，可对这按照无差异曲线的概念，可对这一阶必要条件一阶必要条件进行几何解释进行几何解释。在一条无差异曲线上必然有：。在一条无差异曲线上必然有： dU

21、= U x dx + U y dy = 0 yyxxPUPU4.4 效用极大化问题效用极大化问题 整理可得整理可得 ，这是无差异曲线切线的斜率；，这是无差异曲线切线的斜率； 另外，预算线是一条直线，其斜率为另外，预算线是一条直线，其斜率为 ； 由于由于 ，因此，若使效用最大化，消，因此，若使效用最大化，消 费者必须对其预算进行分配，使预算线的斜率等于费者必须对其预算进行分配，使预算线的斜率等于无差异曲线切线的斜率，即预算线与无差异曲线相无差异曲线切线的斜率，即预算线与无差异曲线相切，满足一阶必要条件。切，满足一阶必要条件。yxUUdxdyyxPPdxdyyyxxPUPU4.4 效用极大化问题效

22、用极大化问题xyOEyxPPdxdy斜率斜率 =斜率斜率 =yxUUdxdy4.4 效用极大化问题效用极大化问题 对效用极大化问题的对效用极大化问题的充分条件的几何解释充分条件的几何解释： 由一阶必要条件，可求得均衡解由一阶必要条件，可求得均衡解 (x*, y*) 驻点驻点 ； 进一步，二阶充分条件判断的海赛加边行列式为：进一步，二阶充分条件判断的海赛加边行列式为： 若若 0，则驻点，则驻点 (x*, y*) 必然是极大值点。必然是极大值点。 2 2 20yyxxxyxyyxyxyyyyxxxyxxUPUPUPPPPPUUPUUHH4.4 效用极大化问题效用极大化问题 对于无差异曲线来讲，在满

23、足一阶必要条件的对于无差异曲线来讲，在满足一阶必要条件的基础上，若使其达到极大值，必须满足二阶充分条基础上，若使其达到极大值，必须满足二阶充分条件大于件大于 0 ，即：，即：d 2y / dx2 0 。 由前面的分析可知，由前面的分析可知， ，所以：，所以：yxUUdxdydxdUUdxdUUUUUdxddxydyxxyyyx22214.4 效用极大化问题效用极大化问题 由于无差异曲线本身就是由于无差异曲线本身就是 y 关于关于 x 的函数，因此：的函数，因此： ， 其中，其中，dy / dx 是无差异曲线切线的斜率。根据是无差异曲线切线的斜率。根据前面的分析可知，若使效用极大化，无差异曲线切

24、前面的分析可知，若使效用极大化，无差异曲线切线的斜率等于预算线斜率，即：线的斜率等于预算线斜率，即：dy / dx = Px / Py 。 于是：于是： ，dxdyUUdxdUxyxxx dxdyUUdxdUyyyxy yxxyxxxPPUUdxdU yxyyyxyPPUUdxdU 4.4 效用极大化问题效用极大化问题 将其代入到前述二阶导数式，有：将其代入到前述二阶导数式，有： 又由于又由于 ，所以，所以 ，于是：，于是：yxyyyxxyxxyxxyyPPUUUPPUUUUdxyd 2221yyxxPUPUyyxxPUPU22 2 222yyyyyyxyxyxxyyxxxyPUHPUUPUP

25、PUPPUPdxyd4.4 效用极大化问题效用极大化问题 显然，当显然，当 0 时，时， d 2y / dx2 0，可知，无，可知，无 差异曲线在切点处严格凸。差异曲线在切点处严格凸。 值得注意的是，无差异值得注意的是，无差异 曲线严格凸性的实质并非效曲线严格凸性的实质并非效 用极大化的必要条件。具体用极大化的必要条件。具体 而言，即使无差异曲线为非而言，即使无差异曲线为非 严格凸的（右图），在最大严格凸的（右图），在最大 值处尽管有值处尽管有d 2y / dx2 = 0，但，但 效用仍可能最大化。效用仍可能最大化。HE1E2E34.4 效用极大化问题效用极大化问题 在效用函数一阶必要条件和二

26、阶充分条件的基在效用函数一阶必要条件和二阶充分条件的基础上，我们就可推导得到两种商品的需求函数。础上，我们就可推导得到两种商品的需求函数。 由前面的分析可知，效用最大化的一阶条件：由前面的分析可知，效用最大化的一阶条件： Lx = U x Px = 0 Ly = U y Py = 0 L= M Px x Py y = 0 事实上，一阶必要条件方程组的一阶偏导数所构成事实上，一阶必要条件方程组的一阶偏导数所构成的雅可比行列式即为二阶充分条件的海赛加边行列式。的雅可比行列式即为二阶充分条件的海赛加边行列式。4.4 效用极大化问题效用极大化问题 根据隐函数定理，如果雅可比行列式根据隐函数定理，如果雅

27、可比行列式 0 ，则方，则方程组可求解。程组可求解。 由前面的分析可知，二阶充分条件确保了海赛由前面的分析可知，二阶充分条件确保了海赛加边行列式加边行列式 0 ，因此，可利用克莱姆法则求解一，因此，可利用克莱姆法则求解一阶必要条件的方程组，其解为：阶必要条件的方程组，其解为： x* = x*(Px , Py , M) y* = y*(Px , Py , M) * =*(Px , Py , M)所求的均衡解是关所求的均衡解是关于商品价格和货币于商品价格和货币收入的函数。收入的函数。4.4 效用极大化问题效用极大化问题 称称 x* 和和 y* 为为马歇尔需求函数马歇尔需求函数，记为：，记为： xM

28、 = xM(Px , Py , M) yM = yM(Px , Py , M) 这两个式子表明了，消费者对于任一给定的商这两个式子表明了，消费者对于任一给定的商品价格和货币收入所作出的消费决策。品价格和货币收入所作出的消费决策。4.4 效用极大化问题效用极大化问题 如果把马歇尔需求函数代入到效用函数如果把马歇尔需求函数代入到效用函数 U(x, y) 或相应的或相应的 Lagrange 函数，则可得到效用最大值：函数，则可得到效用最大值： U*(Px , Py , M) = U*xM(Px , Py , M), yM(Px , Py , M) 由于效用最大值是商品价格和收入的函数，所由于效用最大

29、值是商品价格和收入的函数，所以也将效用最大值称为以也将效用最大值称为效用最大值函数效用最大值函数或或间接效用间接效用函数函数，记为：，记为： V(Px , Py , M) = U*(Px , Py , M) 4.4 效用极大化问题效用极大化问题二、效用极大化问题的比较静态分析二、效用极大化问题的比较静态分析 由前面的效用最大化问题的模型可知，内生由前面的效用最大化问题的模型可知，内生变量为变量为 x 和和 y ，外生变量为，外生变量为 Px 、Py 和和 M 。 引入马歇尔需求函数，则效用最大化一阶条件：引入马歇尔需求函数，则效用最大化一阶条件： U x (xM , yM) MPx = 0 U

30、 y (xM , yM) MPy = 0 M Px xM Py yM = 0一般的传统方法一般的传统方法如何进行比较静如何进行比较静态分析？态分析？4.4 效用极大化问题效用极大化问题 1. 商品价格商品价格 Px 和和 Py 不变，货币收入不变，货币收入 M 变化变化 对一阶必要条件中的等式两边对对一阶必要条件中的等式两边对 M 求偏导：求偏导：0 MPMyUMxUMxMxyMxx0 MPMyUMxUMyMyyMyx01MyPMxPMyMx4.4 效用极大化问题效用极大化问题 写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： 根据克莱姆法则，可解得：根据克莱姆法则，可解得：1000 MMyMxPPPUUPU

31、UMMMxxyyyyxxxyxxHHMHHMyHHMxMMM333231,4.4 效用极大化问题效用极大化问题 尽管根据二阶充分条件可知，海赛加边行列式尽管根据二阶充分条件可知，海赛加边行列式大于大于 0 ，但分子的符号仍无法判定。，但分子的符号仍无法判定。 然而，根据经济学理论可以推断，完全可能出然而，根据经济学理论可以推断，完全可能出现现 xM / M 0 或或 yM / M 0 的情况，即这时的的情况，即这时的商品为商品为劣等品劣等品（或（或低档品低档品）。）。 （何为劣等品？）（何为劣等品？） 不过，一般来讲，不过，一般来讲，xM / M 0 和和 yM / M 0 且不变的条件下，且

32、不变的条件下， c(w, y) 关于关于 y 是递增的。是递增的。4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题二、成本极小化问题二、成本极小化问题 在给定产出水平下，企业成本极小化行为与利在给定产出水平下，企业成本极小化行为与利润极大化行为是一致的，即可以将成本最小化问题润极大化行为是一致的，即可以将成本最小化问题看做是满足等式约束的最优化问题。看做是满足等式约束的最优化问题。 那么，能否直接利用利润极大化模型推导成本极小化模型呢？那么，能否直接利用利润极大化模型推导成本极小化模型呢？ 考虑利润极大化模型：考虑利润极大化模型： max = pf(x1, , xn) (w1x1 + + wnxn

33、) s.t. f(x1, , xn) = y4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 根据成本函数的定义，产出根据成本函数的定义，产出 y 是一个参数，即是一个参数，即外生变量。由企业追求利润极大化行为可知，在企外生变量。由企业追求利润极大化行为可知，在企业追求利润极大化时，业追求利润极大化时， y 是决策变量，意味着当产是决策变量，意味着当产出改变、要素价格不变时，可以观测成本的变化。出改变、要素价格不变时，可以观测成本的变化。 但是，实际上，追求利润极大化企业不会主动但是，实际上，追求利润极大化企业不会主动改变产出，只有当某个要素价格发生变化变化时，改变产出，只有当某个要素价格发生变化

34、变化时，产出产出 y 才会改变。才会改变。 故上述利润极大化模型不能直接推导成本函数。故上述利润极大化模型不能直接推导成本函数。4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 由以上分析可知，成本函数必须在产出由以上分析可知，成本函数必须在产出 y 作为作为参数的模型出推导出来。参数的模型出推导出来。 对于给定产出水平对于给定产出水平 y0 ，当总成本尽可能小时，当总成本尽可能小时，总收入和总成本之间的差额达到最大值，从而利润总收入和总成本之间的差额达到最大值，从而利润极大。因此，与利润极大化行为相一致的成本极小极大。因此，与利润极大化行为相一致的成本极小化问题应该是：化问题应该是： min C

35、 = w1x1 + w2x2 + + wnxn s.t. f(x1, , xn) = y04.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 假设企业生产只使用两种生产要素假设企业生产只使用两种生产要素 x1 和和 x2 ，且，且两种生产要素的价格两种生产要素的价格 w1 和和 w2 是恒定的，生产函数是恒定的，生产函数为为 f(x1, x2) ，产出为，产出为 y0 。于是，可以构建生产成本。于是，可以构建生产成本极小化模型为：极小化模型为： min C = w1x1 + w2x2 s.t. f(x1 , x2) = y0 构造构造 Lagrange 函数：函数： L(x1 , x2 ,) = w

36、1x1 + w2x2 +y0 f(x1 , x2)4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 一阶必要条件：一阶必要条件： 在最优投入组合点处，要素投入价格与边际产在最优投入组合点处，要素投入价格与边际产出的比率对每一要素投入必定相等。出的比率对每一要素投入必定相等。 可解释为最优状态下的企业的边际成本。可解释为最优状态下的企业的边际成本。21210322211121210,00 xxxxfwfwxxfyLLfwxLLfwxLL4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 上述等式关系还可以写为：上述等式关系还可以写为： （几何解释）（几何解释）2121xxffwwx1x2等产量线：等产量线

37、：f(x1 , x2) = y0等成本线：等成本线：C = w1x1 + w2x24.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 二阶充分条件：二阶充分条件： 只要只要 0，即可保证成本最小。，即可保证成本最小。 在等产量线上，有在等产量线上，有（全微分）（全微分）： 于是，可得：于是，可得：2 2 122212121121222121211120 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfffffffffffffffHH021021dxfdxfdyxx1221xxffdxdx4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 对对 x1 求微分，有：求微分，有：12 12 21221122121

38、1212122221121212112222111222112221111dxdxffffdxdxfffffdxdxxfxffdxdxxfxfffdxdffdxdfffffdxddxxdxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 将将 代入上式，有：代入上式，有：02111 2 23 2 23 221222212121112222112212121112221221121212121122xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxffffffffffffffffffffffffffffffffd

39、xxd1221xxffdxdx二阶充分条件二阶充分条件4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 由此可知，等产量线在切点处严格凸。由此可知，等产量线在切点处严格凸。 值得注意的是，二阶充值得注意的是，二阶充 分条件在切点处分条件在切点处 0 即即 严格凸性的实质并非成本极严格凸性的实质并非成本极 极小化的必要条件。与效用极小化的必要条件。与效用 极大化问题类似极大化问题类似（右图）（右图），在，在 最小值处尽管有最小值处尽管有d 2y / dx2 = 0， 但成本仍可能最大化。但成本仍可能最大化。HE1E2E34.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题三、要素需求函数三、要素需求函数 在

40、成本极小化的一阶必要条件和二阶充分条在成本极小化的一阶必要条件和二阶充分条件的基础上可得到要素需求函数。对一阶必要条件的基础上可得到要素需求函数。对一阶必要条件求解可得：件求解可得：021*1*1,ywwxx 021*2*2,ywwxx 021*,yww产出不变时的产出不变时的要素需求函数要素需求函数4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题四、比较静态分析四、比较静态分析 对要素需求函数的比较静态分析，实质上就对要素需求函数的比较静态分析，实质上就是就是求内生变量关于外生变量的偏导数。是就是求内生变量关于外生变量的偏导数。 首先，将均衡解代入一阶必要条件方程组：首先，将均衡解代入一阶必要条

41、件方程组：0,021*2021*1021*11ywwxywwxfywwwx0,021*2021*1021*22ywwxywwxfywwwx0,021*2021*10ywwxywwxfy4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 首先来看要素首先来看要素 x1 的价格的价格 w1 变化对均衡解的影响。变化对均衡解的影响。 对上述方程组各等式两端对对上述方程组各等式两端对 w1 求偏导，有：求偏导，有：011*1*2 *1*1 *12111wfwxfwxfxxxxx01*1*2 *1*1 *22212wfwxfwxfxxxxx01*21*121wxfwxfxx4.8 生产成本极小化问题生产成本极

42、小化问题 写成矩阵形式：写成矩阵形式： 根据克莱姆法则，解得：根据克莱姆法则，解得：00101*1*21*1 * * * *212221212111wwxwxffffffffxxxxxxxxxxxx02111*12HfHHwxx0121*221HffHHwxxx0 *131*122221HffffHHwxxxxxx4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 同样道理，可计算同样道理，可计算 x2 价格价格 w2 变化对均衡解的影响。变化对均衡解的影响。 对一阶必要条件方程组各等式两端对对一阶必要条件方程组各等式两端对 w2 求偏导，有：求偏导，有：02*2*2 *2*1 *12111wfwx

43、fwxfxxxxx012*2*2 *2*1 *22212wfwxfwxfxxxxx02*22*121wxfwxfxx4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 写成矩阵形式：写成矩阵形式： 根据克莱姆法则，解得：根据克莱姆法则，解得：01002*2*22*1 * * * *212221212111wwxwxffffffffxxxxxxxxxxxx0212*121HffHHwxxx0222*221HffHHwxxx0 *232*211112HffffHHwxxxxxx4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 同样道理，可计算同样道理，可计算 y0 变化对均衡解的影响。变化对均衡解的影响。

44、对一阶必要条件方程组各等式两端对对一阶必要条件方程组各等式两端对 w2 求偏导，有：求偏导，有：00*0*2 *0*1 *12111yfyxfyxfxxxxx00*0*2 *0*1 *22212yfyxfyxfxxxxx010*20*121yxfyxfxx4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 写成矩阵形式：写成矩阵形式： 根据克莱姆法则，解得：根据克莱姆法则，解得：10000*0*20*1 * * * *212221212111yyxyxffffffffxxxxxxxxxxxx0 *310*1212221HffffHHyxxxxxxx0 *320*2121112HffffHHyxxxx

45、xxx4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 特别地，有：特别地，有： 由利润极大化的二阶充分条件可知：由利润极大化的二阶充分条件可知： 所以所以 ，即，即 。 说明边际成本曲线向上倾斜说明边际成本曲线向上倾斜。HffffHHyxxxxxxxx 2*330*2211122102 212211xxxxxxfff00*y000*yMCy4.8 生产成本极小化问题生产成本极小化问题 此外，还可以利用包络定理对目标函数最优值此外，还可以利用包络定理对目标函数最优值进行比较静态分析。进行比较静态分析。 通过构造通过构造 Lagrange 函数：函数： L= w1x1 + w2x2 +y0 f(x1 , x2) 根据包络定理，可得：根据包络定理，可得：111*xwLwC222*xwLwC00*yLyCx* ,*x* ,*x* ,*THE END