工程力学第八章圆轴的扭转课件.ppt

1、实际工程中，有很多产生扭转变形的构件。图示汽车操纵杆；机械中的传动轴等。传动轴传动轴圆截面直杆作用在垂直于轴线的不同平面内的外力偶，且满足平衡方程: SMx=0相对扭转角xyz变形前变形前变形后变形后f fAB 本章研究杆件发生除扭转变形外，其它变形可忽略的情况，并且以圆截面(实心圆截面或空心圆截面)杆为主要研究对象。此外，所研究的问题限于杆在线弹性范围内工作的情况。n主动轮从动轮叶片主轴Me扭矩：MT是横截面上的内力偶矩。 内力由截面法求得。取左边部分取左边部分平衡平衡由平衡方程： 0MMT 假想切面假想切面外力偶外力偶 内力偶内力偶 由平衡方程：由平衡方程： TTMMM 0取右边部分取右边

2、部分MT 和和MT 是同一截面上的内力，应是同一截面上的内力，应当有相同的大小和正负当有相同的大小和正负。T假想切面假想切面取左边部分取左边部分平衡平衡外力偶外力偶 扭矩扭矩 扭矩扭矩外力偶外力偶 平衡平衡负负正正nnmT （+）mnnT（+） 上述截面的内力（扭矩）为正值上述截面的内力（扭矩）为正值扭矩图：利用截面法每次只能求某一指定截面上的扭矩，为能反映出扭矩的分布情况，我们以杆件的轴线为基线，用一个图形来表示沿轴长各横截面上扭矩的变化规律，称为扭矩图xT+例8-1、作图示圆轴的扭矩图2mxmx3mxABC解：由于AB、BC两段的扭矩不同，所以要分段计算（1 1）计算）计算ABAB段的扭矩

3、段的扭矩1用假想的1截面将轴切开，取左段为隔离体根据平衡条件求得： TAB=2mx112mxTAB （2 2）计算）计算BCBC段的扭矩段的扭矩2用假想截面2将圆轴切开，取左段或右段为隔离体，根据平衡条件求得： TBC=-mx2mx3mxAB22TBCmxC22TBC2mxmx3mxAB（3 3）作扭矩图）作扭矩图xTABC2mxmx+例8-2图示为一装岩机的后车轴，已知其行走的功率PK=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的荷载通过轴承传到车轴上，不计摩擦，画出车轴的扭矩图ABC解：1）计算外力矩齿轮B输入的功率分别传递到轮A、C上，每个轮所消耗的功率为：PK/2mAmBmCm

4、NnPmKB1489550mNmmmBCA742 2）计算AB段内力根据平衡条件，可求得： TAB=mA=74NmmAATABmAmBABTBC 3）计算BC段内力根据平衡条件，求得： TBC=mA-mB=-74Nm 4 4）扭矩图）扭矩图xTABC7474+mAmBmC 例例8- -3 一传动轴如图，转速 ；主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200 kW。试作轴的扭矩图。 minr300n解解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩mkN9 .15mN 109 .15mN)3005001055. 9(331MmkN

5、78. 4mN1078. 4mN)3001501055. 9(3332 MMmkN37. 6mN1037. 6mN)3002001055. 9(334M2. 计算各段的扭矩BC段内：mkN78. 421MTAD段内：mkN37. 643 MTCA段内：mkN9.56322MMT(负)注意这个扭矩是假定为负的3. 作扭矩图 由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56 kNm。 思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭 矩图。这样的布置是否合理？15.94.786.37 4.785kN5kN3kNN 图5kN2kN8kN5kN2kN8kN5kN 向：201 10m

6、kNMT /按右手法确定按右手法确定 向mkN 20mkN 10mkN 10 xo2010按右手法确定按右手法确定 向xo40kN.m20kN.m10kN.m10kN.mmkNMT/20 xo40kN.m10kN.m10kN.mAM求反力偶：求反力偶：mkNMA 202010按右手法确定按右手法确定 向mkNMT/208.3.1. 横截面上的应力表面变形情况推断横截面的变形情况( (问题的几何方面问题的几何方面) )横截面上应变的变化规律横截面上应力变化规律应力-应变关系( (问题的物理方面问题的物理方面) )内力与应力的关系横截面上应力的计算公式( (问题的静力学方面问题的静力学方面) )圆

7、轴扭转实验现象：圆轴扭转实验现象：横向：圆周线仍相互平行，且形状和大小不变，间距不变，但相邻圆周发生相对转动纵向：各纵向线仍然平行，但倾斜了一个角度，由纵向线与圆周线所组成的矩形变成了平行四边形平截面假定：圆轴扭转变形后，横截面保持为平面，其形状和大小及相邻两横截面间的距离保持不变，半径仍保持为直线（横截面刚性地绕轴线作相对转动）推知：杆的横截面上只有切应力，且垂直于半径。取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性转动角df，原来的矩形ABCD变成为菱形ABCD。是微元的直角改变量，即半径r各处的剪应变。因为CC= dx=rdf , 故有：dxrd /f f df /dx ,称为单位扭转角

8、。对半径为r的其它各处，可作类似的分析。dxOCDrC D dfdf 对半径为r的其它各处，作类似的分析。剪应变的大小与半径r成正比。与单位扭转角df /dx成正比。dxd /f fr r -(1)同样有： CC= dx=rdfdxOCDrC D df在线性弹性范围内，剪切虎克定律为：G是t-曲线的斜率，如图，称为剪切弹性模量。单位GPatG-(2)半径为r处的剪应力则为：dxdGGf fr r t tr rr r 1GOt 1Gtys材料的剪应力与剪应变之间有与拉压类似的关系。dxdGGf fr r t tr rr r 圆轴几何及MT给定，df/dx为常数；G是材料常数。-(3)dxOCDr

9、C D dfo截面上任一点的剪应力与该点到轴心的距离r成正比；剪应变在ABCD面内，故剪应力与半径垂直，指向由截面扭矩方向确定。应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。取微面积如图，有：TAMdA rrtdxdGGf fr r t tr rr r -(3)TAMdAdxdG 2r rf fodATAMdAdxdG 2r rf f 令： APdAI2r r最后得到：PTIMdxdGr rf fr rt tr r -(4)Ir 称为截面对圆心的极惯性矩，只与截面几何相关。tmax在圆轴表面处，且TTPTWMIrM/max t tWT =IP / r，称

10、为抗扭截面模量。o 讨论内径d，外径D的空心圆截面，取微面积 dA=2prdr, 则有：)1 (3232)(244442/2/3apprrpPDdDdIDd极惯性矩： APdAI2r r抗扭截面模量r r/PTIW 极惯性矩:抗扭截面模量:)1(3244a ap p DIP)1(1643a ap p DWTa=d/D=0324DIPp p 163DWTp p dx -(1)d /j jr r +dxdGGj jr r t tr rr r -(2)+TAMdAdxdG 2r rj j-(3)-(4)Pj jGIMdxdT/ -(5)1）圆轴扭转时，横截面上只有剪应力，剪应力在横截面上线性分布，垂

11、直与半径，指向由扭矩的转向确定。 2） 截面任一处 截面外圆周处（表面） tP=MTr/IP tmax=MT/WT2）下列圆轴扭转的剪应力分布图是否正确?1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？ 变形是否相同？相同相同相同相同不同不同8.3.3 8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态扭转圆轴任一点的应力状态 dxt tt tdxcAdy研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左右二边为横截面，上下二边为过轴线的径向面。 A剪应力互等定理：剪应力互等定理： 物体内任一点处二相互垂直的截面上，剪应力总是同时存

12、在的，它们大小相等，方向是共同指向或背离二截面的交线。 dxcAdy纯剪应力状态: 微元各面只有剪应力作用。 dxct t45 As ss s 现分析单元体内垂直于前、后两平面的任一斜截面 ef (如图)上的应力。斜截面上的应力斜截面上的应力分离体上作用力的平衡方程为0sinsindcoscosdd, 00cossindsincosdd, 0aataattaataatsaaAAAFAAAF利用t t ，经整理得attatsaa2cos,2sin由此可知： (1) 单元体的四个侧面(a = 0和 a = 90)上切应力的绝对值最大； (2) a =-45和a =+45截面上切应力为零，而正应力的

13、绝对值最大；tsstssmin45max45，如图所示。attatsaa2cos,2sin低碳钢扭转试验开始低碳钢扭转试验结束低碳钢扭转破坏断口 铸铁扭转破坏试验过程铸铁扭转破坏断口 思考：低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？ 例题例题8 8- -4 4 实心圆截面轴(图a)和空心圆截面轴(图b) （ ）除横截面不同外，其它均相同。试求两种圆轴在横截面上最大切应力相等的情况下，D2与d1之比以及两轴的重量比。8 . 0/22Dda31e1Te1T1max, 116dMWMWT t t 432e2Te2T2max,2116a at t DM

14、WMWT解： 4322T311T116,16a a DWdW194. 18 . 0113412dD由t1,max=t2,max，并将a 0.8代入得两轴的重量比即为其横截面面积之比：512. 08 . 01194. 1144222122221222212dDddDAAa空心圆轴的自重比实心圆轴轻。实际应用中，尚需考虑加工等因素。. . 强度条件强度条件maxt tt t 此处t为材料的许用切应力。对于等直圆轴亦即Tmaxt t WT 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上的切应力有固定关系，故仍可以切应力和许用切应力来表达强度条件。 例

15、例8- -5 图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120 mm，BC段直径d2=100 mm。扭转力偶矩MA =22 kNm，MB =36 kNm，MC =14 kNm，材料的许用切应力t 80 MPa。试校核该轴的强度。BC段内MPa3 .71Pa103 .71 m1010016mN101463332p2max, 2WTtAB段内MPa8 .64Pa108 .64 m1012016mN102263331p1max, 1WTt解：解：1. 绘扭矩图 2. 求每段轴的横截面上的最大切应力3. 校核强度 需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应力集中现象，在以上计算中对此并未考核。 t2,max

16、t1,max，但有t2,maxt = 80MPa，故该轴满足强度条件。. 扭转时的变形扭转时的变形 等直圆杆的扭转变形可用两个横截面的相对扭转角(相对角位移) j 来度量。MeADB CMej j 当等直圆杆相距 l 的两横截面之间，扭矩T及材料的切变模量G为常量时有pGITlj 由前已得到的扭转角沿杆长的变化率(亦称单位长度扭转角)为 可知，杆的相距 l 的两横截面之间的相对扭转角j为pddGITx j j llxGIT0pddjj解：解： 1. 各段轴的横截面上的扭矩：mN637 ,mN95521TT 例例8-68-6 图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1 592 Nm，M2 = 955

17、Nm，M3 = 637 Nm，lAB = 300 mm，lAC = 500 mm，d = 70 mm ，钢的切变模量G = 80 GPa。试求横截面C相对于B的扭转角jCB.rad1069. 1m107032Pa1080m10500mN63734393P2GIlTACCAj3. 横截面C相对于B的扭转角：rad1017. 0rad1069. 1rad1052. 1333CAABCBjjjrad1052. 1m107032Pa1080m10300mN95534393P1GIlTABABj2. 各段轴的两个端面间的相对扭转角：例8-7 空心圆轴如图，已知MA=150N.m，MB=50N.m Mc=

18、100N.m，材料G=80Gpa， 试求（1）轴内的最大剪应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。解: 1) 画扭矩图。2) 计算各段应力:)24/18(1 241610150433pMPa8 .80 f f22 f f18 f f2410001000ABC1501001161311111maxDdDMWMTTTptN-mm-Mpa单位制单位制1162322222maxDdDMWMTTT p pt t)22/18(1221610100433 p pMPa7 .86 3) 计算扭转角jACradGIlMGIlMBCBCTBCABABTABAC183.0 r rr rj j150100 f f22

19、 f f18 f f2410001000ABC. . 刚度条件刚度条件式中的许可单位长度扭转角j的常用单位是()/m。此时，等直圆杆在扭转时的刚度条件表示为：对于精密机器的轴0.150.30 ()/m；对于一般的传动轴2 ()/m。max 180pmax GIT解解: 1. 按强度条件求所需外直径D有由因 ,161516116pmaxmax343pttaWTDDWm10109Pa10401615mN1056. 916161516363max33tTD 例例8 8-8 由45号 钢制成的某空心圆截面轴，内、外直径之比a = 0.5 。已知材料的许用切应力t = 40 MPa，切变模量G= 80

20、GPa。轴的横截面上扭矩的最大者为Tmax = 9.56 kNm，轴的许可单位长度扭转角0.3 ()/m。试选择轴的直径。2. 按刚度条件求所需外直径D 有有由由因因180 ,161532132pmax444p a a GITDDIm105 .125m/ )(3 . 011801615Pa1080mN1056. 9321180161532393max44jGTDmm75.62d3. 空心圆截面轴所需外直径为D125.5 mm(由刚度条件控制)，内直径则根据a = d/D = 0.5知8- -5 扭转静不定问题扭转静不定问题 例例8-98-9 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩M

21、e作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a) 解解: : 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次静不定问题。0 0eBAxMMMM，(a)MAMB 2. B为固定端,因此0 BAj j(a)MAMB0 PBPABCCABAGIbMGIaMj jj jj j所以所以PACAGIaM j jPBBCGIbM j jeBeAMbaaMMbabM ,4. 杆的AC段横截面上的扭矩为babMMTAAC e从而有pep)(GIbaabMGIaTACC j j(a) 例例8-108-10 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经

22、紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。(a) 解解: : 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。TaTb(b)2. 位移相容条件为BbBajj3. 利用物理关系得补充方程为4. 联立求解补充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，TaTb(b)5. 铜杆横截面上任意点的切应力为aIG

23、IGMGITbbaaaaaarrrt0ppep钢管横截面上任意点的切应力为baIGIGMGITbbaabbbbrrrtrppep 上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在r = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。aartabrtTMTt tmaxTTWM/maxts sAFN/smaxttTTWMssAFN180prGIMT)1 (3244aprDI324DIpr)1 (1643apDWT163DWTp作业: 第一次：8-1(b)(c)，8-2第二次： 8.3 8.8 8.10