层次分析法概述课件.pptx
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- 层次 分析 概述 课件
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1、层次分析法概述第一节第一节 思想和原理思想和原理 层次分析法层次分析法(The Analytical Hierarchy Process ,简称简称AHP)是美国匹兹堡大学教授运筹学是美国匹兹堡大学教授运筹学家家萨迪(萨迪(A.L.Saaty)于)于20世纪世纪70年代提出的一种年代提出的一种在处理复杂的决策问题中,进行方案比较排序的方在处理复杂的决策问题中,进行方案比较排序的方法法。 例:购例:购买汽车买汽车价格(万元)油耗(升/公里)舒适度引擎奔驰2819豪华、自动档、多媒体6缸本田2110普通、自动档、多媒体4缸桑坦纳1313标准、手动、音响4缸 它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个
2、组成因素,它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素,并将这些因素按支配关系分组,从而形成一个有序的递阶并将这些因素按支配关系分组,从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性,然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性重要性,然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量的总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便,从而使它的应用几乎描述的决策问题带来了极大的方便,从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。涉及任何科学领域。选择
3、最满意的汽车选择最满意的汽车价格价格油耗油耗舒适度舒适度动力动力奔驰奔驰本田本田桑坦纳桑坦纳选择汽车 价格 油耗 舒适度动力价格1322油耗1/311/41/5舒适度1/2411/2动力1/2521判断判断尺度尺度定义定义1A和和B同样重要同样重要3A比比B稍微重要稍微重要5A比比B重要重要7A比比B重要的多重要的多9A比比B绝对重要绝对重要2、4、6、8介于上述两个相邻介于上述两个相邻判断尺度之间判断尺度之间倒数倒数A比比B的重要性比的重要性比为为 ,则,则B比比A的重要性的重要性1/ 选择最满意的汽车选择最满意的汽车价格价格油耗油耗舒适度舒适度动力动力奔驰奔驰本田本田桑坦纳桑坦纳价格奔驰
4、本田 桑坦纳奔驰11/31/5本田311/2桑坦纳521判断判断尺度尺度定义定义1A和和B同样重要同样重要3A比比B稍微重要稍微重要5A比比B重要重要7A比比B重要的多重要的多9A比比B绝对重要绝对重要2、4、6、8介于上述两个相邻介于上述两个相邻判断尺度之间判断尺度之间倒数倒数A比比B的重要性比的重要性比为为 ,则,则B比比A的重要性的重要性1/ 选择最满意的汽车选择最满意的汽车价格价格油耗油耗舒适度舒适度动力动力奔驰奔驰本田本田桑坦纳桑坦纳油耗奔驰 本田 桑坦纳奔驰11/51/3本田512桑坦纳31判断判断尺度尺度定义定义1A和和B同样重要同样重要3A比比B稍微重要稍微重要5A比比B重要重
5、要7A比比B重要的多重要的多9A比比B绝对重要绝对重要2、4、6、8介于上述两个相邻介于上述两个相邻判断尺度之间判断尺度之间倒数倒数A比比B的重要性比的重要性比为为 ,则,则B比比A的重要性的重要性1/ n基本思想:基本思想:把复杂问题分解成各个组成因素,又将这些因素把复杂问题分解成各个组成因素,又将这些因素按支配关系分组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式确按支配关系分组形成递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合决策者的判断,确定层次中诸因素的相对重要性。然后综合决策者的判断,确定决策方案相对重要性的总排序。定决策方案相对重要性的总排序。n特点:特点:将决策者
6、对复杂系统的评价决策思维过程数学化将决策者对复杂系统的评价决策思维过程数学化。选择最满意的汽车选择最满意的汽车价格价格油耗油耗舒适度舒适度动力动力奔驰奔驰本田本田桑坦纳桑坦纳n尽管尽管AHP具有模型的特色,在操作过程中具有模型的特色,在操作过程中使用了线性代数的方法,数学原理严密,使用了线性代数的方法,数学原理严密,但是它自身的柔性色彩仍十分突出。层次但是它自身的柔性色彩仍十分突出。层次分析法十分适用于具有定性的,或定性定分析法十分适用于具有定性的,或定性定量兼有的决策分析,它是一种十分有效的量兼有的决策分析,它是一种十分有效的系统分析和科学决策方法。系统分析和科学决策方法。第二节第二节 AH
7、P的基本方法与步骤的基本方法与步骤运用运用AHPAHP进行决策时,大体可分为进行决策时,大体可分为4 4个步骤进行:个步骤进行:分析系统中各元素之间的关系,建立系统的递阶层析结构;分析系统中各元素之间的关系,建立系统的递阶层析结构;对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,构造两两比较判断矩阵;两两比较,构造两两比较判断矩阵;由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重;由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重;计算各层元素对系统目标的合成权重,并进行排序。计算各层元素对系统目标的合成权重,并进行排序。一、递阶层次结构
8、的建立一、递阶层次结构的建立最高层最高层:问题的预定目标或理想结果,也称:问题的预定目标或理想结果,也称目标层目标层;中间层中间层:包括为了实现目标所涉及的中间环节,也可以由若干:包括为了实现目标所涉及的中间环节,也可以由若干层次组成,包括所考虑的准则、子准则,也称为层次组成,包括所考虑的准则、子准则,也称为准则层准则层;最底层最底层:实现目标的各种措施、决策方案等,也称为:实现目标的各种措施、决策方案等,也称为方案层方案层。递阶层次结构示意图递阶层次结构示意图例:例:过河效益分析过河效益分析目标层目标层准则层准则层方案层方案层二、构造两两比较判断矩阵二、构造两两比较判断矩阵Cu1u2unu1
9、u2unu1u2un判断矩阵判断矩阵Cu1u2unu1u2unu1u2un判断矩阵判断矩阵判断判断尺度尺度定义定义1A和和B同样重要同样重要3A比比B稍微重要稍微重要5A比比B重要重要7A比比B重要的多重要的多9A比比B绝对重要绝对重要2、4、6、8介于上述两个相邻介于上述两个相邻判断尺度之间判断尺度之间倒数倒数A比比B的重要性比的重要性比为为 ,则,则B比比A的重要性的重要性1/ u1u2unu1a11a12a1nu2a21a22a2nunan1an2ann判断矩阵判断矩阵()ijn nAaaij 是元素是元素 ui 与与 uj 相对于相对于C的重要性的比例标度的重要性的比例标度判断矩阵具有
10、下述性质:判断矩阵具有下述性质:101ijjiiiijaaaaikijjkaaa例:例: ui 与与 uj 相比重要性比例标度为相比重要性比例标度为3; 而而uj 与与 uk 相比重要性比例标度为相比重要性比例标度为2;如果认为如果认为ui 与与 uk 相比重要性比例标度为相比重要性比例标度为6:ijjkikaaa当上式对当上式对 A 的所有元素均成立时,判断矩阵的所有元素均成立时,判断矩阵 A 成为成为一致性矩阵一致性矩阵。三、单一准则下元素相对权重的计算三、单一准则下元素相对权重的计算Cu1u2unu1u2unu1a11a12a1nu2a21a22a2nunan1an2ann求出各元素相对
11、于准则求出各元素相对于准则 C 的相对权重:的相对权重:12,n 12(,)Tn 向量形式:向量形式:(一)权重计算方法(一)权重计算方法1、和法(每一列归一化后近似权重)、和法(每一列归一化后近似权重)第一步:第一步:A 的元素按列归一化;的元素按列归一化;111212122212nnnnnnaaaaaaaaa12111nnniiiniiiaaa第一步:第一步:A的元素按列归一化;的元素按列归一化;111121211122122121111212111nnnniiiniiinnnniiiniiinnnnnnniiiniiiaaaaaaaaaaaaaaaaaa第二步:第二步:将归一化后的将归一
12、化后的 各行相加;各行相加;111121211122122121111212111nnnniiiniiinnnniiiniiinnnnnnniiiniiiaaaaaaaaaaaaaaaaaa第三步:第三步:将相加后的将相加后的结果除以结果除以 n 即得权重即得权重向量。向量。例:各型号汽车对于动力指标的权重例:各型号汽车对于动力指标的权重动力奔驰 本田 桑坦纳奔驰128本田1/216桑坦纳 1/81/611281/2161/81/61A1281/2161/81/61按列归一化按列归一化8/1312/198/154/136/192/51/131/191/15各行相加各行相加171/9112/85
13、10/51相加后的向量除以相加后的向量除以n0.5930.3410.0652、方根法、方根法第一步第一步:将判断矩阵:将判断矩阵A的每一行元素相乘后求其的每一行元素相乘后求其 1/n 次根即:次根即:第二步第二步:对矩阵进行归一化处理,即:对矩阵进行归一化处理,即:1/1,1,2,nniijjain1iinjj例:各型号汽车对于动力指标的权重例:各型号汽车对于动力指标的权重动力动力奔驰奔驰 本田本田 桑坦纳桑坦纳奔驰奔驰128本田本田1/216桑坦纳桑坦纳 1/81/611281/2161/81/61A1281/2161/81/61按行相乘求按行相乘求1/n方方2.5201.4420.237i
14、归一处理归一处理0.5930.3410.0653、特征向量法、特征向量法111211112121222212221212/./././././.nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaAaaaaaaaaa 3、特征向量法、特征向量法现以测量物体重量为例,设有现以测量物体重量为例,设有n个物体个物体A1,A2 ,,An,其重量分别为,其重量分别为把把n个物体的重量两两对比可得如下个物体的重量两两对比可得如下n x n矩阵。矩阵。很显然,很显然,111211112121222212221212/./././././.nnnnnnnnnnnnwwwwwwaaawwwwwwaaaA
15、wwwwwwaaa12,nw ww1,1,iikijiiijijjjijkwaaaaawaa如果用如果用 右乘右乘A,则可得,则可得12,Tnww ww1111121222122212/./././nnnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwnwwwwwwww即:即:AW=nW 或 (A-nI)W=0n (A-nI)W=0即是矩阵的特征根方程,即是矩阵的特征根方程,n是其中的一个特征根,是其中的一个特征根,(一般用一般用 表示表示),w就是矩阵就是矩阵A的对应于特征根的对应于特征根n的的特征向量,如果已知特征向量,如果已知A,就可以通过求解矩阵,就可以通过求解矩阵A的特征根的方法找到的特征
16、根的方法找到W的相对值。的相对值。 1,1,iikijiiijijjjijkwaaaaawaa把物体重量的这个性质用在目标的重要性上,可把物体重量的这个性质用在目标的重要性上,可以得出这样的启示:先用两两对比法构造出判断以得出这样的启示:先用两两对比法构造出判断矩阵矩阵A,然后,然后通过求它的特征根及特征向量的方通过求它的特征根及特征向量的方法术出法术出W,此向量,此向量W即为各目标的权系数。当矩即为各目标的权系数。当矩阵完全满足阵完全满足我们称这个判断矩阵具有完全的一致性,此时这我们称这个判断矩阵具有完全的一致性,此时这个矩阵的最大特征根只有一个,即个矩阵的最大特征根只有一个,即 其余其余特
17、征根为零。特征根为零。maxn例:求矩阵例:求矩阵A的特征根和特征向量的特征根和特征向量213(1)11/31131/31A2121 2301/31 20ww 120.750.25ww(二)一致性检验(二)一致性检验n判断矩阵是计算排序权向量的根据,判断矩阵是计算排序权向量的根据, 因此要求判断矩阵具有因此要求判断矩阵具有一致性。一致性。n排序向量的计算方法都是一种近似算法。当判断矩阵偏离一排序向量的计算方法都是一种近似算法。当判断矩阵偏离一致性过大时,这种近似估计的可靠程度也就值得怀疑。致性过大时,这种近似估计的可靠程度也就值得怀疑。甲比乙极端重要甲比乙极端重要乙比丙极端重要乙比丙极端重要丙
18、比甲极端重要丙比甲极端重要违反常识、违反常识、经不起推敲经不起推敲n 一致性检验一致性检验:只有当矩阵完全一致时,判断矩:只有当矩阵完全一致时,判断矩阵阵A才存在才存在 ,而不一致时,而不一致时, 即可用即可用 这个差值大小来检验一致性的这个差值大小来检验一致性的程度,一般用程度,一般用 这个一致性指标,这个一致性指标, 愈小,愈小,说明一致性愈大。说明一致性愈大。 (consistency index) maxnmaxnmax()nmax. .1nC In. .C I(二)一致性检验(二)一致性检验. .C In考虑到一致性偏差还可能是随机原因造成的,考虑到一致性偏差还可能是随机原因造成的,
19、在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时,还在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时,还得将得将 与平均随机一致性指标与平均随机一致性指标 进行比较,进行比较,得出检验数得出检验数 ,即,即 R.I.(random index) 与判断矩阵的阶数有关,与判断矩阵的阶数有关,一般阶数愈大,出现一致性随机偏离的可能性一般阶数愈大,出现一致性随机偏离的可能性也愈大,一般有如下数据。也愈大,一般有如下数据。. .C I. .C R. . .0.1. .C IC RR I. .R I维数:维数:123456789101112131415R.I.000.520.891.121.261.361.411.461.49
20、1.521.541.561.581.59单层次判断矩阵单层次判断矩阵A的一致性检验的一致性检验进行一致性检验的步骤如下:进行一致性检验的步骤如下:(a)计算一致性指标计算一致性指标C.I.: ,式式中中n为判断矩阵阶数。为判断矩阵阶数。(b)计算平均随机一致性指标计算平均随机一致性指标R.I.(c)计算一致性比例计算一致性比例C.R.: C.R. C.I./ R.I.当当C.R.0.1时,一般认为判断矩阵的一致性是可时,一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。以接受的。1.maxnnIC四、计算各层元素对目标层的合成权重四、计算各层元素对目标层的合成权重选择最满意的汽车选择最满意的汽车价格价格油
21、耗油耗舒适度舒适度动力动力奔驰奔驰本田本田桑坦纳桑坦纳价格奔驰 本田 桑坦纳奔驰11/31/5本田311/2桑坦纳52111/31/5311/2521A0.1090.3090.582max3.004. .0.018C I . .0.003C R . .0.0030.1C R 11/61/461341/31A0.0850.6440.271max3.054. .0.027C I . .0.046C R . .0.0460.1C R 油耗奔驰 本田 桑坦纳奔驰11/61/4本田613桑坦纳41/311361/3151/61/51A0.6350.2870.078max3.094. .0.047C I
22、. .0.081C R . .0.0810.1C R 舒适度 奔驰 本田 桑坦纳奔驰136本田1/315桑坦纳 1/61/5112541/21421/51/411/21/41/221A0.5000.2810.0790.140max4.028. .0.009C I . .0.010C R . .0.0100.1C R 总目标 价格 油耗舒适度动力价格1254油耗1/2142舒适度 1/51/411/2动力1/41/221总目标方案层总排序价格油耗舒适度动力0.5000.2810.0790.140奔驰0.1090.0850.6350.593 0.212本田0.3090.6440.2870.341
23、0.406桑坦纳0.5820.2710.0780.065 0.382汽车选择问题中综合重要度的计算汽车选择问题中综合重要度的计算因素及权重组合权重 V(2)C1C2CkP1P2Pn综合重要度的计算综合重要度的计算(2)11(2)21(2)1n(2)12(2)22(2)2n(2)1k(2)2k(2)nk(1)1(1)2(1)k(2)(1)(2)111kjjjv (2)(1)(2)221kjjjv (2)(1)(2)1knjnjjv (2)(2)(2)(2)(1)12. .( . ., . ., . .)kC IC IC IC I同样需要从上到下逐层进行一致性检验。同样需要从上到下逐层进行一致性检
24、验。若已经求得以若已经求得以 C 层上元素层上元素 Cj 为准则的为准则的 一致性检验指标一致性检验指标 C.I.j(2), 平均随机一致性指标平均随机一致性指标 R.I.j(2) , 一致性比例一致性比例C.R.j(2) 。 那么,那么,C 层的综合指标层的综合指标C.I.(2)、R.I.(2)、C.R.(2)应为:应为:(2)(2)(2)(2)(1)12. .( . ., . ., . .)kR IR IR IR I(2)(2)(2). . . .C IC RR I总目标方案层总排序价格油耗舒适度动力0.5000.2810.0790.140奔驰0.1090.0850.6350.593 0.
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