四高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析课件.ppt

1、1(四四) 高精度差分格式及其数值解高精度差分格式及其数值解的逼近程度分析的逼近程度分析 指大于二阶精度的格式 要求准确模拟小扰动量长时间、远距离传播的速度和幅值 用于计算噪声、DNS等 有传统高精度差分和紧致差分两种24.1模型方程及半离散方程)(exp)exp(),( . 2)(exp),( . 1 ),exp()0 ,(:, (2) . 2(1) 0. 1222ctxiktktxuctxiktxuxikxxuFourierconstconstcxuxuctuxuctu精确解：分量初值单个模型方程K=1K=23模型方程及半离散方程(cont.)），（代入（无导数离散方程的精确解及其离散的初

2、值：，例如其中方程）半离散方程（43)exp()()exp()()exp()(),( : )()exp()0 ,(2 ,21, (4) . 2(3) 0. 1ODE11112222jdjjejjjjjjjjjjjjjjjjjikxtukSikxtukFikxtutxuxikxxuuuuSuuFxuxSxuxFxSxFctuxFctu222),exp()( )exp()( )(),exp()( )exp()( )exp()( ),(2ddxxeexkikxtukikxtuxkuxixkikikxtukikxtuxikxuikxtutxu数：微分方程精确解及其导4半离散方程的精确解）波速色散误差，

3、要求保持原对负耗散）表示格式有正耗散，耗散要求；（要求数值格式：微分方程精确解：ckkkkkctxiktktxuctxiktxutkcxiktkcktkktxutkcxiktkcktxuirrrdijrdjijrj ( 1000 01expexp),(exp),(0 ,expexp),(0 ,expexp),(222254.2 高精度差分格式 特别适用于光滑问题 减少网格点数 应用于湍流等多尺度问题64.2.1 传统型差分格式0121lljljljlllljljljjluuaFauuaFxuxF中心型差分：相容性：直接由网格点的函数值线性组合N阶精度至少需要N+1个网格点 Taylor展开确定

4、系数7传统型差分格式(cont)(3) 21347273601(2) 21347273601(1) )()(812121122112)22)11jjjjjxjjjjjjxjjjjjjuuuuuFuuuuuFuuuuF分五阶精度的迎风偏斜差精度中心型差分逼近于一阶导数的四阶 JJ-2J-3J-1J+1 J+2J+1J-1J-2JJ+2 J+38传统型差分格式(cont)jjjjFcFccFxFctuxuctu00迎风偏斜差分的应用：9传统型差分对模型方程的逼近特性 所有中心型差分：无耗散 迎风偏斜差分：有耗散，但可能为负耗散 可从差分格式的精确解分析色散和耗散sin452sin93sin301

5、,10cos152cos63cos3012156020303601sin82sin61,3cos42cos616326132112211irjjjjjjjirj-j-jjjkkuuuuuuFkkuu-uuF五阶迎风偏斜差分三阶迎风偏斜差分10传统型差分格式(cont.) 二阶导数的差分逼近3322222200222229012203237212134512jjjjjjjjjjjjjlllljjljljjuuuuuuuSuuuuSbluuubSxuxS点）：六阶精度（点）：四阶精度（心型差分流动的扩散项一般用中相容：114.2.2 紧致差分格式 同样的精度比传统差分的基架点少 截断误差的系数较小

6、 二阶导数的(中心型)紧致差分 一阶导数的对称紧致差分 一阶导数的迎风紧致差分12二阶导数的紧致差分 传统型差分的截断误差项的再次离散 四阶紧致： 若边界点S0和SN已知，可用解三对角矩阵方程得到所有网格点上的差分 jxjjjuSSS2111216512113二阶导数的紧致差分(cont.) 一般形式 获得S需要求解矩阵方程组.22222222210200llkkkkllllljjljllljljllbxuxxSTaylorbluuubSS和系数得到代数方程组，求出的系数相等和右端的展开左端的相容要求：14二阶导数的紧致差分(cont.) 5点六阶紧致：?)(125222对角不占优jxjxjx

7、juuSS15一阶导数的对称型紧致差分 一般形式: 获得F需要求解矩阵方程组，左端点最好不超过3.) 1(22111000llkkkkllllljljllljljllaxuxxSTaylorjaluuaFF和系数得到代数方程组，求出的系数相等和右端的展开左端的处于相容要求：16一阶导数的对称型紧致差分(cont.) 四阶精度: 也可从传统的二阶中心差分的截断误差的再次离散26132612211111111110jjjjjjjjjjuuFFFuuaFFF17一阶导数的对称型紧致差分(cont.) 六阶精度:220021141151301613261jjjxjxjxjjjuuuuFFFF18一阶导

8、数的迎风紧致差分 有数值耗散，抑制高频振荡 一般形式： 三阶迎风紧致格式(3点）：jxxjjjxxjjkkkkkjkjkkkjkkuFFcuFFcauuaF61653132:061653132:01111相容要求：19一阶导数的迎风紧致差分(cont.) 五阶迎风紧致格式(5点）： F+按j增加的方向求解, F-按j减少的方向求解11211121347116015253:0347116015253:0jjjjxjjjjjjxjjuuuuFFcuuuuFFc20非等距网格上的格式 计算精度比 要高。 三阶迎风紧致：xfxf,)1 (1,)1 (23)1 ()1 (32,)1 (,11221111

9、2221111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjbahffbhffaFFbahffbhffaFF）（，21一阶导数的迎风紧致差分(cont.) 三阶迎风紧致格式的截断误差： 对模型方程的逼近程度： 4434443636xuxcxuctuxuxxuxFjjxxjjjejjjuFFikxtukFikxtuu61653132)exp()( )exp()( 1代入22一阶导数的迎风紧致差分(cont.) 三阶迎风紧致格式对模型方程的逼近程度：，耗散型格式0cos45)cos8(sin ,cos45)cos1 (2ririrekkkikkk234.3 格式的精

10、度及分辨率222222232322221212121221212212221220011, 0, 0,0 xuaxxuxxuxuxuxxuxxuxxuxxuufxfxfxxxuufxfxfxxxftuxfxxfxxftulaallxfxaxftummmmmmmmmmmmmmmmmmmmlllllll改写成：数分开：奇数阶导数和偶数阶导阶。精度为首项既是精度：24耗散误差和色散误差的行为 耗散：影响振幅 色散：产生振荡色散耗散 222xuaxxuxxftu25物理上的高波数(K很大） 它使首项误差，甚至更高阶项误差被放大：误差非小量对高波数，, 1)( )()exp()( 11xktuxxikx

11、uxikxtuulllll26模拟高波数问题对差分格式的要求）波速色散误差，要求保持原对负耗散）表示格式有正耗散，耗散要求；（解大变形），低亏，但不会使数值（格式的此值一般小于要求满足：代入差分公式得到的将ckkkkkkkikxtukSikxtukFikxtutxuirrrddejdjjejjj ( 1000 01 1,)exp()()exp()()exp()(),(2274.4 数值解中的耗散效应和色散效应数值解中的耗散效应和色散效应 所有中心型格式都是无耗散的 负耗散型格式数值上是不稳定的 强迎风格式（点全在上风区）可能是负耗散28耗散效应e;dissipativ 0 3e;dissipa

12、tiv 0 2e;dissipativ 0 1)() 1()exp()( , 642221212121222222121221222122thencifmthencifmthencifmxkxcufxfxfxikxtuucufxuaxxuxxfxxfxxftummmmmmmmmmmmmmmmmmm五阶精度：三阶精度：一阶精度：耗散：按首项的系数确定是否色散耗散29色散效应; 0 ; 0 , 1 dispertive negative 0a , 1 dispertive positive 0a )() 1(1)exp()( , 532211222222212222121221222122正色散四

13、阶精度：正色散二阶精度：慢于真实波速快于真实波速是否正色散：一般按首项的系数确定色散耗散thenifthenifkthenifkthenifxkxxuxfxccaikxtuucufxuaxxuxxfxxfxxftuiimmmmmmmmmmmmmmmmmmm30群速度 正弦波：)(sint)u(x, velocityor wave velocity,phase theis vtxkAv31群速度 (cont)两个正弦波叠加：叠加后看作一个简单的正弦波，其振幅为该振幅本身也是一个波（虚线所示），其相速度为)cos()cos(2)()(cos)()(cos),(tkxtkxtxkktxkktxu)c

14、os(2tkx称为（物理）群速度。连续情况：gggvdkdvkv,32数值解的群速度ddkDtkcxiktkcktxuxFctuxuctuiijrjj)(0 ,expexp),(00定义数值解的群速度：334.6 时间离散的耗散和色散效应.22! 3121 2222023201320222222引入负耗散去高阶时间导数：类似于求修正方程，消xuctLLtLtuLuttutuLLLuuLLLLxuaxxuxxftuxuaxxuxxftuhhhtttt tnnh一阶隐式：正耗散二阶：色散和耗散，色散占主导 。34第四次课阅读提示 傅计算流体力学第四章全部。35第四次课后作业 傅德薰书习题 4-2 傅德薰书习题 4-4 傅德薰书习题 4-5.