江苏专版2019版高考数学一轮复习第六章数列课时达标检测三十一数列求和与数列的综合问题2.doc
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1、=【 ;精品教育资源文 库 】 = 课时达标检测 (三十一) 数列求和与数列的综合问题 一、全员必做题 1 (2017 山东高考 )已知 xn是各项均为正数的等比数列,且 x1 x2 3, x3 x2 2. (1)求数列 xn的通项公式; (2)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,依次连结点 P1(x1, 1), P2(x2,2), ? , Pn 1(xn 1,n 1)得到折线 P1P2? Pn 1,求由该折线与直线 y 0, x x1, x xn 1所围成的区域的面积 Tn. 解: (1)设数列 xn的公比为 q,由已知得 q 0. 由题意得? x1 x1q 3,x1q2 x1q 2. 所以
2、 3q2 5q 2 0. 因为 q 0,所以 q 2, x1 1, 因此数列 xn的通项公式为 xn 2n 1. (2)过 P1, P2, ? , Pn 1向 x 轴作垂线,垂足分别为 Q1, Q2, ? , Qn 1. 由 (1)得 xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1, 记梯形 PnPn 1Qn 1Qn的面积为 bn, 由题意得 bn n n2 2 n 1 (2n 1)2 n 2, 所以 Tn b1 b2 ? bn 32 1 52 0 72 1 ? (2n 1)2 n 3 (2n 1)2 n 2. 又 2Tn 32 0 52 1 72 2 ? (2n 1)2 n 2 (2n 1)2 n
3、 1. 得 Tn 32 1 (2 22 ? 2n 1) (2n 1)2 n 1 32 2n 11 2 (2n 1)2n 1. 所以 Tn nn 12 . 2 (2018 泰州调研 )对于数列 xn,若对任意 n N*,都有 xn xn 22 xn 1成立,则称数列 xn为 “ 减差数列 ” 设数列 an是各项都为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 a1 1,S3 74. (1)求数列 an的通项公式,并判断数列 Sn是否为 “ 减差数列 ” ; =【 ;精品教育资源文 库 】 = (2)设 bn (2 nan)t an,若数列 b3, b4, b5, ? 是 “ 减差数列 ” ,求实数
4、 t 的取值范围 解: (1)设数列 an的公比为 q, 因为 a1 1, S3 74, 所以 1 q q2 74, 即 4q2 4q 3 0, 所以 (2q 1)(2q 3) 0. 因为 q 0,所以 q 12, 所以 an 12n 1, Sn1 12n1 12 2 12n 1, 所以 Sn Sn 22 2 12n 12n 2 2 12n Sn 1, 所以数列 Sn是 “ 减差数列 ” (2)由题设知, bn ? ?2 n2n 1 t 12n 1 2t tn 12n 1 . 由 bn bn 22 bn 1(n3 , n N*), 得 t tn 12n t t n 12n 2 2t t n 1
5、2n , 即 tn 12n t n 12n 2 t n 12n , 化简得 t(n 2) 1. 又当 n3 时, t(n 2) 1 恒成立, 即 t 1n 2恒成立, 所以 t ? ?1n 2 max 1. 故实数 t 的取值范围是 (1, ) 3已知二次函数 y f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 f( x) 6x 2,数列 an的前 n 项和为 Sn,点 (n, Sn)(n N*)均在函数 y f(x)的图象上 (1)求数列 an的通项公式; (2)设 bn 3anan 1,试求数列 bn的前 n 项和 Tn. =【 ;精品教育资源文 库 】 = 解: (1)设二次函数 f(x) ax
6、2 bx(a0) , 则 f( x) 2ax b. 由于 f( x) 6x 2,得 a 3, b 2, 所以 f(x) 3x2 2x. 又因为点 (n, Sn)(n N*)均在函数 y f(x)的图象上, 所以 Sn 3n2 2n. 当 n2 时, an Sn Sn 1 (3n2 2n) 3(n 1)2 2(n 1) 6n 5. 当 n 1 时, a1 S1 31 2 21 1 61 5, 所以 an 6n 5(n N*) (2)由 (1)得 bn 3anan 1 3n n 5 12? ?16n 5 16n 1 , 故 Tn 121 17 ? ?17 113 ? 16n 5 16n 1 12?
7、 ?1 16n 1 3n6n 1. 二、重点选做 题 1 (2017 北京高考 )设 an和 bn是两个等差数列,记 cn maxb1 a1n, b2 a2n, ? ,bn ann(n 1,2, 3, ?) ,其中 maxx1, x2, ? , xs表示 x1, x2, ? , xs这 s 个数中最大的数 (1)若 an n, bn 2n 1,求 c1, c2, c3的值,并证明 cn是等差数列; (2)证明:或者对任意正数 M,存在正整数 m,当 n m 时, cnn M;或者存在正整数 m,使得 cm, cm 1, cm 2, ? 是等差数列 解: (1)c1 b1 a1 1 1 0, c
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