苏教版五年级数学上册《钉子板上的多边形》教学设计+课件+作业单（公开课；定稿）.zip

钉子板上的多边形钉子板上的多边形自主探究一：自主探究一：如果多边形内有 2 枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？要求：要求：画出一个内部有两枚钉子的多边形，算一算它的面积,数一数它边上的钉子数，并记录。我是这么计算的我是这么计算的:多边形内的多边形内的钉子数钉子数/枚枚多边形边上的多边形边上的钉子数钉子数/枚枚多边形的多边形的面积面积/平方厘米平方厘米自主探究二：自主探究二：我研究的是；我研究的是；如果多边形内有 枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数有什么关系呢？我的猜想是：我的猜想是：当多边形内部有 枚钉子，S= 要求要求 1：画出一个内部有 枚钉子的多边形要求要求 2：数出多边形边上钉子数，利用猜想规律算出多边形：数出多边形边上钉子数，利用猜想规律算出多边形的面积，并填入下表。的面积，并填入下表。要求要求 3：验证多边形的面积：验证多边形的面积我是这么计算的：我是这么计算的：要求要求 4：比一比两次得出的结果，猜想成立吗？：比一比两次得出的结果，猜想成立吗？我的结论是：我的结论是：当多边形内部有 枚钉子，S=知识运用知识运用：利用今天所学的知识，快速算出下面图形的面积。多边形内的多边形内的钉子数钉子数/枚枚多边形边上的多边形边上的钉子数钉子数/枚枚多边形的多边形的面积面积/平方厘米平方厘米1钉子板上的多边形钉子板上的多边形教学内容：教学内容：苏教版义务教育教科书数学五年级上册第 108-109 页探索规律“钉子板上的多边形” 。教学目标教学目标：1探索并初步发现钉子板上多边形内有 1、2、3 枚以以上钉子的多边形的面积与多边形边上的钉子数之间的关系，激发进一步探索钉子板上的多边形面积与钉子数关系的兴趣。2使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。3通过小组合作，类比迁移探索问题的方法，尝试探索研究同类问题，一定基础上获得规律成功的体验，树立学习数学的自信心；感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。教学重点教学重点：探索钉子板上的多边形面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系。教学难点：教学难点：在有限的课堂时间内进行类比推导，综合归纳出多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系，得出一般规律。教具准备教具准备：板贴、多媒体课件。学具准备学具准备: :作业纸等教学过程：教学过程：课前交流对话：（预设课前交流对话：（预设 3 3 分钟）分钟）主要围绕主要围绕“会观察、敢猜想会观察、敢猜想”这两个关键词。这两个关键词。1、 你知道今天将要学习什么知识吗？（在学生回答后点击课件出示课题）你是怎么知道的？预设：有钉子板和点子图，还有多边形2、 钉子板和点子图都是我们数学中常见的工具，它们每相邻的两个点之际的距离都是 1 厘米,也就是每一个小正方形的面积是 1 平方厘米。3、 看来咱们班善于观察，敢于猜想的同学真不少！（磁板分别贴出善于观察、善于观察、2敢于猜想敢于猜想） ，这两点是我们学习数学时，很优秀的品质。老师希望这节课中能看到更多的同学具有这种品质！4、前段时间我们学习过了很多平面图形，你会算哪些图形的面积?学生：三角形面积=底高2 平行四边形面积=底高 梯形面积=（上底+下底）高2那对于一些不能直接用公式算面积的组合图形，你是怎么解决的？学生：切割，添补看来同学们学的都不错，那就下来我们开始上课！一、激趣生疑，直观感知（预设：一、激趣生疑，直观感知（预设：2 2 分钟）分钟）1.1.复习学过的平面图形的面积，引出一道稍难的问题，埋下伏笔，引出课题。复习学过的平面图形的面积，引出一道稍难的问题，埋下伏笔，引出课题。（1）谈话引入：我们学过好多平面图形，老师先要考考你，看谁能在最短的时间内答出它的面积是多少。（2）看来这两个题目难不倒大家！老师再出一道！（点击出示） ，问：怎么没有刚才那么迅速呢？你在想什么？ 你们都是这么想的吗？预设：学生会说出关于“分割”的字眼。（3）老师没用这个方法，很快就算出了它的面积是 2.5 平方厘米。你们想学习这个方法吗？ 告诉你吧，解决这个难题的奥妙就藏在这个小小的钉子板中。 （磁板贴出课题：钉子板上的多边形）（4）那钉子板上的多边形面积会与这些钉子有什么关系呢？二、学习新课，建构知识（预设二、学习新课，建构知识（预设 3333 分钟）分钟）1 1、探究多边形内有、探究多边形内有 1 1 枚钉子的规律。枚钉子的规律。 （8 8 分钟）分钟）（1 1）个例发现，形成猜想。）个例发现，形成猜想。（1）让我们一起先来观察这几个图形。观察 1 号图形，面积是多少呢？谁会算？2 号图形呢？3 号图形呢？你是怎么算的？4 号图形呢？（2）同学们利用已有的知识，很快就算出了这些多边形的面积，现在，请你来3观察这四个钉子板的多边形，它们有什么相同的地方呢？预设：多边形的内部只有 1 枚钉子（3）同学们观察地非常仔细，那这些多边形，除了内部有钉子，还有哪里也有钉子？（边上） ，是的，那让我们一起来数一数这四个多边形边上有多少枚钉子！（4）表格完整出示后，提问：请你仔细观察这张表格，你有什么发现？提问：请你仔细观察这张表格，你有什么发现？ 预设预设: :学生回答出“多边形面积乘以 2 等于边上钉子的数量” ；教师就追问：还可以怎么说呢？（多边形边上的钉子数的一半，等于多边形面积的平方厘米数）师：用数量关系式表达出来就是-多边形的面积=边上钉子数2（板书）我们在表示面积时一般用 s 表示，多边形边上的钉子数用 n 表示， （在对应的位置板书“s” 、和“n” ）那么这个规律可以写成-s=n2。评价：同学们，你们太了不起了，通过观察，异中求同，找到了规律！评价：同学们，你们太了不起了，通过观察，异中求同，找到了规律！（2 2）举例验证，再生疑惑。）举例验证，再生疑惑。（1）过度：不过我们发现的这个规律，到目前为止只能算是一个“猜测猜测”（板贴）（板贴） ，只有经得住“验证验证” （板贴）（板贴） ，才能称作规律。下面我们找几多边形验证一下，好吗？（2）课件出示三个图形让我们一起来数一数边上的钉子数是多少枚！（n=8）第二个图形请你们自己来数一数（n=10）第三个图形呢？（n=10）（3）那根据我们的发现，请你来说一说，面积分别是多少呢？（4）那接下来，让我们一起来验证一下 第一个图形谁来算一下？符合我们猜想吗？完全符合！第二个图形谁想来算一下？符合我们猜想吗？完全符合！第三个图形谁想来算一下？符合我们猜想吗？完全符合！（5） （出示长方形）这个图形呢？边上有多少枚钉子？数一数（10 枚）那你觉得它的面积是多少？（有 5 也有 6）谁来算一下？对啊，长方形面积是 6，4那还符合我们的发现吗？（不符合）（3 3）归纳概括，形成结论。）归纳概括，形成结论。师：那为什么这三个图形符合这条规律，而这个图形又不适用于这条规律了呢？预设：内部钉子数都是“1”师：看样子多边形的面积不仅和边上的钉子数有关，还和什么有关系？（内部钉子数）因而我们的这个发现，必须要加上一个条件，才能正确！附加什么条件呢？（在学生表述后，贴上板贴：“内部钉子数 1 枚”（4）小结回顾：小结回顾：回顾刚才我们在探索规律的过程，我们先是仔细观察，然后异中求同，提出猜想，最后通过验证，终于找到了这样的一条规律：（指着板书）-提示学生齐读，当多边形内部钉子数 1 枚时， “多边形的面积=边上钉子数2” 。【设计意图：首先出示例题中的四个图形，让学生先利用已有的知识算出多边形的面积，接着让学生观察这四个多边形的共同点，逐步开展探索活动，在这里渗透了我们是如何来验证猜想是否正确是需要通过计算来说明的。最后出现了一个内部是 2 枚钉子的长方形，学生数出边上钉子数，再猜面积是多少，这时候学生会有分歧，有面积是 5 有 6，这样既让学生观察出刚才的发现需要加一个前提条件：内部钉子数是 1 枚，也引出了要探究“内部钉子数是 2 枚”的多边形面积与边上钉子数之间的关系。 】3.3.探究多边形内有探究多边形内有 2 2 枚钉子的情况。枚钉子的情况。 （预设（预设 1010 分钟）分钟）过渡：过渡：老师有个疑问：（对着课件）这种内部有 2 枚钉子的多边形，会不会也有类似的规律呢？我们能继续探究吗？（能）（1） 让我们来看一下如何探究，让我们一起来读一读。要求：要求：5每位同学在点子图上画一个内部有每位同学在点子图上画一个内部有 2 枚钉子的多边形。枚钉子的多边形。 算一算多边形的面积。算一算多边形的面积。数一数，多边形边上有多少枚钉子。数一数，多边形边上有多少枚钉子。将数据填入下表。将数据填入下表。（2） 接下来开始独立探究吧！教师巡视，选取完成迅速的且具有典型性的 5 个同学的数据。（3） 交流：先来看第一位同学的数据，画的图形内部是 2 枚钉子吗？他算的对吗？数一数边上的钉子数，他表格填得正确吗？（教师把数据填入记录单）来检查一下第二位同学，他画的图形，计算，以及表格对吗？（教师把数据填入记录单）来检查一下第三位同学，对吗？（教师把数据填入记录单）来检查一下第四位同学，对吗？（教师把数据填入记录单）来检查一下第五位同学，对吗？（教师把数据填入记录单）（4） 由于时间问题，老师就找了 5 个同学的数据，我们一起来观察一下，当内部钉子数都是 2 枚的情况，多边形的面积和边上的钉子数存在什么关系？（5） 提醒：刚才内部钉子数是 1 枚的时候，面积=边上钉子数2，现在除以2 和面积有什么关系呢？预设：内部钉子数为 2 枚时，多边形的面积=边上钉子数2+1（6）同学们看一下你们的数据，是否也存在这样的规律呢？符合的同学请举手！（7）看样子我们全班都发现了这一条规律，什么规律？预设：内部钉子数是 2 枚的时候，多边形的面积=边上钉子数2+1 追问：用字母表示就是 S=n2+1 内部钉子数是 2 枚的时候：S=n2+1追问：S 呢？n 呢？【设计意图：这边的探索我是放手让学生进行操作的，由学生画6出内部是 2 枚钉子的多边形，接着计算面积，再数出边上钉子数，完成表格。这一段的探索活动与前面一段基本相同，前面探索中的做法与经验会迁移过来。都是观察数据发现规律。所以，教材的安排比前面宽松，留给学生自主活动的空间比前面大。这一段的规律比前面复杂，发现和表达规律的难度也比前面大。】4.4.探究多边形内有探究多边形内有 3 3 枚以及更多钉子的情况。枚以及更多钉子的情况。 （预设（预设 1010 分钟）分钟）（1 1）推想多边形内部有）推想多边形内部有 3 3 枚以及枚以及 3 3 枚以上钉子的规律。枚以上钉子的规律。过度：（对着板书）你们太了不起来，如此迅速的从不同的多边形中找到了两条规律。观察这两条规律，想一想，如果多边形内部有 3 枚钉子，你猜猜会有怎样的变化？（学生表述后，课件演示“3” 、 “s=n2+2” ）4 枚呢？（课件演示“4” 、 “s=n2+3” ）5 枚呢？（课件演示“5” 、 “s=n2+4” ）（2 2）出示验证要求，完成探究活动（三）出示验证要求，完成探究活动（三）（1）过度：你们太棒了，特别善于观察，敢于猜测！但是这些猜测现在要打上一个“？” ，因为只有通过验证，才能确定成立！时间关系，每位同学可以选择其中的一条进行验证。（2）活动前稍加指导：（出示课件）如果想验证“内部钉子数 3 枚” ，这儿就填上 3，这儿要填写刚才相应的推测！接下来进行验证的时候在点子图上画出内部是在点子图上画出内部是 3 3 枚钉子的多边形枚钉子的多边形 数出多边形边上的钉子数，并利用猜想的规律算一算多边形的面积是多少并数出多边形边上的钉子数，并利用猜想的规律算一算多边形的面积是多少并填入下表。填入下表。算一算，验证画出的多边形的面积。算一算，验证画出的多边形的面积。比一比，两次得出的结果，猜想成立吗？比一比，两次得出的结果，猜想成立吗？最后可以得出你的结论。最后可以得出你的结论。明白了吗？活动开始吧！(3)(3)学生活动，教师巡视。学生活动，教师巡视。交流：谁研究的是内部是 3 枚钉子的情况？7你画的图形边上是多少枚钉子？根据我们的猜想，谁来算一算面积应该是多少？你算出来是吗？那看来你验证到了我们刚才的猜想是正确的！谁也研究的是内部是 3 枚钉子的情况？你画的图形，边上钉子数是多少枚？谁来帮他算一算，根据猜想，面积应该是多少？你算出来是吗？那看来你也验证到了我们刚才的猜想是正确的！交流：谁研究的是内部是 4 枚钉子的情况？你画的图形边上是多少枚钉子？根据我们的猜想，谁来算一算面积应该是多少？你算出来是吗？那看来你验证到了我们刚才的猜想是正确的！交流：谁研究的是内部是 5 枚钉子的情况？你画的图形边上是多少枚钉子？根据我们的猜想，谁来算一算面积应该是多少？你算出来是吗？那看来你验证到了我们刚才的猜想是正确的！同学们看看你们手中的数据，你们验证到猜想是正确的了吗？（非常好）（4 4）总结成一般规律）总结成一般规律经过大家的努力，我们现在可以确定这些猜想都是成立的。同学们，内部钉子数除了这些，还可以是多少？写的完吗？（出示省略号）说不完我们就可以用一个字母 a 来表示内部的钉子数。现在来观察我们发现的这些规律，你有什么发现？把你的想法和同桌说一下。（说不出提示：这些规律有什么相同的地方，有什么不同的地方？预设：都有 n2,但是后面加的数字不一样？追问：那加的数字是怎样变化的？和谁有关系？有什么样的关系呢？是的：我们发现加的这个数字是内部钉子数-1所以我们现在可以知道了，多边形的面积=边上钉子数2+内部钉子数-1（板书：多边形的面积=边上钉子数2+内部钉子数-1）那如果内部钉子数是 a 枚，那加的数字是多少？（PPT 演示 a-1）8所以如何用字母来表示我们发现的规律呢？（板书：内部是 a 枚，s=n2+a-1）这里的 a 可以表示许多数。如果内部钉子数是 0 枚呢，可以怎么写？板书：内部是 0 枚，s=n2-1(4) 通过 ppt 演示充分感受规律的变化。接下来让我们一起再来看一下我们发现的这个规律，当边上钉子数不变（每次都将这个点往上挪一格，内部钉子数都增加 1，这样面积每次也都是增加 1.如果内部没有钉子的话，就是往下挪一格， 面积就少 1.所以我们发现了这样一条规律：多边形的面积=边上钉子数2-1，用字母表示就是 s=n2+a-1三、运用规律、回顾反思（预设三、运用规律、回顾反思（预设 4 4 分钟）分钟）1.简介皮克定理我们今天发现的这条规律，实际上这和伟大的科学家皮克发现的“皮克定理”是一致的：（课件展示）自己可以阅读一下什么是皮克定理。（课件展示）自己可以阅读一下什么是皮克定理。2.接下来我们就要利用今天学习的规律，来解决这两个多边形的面积。请你独立完成在学习单上！我们来交流一下！（找学生汇报）3.回顾反思：师：同学们谢谢你们的精彩合作！回顾我们探索和发现规律的过程，得出这个结论固然重要，但我觉得更重要的是整个过程中的体会，这堂课，我们一开始引出问题，通过四个图形，进行大胆猜想，再进行验证，发现一些问题后，再修正猜想，最后自主探索，发信了一般规律，在这个学习的过程中，你想说点什么吗？四、课外拓展：四、课外拓展：推荐一本书格点与面积今天我们学习的这个只是到初中大家还要深入学习，有兴趣的同学可以阅读这本书格点与面积 。在这本书中提及了这种横竖不相等的格点，有兴趣的同学自己探究一下。 9板书设计 钉子板上的多边形善于观察善于观察 异中求同异中求同敢于猜想敢于猜想勤于验证勤于验证多边形的面积多边形的面积= =边上钉子数边上钉子数22+ +内部钉子数内部钉子数-1-1内部钉子数内部钉子数 1 1 枚枚:s s = =n n222:2:s s = =n n22+1+1a:a:s s = =n n22+a-1+a-10:0:s s = =n n22 -1-1苏教版义务教育教科书数学五年级上册苏教版义务教育教科书数学五年级上册11引出问题1cm4cm2.5cm11 观察上表，你有什么发现？观察上表，你有什么发现？激活猜想 图形编号图形编号多边形的面积多边形的面积/平方厘米平方厘米边上的钉子数边上的钉子数/枚枚233.54 467811 、 进行验证n=8S=4n=10S=5 n=10S=6n=10S=5 猜想猜想：验证验证：422=82=422=44+1=5（2+3）12=52=2.52.5+2.5=5要求：要求：（2）算一算，多边形的面积是多少。）算一算，多边形的面积是多少。（3）数一数，多边形边上有多少枚钉子。）数一数，多边形边上有多少枚钉子。如果多边形内有如果多边形内有2枚钉子，多边形的枚钉子，多边形的面积与它边上的钉子数又有什么关面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？系呢？（1）每个同学在点子图上画出一个内部有）每个同学在点子图上画出一个内部有2枚钉子的多边形。枚钉子的多边形。（4）将数据填入下表。）将数据填入下表。多边形内的钉子多边形内的钉子数数/枚枚多边形边上的钉多边形边上的钉子数子数/枚枚多边形的面积多边形的面积/平方厘米平方厘米 独立探究独立探究内部钉子数内部钉子数1 S=n 2多边形的面积多边形的面积 边上钉子数边上钉子数2 S=n 2+13 S=n 2+24 S=n 2+35 S=n 2+4？ 独立探究独立探究我研究的是我研究的是：多边形内有：多边形内有 枚钉子枚钉子我的猜想是我的猜想是：当多边形内有：当多边形内有 枚钉子时，枚钉子时，S=我进行研究我进行研究在点子图上画出内部在点子图上画出内部是是 枚钉子的多边形枚钉子的多边形我的结论是我的结论是：当多边形内有：当多边形内有 枚钉子时，枚钉子时，S=33n2+23 验证画出的多边形的面积。验证画出的多边形的面积。 数出多边形边上的钉子数，并利用猜想的数出多边形边上的钉子数，并利用猜想的 规律算一算多边形规律算一算多边形的面积是多少并填入下表。的面积是多少并填入下表。比一比，两次得出的结果，猜想成立吗？比一比，两次得出的结果，猜想成立吗？多边形内的钉子数多边形内的钉子数/枚枚多边形边上的钉子数多边形边上的钉子数/枚枚多边形的面积多边形的面积/平方平方厘米厘米 归纳规律归纳规律内部钉子数内部钉子数1 S=n 2多边形的面积多边形的面积 边上钉子数边上钉子数2 S=n 2+13 S=n 2+24 S=n 2+35 S=n 2+4？+1+2+32345a+a-1+4S=n2S=n21S=n22S=n23S=n2-1感受规律感受规律a=1a=2a=3a=4a=0S=n 2+a-1 一个多边形的顶点如果全是格点，这个多一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。，就可用公式算出。皮克定理皮克定理 该定理被誉为有史以该定理被誉为有史以来来“最重要的最重要的100个数学个数学定理定理”之一。之一。乔治乔治皮克（奥地利）皮克（奥地利）运用今天发现的规律，求下面多边形的面积运用今天发现的规律，求下面多边形的面积。a=4n=8S=n 2+a-1=82+4-1=4+4-1=7cma=7n=14=14 2+7-1S=n 2+a-1=7+7-1=13cm回顾反思回顾反思 回顾探索和发现规律的回顾探索和发现规律的过程，你有什么体会？过程，你有什么体会？