江苏专版2019版高考数学一轮复习第十章算法复数推理与证明课时达标检测五十一数学归纳法.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (五十一）数学归纳法 一、全员必做题 1 (2018 南通期初 )已知 f(n) 1 123 133 143 1n3， g(n) 32 12n2， n N*. (1)当 n 1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系； (2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明 解： (1)当 n 1 时， f(1) 1， g(1) 32 121 2 1，所以 f(1) g(1)； 当 n 2 时， f(2) 1 123 98， g(2) 32 122 2 118 ，所以 f(2) g(2)； 当 n 3 时， f(3) 1 123 13

2、3 251216， g(3) 32 123 2 139 ，所以 f(3) g(3) (2)由 (1)猜想 f(n) g(n)，下面 用数学归纳法给出证明 当 n 1 时，不等式显然成立 假设当 n k(k N*)时不等式成立 即 1 123 133 143 1k3 32 12k2， 那么，当 n k 1 时， f(k 1) f(k) 1?k 1?3 32 12k2 1?k 1?3， 因为 12?k 1?2 ? ?12k2 1?k 1?3 k 32?k 1?3 12k2 3k 12?k 1?3k2 0， 所以 f(k 1) 32 12?k 1?2 g(k 1) 由 可知，对一切 n N*，都有

3、f(n) g(n)成立 2 (2018 苏北四市模拟 )已知数列 an满足 an 3n 2， f(n) 1a1 1a2 1an， g(n)f(n2) f(n 1)， n N*.求证： (1)g(2) 13； (2)当 n3 时， g(n) 13. 证明： (1)由题意知， an 3n 2， g(n) 1an 1an 1 1an 2 1an2， 当 n 2 时， g(2) 1a2 1a3 1a4 14 17 110 69140 13. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)用数学归纳法加以证明： 当 n 3 时， g(3) 1a3 1a4 1a5 1a9 17 110 113 116 119

4、122 125 17 ? ?110 113 116 ? ?119 122 125 18 ? ?116 116 116 ? ?132 132 132 18 316 332 18 316 116 13， 所以当 n 3 时，结论成立 假设当 n k 时，结论成立，即 g(k) 13， 则 n k 1 时， g(k 1) g(k) 1ak2 1 1ak2 2 1a?k 1?2 1ak 13 ? ?1ak2 1 1ak2 2 1a?k 1?2 1ak 13 ?2k 1?3?k 1?2 2 13k 2 13 ?2k 1?3k 2? 3?k 1?2 23?k 1?2 23k 2 13 3k2 7k 33?

5、k 1?2 23k 2， 由 k3 可知， 3k2 7k 3 0，即 g(k 1) 13. 所以当 n k 1 时，结论也成立 综合 可得，当 n3 时， g(n) 13. 3等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n N*，点 (n， Sn)均在函数 y bx r(b 0 且 b1 ， b， r 均为常数 )的图象上 (1)求 r 的值 (2)当 b 2 时，记 bn 2(log2an 1)(n N*)，证明：对任意的 n N*，不等式b1 1b1 b2 1b2 bn 1bn n 1成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)由题意， Sn bn r， 当 n2 时， S

6、n 1 bn 1 r. 所以 an Sn Sn 1 bn 1(b 1) 由于 b 0 且 b1 ， 所以 n2 时， an是以 b 为公比的等比数列 又 a1 b r， a2 b(b 1)， 所以 a2a1 b，即 b?b 1?b r b， 解得 r 1. (2)证明：由 (1)知 an 2n 1， 因此 bn 2n(n N*)， 所证不等式为 2 12 4 14 2n 12n n 1. 当 n 1 时，左式 32，右式 2， 左式右式，所以结论成立 假设 n k(k1 ， k N*)时结论成立， 即 2 12 4 14 2k 12k k 1，则当 n k 1 时， 2 12 4 14 2k

7、12k 2k 32?k 1? k 12k 32?k 1?2k 32 k 1， 要证当 n k 1 时结论成立， 只需证 2k 32 k 1 k 2， 即证 2k 32 ?k 1?k 2?， 由基本不等式得 2k 32 ?k 1? ?k 2?2 ?k 1?k 2?成立， 故 2k 32 k 1 k 2成立， 所以，当 n k 1 时，结论成立 由 可知， n N*时，不等式 b1 1b1 b2 1b2 bn 1bn n 1成立 二、重点选做题 1 (2018 盐城模拟 )记 f(n) (3n 2)(C22 C23 C24 C2n)(n2 ， n Z) (1)求 f(2)， f(3)， f(4)的

8、值； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 n2 ， n N*时，试猜想所有 f(n)的最大公约数，并证明 解： (1)因为 f(n) (3n 2)(C22 C23 C24 C2n) (3n 2)C3n 1， 所以 f(2) 8， f(3) 44， f(4) 140. (2)由 (1)中结论可猜想所有 f(n)的最大公约数为 4. 下面用数学归纳法证明所有的 f(n)都能被 4 整除即可 当 n 2 时， f(2) 8 能被 4 整除，结论成立； 假设 n k 时，结论成立，即 f(k) (3k 2)C3k 1能被 4 整除， 则当 n k 1 时， f(k 1) (3k 5)C3k 2

9、 (3k 2)C3k 2 3C3k 2 (3k 2)(C3k 1 C2k 1) (k 2)C2k 1 (3k 2)C3k 1 (3k 2)C2k 1 (k 2)C2k 1 (3k 2)C3k 1 4(k 1)C2k 1 f(k) 4(k 1)C2k 1， 此式也能被 4 整除，即 n k 1 时结论也成立 综上所述，所有 f(n)的最大公约数为 4. 2已知集合 X 1,2,3， Yn 1,2,3， ， n(n N*)，设 Sn (a， b)|a 整除 b 或 b整除 a， a X， b Yn，令 f(n)表示集合 Sn所含元素的个数 (1)写出 f(6)的值； (2)当 n6 时，写出 f(

10、n)的表达式 ，并用数学归纳法证明 解： (1)Y6 1,2,3,4,5,6， S6中的元素 (a， b)满足： 若 a 1，则 b 1,2,3,4,5,6；若 a 2，则 b 1,2,4,6；若 a 3，则 b 1,3,6. 所以 f(6) 13. (2)当 n6 时， f(n)? n 2 ?n2n3 ， n 6t，n 2 ? ?n 12 n 13 ， n 6t 1，n 2 ? ?n2 n 23 ， n 6t 2，n 2 ? ?n 12 n3 ， n 6t 3，n 2 ? ?n2 n 13 ， n 6t 4，n 2 ? ?n 12 n 23 ， n 6t 5(t N*) =【 ;精品教育资源

11、文库 】 = 下面用数学归纳法证明： 当 n 6 时， f(6) 6 2 62 63 13，结论成立 假设 n k(k6) 时结论成立，那么 n k 1 时， Sk 1在 Sk的基础上新增加的元素在 (1，k 1)， (2， k 1)， (3， k 1)中产生，分以下情形讨论： a若 k 1 6t，则 k 6(t 1) 5，此时有 f(k 1) f(k) 3 k 2 k 12 k 23 3 (k 1) 2 k 12 k 13 ，结论成立； b若 k 1 6t 1，则 k 6t，此时有 f(k 1) f(k) 1 k 2 k2 k3 1 (k 1) 2 ?k 1? 12 ?k 1? 13 ，结论

12、成立； c若 k 1 6t 2，则 k 6t 1，此时有 f(k 1) f(k) 2 k 2 k 12 k 13 2 (k 1) 2 k 12 ?k 1? 23 ，结论成 立； d若 k 1 6t 3，则 k 6t 2，此时有 f(k 1) f(k) 2 k 2 k2 k 23 2 (k 1) 2 ?k 1? 12 k 13 ，结论成立； e若 k 1 6t 4，则 k 6t 3，此时有 f(k 1) f(k) 2 k 2 k 12 k3 2 (k 1) 2 k 12 ?k 1? 13 ，结论成立； f若 k 1 6t 5，则 k 6t 4，此时有 f(k 1) f(k) 1 k 2 k2 k

13、 13 1 (k 1) 2 ?k 1? 12 ?k 1? 23 ，结论成立 综上所述，结论对满足 n6 的自然数 n 均成立 三、冲刺满分题 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 (2018 扬州模拟 )已知函数 f(x) 2x 3x2，设数列 an满足： a1 14， an 1 f(an)求证： (1)对任意的 n N*，都有 0 an 13； (2) 31 3a1 31 3a2 31 3an4 n 1 4. 证明： (1) 当 n 1 时， a1 14，有 0 a1 13， n 1 时，不等式成立 假设当 n k(k N*)时，不等式成立，即 0 ak 13. 则当 n k 1 时， ak

14、 1 f(ak) 2ak 3a2k 3? ?ak132 13， 于是 13 ak 1 3? ?13 ak2. 因为 0 ak 13，所以 0 3? ?13 ak2 13， 即 0 13 ak 1 13，可得 0 ak 1 13. 所以当 n k 1 时，不等式也成立 由 可知，对任意的正整数 n，都有 0 an 13. (2)由 (1)可得 13 an 1 3? ?13 an2， 两边同时取以 3 为底的对数，可得 log3? ?13 an 1 1 2log3? ?13 an ， 化简为 1 log3? ?13 an 1 2? ?1 log3? ?13 an . 所以数列 ? ?1 log3?

15、 ?13 an 是以 log314为首项， 2 为公比的等比数列， 所以 1 log3? ?13 an 2n 1log314， 化简求得： 13 an 13 ? ?14 2n 1， 所以 113 an 342 n 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为当 n2 时， 2n 1 C0n 1 C1n 1 C2n 1 Cn 1n 11 n 1 n， 又当 n 1 时， 2n 1 1， 所以对任意的 n N*,2n 1 n， 所以 113 an 342 n 134 n， 则 113 a1 113 a2 113 an 3420 421 42n 134 1 42 4n 4n 1 4， 所以 31 3a1 31 3a2 31 3an4 n 1 4. 2 (2018 无锡期初 )已知数列 an满足 a1 a2 a3 k， an 1 k anan 1an 2(n3 ， n N*)，其中 k 0，数列 bn满足 bn an an 2a