江苏专版2019版高考数学一轮复习第十三章立体几何13.3垂直的判定与性质讲义.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 13.3 垂直的判定与 性质 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.线面垂直的判定与性质 1.线面垂直的证明 2.线面垂直的性质应用 B 16题 14分 解答题 2.面 面垂直的判定与性质 1.面面垂直的证明 2.面面垂直的性质应用 B 15题 14分 解答题 分析解读 空间垂直问题是江苏高考的热点内容 ,主要考查线面垂直和面面垂直的判定与性质运用 ,复习时要认真掌握解 决垂直问题常用的方法 ,识别一些基本图形如 :锥体、柱体的特征 . 五年高考 考点一 线面垂直的判定与性质 1

2、.(2016浙江理 ,2,5分 )已知互相垂直的平面 , 交于直线 l.若直线 m,n满足 m,n, 则以下说法正确的是 . ml;mn;nl;mn. 答案 2.(2015江苏 ,16,14分 )如图 ,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,已知 ACBC,BC=CC 1,设 AB1的中点为 D,B1CBC 1=E. 求证 :(1)DE 平面 AA1C1C; (2)BC1AB 1. 证明 (1)由 题意知 ,E 为 B1C的中点 , 又 D为 AB1的中点 ,因此 DEAC. 又因为 DE?平面 AA1C1C,AC?平面 AA1C1C, 所以 DE 平面 AA1C1C. (2)因为棱柱 ABC

3、-A1B1C1是直三棱柱 , 所以 CC1 平面 ABC. 因为 AC?平面 ABC,所以 ACCC 1. 又因为 ACBC,CC 1?平面 BCC1B1,BC?平面 BCC1B1, BCCC 1=C,所以 AC 平面 BCC1B1. 又因为 BC1?平面 BCC1B1, 所以 BC1AC. 因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1是正方形 , 因此 BC1B 1C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 AC,B1C?平面 B1AC,ACB 1C=C, 所以 BC1 平面 B1AC. 又因为 AB1?平面 B1AC,所以 BC1AB 1. 3.(2015安徽 ,19,13分 )如图 ,三

4、棱锥 P-ABC中 ,PA 平面 ABC,PA=1,AB=1,AC=2,BAC=60. (1)求三棱锥 P-ABC的体积 ; (2)证明 :在线段 PC上存在点 M,使得 ACBM, 并求 的值 . 解析 (1)由题设 AB=1,AC=2,BAC=60, 可得 SABC = ABACsin 60= . 由 PA 平面 ABC,可知 PA是三棱 锥 P-ABC的高 ,又 PA=1, 所以三棱锥 P-ABC的体积 V= SABC PA= . (2)在平面 ABC内 ,过点 B作 BNAC, 垂足为 N.在平面 PAC内 ,过点 N作 MNPA 交 PC 于点 M,连结 BM.由 PA 平面 ABC

5、知 PAAC, 所以 MNAC. 由于 BNMN=N, 故 AC 平面 MBN.又 BM?平面 MBN,所以 ACBM. 在直角 BAN 中 ,AN=ABcosBAC= ,从而 NC=AC-AN= .由 MNPA, 得 = = . 4.(2015重庆 ,20,12分 )如图 ,三棱锥 P-ABC中 ,平面 PAC 平面 ABC,ABC= ,点 D,E 在线段 AC上 ,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点 F在线段 AB上 ,且 EFBC. (1)证明 :AB 平面 PFE; (2)若四棱锥 P-DFBC的体积为 7,求线段 BC 的长 . 解析 (1)证明 :如图 ,由 DE=EC,P

6、D=PC知 ,E 为等腰 PDC 中 DC边的中点 ,故 PEAC. 又平面 PAC 平面 ABC,平面 PAC 平面 ABC=AC,PE?平面 PAC,PEAC, 所以 PE 平面 ABC,从而 PEAB. 因 ABC= ,EFBC, 故 ABEF. 从而 AB 与平面 PFE内 两条相交直线 PE,EF都垂直 ,所以 AB 平面 PFE. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)设 BC=x,则在直角 ABC 中 , AB= = , 从而 SABC = ABBC= x . 由 EFBC 知 , = = ,得 AFEABC, 故 = = ,即 SAFE = SABC . 由 AD= AE,S

7、AFD = SAFE = SABC = SABC = x , 从而四边形 DFBC的面积为 SDFBC=SABC -SAFD = x - x = x . 由 (1)知 ,PE 平面 ABC,所以 PE为四棱锥 P-DFBC的高 . 在直角 PEC 中 ,PE= = =2 . 体积 VP-DFBC= S DFBCPE= x 2 =7, 故得 x4-36x2+243=0,解得 x2=9或 x2=27,由于 x0,可得 x=3或 x=3 , 所以 ,BC=3或 BC=3 . 5.(2014 湖北 ,20,13 分 )如图 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F,P,Q,M,N 分别是棱

8、AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点 . 求证 :(1)直线 BC1 平面 EFPQ; (2)直线 AC1 平面 PQMN. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 (1)连结 AD1,由 ABCD-A1B1C1D1是 正方体 ,知 AD1BC 1, 因为 F,P分别是 AD,DD1的中点 ,所以 FPAD 1. 从而 BC1FP. 而 FP?平面 EFPQ,且 BC1?平面 EFPQ, 故直线 BC1 平面 EFPQ. (2)如图 ,连结 AC,BD,则 ACBD. 由 CC1 平面 ABCD,BD?平面 ABCD,可得 CC1BD. 又 ACCC 1=C,所以 BD 平面

9、ACC1. 而 AC1?平面 ACC1,所以 BDAC 1. 因为 M,N分别是 A1B1,A1D1的中点 ,所以 MNBD, 从而 MNAC 1. 同理可证 PNAC 1.又 PNMN=N, 所以直线 AC1 平面 PQMN. 教师用书专用 (6 8) 6.(2014辽宁 ,19,12分 )如图 ,ABC 和 BCD 所在平面互相垂直 ,且 AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F,G 分别为 AC,DC,AD的中点 . (1)求证 :EF 平面 BCG; (2)求三棱锥 D-BCG的体积 . 附 :锥体的体积公式 V= Sh,其中 S为底面面积 ,h 为高 . 解析 (1)证明

10、 :由已知得 ABCDBC. 因此 AC=DC. 又 G为 AD的中点 ,所以 CGAD. 同理 BGAD, 因此 AD 平面 BGC. 又 EFAD, 所 以 EF 平面 BCG. (2)在平面 ABC内 ,作 AOCB, 交 CB延长线于 O, 由平面 ABC 平面 BCD,知 AO 平面 BDC. 又 G为 AD中点 ,因此 G到平面 BDC的距离 h是 AO长度的一半 . 在 AOB 中 ,AO=ABsin 60= ,所以 VD-BCG=VG-BCD= S DBC h= BDBCsin 120 = . =【 ;精品教育资源文库 】 = 7.(2014重庆 ,20,12分 )如图 ,四棱

11、锥 P-ABCD中 ,底面是以 O为中心的菱形 ,PO 底面 ABCD,AB=2,BAD= ,M为BC上一点 ,且 BM= . (1)证明 :BC 平面 POM; (2)若 MPAP, 求四棱锥 P-ABMO的体积 . 解析 (1)证明 :如图 ,连结 OB,因为 ABCD为菱形 ,O为菱形的中心 ,所以 AOOB. 因为 BAD= ,所以 OB=ABsinOAB=2sin =1, 又因为 BM= ,且 OBM= ,所以在 OBM 中 ,OM2=OB2+BM2-2OBBMcosOBM=1 2+ -21 cos = .所以OB2=OM2+BM2,故 OMBM. 又 PO 底面 ABCD,所以 P

12、OBC. 从而 BC 与平面 POM内两条相交直线 OM,PO都垂直 ,所 以 BC 平面 POM. (2)由 (1)可得 ,OA=ABcosOAB=2cos = . 设 PO=a,由 PO 底面 ABCD知 ,POA 为直角三角形 , 故 PA2=PO2+OA2=a2+3. 又 POM 也是直角三角形 ,故 PM2=PO2+OM2=a2+ . 连结 AM,在 ABM 中 ,AM2=AB2+BM2-2ABBM cosABM=2 2+ -22 cos = . 由于 MPAP, 故 APM 为直角三角形 ,则 PA2+PM2=AM2,即 a2+3+a2+ = ,得 a= 或 a=- (舍去 ),即

13、 PO= . 此时 S 四 边形 ABMO=SAOB +SOMB = AOOB+ BMOM= 1+ = . 所以 VP-ABMO= S 四边形 ABMOPO= = . =【 ;精品教育资源文库 】 = 8.(2013 安徽 ,18,12 分 )如图 ,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形 ,BAD=60. 已知 PB=PD=2,PA= . (1)证明 :PCBD; (2)若 E为 PA的中点 ,求三棱锥 P-BCE的体积 . 解析 (1)证明 :连结 AC,交 BD于 O点 ,连结 PO. 因为底面 ABCD是菱形 ,所以 ACBD,BO=DO. 由 PB=PD知 ,P

14、OBD. 再由 POAC=O 知 ,BD 面 APC.因此 BDPC. (2)因为 E是 PA的中点 ,所以 VP-BCE=VC-PEB= VC-PAB= VB-APC. 由 PB=PD=AB=AD=2知 ,ABDPBD. 因为 BAD=60, 所以 PO=AO= ,AC=2 ,BO=1.又 PA= ,PO2+AO2=PA2,即 POAC, 故 SAPC = POAC=3. 由 (1)知 ,BO 面 APC,因此 VP-BCE= VB-APC= BOS APC = . 考点二 面面垂直的判定与性质 1.(2017江苏 ,15,14分 )如图 ,在三棱锥 A-BCD中 ,ABAD,BCBD, 平

15、面 ABD 平面 BCD,点 E,F(E与 A,D不重合 )分别在棱 AD,BD上 ,且 EFAD. 求证 :(1)EF 平面 ABC; (2)ADAC. 证明 (1)在平面 ABD内 ,因为 ABAD,EFAD, 所以 EFAB. 又因为 EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, 所以 EF 平面 ABC. (2)因为平面 ABD 平面 BCD,平面 ABD 平面 BCD=BD, BC?平面 BCD,BCBD, 所以 BC 平面 ABD. 因为 AD?平面 ABD, 所以 BCAD. 又 ABAD,BCAB= B,AB?平面 ABC,BC?平面 ABC, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所

16、以 AD 平面 ABC. 又因为 AC?平面 ABC,所以 ADAC. 2.(2017山东文 ,18,12分 )由四 棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后得到的几何体如图所示 .四边形 ABCD为正方形 ,O 为 AC 与 BD的交点 ,E 为 AD 的中点 ,A1E 平面 ABCD. (1)证明 :A1O 平面 B1CD1; (2)设 M是 OD的中点 ,证明 :平面 A1EM 平面 B1CD1. 证明 本题考查线面平行与面面垂直 . (1)取 B1D1的中点 O1,连结 CO1,A1O1, 由于 ABCD-A1B1C1D1是四棱柱 , 所以 A1O1OC,A 1O

17、1=OC, 因此四边形 A1OCO1为平行四边形 , 所以 A1OO 1C. 又 O1C?平面 B1CD1,A1O?平面 B1CD1, 所以 A1O 平面 B1CD1. (2)因为 ACBD,E,M 分别为 AD和 OD的中点 , 所以 EMBD, 又 A1E 平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 A1EBD, 因为 B1D1BD, 所以 EMB 1D1,A1EB 1D1, 又 A1E,EM?平面 A1EM,A1EEM=E, 所以 B1D1 平面 A1EM, 又 B1D1?平面 B1CD1,所以平面 A1EM 平面 B1CD1. 教师用书专用 (3) 3.(2016北京 ,18,14分

18、 )如图 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,PC 平面 ABCD,ABDC,DCAC. (1)求证 :DC 平面 PAC; (2)求证 :平面 PAB 平面 PAC; (3)设点 E为 AB的中点 .在棱 PB上是否存在点 F,使得 PA 平面 CEF?说明理由 . 解析 (1)证明 :因为 PC 平面 ABCD, 所以 PCDC.(2 分 ) 又因为 DCAC,ACPC=C, 所以 DC 平面 PAC.(4分 ) (2)证明 :因为 ABDC,DCAC, 所以 ABAC.(6 分 ) 因为 PC 平面 ABCD, 所以 PCAB.(7 分 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 ACPC=C, 所以 AB 平面 PAC. 又 AB?平面 PAB, 所以平面 PAB 平 面 PAC.(9 分 ) (3)棱 PB上存 在点