江苏专版2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用课时达标检测十七导数与函数的综合问题2.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (十七） 导数与函数的综合问题 一、全员必做题 1 (2017 宜州调研 )设 f(x) |ln x|，若函数 g(x) f(x) ax 在区间 (0,4)上有三个零点，则实数 a 的取值范围是 _ 解析：令 y1 f(x) |ln x|， y2 ax，若函数 g(x) f(x) ax 在区间 (0,4)上有三个零点，则 y1 f(x) |ln x|与 y2 ax 的图象 (图略 )在区间 (0,4)上有三个交点由图象易知，当 a0 时，不符合题意；当 a 0 时，易知 y1 |ln x|与 y2 ax 的图象在区间 (0,1)上有一个交点，所以

2、只需要 y1 |ln x|与 y2 ax 的图象在区间 (1,4)上有两个交点即可，此时 |ln x| ln x，由 ln x ax，得 a ln xx .令 h(x) ln xx ， x (1,4)，则 h( x) 1 ln xx2 ，故函数 h(x)在 (1， e)上单调递增，在 (e,4)上单调递减， h(e) ln ee 1e， h(1) 0， h(4) ln 44 ln 22 ， 所以 ln 22 a 1e. 答案： ? ?ln 22 ， 1e 2 (2018 常州中学第一次检测 )设二次函数 f(x) ax2 bx c(a， b， c 为常数 )的导函数为 f( x)对任意 x R

3、，不等式 f(x) f( x)恒成立，则 b2a2 c2的最大值为 _ 解析：由 f(x) ax2 bx c 得 f( x) 2ax b. 因为对任意 x R，不等式 f(x) f( x)恒成立， 即 ax2 bx c2 ax b 恒成立，所以 ax2 (b 2a)x (c b)0 ，所以? a 0， b 2a 2 4a c b ， 即? a 0，b24 ac 4a2 4a c a ， ? a 0，b24 ac 4a2，c a，所以 b2a2 c24ac 4a2a2 c2 4? ?ca 11 ? ?ca 2.设 t ca， y t1 t2 (t1) ， 则 y t2 2t t t2 2 t2

4、2t t2 2 (t1) 由 y 0 得 t 2 1，所以当 1 t 2 1 时， y 0，当 t 2 1 时， y 0. 所以 t 2 1 时， y 取得极大值，也是最大值，即 ymax 2 11 2 2 2 2 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 2 2 2 3 (2018 苏北四市期末 )已知函数 f(x)? sin x， x 1，x3 9x2 25x a， x1 ， 若函数 f(x)的图象与直线 y x 有三个不同的公共点，则实数 a 的取值集合为 _ 解析：当 x 1 时， f(x) sin x 与 y x 的图象有 1 个交点，为 (0,0)， 则当 x1 时， f(x

5、) x3 9x2 25x a 与 y x 的图象有 2 个交点， 即关于 x 的方程 x3 9x2 24x a 0 在 x 1， ) 有两个不同解 令 g(x) x3 9x2 24x a， x 1， ) ， 则 g( x) 3x2 18x 24 3(x 2)(x 4)， 由 g( x) 0 得 x 2 或 4. 且 x 1,2)， g( x) 0， g(x)递增； x (2,4)， g( x) 0， g(x)递减； x (4， ) ，g( x) 0， g(x)递增 所以 g(2) 20 a 0 或 g(4) 16 a 0，解得 a 20 或 a 16. 故实数 a 的取值集合为 20， 16

6、答案： 20， 16 4已知函数 f(x) ax xln x(a R) (1)若函数 f(x)在区间 e， ) 上为增函数，求 a 的取值范围； (2)当 a 1 且 k Z 时，不等式 k(x 1) f(x)在 x (1， ) 上恒成立，求 k 的最大值 解： (1)f( x) a ln x 1， 由题意知 f( x)0 在 e， ) 上恒成立， 即 ln x a 10 在 e， ) 上恒成立， 即 a (ln x 1)在 e， ) 上恒成立， 而 (ln x 1)max (ln e 1) 2， a 2，即 a 的取值范围为 2， ) (2)当 a 1 时， f(x) x xln x， x

7、(1， ) ， 原不等式可化为 k f xx 1 ， 即 k x xln xx 1 对任意 x 1 恒成立 令 g(x) x xln xx 1 ，则 g( x) x ln x 2x 2 . 令 h(x) x ln x 2(x 1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 h( x) 1 1x x 1x 0， h(x)在 (1， ) 上单调递增 h(3) 1 ln 3 0， h(4) 2 2ln 2 0， 存在 x0 (3,4)使 h(x0) 0，即 g( x0) 0. 即当 1 x x0时， h(x) 0，即 g( x) 0. 当 x x0时， h(x) 0，即 g( x) 0. g(x)在

8、(1， x0)上单调递减，在 (x0， ) 上单调递增 由 h(x0) x0 ln x0 2 0，得 ln x0 x0 2， g(x)min g(x0) x0 ln x0x0 1 x0 x0x0 1 x0 (3,4)， k g(x)min x0且 k Z，即 kmax 3. 5已知函数 f(x) (a 1)ln x ax2 1. (1)讨论 y f(x)的单调性； (2)若 a 2，证明：对 ? x1， x2 (0， ) ， |f(x1) f(x2)|4| x1 x2|. 解： (1)f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) a 1x 2ax 2ax2 a 1x a x2 1x . 当

9、a0 时， f( x) 0，故 f(x)在 (0， ) 上单调递增 当 a 1 时， f( x) 0，故 f(x)在 (0， ) 上单调递减 当 1 a 0 时，令 f( x) 0，解得 x a 12a ， 由于 f( x)在 (0， ) 上单调递减，故 当 x ? ?0， a 12a 时， f( x) 0， f(x)在 ? ?0， a 12a 上单调递增； 当 x ? ? a 12a ， 时， f( x) 0， f(x)在 a 12a ， 上单调递减 (2)证明：不妨假设 x1 x2. 由于 a 2，故 f(x)在 (0， ) 上单调递减 |f(x1) f(x2)|4| x1 x2|等价于

10、f(x2) f(x1)4 x1 4x2， 即 f(x2) 4x2 f(x1) 4x1. 令 g(x) f(x) 4x， 则 g( x) a 1x 2ax 4 2ax2 4x a 1x ， 于是 g( x) 4x2 4x 1x x 2x 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 从而 g(x)在 (0， ) 上单调递减，故 g(x1) g(x2)， 即 f(x2) 4x2 f(x1) 4x1， 故对 ? x1， x2 (0， ) ， |f(x1) f(x2)|4| x1 x2|. 6 (2017 南通二模 )植物园拟建一个 多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于 30 m的围墙现有两种方案： 方案

11、多边形为直角三角形 AEB( AEB 90) ，如图 1 所示，其中 AE EB 30 m； 方案 多边形为等腰梯形 AEFB(AB EF)，如图 2 所示，其中 AE EF BF 10 m. 请分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案 解：设方案 、 中苗圃面积分别为 S1， S2. 方案 ：设 AE x，则 S1 12x(30 x) 12? ?x x2 2 2252 (当且仅当 x 15 时取等号 ) 方案 ：设 BAE ，则 S2 100sin (1 cos )， ? ?0， 2 ， 由 S 2 100(2cos2 cos 1) 0 得 cos 12(负值舍去 )

12、 因为 ? ?0， 2 ，所以 3 ，列表 ? ?0， 3 3 ? ? 3 ， 2 S 2 0 S2 极大值 所以 3 时 ， S2取得最大值为 75 3， 又 75 3 2252 ， 故方案 、 中苗圃最大面积分别为 2252 m2,75 3m2.建 苗圃时用方案 ， 且 BAE 3. 二、重点选做题 1 (2017 徐州期初测试 )已知函数 f(x) ex， g(x) ax2 bx 1(a， b R) (1)若 a0 ，则 a， b 满足什么条件时，曲线 y f(x)与 y g(x)在 x 0 处总有相同的切线？ =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 a 1 时，求函数 h(x) g

13、 xf x 的单调减区间； (3)当 a 0 时，若 f(x) g(x)对任意的 x R 恒成立，求 b 的取值的集合 解： (1) f( x) ex， f(0) 1，又 f(0) 1， y f(x)在 x 0 处的切线方程为 y x 1， 又 g( x) 2ax b， g(0) b， 又 g(0) 1， y g(x)在 x 0 处的切线方程为 y bx 1， 所以当 a0 ， a R 且 b 1 时，曲线 y f(x)与 y g(x)在 x 0 处总有相同的切线 (2)a 1，则 h(x) x2 bx 1ex ， h( x) x2 b x b 1ex x x bex ， 由 h( x) 0，

14、得 x1 1， x2 1 b， 当 b 0 时，函数 y h(x)的减区间为 ( ， 1 b)， (1， ) ； 当 b 0 时，函数 y h(x)的减区间为 ( ， ) ； 当 b 0 时，函数 y h(x)的减区间为 ( ， 1)， (1 b， ) (3)由 a 0，得 (x) f(x) g(x) ex bx 1， ( x) ex b， 当 b0 时， ( x) 0，函数 (x)在 R 上单调递增， 又 (0) 0， x ( ， 0)时， (x) 0，与函数 f(x) g(x)矛盾， 当 b 0 时，由 ( x) 0，得 x ln b； 由 ( x) 0，得 x ln b， 函数 (x)在

15、 ( ， ln b)上单调递减，在 (ln b， ) 上单调递增， ( )当 0 b 1 时， ln b 0， 又 (0) 0， (ln b) 0，与函数 f(x) g(x)矛盾， ( )当 b 1 时，同理 (ln b) 0，与函数 f(x) g(x)矛盾， ( )当 b 1 时， ln b 0， 函数 (x)在 ( ， 0)上单调递减，在 (0， ) 上单调递增， (x) (0) 0，故 b 1 满足题意 综上所述， b 的取值的集合为 1 2.已知函数 f(x) xex aln x，曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的 切线平行于 x 轴 (1)求 f(x)的单调区间； (2)证明：当 be 时， f(x) b(x2 2x 2) =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)因为 f( x) (x 1)ex ax， x0， 依题意得 f(1) 0，即 2e a 0，解得 a 2e. 所以 f( x) (x 1)ex 2ex ，显然 f( x)在 (0， ) 上单调递增且 f(1) 0，故当x (0,1)时， f( x)0， 所以 f(x)的单调递减区间为 (0,1