控制系统的复数域分析与综合课件.ppt

1、自动控制原理AI20094-1第四章 控制系统的复数域分析与综合第四章：控制系统的复数域分析与综合第四章：控制系统的复数域分析与综合根轨迹的基本概念根轨迹的绘制利用MATLAB绘制系统根轨迹控制系统性能的复域分析控制系统的根轨迹综合自动控制原理AI20094-2第四章 控制系统的复数域分析与综合第1节：根轨迹的基本概念例子（视频摄像系统)1K102ssK sR sCKssK 102 sR sCKK25524100102, 1极点1K极点2010254050-10-8.87-5-5+j3.87-5+j50-1.13-5-5-j3.87-5-j521KKK 自动控制原理AI20094-3第四章 控

2、制系统的复数域分析与综合第1节：根轨迹的基本概念极点1K极点2010254050-10-8.87-5-5+j3.87-5+j50-1.13-5-5-j3.87-5-j5令增益令增益K从从0变化到变化到 ，用解析，用解析法求特征根的全部数值，将这法求特征根的全部数值，将这些数值标注在些数值标注在S平面上，平面上，自动控制原理AI20094-4第四章 控制系统的复数域分析与综合其中，箭头表示随着其中，箭头表示随着K值的增加，根轨迹的变化趋势，值的增加，根轨迹的变化趋势，标注的数值则代表与标注的数值则代表与根轨迹位置相应的增益根轨迹位置相应的增益K。将这些数值标注在将这些数值标注在S平面上，并连成光

3、滑的粗实线，平面上，并连成光滑的粗实线，该粗实线称为系统的根轨迹。该粗实线称为系统的根轨迹。自动控制原理AI20094-5第四章 控制系统的复数域分析与综合根据视频摄像系统的根轨迹，可得：根据视频摄像系统的根轨迹，可得：1. 稳定性稳定性(1)系统根轨迹全部位于系统根轨迹全部位于S平平面的左半部，故闭环系统对面的左半部，故闭环系统对所有的所有的K值都是稳定的。值都是稳定的。 KK K=0(2)劳斯判据。系统的特征方程：劳斯判据。系统的特征方程：S2+10S+K 0S2 1 KS1 10 0S0 K自动控制原理AI20094-6第四章 控制系统的复数域分析与综合K25,系统欠阻尼状态复数极点的实

4、部相等,调整时间Ts不变复数极点虚部增加,系统阻尼比减少,超调量增加,峰值时间下降(2) 根据系统的根轨迹根据系统的根轨迹2. 动态特性动态特性(1)由阻尼比判断由阻尼比判断5K KK K=0 自动控制原理AI20094-7第四章 控制系统的复数域分析与综合第1节：根轨迹的基本概念根轨迹的基本条件 sHsKGsKGsGB1 , 2, 1, 0,18012110kksHsKG , 2, 1, 01801210kksHsKGsHsKG sKG sH sR sC幅角条件： 幅值条件：假设假设S S平面中有点平面中有点S S1 1同时满足幅值条件和幅角条件同时满足幅值条件和幅角条件, ,则则S S1

5、1就是系统就是系统K K为某值为某值时时对应的特征方程的根对应的特征方程的根。自动控制原理AI20094-8第四章 控制系统的复数域分析与综合第1节：根轨迹的基本概念根轨迹基本条件的另一种形式： sDsNsHsDsNsGHHGG, njjmiiHGHGKpszsKsDsDsNsNKsHsKGsG11令：则：由根轨迹的基本条件: , 2, 1, 0,18012110kksHsKG自动控制原理AI20094-9第四章 控制系统的复数域分析与综合幅角条件为： 11111开环极点到根轨迹某点的向量长度开环零点到根轨迹某点的向量长度nnjjjmmiiispKG sH ssz 011211800, 1,

6、2,开环零点到根轨迹上某点向量的幅角开环极点到根轨迹上某点向量的幅角mnijijszspKG s H skk 幅值条件为: 11miiKnjjszGsKG s H sKsp若若Gk(s)无无零点？零点？自动控制原理AI20094-10第四章 控制系统的复数域分析与综合二、根轨迹方程的应用二、根轨迹方程的应用1. 用幅角条件用幅角条件 求根轨迹曲线求根轨迹曲线例例1：已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为： S(S+1) kGk(S) =判断点判断点S1( 1, j1)和和S2( 0.5, j1)是否在根轨迹上。是否在根轨迹上。解：解：该系统无开环零点，有该系统无开环零点，有2个开环

7、极点分别为：个开环极点分别为： P1=0, P2= 1在图中作在图中作 P1、 P2引向引向S1 ( 1, j1)的的矢量矢量( S1 ( P1)、 ( S1 ( P2)自动控制原理AI20094-11第四章 控制系统的复数域分析与综合jS P1 1 0.5 S1 ( 1, j1) S1+P2 S1+P1计算得：计算得： ( S1 ( Zi) ( S1 ( Pj)= 0 ( S1+P1) ( S1+P2)= 225，不满足幅角条件，不满足幅角条件， S1 ( 1, j1)不在根轨迹上，不是该系统某不在根轨迹上，不是该系统某K值值对应的闭环极点。对应的闭环极点。幅角条件幅角条件： 1102118

8、00,1,2,mnijijKGsHsszspkk( S1+P1)135( S1+P2)90自动控制原理AI20094-12第四章 控制系统的复数域分析与综合jS P1 1 0.5 S2 ( 0.5, j1) S2+P2S2+P1在图中作在图中作 P1、 P2引向引向S2 ( 0.5, j1)矢量矢量( S2+P1)、( S2+P2)可计算的：可计算的：( S2+P1) 116.5( S2+P2) 63.5因此：因此： ( Si+Zi) ( Sj+Pj)= 0 ( S2+P1) ( S2+P2)= ( 116.5 63.5)= 180，满足幅角条件。，满足幅角条件。 S2 ( 0.5, j1)在

9、根轨迹上，是该系统某在根轨迹上，是该系统某K值对应的闭环值对应的闭环极点。极点。自动控制原理AI20094-13第四章 控制系统的复数域分析与综合2. 应用应用幅值条件幅值条件，可确定根轨迹上各点所对应的可确定根轨迹上各点所对应的k值值例例2：求上例中根轨迹上点求上例中根轨迹上点S2( 0.5, j1)对应的对应的k值值解：根据幅值条件解：根据幅值条件由于该系统开环传递函数无零点，则：由于该系统开环传递函数无零点，则：K= | S+P1 | S+P2 | = 1.118 1.118=1.25 11111开环极点到根轨迹某点的向量长度开环零点到根轨迹某点的向量长度nnjjjmmiiispKG s

10、H ssz自动控制原理AI20094-14第四章 控制系统的复数域分析与综合说明：说明：例例1 确定根轨迹上的点采用的方法属于确定根轨迹上的点采用的方法属于试探法试探法。 实际绘制根轨迹时，是根据一些实际绘制根轨迹时，是根据一些基本的规则基本的规则绘制出绘制出近似的根轨迹，再利用试探法对根轨迹重要的位置进近似的根轨迹，再利用试探法对根轨迹重要的位置进行修正。行修正。自动控制原理AI20094-15第四章 控制系统的复数域分析与综合系统的开环传递函数为：系统的开环传递函数为：(S+P1)(S+P2)(S+P3) (S+Pn) k(S+Z1)(S+Z2)(S+Z3) (S+Zm)Gk(S) =闭环

11、特征方程为：闭环特征方程为： 1+ Gk(S)=0 Gk(S)= 1+j0 = 1 (2k+1)180 G(S)E(S)R(S)C(S)H(s)自动控制原理AI20094-16第四章 控制系统的复数域分析与综合利用幅值条件，利用幅值条件，(S+P1)(S+P2)(S+P3) (S+Pn) k(S+Z1)(S+Z2)(S+Z3) (S+Zm)Gk(S) = k |S1+Z1|(S1+Z2 | |S1+Zm|S1+P1|(S1+P2 | |S1+Pn|Gk(S) | =1由此确定与由此确定与S1对应的系统根迹增益对应的系统根迹增益K。对于对于S平面中点平面中点S1 ，如果满足幅角条件：，如果满足幅

12、角条件：Gk(S1)S1+Z1+S1+Z2+S1+Zm( (S1+P1+S1+P2+S1+Pn)S1是系统根轨迹上的点。是系统根轨迹上的点。(2k+1) 180 k=0, 1, 2,.自动控制原理AI20094-17第四章 控制系统的复数域分析与综合小结小结：反馈控制系统的相对稳定性和动态性能主要取决于：反馈控制系统的相对稳定性和动态性能主要取决于： S平面上系统闭环特征根（闭环极点）的位置分布。平面上系统闭环特征根（闭环极点）的位置分布。为了使系统具有预期的性能（闭环特征根处在合适的位为了使系统具有预期的性能（闭环特征根处在合适的位置），采取方法：置），采取方法：不改变控制器结构情况下，通过

13、不改变控制器结构情况下，通过改变系统主要参数取值，改变系统主要参数取值，调整系统的响应。调整系统的响应。 改变系统控制器结构（系统校正）改变系统控制器结构（系统校正）掌握系统掌握系统S平面上的特征根位置随参数变化的规律非常有平面上的特征根位置随参数变化的规律非常有用。用。根轨迹法：当系统某个参数变化时，绘制根在根轨迹法：当系统某个参数变化时，绘制根在S平面上的平面上的位置变化轨迹的工程图解方法。位置变化轨迹的工程图解方法。自动控制原理AI20094-18第四章 控制系统的复数域分析与综合第2节：根轨迹的绘制绘制根轨迹的概略图n规则1：根轨迹的分支数等于系统闭环极点的个数，也等于系统开环极点的个

14、数。n规则2：根轨迹是连续的，且对称于实轴。n规则3：根轨迹在实轴上的分布是实轴段右侧的开环零、极点个数之和为奇数时，该实轴段属于根轨迹。n规则4：根轨迹开始于开环极点，终止于开环零点。n规则5：根轨迹在无穷远处的形态：有限零点数有限极点数，有限零点数有限极点数有限零点有限极点)12( k自动控制原理AI20094-19第四章 控制系统的复数域分析与综合规则规则3的解释：的解释：如图所示，在如图所示，在S平面上有平面上有3个开环极点个开环极点P1, P2, P3和一个开环零和一个开环零点点Z1的一种分布情况，其中的一种分布情况，其中P1, P2是一对共轭极点，是一对共轭极点， P3, Z1分别

15、是实数极点和零点。分别是实数极点和零点。j S0 P1 P2 P3Z1 S1(1) ( S1 (P3) 0(S1 (P1)(S1 ( P2) 0( S1 ( Z1)0因此，试验点因此，试验点S1不在根轨不在根轨迹上。迹上。自动控制原理AI20094-20第四章 控制系统的复数域分析与综合j S0 P1 P2 P3Z1 S2(2) ( S2+P3)180( S2+P1) ( S2+P2) 0( S1+Z1)0因此，试验点因此，试验点S2在根在根轨迹上。轨迹上。j S0 P1 P2 P3Z1 S3(3) ( S3+P3)180( S2+P1) ( S2+P2) 0( S1+Z1)180因此，试验点

16、因此，试验点S3不在不在根轨迹上。根轨迹上。返回自动控制原理AI20094-21第四章 控制系统的复数域分析与综合根轨迹根轨迹起点起点对应于系统参数对应于系统参数k=0时特征根在时特征根在S平面的位置，平面的位置，因此，因此，k=0时，必有时，必有SPj (j=1,2,.,n)，即：，即：n条根轨迹必起始于开环传递函数的极点条根轨迹必起始于开环传递函数的极点。 |(S+Zi)| i=1m |(S+Pj)|j=1n = 1k |(S+Zi)|i=1m |(S+Pj)|j=1n= k njjmiiHGHGKpszsKsDsDsNsNKsHsKGsG11 , 2, 1, 0,18012110kksH

17、sKGS是系统是系统特征根特征根规则规则4的解释：的解释：自动控制原理AI20094-22第四章 控制系统的复数域分析与综合根轨迹终点根轨迹终点对应于系统参数对应于系统参数k= 时特征根在时特征根在S平面上的位置。平面上的位置。k= 时，必有时，必有S Zi (i=1,2,.,m)，即：，即：m条根轨迹必条根轨迹必终止于开环传递函数的零点终止于开环传递函数的零点。如果如果n m，则有则有(n m)条根轨迹止于无穷远处。条根轨迹止于无穷远处。 |(S+Zi)|i=1m |(S+Pj)|j=1n= k 规则规则4： 根轨迹根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点起始于开环极点，终止于开环零点。 有有m

18、条根轨迹终止于有限开环零点。条根轨迹终止于有限开环零点。 有有(n-m)条根轨迹终止于无穷远处开环零点。条根轨迹终止于无穷远处开环零点。自动控制原理AI20094-23第四章 控制系统的复数域分析与综合例：例： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：S(TS+1) k( S+1)Gk(S) =( T0)试确定根轨迹的分支数及起点、终点试确定根轨迹的分支数及起点、终点解：将开环传递函数改写为：解：将开环传递函数改写为：式中式中k= k/T开环极点开环极点2个：个：有限开环零点有限开环零点1个：个：jS0 1/T 1/ k=0k=0k= k= S(TS+1)

19、k( S+1)Gk(S) =S+1TS+1 kS返回自动控制原理AI20094-24第四章 控制系统的复数域分析与综合规则规则5的解释：根轨迹的的解释：根轨迹的渐进线渐进线大部分系统开环极点个数大部分系统开环极点个数n多于开环零点个数多于开环零点个数m，系统将有系统将有(n-m)条根轨迹趋于无穷远处零点。条根轨迹趋于无穷远处零点。在此利用一组在此利用一组(n-m条条)渐近线反映。渐近线反映。渐进线渐进线：根轨迹在根轨迹在无穷远处无穷远处(k )的形态的形态（或方位）（或方位）包含包含2个参数：个参数： 渐进线渐进线倾角倾角 渐进线与渐进线与实轴的交点实轴的交点（渐近线在实轴上的中心点）（渐近线

20、在实轴上的中心点）自动控制原理AI20094-25第四章 控制系统的复数域分析与综合 1. 渐进线倾角渐进线倾角 假设：无穷远处有特征根假设：无穷远处有特征根Sk，则，则S平面上所有的开环平面上所有的开环有限零点有限零点Zi和极点和极点Pj 到到Sk的向量幅角都相等。的向量幅角都相等。j S0 无穷远处无穷远处Sk ( Sk (Zi)=(Sk (Pj) 自动控制原理AI20094-26第四章 控制系统的复数域分析与综合 (S+Zi )i=1m (S+Pj )j=1n m n =(2k+1) 渐进线倾角渐进线倾角 为：为： = (2k+1)n m 110211800,1,2,mnijijKGs

21、Hsszspkk( Sk+Zi)= ( Sk+Pj) 代入代入 幅角公式得：幅角公式得：自动控制原理AI20094-27第四章 控制系统的复数域分析与综合2. 渐进线与实轴的交点渐进线与实轴的交点假设：无穷远处有特征根假设：无穷远处有特征根Sk，则，则S平面上所有的开环有限零平面上所有的开环有限零点点Zi和极点和极点Pj到到Sk的向量长度都相等。的向量长度都相等。j S0 Sk 对对无穷远处特征根无穷远处特征根Sk而言，可认为所有开环有限零点、而言，可认为所有开环有限零点、极点都汇集在实轴上极点都汇集在实轴上中心点中心点 上，即：上，即：Zi Pj 自动控制原理AI20094-28第四章 控制

22、系统的复数域分析与综合| Sk+P1 | Sk+P2 |.| Sk+Pn | Sk+Z1 | Sk+Z2 |.| Sk+Zm |LimSk = | (Sk + ) n-m |= k等式右边展开，为：等式右边展开，为：(Sk + ) n-m Skn-m + (n m)Skn-m-1 +.将将Zi Pj 代入幅值条件可写为：代入幅值条件可写为： 111njjmiispKG sH ssz左边采用长除法处理，为：左边采用长除法处理，为：Sk n-m +( P1 P2+. Pn ) ( Z1 Z2+. Zm ) Skn-m-1 + .自动控制原理AI20094-29第四章 控制系统的复数域分析与综合有限

23、零点数有限极点数，有限零点数有限极点数有限零点有限极点)12( k对应对应s幂项系数相等，得：幂项系数相等，得： (n m) (P1 P2+. Pn )+( Z1 Z2+. Zm )则：渐进线与实轴的交点为则：渐进线与实轴的交点为 = ( P1 P2+. Pn ) ( Z1 Z2+. Zm )n m确定确定渐进线位置渐进线位置：自动控制原理AI20094-30第四章 控制系统的复数域分析与综合例：例： 已知控制系统开环传递函数为：已知控制系统开环传递函数为：S(S+1) (S+2) kGk(S) =试确定根轨迹渐进线在试确定根轨迹渐进线在S平面上的位置。平面上的位置。解：解：n=3，m=0,

24、该系统的根轨迹有该系统的根轨迹有3条条渐进线，渐进线， （1）渐进线在实轴上的交点为：）渐进线在实轴上的交点为： =(P1 P2 P3 ) n m =(0 1 2 ) 3 0（2）渐进线与实轴的夹角为：）渐进线与实轴的夹角为： = (2k+1)n m = (P1P2+. Pn ) (Z1 Z2+. Zm )n m 1 自动控制原理AI20094-31第四章 控制系统的复数域分析与综合 = 60 180 3k=0， = 180 (2k+1) 180 3k=1， = 300 (2k+1) 180 3k=2，j S0 1 = 60 = (2k+1)n m自动控制原理AI20094-32第四章 控制系

25、统的复数域分析与综合例4.1的根轨迹图：6214sssssK sR sC自动控制原理AI20094-33第四章 控制系统的复数域分析与综合规则规则6: 根轨迹的根轨迹的分离点和会合点分离点和会合点根轨迹根轨迹离开实轴离开实轴的点的点a称为称为分离点分离点。根轨迹根轨迹返回实轴返回实轴的点的点b称为称为会合点会合点。根轨迹概略图的进一步修正 分离点（或会合点）分离点（或会合点）对应于特征方程中的二重根对应于特征方程中的二重根 一般情况下，分离点与会合点位于实轴上。一般情况下，分离点与会合点位于实轴上。j S0 P1 P2Z1a点点b点点自动控制原理AI20094-34第四章 控制系统的复数域分析

26、与综合的根轨迹图)2)(1()5)(3()(ssssKsG根轨迹在根轨迹在 1和和 2之间的某一点之间的某一点 1离开实轴，而在离开实轴，而在3和和5之间的某一点之间的某一点 2回到实轴。回到实轴。自动控制原理AI20094-35第四章 控制系统的复数域分析与综合当当k=0时，根轨迹起始于极点时，根轨迹起始于极点 1和和 2，在，在k增加时增加时2支根轨迹在实支根轨迹在实轴上相向移动，当闭环极点在实轴上相向移动，当闭环极点在实轴上最终相遇形成分离点时，此轴上最终相遇形成分离点时，此时增益时增益 k一定是极大值。一定是极大值。因此，当系统闭环极点在实轴上因此，当系统闭环极点在实轴上2个开环极点之

27、间变化时增益个开环极点之间变化时增益k取极取极大值对应于根轨迹的分离点大值对应于根轨迹的分离点。实轴上实轴上2个开环零点之间的个开环零点之间的汇合汇合点对应于增益点对应于增益k取极小值取极小值。自动控制原理AI20094-36第四章 控制系统的复数域分析与综合求取求取分离点与会合点的方法分离点与会合点的方法j S0 P1 P2Z1a点点b点点方法方法1：寻找特征方程中的寻找特征方程中的k极值极值系统闭环特征方程：系统闭环特征方程： 1+G(S)H(S)=0自动控制原理AI20094-37第四章 控制系统的复数域分析与综合令：令： D(S) N(S)Gk(S) =k即：满足下式即：满足下式由于由

28、于：D(S)N(S) D(S)N(S) N2(S) 即：即：1+G(S)H(S)=01+Gk(S) = 0k = D(S) N(S) dS d = 0 D(S) N(S) dS d = D(S) N(S)D(S)N(S) D(S)N(S) = 0寻找特征方程中的寻找特征方程中的k极值，极值，必须满足：必须满足： dS dK = 0根轨迹上分离点和会根轨迹上分离点和会合点及其对应合点及其对应K值值自动控制原理AI20094-38第四章 控制系统的复数域分析与综合说明：说明： 如果根轨迹位于如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间实轴上两相邻开环极点之间，则这两极点之则这两极点之间至少存在一个间至少

29、存在一个分离点分离点。 如果根轨迹位于如果根轨迹位于实轴上两相邻开环零点之间实轴上两相邻开环零点之间，则这两零点之则这两零点之间至少存在一个间至少存在一个会合点会合点。例例: 已知控制系统开环传递函数为：已知控制系统开环传递函数为：S(S+1) (S+2) kGk(S) =试确定根轨迹在实轴上的分离点。试确定根轨迹在实轴上的分离点。解：解： D(S) N(S)Gk(S) =kD(S)= S(S+1) (S+2), N(S)=1自动控制原理AI20094-39第四章 控制系统的复数域分析与综合 即：即：3S2+6S+2=0S1= 0.422, S2= 1.578舍去舍去D(S)= S(S+1)

30、(S+2)=S3+3S2+2S, N(S)=1D(S)=3S2+6S+2 , N(S)=0寻找特征方程中的寻找特征方程中的k极值，极值，必须满足：必须满足：D(S)N(S) D(S)N(S) = 0S(S+1) (S+2) kGk(S) =开环极点：开环极点：0，1，2j S0 1 2 自动控制原理AI20094-40第四章 控制系统的复数域分析与综合方法2：P95页式(4.16)1111mnijiizp求取求取分离点与会合点的方法分离点与会合点的方法,( )其中： 分别是的开环零点和极点。ijkzpG s自动控制原理AI20094-41第四章 控制系统的复数域分析与综合规则7：根轨迹与虚轴的

31、交点w方法一: 令s=jw代入系统特征方程w方法二：劳斯判据根轨迹与虚轴相交：交点处闭环极点位于虚轴上。根轨迹与虚轴相交：交点处闭环极点位于虚轴上。因此，将因此，将S=j 代入特征方程中，得：代入特征方程中，得： 1G(j )H(j )0令：令：Re1G(j )H(j )0Im1G(j )H(j )0由上式可求取虚轴交点由上式可求取虚轴交点 值和对应的临界增益值和对应的临界增益k值。值。自动控制原理AI20094-42第四章 控制系统的复数域分析与综合例例：求根轨迹与虚轴的交点求根轨迹与虚轴的交点Gk(S) =S(S+1)(S+2) k控制系统闭环特征方程为：控制系统闭环特征方程为： S(S+

32、1)(S+2)+k = S3+3S2+2S+k = 0令令S=j ，上式变为：，上式变为： (j )3+3 (j )2+2(j )+k=0 3 2+k=0 3+2 =0解得：解得： 1.414 (rad/s) k=6自动控制原理AI20094-43第四章 控制系统的复数域分析与综合规则7：根轨迹与虚轴的交点w方法一: 令s=jw代入系统特征方程w方法二：劳斯判据 (S+2)(S+4) k(S24S+20)1 += 0即：即： (1+k)S2+(64k)S+(8+20k)=0列写劳斯表：列写劳斯表：S2 1+k 8+20k S1 64kS0 8+20k令令S1所在行为全零行所在行为全零行，即：，

33、即： 64k0 得：得：k=1.5由由S2所在行的元素构成的方程有：所在行的元素构成的方程有： 2.5 S2 +38 = 0 得：得：S= j3.9根轨迹与虚轴的交点为根轨迹与虚轴的交点为 = j3.9，对应的，对应的k值为值为1.5。为何是S1行？自动控制原理AI20094-44第四章 控制系统的复数域分析与综合根轨迹概略图的进一步修正规则规则8-1：开环复数极点的出射角开环复数极点的出射角起始于开环复数极点的根轨迹在起点处切线与水平线正起始于开环复数极点的根轨迹在起点处切线与水平线正方向的夹角。方向的夹角。j S0 -P1 -P2 -P3-Z1 S1根据幅角方程，有：根据幅角方程，有：(

34、S1+Z1) ( S1+P1) +( S1+P2) +( S1+P3)(2k+1) 出射角出射角 p1= ( S1+P1) = -(2k+1) + (-P1+Z1) (-P1+P2) +( -P1+P3)( -P1+Z1)( -P1+P2)( -P1+P3)自动控制原理AI20094-45第四章 控制系统的复数域分析与综合014523602145362118021180kk故有：规则规则8-2：开环复数零点的入射角开环复数零点的入射角终止于开环复数零点的根轨迹在终点处切线与水平线正终止于开环复数零点的根轨迹在终点处切线与水平线正方向的夹角。方向的夹角。 (-Z1+Pj )j=1n Z1(2k+

35、1) + (-Z1+Zi)i=2m 根据幅角方程，有：根据幅角方程，有：计算入射角的公式为：计算入射角的公式为：自动控制原理AI20094-46第四章 控制系统的复数域分析与综合结论：结论：计算复数开环极点计算复数开环极点-P1出射角的公式为：出射角的公式为： (-Z1+Pj )j=1n Z1(2k+1) + (-Z1+Zi)i=2m (-P1+Zi )i=1m p1-(2k+1) + (-P1+Pj)j=2n 计算复数开环零点计算复数开环零点-Z1入射角的公式为：入射角的公式为：自动控制原理AI20094-47第四章 控制系统的复数域分析与综合例例4.2: 试绘制下图所示的控制系统的根轨迹图

36、试绘制下图所示的控制系统的根轨迹图422042ssssK sR sC(1) 系统的开环极点系统的开环极点-P1= 2, -P2,3= 4, 系统的开环零点系统的开环零点-Z1,2= 2 j4,(2) 根轨迹分支数：根轨迹分支数： 2(3) 根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴(4) 根轨迹起始于根轨迹起始于2个开环极点，终止于个开环极点，终止于2个有限的开环零点个有限的开环零点解：解：自动控制原理AI20094-48第四章 控制系统的复数域分析与综合(5) 开环复数零点的入射角为开环复数零点的入射角为 20431218012k 根轨迹的入射角根轨迹的入射角: 1=90, 3=arctg4/4 =4

37、5 4=arctg4/6= 33.7取取k=0, 则：则： 2=168.7 ( -Z1+Pj )j=1n z1(2k+1) + (-Z1+Zi )i=2m 根据入射角的计算公式：根据入射角的计算公式：自动控制原理AI20094-49第四章 控制系统的复数域分析与综合(6)根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点系统的特征方程为：系统的特征方程为： (S+2)(S+4) k(S24S+20)1 += 0即：即： (1+k)S2+(64k)S+(8+20k)=0列写劳斯表：列写劳斯表：S2 1+k 8+20k S1 64kS0 8+20k令令S1所在行所在行为全零行，即：为全零行，即： 64k0 得：得：

38、k=1.5由由S2所在行的元素构成的方程有：所在行的元素构成的方程有： 2.5 S2 +38 = 0 得：得：S= j3.9根轨迹与虚轴的交点为根轨迹与虚轴的交点为 = j3.9，对应的，对应的k值为值为1.5。自动控制原理AI20094-50第四章 控制系统的复数域分析与综合(7) 根轨迹与实轴交点（分离点）根轨迹与实轴交点（分离点）由系统的特征方程得：由系统的特征方程得： (S+2)(S+4) k(S24S+20)1 = (S+2)(S+4) S24S+20k = 令令dk/dS=0, 即：即：dkdS= 10S224S152 (S24S+20)2解得：解得： S1= 2.88, S2=

39、5.28(舍去舍去) 自动控制原理AI20094-51第四章 控制系统的复数域分析与综合例例4-3： 已知开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹。已知开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹。 S(S+4)(S+4+j4)(S+4 j4) kGk(S) =(1)系统开环极点为系统开环极点为-P1=0, -P4= 4, -P2,3= 4 j4, 系统开环零点为：系统开环零点为： ， ， ， (2) 根轨迹的分支数：根轨迹的分支数：4(3) 根轨迹对称于实轴根轨迹对称于实轴(4) 根轨迹起始于根轨迹起始于4个开环极点，终止于个开环极点，终止于4个无限的开个无限的开环零点，即：根轨迹环零点，即：根轨迹4个分支

40、趋向于无穷远处。个分支趋向于无穷远处。解：解：44444jsjsssK sR sC自动控制原理AI20094-52第四章 控制系统的复数域分析与综合(5) 确定渐进线：确定渐进线： = (2k+1)n m= 45, k=0=135, k=1= 225, k=2= 315, k=3 = 4 3 -Pj j=14 -Zi i=13 = 3 = (2k+1) 4与实轴的交点：与实轴的交点：=(0 4 4 4) (0)4自动控制原理AI20094-53第四章 控制系统的复数域分析与综合0432118012k(6) 开环复数极点的出射角：开环复数极点的出射角： 1= 135, 3= 90 3= 90取取

41、k=0, 则：则： 4= 495 = 135自动控制原理AI20094-54第四章 控制系统的复数域分析与综合(7)根轨迹与虚轴交点根轨迹与虚轴交点系统的特征方程为：系统的特征方程为：S4+12S3+64S2+128S+k=0列写劳斯表：列写劳斯表：S4 1 64 kS3 12 128S2 53.33 k S1 (6826.2412k)/53.33S0 k令令S1所在行为全零行所在行为全零行, 即即: 6826.2412k=0 得：得：k=569由由S2所在行的元素构成的方程有：所在行的元素构成的方程有： 53.33S2 +569= 0 得：得：S= j3.27根轨迹与虚轴的交点为根轨迹与虚轴

42、的交点为 = j3.27，对应的，对应的k值为值为569。自动控制原理AI20094-55第四章 控制系统的复数域分析与综合(8) 根轨迹与实轴交点（分离点）根轨迹与实轴交点（分离点）由系统的特征方程得：由系统的特征方程得：1 = (S4+12S3+64S2+128S)令令dk/dS=0, 即：即：dkdS=解得：解得： S1= 1.5k = (S4+12S3+64S2+128S) (4S3+36S2+128S)=0 自动控制原理AI20094-56第四章 控制系统的复数域分析与综合 根轨迹推广：根轨迹推广： 参数根轨迹参数根轨迹参数根轨迹参数根轨迹：非开环增益系数（如校正元件的时间常非开环增

43、益系数（如校正元件的时间常数）为可变参数绘制的根轨迹。数）为可变参数绘制的根轨迹。绘制思路：绘制思路：（1）对控制系统的特征方程进行）对控制系统的特征方程进行等效变换等效变换，将其写成将其写成标准形式：标准形式： N(S)M(S)= 1k（2）采用前述的绘制根轨迹的一般规则。）采用前述的绘制根轨迹的一般规则。说明：参数根轨迹也只能确定控制系统闭环极点的分说明：参数根轨迹也只能确定控制系统闭环极点的分布。布。自动控制原理AI20094-57第四章 控制系统的复数域分析与综合例例4.4 已知某单位反馈系统已知某单位反馈系统(H(S)=1)的开环传递函数的开环传递函数(S+2)(S+P1)10G(S

44、)H(S) =其中参数其中参数P1为待定。试绘制以待定参数为待定。试绘制以待定参数P1为可变参数为可变参数的根轨迹。的根轨迹。解题思路解题思路：设法使设法使P1出现在前向通路增益的位置上。出现在前向通路增益的位置上。即：构造一个等效的系统，使其特征多项式满足即：构造一个等效的系统，使其特征多项式满足 P1G(S)H(S)= 1解：该系统的闭环传递函数为：解：该系统的闭环传递函数为：(S+2)(S+P1) 10GB(S) =1+(S+2)(S+P1) 10(S2+2S+10)+P1(S+2) 10 =系统前向通道传函系统前向通道传函自动控制原理AI20094-58第四章 控制系统的复数域分析与综

45、合即：系统等效的开环传递函数写成以下形式：即：系统等效的开环传递函数写成以下形式：P1(S+ 2)S2+2S+ 10kG(S)H(S) = S2+2S+10 10GB(S) =1+S2+2S+10 P1(S+2)将分子、分母同除以不含将分子、分母同除以不含P1的项的项(S2+2S+10) :等效前等效前系统的特征方程：系统的特征方程： (S2+2S+10)+P1(S+2)0GB(S) =(S2+2S+10)+P1(S+2) 10等效后等效后系统的特征方程：系统的特征方程： (S2+2S+10)+P1(S+2)0自动控制原理AI20094-59第四章 控制系统的复数域分析与综合系统根轨迹如图所示

46、：系统根轨迹如图所示：jSP1(S+ 2)S2+2S+ 10kG(S)H(S) = P1=0P1=0P1P1自动控制原理AI20094-60第四章 控制系统的复数域分析与综合第2节：根轨迹的绘制n正反馈系统的根轨迹 sH sKG sC sR sKG sH sR sC0K sKG sH-1 sR sC等效负反馈等效负反馈自动控制原理AI20094-61第四章 控制系统的复数域分析与综合第2节：根轨迹的绘制n正反馈系统的根轨迹w幅角条件：w幅值条件:w例4.4根轨迹：1)()(sHsKG0360)()(ksHsKG6214sssssK sR sC6214sssssK-1 sR sC自动控制原理AI

47、20094-62第四章 控制系统的复数域分析与综合第3节：利用MATLAB绘制系统根轨迹常用命令：rlocus( )自动控制原理AI20094-63第四章 控制系统的复数域分析与综合 sgrid;nrlocfind( )自动控制原理AI20094-64第四章 控制系统的复数域分析与综合第4节：控制系统性能的复域分析稳定性分析稳态特性分析动态特性分析 njjmiiBpszsKsHsKGsHsKGsG111系统单位阶跃响应的拉氏变换为 spszsKsYnjjmii111时域响应为 njtpjjeAAty10A0,Aj分别是Y(s)在原点和闭环极点pj处的留数自动控制原理AI20094-65第四章

48、控制系统的复数域分析与综合(一一)稳定性分析稳定性分析要求系统稳定，则系统全部要求系统稳定，则系统全部闭环极点闭环极点Si均位于均位于S左半面左半面。只要系统的根轨迹有分支进入只要系统的根轨迹有分支进入 S平面右半平面平面右半平面,则则:系统在某个增益系统在某个增益K范围内是不稳定的范围内是不稳定的.系统稳定与不稳定的分水岭系统稳定与不稳定的分水岭:系统系统根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点.第4节：控制系统性能的复域分析稳定性分析动态特性分析稳态特性分析自动控制原理AI20094-66第四章 控制系统的复数域分析与综合控制系统动态性能好坏是由系统闭环零、极点的位置共同决定控制系统动态性能好

49、坏是由系统闭环零、极点的位置共同决定.当绘制出系统根轨迹后当绘制出系统根轨迹后,可求出可求出某个特定增益值某个特定增益值下系统的零、极下系统的零、极点的分布。点的分布。其中，闭环极点的分布决定动态响应类型。其中，闭环极点的分布决定动态响应类型。 闭环极点位于闭环极点位于S左半平面，该极点对应的输出分量是指数衰减左半平面，该极点对应的输出分量是指数衰减的，极点距虚轴越远，衰减越快。的，极点距虚轴越远，衰减越快。 闭环极点是负实数，对应输出分量是单调指数衰减。闭环极点是负实数，对应输出分量是单调指数衰减。 闭环极点是负实部的复数，该分量是振荡指数衰减。闭环极点是负实部的复数，该分量是振荡指数衰减。

50、C(t) = A0 + Aie-piti=1n(二二)动态特性分析动态特性分析 njjmiiBpszsKsHsKGsHsKGsG111 111miinjjKszCsssp自动控制原理AI20094-67第四章 控制系统的复数域分析与综合闭环零、极点的分布决定了动态响应曲线的形态。闭环零、极点的分布决定了动态响应曲线的形态。因此：因此： 要求系统快速性好，则要求系统快速性好，则闭环极点均应远离虚轴闭环极点均应远离虚轴。 针对某针对某K值，值，离虚轴最近的闭环极点离虚轴最近的闭环极点对系统的对系统的动态性能影响动态性能影响最大最大。 对于对于高阶系统高阶系统，利用，利用主导极点主导极点估算系统估算