天津大学-现代控制理论-第1章-控制系统的状态空课件.ppt

1、.第第1 1章章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式主讲：窦立谦主讲：窦立谦. 本章结构本章结构 第第1章章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式 1.8

2、时变系统和非线性系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论绪论.1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式1 状态状态描述一个系统得过去、现在和将来的状况2 状态变量状态变量足以表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量( )(1)( )(1)1111(1.1 1)nnnnnnonnya yaya yb ubub ub u注1.1-1：一个用n阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动也就被揭示无遗。例如微分方程：注1.1-2：状态变量的个数等于系统独立储能元件的个数。.1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态

3、空间表达式3 状态矢量状态矢量如果n个状态变量用 表示，并把这些状态看作是 的分量，则 就称作状态矢量：4 状态空间状态空间12( ),( ),( )nx tx tx t( )x t( )x t12( )( )( )(1.12)( )nx tx tx tx t以状态变量 为坐标轴构成的n维空间，称为状态空间。随着时间的推移， 将在状态空间中描述出一条轨迹，称为状态轨迹。12( ),( ),( )nx tx tx t( )x t.1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式5 状态方程状态方程描述系统状态与输入之间关系的一阶微分方程组：6 输出方程输出方程( )( )( )(1.1

4、3)x tAx tBu t描述系统输出与状态、输入之间关系的表达式：( )( )( )(1.1 4)y tCx tDu t7 状态空间表达式状态空间表达式状态方程+输出方程，构成一个系统完整的动态描述：( )( )( )(1.1 5)( )( )( )x tAx tBu ty tCx tDu t.1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式例例1.1-1 求求R-L-C电路的状态空间表电路的状态空间表达式，输出为电容两端电压达式，输出为电容两端电压图1.1-1 R-L-C电路1 选择状态变量例题例题 1.1 【解答】状态变量个数：独立储能元件个数。所以选择电容C两端电压，和流经电感

5、L的电流。121( ),( ),( ),( )CLCx tux tiiu ty tux 状态：输入：输出：.1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式2 列写一阶微分方程例题例题 1.1-1 【解答】3 列写状态方程和输出方程CCduCidtdiLRiuudt111CCuiCRiuiuLLL （1）状态方程121( ),( ), ( )CLCx tux tii y tux 12212111xxCRxxxuLLL 112210011xxCuxxRLLLxAxBu.1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式例题例题 1.1-1 【解答】3 列写状态方程和输出方程（2）输

6、出方程1Cyux1210 xyx4 列写状态空间表达式xAxBuyCxDu100,1110 ,0CABRLLLCD.( )( )( )( )( )( )x tAx tBu ty tCx tDu t1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式8 状态空间表达式的一般形式状态空间表达式的一般形式状态矩阵状态矩阵输入矩阵输入矩阵直接转移矩阵直接转移矩阵输出向量输出向量输出矩阵输出矩阵状态向量状态向量输入向量输入向量.1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式8 状态空间表达式的一般形式状态空间表达式的一般形式111121122122221212,nnnnnnnnnxaaab

7、xaaabxABaaabxCcccDd（1）SISO( )( )( )( )( )( )x tAx tBu ty tCx tDu t（2）MIMO111121111212212222122212121111121221222212,nrnrnnnnnnnrnnnmmmnmrxaaabbbxaaabbbxABaaabbbxyucccycccuuyCcccyu111212122212,rrmmmrddddddDddd.1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式9 状态空间表达式系统框图状态空间表达式系统框图注1.1-3：从状态空间表达式与系统框图可以看出，状态空间方法既表征了输入对系

8、统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响。所以状态空间表达式是对系统的一种完全描述。. 本章结构本章结构 第第1章章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式

9、 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论绪论.1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图1 作用作用采用模拟结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。2 三类基本框图三类基本框图.1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图例例1.2-1 设一阶系统状态方程为设一阶系统状态方程为 则其状态图为则其状态图为xaxbu例例1.2-2 设三阶系统状态空间表达式为设三阶系统状态空间表达式为 1223312313632xxxxxxxxuyxx .1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图. 本章结构本章

10、结构 第第1章章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论绪论.1.3 状态空间表达式的

11、建立（一）状态空间表达式的建立（一）1 由系统框图建状态空间表达式由系统框图建状态空间表达式用状态空间法分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式，一般有3种途径：（1）由系统方块图来建立（2）从机理特性出发建立（3）由高阶微分方程和传递函数建立例例1.3-1 系统方块图如下，输入为系统方块图如下，输入为u，输出为，输出为y，试求其状态空间表达式，试求其状态空间表达式.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）例例1.3-1 系统方块图如下，输入为系统方块图如下，输入为u，输出为，输出为y，试求其状态空间表达式，试求其状态空间表达式例题例题 1.3-1 【解答】求解步骤：

12、求解步骤：1 选择状态变量2 列写状态方程3 列写输出方程4 写成状态空间表达式.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）例例1.3-1 系统方块图如下，输入为系统方块图如下，输入为u，输出为，输出为y，试求其状态空间表达式，试求其状态空间表达式1 选择状态变量每一个方块的后面，除比例环节。2 列写状态方程3 列写输出方程4 列写状态空间形式x3x2x1.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）例例1.3-2 系统方块图如下，输入为系统方块图如下，输入为u，输出为，输出为y，试求其状态空间表达式，试求其状态空间表达式例例1.3-3 系统方块图如下，输入为

13、系统方块图如下，输入为u，输出为，输出为y，试求其状态空间表达式，试求其状态空间表达式.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）例例1.3-3 系统方块图如下，输入为系统方块图如下，输入为u，输出为，输出为y，试求其状态空间表达式，试求其状态空间表达式z-p.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）2 从机理特性出发建状态空间表达式从机理特性出发建状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系统

14、的状态方程。CR1R2L1L2弹簧-质量-阻尼器系统电路系统系统.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）例例1.3-4 如图如图1.3-4所示的电路，试以电压所示的电路，试以电压u为输出，以电容为输出，以电容C上的电压上的电压uc为输出变量，列写其状态空间表达式为输出变量，列写其状态空间表达式CR1R2L1L2图1.3-4 电路系统系统例题例题 1.3-4 【解答】1 选择状态变量电路的贮能元件有电感L1，L2和电容C。考虑到i1、i2、uc这三个变量是独立的，故可确定为系统的状态变量。.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）2 列写状态方程根据基尔

15、霍夫定律列写电路方程CR1R2L1L22221121222111110idtduCuiRiRiRdtdiLuiRiRdtdiLcc22222122121211111111iCdtduLuiLRRiLRdtdiuLiLRiLRdtdicc现在令x1=i1，x2=i2，x3=uc，将上式写成矩阵形式即为状态方程1111111112222223301100100RRLLLxxRRRxxuLLLxxC.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）3 列写输出方程CR1R2L1L2由于前面已指出电容上的电压uc为输出变量，故系统的输出方程为321100 xxxy4 整理成状态空间表达式1

16、1111112222011,0 ,1 0 00100RRLLLRRRABCLLLC xAxBuyCx.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）例例1.3-5 如图如图1.3-5所示，输入为外力所示，输入为外力F(t)，输出为位移，输出为位移y(t)，小车质量为，小车质量为m，试建立机械位移系统的状态空间表达式，试建立机械位移系统的状态空间表达式例题例题 1.3-5 【解答】1 选择状态变量选择位移y(t)，速度y(t) 为系统的状态变量。图1.3-5 弹簧-质量-阻尼器系统.1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）2 列写状态方程根据牛顿运动学定律列写运

17、动方程现在令x1=y，x2=，将上式写成矩阵形式即为状态方程2( )2d ydym+ f+ ky = u tdtdt12211xxkfxxummm 3 列写输出方程1yx 112212010110 xxxukfxxmmmxyx 4 整理成状态空间表达式. 本章结构本章结构 第第1章章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线

18、性变换状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论绪论.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二） 在经典控制理论中，系统的模型采用微分方程或传递函数来表示，表示的是系统输入-输出之间的关系。这一节将讲解如何从微分方程或传递函数来得到系统的状态空间表达式，控制上将这种问题称为实现问题。（1）能控标准型（2）能观标准型（3）对角标准型（4）Jordan（约旦）标准型.1.4 状态空间表达式的建

19、立（二）状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型能控标准型考虑由下式定义的系统（单变量线性定常， ）( )(1)()(1)110110nnmmnmmyaya ya yb ububub unm(1) m=01101110( )( )( )mmmmnnnb sb sb sbY sW sU ssasa sa系统的传递函数为：系统的传递函数为：01110( )( )( )nnnbY sW sU ssasa sa.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型能控标准型(1) m=0系统模拟结构图为：系统状态方程为：122310 1121 nnnnnxxxxxxxa xa x

20、aux 0 1yb x输出方程为：.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型能控标准型(1) m=0系统状态空间表达式为：.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）例例1.4-1 系统的输入输出微分方程为：系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程列写其状态方程和输出方程64176yyyyu2106,41,7,6aaab例题例题 1.4-1 【解答】1 直接按能控标准型列写0120100100001001,074161600 ,0AbaaaCD .1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型能控标准型(

21、2) m01101110( )( )( )mmmmnnnb sb sb sbY sW sU ssasa sa系统的传递函数为：设待实现系统的传递函数为：32321032210( )( )( )b sb sbsbY sW sU ssa sa sa.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型能控标准型(2) m0.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型能控标准型(2) m0.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）1 能控标准型能控标准型(2) m0推广到n阶，状态空间表达式为：.1.4 状态空间表达式的建立（

22、二）状态空间表达式的建立（二）2 能观标准型能观标准型01110( )( )( )nnnbY sW sU ssasa sa001210001000010,000100010ooonabaAabca.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）例例1.4-2 系统的输入输出微分方程为：系统的输入输出微分方程为：列写其状态方程和输出方程列写其状态方程和输出方程2102104,2,1,113aaabbb,例题例题 1.4-2 【解答】1 直接按能控标准型列写 01200211 22220100100001001,01241113 ,0AbaaaCba bbabba bD uuuyyy

23、y324 .1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）3 对角标准型对角标准型当系统的传递函数如下表示时：110121212( )( )( )()()()mmmmnnonb sb sbsbY sW sU sspspspcccbmnspspsp 考虑分母多项式中只含相异根的情况。11112222121 11nnnnonxxcpxpxcupxxcxxyb ux.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）3 对角标准型对角标准型11221( )( )1( )( )1( )( )nnX sU sspXsU sspXsU ssp111222( )( )( )( )(

24、)( )( )( )( )nnnsX sp X sU ssXsp XsU ssXsp XsU s 11 1222nnnxp xuxp xuxp xu 1 122nnyc xc xc x1110101nnnxpxuxpx 11nnxyccx状态变量的拉普拉斯变换为.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）4 约旦标准型约旦标准型当系统的传递函数如下表示时：311103145124032114( )( )( )() ()()()()()()mmmmnnnb sb sbsbY sW sU sspspspspcccccbmnspspspspsp 考虑分母多项式中含有重根的情况。.1

25、.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）4 约旦标准型约旦标准型11122133144412100000100000110001000nnnxxpxxpxxppxxpxxyc cc 12nonxxb ux.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）4 约旦标准型约旦标准型设n阶系统只有一个独立的n重极点s1.则G(s)由部分分式法展开为111121111( )G( )( )()()nnnkkkY ssU sssssss111111lim ( )() (1, )(1)!iniissdkG s ssinids其中，1121111( )( )()1( )( )()

26、1( )( )()nnnX sU sssXsU sssXsU sss设状态变量为：12123111( )( )()1( )( )()1( )( )nX sXsssXsXsssXsU sss.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）4 约旦标准型约旦标准型11 1221231111nnnnnxs xxxs xxxs xxxs xu11112211000010000011000nnsxxsxxuxxs .1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）例例1.4-3 系统的输入输出传递函数为：系统的输入输出传递函数为：列写其对角标准型状态方程和输出方程列写其对角标准

27、型状态方程和输出方程6512)(G22sssss例题例题 1.4-3 【解答】1 化为真有理式1223535G( )11156(2)(3)23ccsssssssss 12(35)lim(2)1(2)(3)sscsss23(35)lim(3)4(2)(3) sscsss.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）2 列写对角标准型2353514G( )11156(2)(3)23sssssssss 11221220103114xxuxxxyux 1122122010341 1xxuxxxyux.1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）例例1.4-4 系统的输入

28、输出传递函数为：系统的输入输出传递函数为：列写其能控、能观、对角标准型状态方程和输出方程列写其能控、能观、对角标准型状态方程和输出方程233)()(2ssssUsY112212( )( )010( )( )23( )1( )( )3 1( )x tx tu tx tx tx ty tx t )()( 10)()(13)()(3120)()(212121txtxtytutxtxtxtx)()( 12)()(11)()(2001)()(212121txtxtytutxtxtxtx能控标准型对角标准型能观标准型. 本章结构本章结构 第第1章章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 1.1

29、 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论绪论.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换1 线性变换的概念线性变换的概念如前所述，一个n阶系统

30、必有n个状态变量。然而，这n个状态变量的选择却不是唯一的。但它们之间存在着线性变换关系。（1）定义：状态 x与z的变换，称为状态的线性变换 由于状态变量是状态空间中的一组基底。因此，状态变换的实质就是状态空间基底（坐标）的变换。线性变换关系为：1xTzzTx或注：T为非奇异矩阵.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换1 线性变换的概念线性变换的概念（2）基本关系式：设一个n阶系统 ，状态矢量为x,其状态空间表达式为 xAxBuyCxDu现取线性变换为 ,其中: 是 阶非奇异阵。代入上述表达式，得xTznnT.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换例例1.5-1 .1.5 状态变量的

31、线性变换状态变量的线性变换.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换2 系统特征值的不变性及系统的不变量系统特征值的不变性及系统的不变量（1）系统的特征值：对于线性定常系统，系统的特征值是一个重要的概念，它决定了系统的基本特性。xAxBuyCxDu对于系统：系统的特征值就是系统矩阵A的特征值。系统的特征方程为：0IA系统的特征多项式为：( )fIA ijaA 111221nnnnnIAaaaA 若：.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换2 系统特

32、征值的不变性及系统的不变量系统特征值的不变性及系统的不变量（2）系统不变性与特征值的不变性尽管 与 形式不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。0IA10ITAT.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换2 系统特征值的不变性及系统的不变量系统特征值的不变性及系统的不变量（3）特征值向量（矢量）例例1.5-2 .1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型状态空间表达式变换成约旦标准型约旦标准型包括两种情况，一种是对角型，一种是标准型。xAxBu

33、yCxDu对于系统：11zTATzTBuyCTzDu J12nJ1111111qqJA特征值无重根特征值无重根A特征值有重根特征值有重根.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型状态空间表达式变换成约旦标准型（1）A特征值无重根xAxBuyCxDu步骤步骤1 求A的特征值2 求特征值对应的特征向量12,n 12,nP PP3 定义转化矩阵为：12,nTP PP4 求新的状态表达式11zTATzTBuyCTzDu 0IAiiiAPP.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换例例1.5-3 解答解答例例1.5-3 将下面系统化为对角标准型将下面系统化为对角

34、标准型211101020213xxu 1 求A的特征值211010(2 (1)(1)0021IA）1232,1,1 得到：.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换2 求特征值对应的特征向量当 时12111213011003000210ppp 11()0IA P由 1111213100pPpp 同理： 2122223101pPpp 3133233011pPpp3 定义转化矩阵为：12,nTP PP110001011T1111011010T.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换4 求新的状态表达式112002010 ,50012TATT B 11zTATzT Bu.1.5 状态变量的

35、线性变换状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型状态空间表达式变换成约旦标准型（2）A特征值有重根步骤步骤1 求A的特征值2 求特征值对应的特征向量111,qnqn q 个11,qqnn qqPP PP 个3 定义转化矩阵为：11,qqnTPP PP4 求新的状态表达式11zTATzTBuyCTzDu .1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换例例1.5-4 .1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换1TAT.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换例例1.5-3 解答解答例例1

36、.5-5 将将A化为化为对角对角标准型标准型101010002A2101010(1) (2)0002IA231,21111,21121310011,()0000001PIA PPP对于由1121311121311121310000000000PPPPPPPPP12100 ,100PP 线性无关的两个向量线性无关的两个向量.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换32对于33()0IA P3101P101010001T求的：1100010002ATAT对角形注1.5-1： A有重特征值，但A仍有n个独立的特征向量注1.5-2： A有重特征值，但A的独立特征矢量个数小于系统的阶数n.1.5 状

37、态变量的线性变换状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型状态空间表达式变换成约旦标准型（3）A为能控标准型012101000010nAaaaa A的特征值无重根时 Vandermonde范德蒙德矩阵.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换3 状态空间表达式变换成约旦标准型状态空间表达式变换成约旦标准型 A的特征值有重根时 以有三重根为例 A的特征值有共轭复根时.1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换例例1.5-3 解答解答例例1.5-6 将将A化为约旦标准型化为约旦标准型331100010A3) 1(3311001AI12111001001011021121T 1100

38、010100110110001110011121133121001JTAT. 本章结构本章结构 第第1章章 控制系统的状态空间表达式控制系统的状态空间表达式 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 1.2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态变量的线性变换状态变量的线性变换 1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数 1.7 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式 1.8 时变系统和非线性

39、系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式绪论绪论.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数1 传递函数传递函数 在经典理论中，我们常用传递函数来表示SISO线性定常系统输入输出间的传递特性。 其定义是：零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比( )( )( )Y sG sU sxAxBuyCxDu.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数1 传递函数传递函数使用Laplace变换，并假设初始条件为零xAxBuyCxDu1( )()( )( )( )( )X ssIABU sY sCX sDU s故U-X间的传递函数为：故U-Y间的

40、传递函数为：1( )( )()( )uxX sWssIABU s1( )( )()( )uyY sWsC sIABDU s.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数1 传递函数传递函数对于双输入双输出系统(见下图)。按输入的叠加性，将输出分别用两个方程表示出1u2u11( )Gs21( )Gs12( )Gs22( )Gs1y2y111121221222( )( )( )( )( )( )( )( )Y sGsGsU sY sGsGsUs1( )( )()( )uyY sWsC sIABDU sxAxBuyCxDu.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数

41、例例1.6-1 已知状态空间表达式：已知状态空间表达式：求其传递函数求其传递函数111222512,12315xxxu yxxx 52131521)(11ssBAsICsG例例1.6-1 解答解答)4)(2(591252865311212sssssss.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数2 子系统互连子系统互连主要有3种形式，并联、串联和反馈形式，下面以两个子系统的联结为例，推导等效的传递函数。.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数2 子系统互连子系统互连（1）并联。相同输入11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222

42、222:xA xB uyC xD u.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数2 子系统互连子系统互连（1）并联。相同输入1212,uuu yyy传递函数为：状态空间为：11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数2 子系统互连子系统互连（2）串联。11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u22221222221:xA xB yyC xD y111111221222111111212221

43、20 xABxBuxB CAxB DyCxDuD CCxD Dy.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数2 子系统互连子系统互连（3）反馈11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u.1.6 从状态空间表达式求传递函数从状态空间表达式求传递函数11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u.1 理解状态空间表达式的基本概念理解状态空间表达式的基本概念2 状态空间表达式的模拟结构图状态空间表达式的模拟结构图3 状态空间表达式建立的状态空间表达式建立的3种方法种方法 由系统方块图来建立 从机理特性出发建立 由高阶微分方程和传递函数建立4 能控、对角、约旦标准型建立能控、对角、约旦标准型建立5 由状态空间求传递函数由状态空间求传递函数本章要点总结本章要点总结