江苏专版2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测四十五直线与圆锥曲线.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (四十五）直线与圆锥曲线 练基础小题 强化运算能力 1已知双曲线 x212y24 1 的右焦点为 F，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的取值范围是 _ 解析：由题意知，右焦点为 F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为 y 33 x.当过点 F的直线与渐近线平行时，满足与双曲线的右支有且只有一个交点，数形结合可知该直线的斜率的取值范围是 ? ? 33 ， 33 . 答案： ? ? 33 ， 33 2 (2018 南京模拟 )已知经过点 (0， 2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 x22 y2 1 有两个不同的交点

2、P 和 Q，则 k 的取值范围是 _ 解析：由题意得，直线 l 的方程为 y kx 2，代入椭圆方程得 x22 (kx 2)2 1，整理得 ? ?12 k2 x2 2 2kx 1 0.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 8k24? ?12 k2 4k2 2 0，解得 k 22 或 k 22 ，即 k 的取值范围为 ? ? ， 22 ?22 ， . 答案： ? ? ， 22 ? ?22 ， 3斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1 相交于 A， B 两点，则 |AB|的最大值为 _ 解析：设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，直线 l

3、的方程为 y x t，由? x24 y2 1，y x t消去 y，得 5x2 8tx 4(t2 1) 0.则 x1 x2 85t， x1x2 4?t2 1?5 . |AB| 1 k2 |x1 x2| 1 k2 ?x1 x2?2 4x1x2 2 ? ? 85t 2 4 4?t2 1?5 4 25 5 t2，故当 t 0 时， |AB|max4 105 . 答案： 4 105 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)， F( 2， 0)为其右焦点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2.则椭圆 C 的方程为 _ 解析：由题意得? c

4、2，b2a 1，a2 b2 c2，解得 ? a 2，b 2， 故椭圆 C 的方程为x24y22 1. 答案： x24y22 1 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1 (2018 苏州模拟 )椭圆 ax2 by2 1 与直线 y 1 x 交于 A， B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为 32 ，则 ab _. 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点 M(x0， y0)，结合题意，由点差法得， y2 y1x2 x1 ab x1 x2y1 y2 ab x0y0 ab 23 1，所以 ab 32 . 答案： 32 2 (2018 启东中学期末 )经过椭圆 x2

5、2 y2 1 的一个焦点作倾斜角为 45 的直线 l，交椭圆于 A， B 两点设 O 为坐标原点，则 OA OB 等于 _ 解析：依题意，当直线 l 经过椭圆的右焦点 (1,0)时，其方程为 y 0 tan 45( x 1)，即 y x 1，代入椭圆方程 x22 y2 1 并整理得 3x2 4x 0，解得 x 0 或 x 43，所以两个交点坐标分别为 (0， 1)， ? ?43， 13 ， OA OB 13，同理，直线 l 经过椭圆的左焦点时，也可得 OA OB 13. 答案： 13 3已知抛物线 y2 2px 的焦点 F 与椭圆 16x2 25y2 400 的左焦点重合，抛物线的准线与 x

6、轴的交点为 K，点 A 在抛物线上且 |AK| 2|AF|，则点 A 的横坐标为 _ 解析： 16x2 25y2 400 可化为 x225y216 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则椭圆的左焦点为 F( 3,0)， 又抛物线 y2 2px 的焦点为 ? ?p2， 0 ，准线为 x p2， 所以 p2 3，即 p 6，即 y2 12x， K(3,0) 设 A(x， y)，则由 |AK| 2|AF|得 (x 3)2 y2 2(x 3)2 y2，即 x2 18x 9 y2 0， 又 y2 12x，所以 x2 6x 9 0，解得 x 3. 答案： 3 4已知抛物线 y2 2px(p 0)，过其

7、焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A， B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 _ 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 两点在抛物线上， ? y21 2px1， y22 2px2， 得 (y1 y2)(y1 y2) 2p(x1 x2)， 又线段 AB 的中点的纵坐标为 2， y1 y2 4， 又直线的斜率为 1， y1 y2x1 x2 1， 2p 4， p 2， 抛物线的准线方程为 x p2 1. 答案： x 1 5抛物线 y2 4x 的焦点为 F，准线为 l，经过 F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A， AK l，垂

8、足为 K，则 AKF 的面积是 _ 解析： y2 4x， F(1,0)，准线 l： x 1，过焦点 F 且斜率为 3的直线 l1： y 3(x 1)，与 y2 4x 联立，解得 A(3,2 3)， AK 4， S AKF 1242 3 4 3. 答案： 4 3 6若椭圆 x2a2y2b2 1 的焦点在 x 轴上，过点 ?1， 12 作圆 x2 y2 1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， 则椭圆的方程是 _ 解析：由题可设斜率存在的切线的方程为 y 12 k(x 1)(k 为切线的斜率 )，即 2kx2y 2k 1 0，由 | 2k 1|4k2 4 1，解得

9、 k 34，所以圆 x2 y2 1 的一条切线的方程为 3x 4y 5 0，可求得切点的坐标为 ? ?35， 45 ，易知另一切点的坐标为 (1,0)，则直线 AB 的方程=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 y 2x 2，令 y 0 得右 焦点为 (1,0)，令 x 0 得上顶点为 (0,2)，故 a2 b2 c2 5，所以所求椭圆的方程为 x25y24 1. 答案： x25y24 1 7设双曲线 x29y216 1 的右顶点为 A，右焦点为 F.过点 F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则 AFB 的面积为 _ 解析： c 5，设过点 F 平行于一条渐近线的直线方程为 y

10、 43(x 5)，即 4x 3y 20 0，联立直线与双曲线方程，求得 yB 3215，则 S 12(5 3) 3215 3215. 答案： 3215 8在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 C(0， c)任作一条直线，与抛物线 y x2相交于 A， B 两点，若 OA OB 2，则 c 的值为 _ 解析：设过点 C 的直线为 y kx c(c 0)，代入 y x2得 x2 kx c，即 x2 kx c 0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 k， x1x2 c， OA (x1， y1)， OB (x2， y2)，因为 OA OB 2，所以 x1x2

11、y1y2 2，即 x1x2 (kx1 c)(kx2 c) 2，即 x1x2 k2x1x2 kc(x1 x2) c2 2，所以 c k2c kc k c2 2，即 c2 c 2 0，所以 c 2 或 c 1(舍去 ) 答案： 2 9 (2018 徐州中学模拟 )中心为原点，一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆，截直线 y 3x2 所得弦中点的横坐标为 12，则该椭圆方程为 _ 解析：由已知得 c 5 2，设椭圆的方程为 x2a2 50y2a2 1，联立得 ? x2a2 50y2a2 1，y 3x 2消去 y 得 (10a2 450)x2 12(a2 50)x 4(a2 50) a2(a2 50)

12、0，设直线 y 3x 2 与椭圆的交点坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，由根与系数关系得 x1 x2 12?a2 50?10a2 450，由题意知x1 x2 1，即 12?a2 50?10a2 450 1，解得 a2 75，所以该椭圆方程为 y275x225 1. 答案： y275x225 1 10 已知抛物线 C： y2 8x 与点 M( 2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，=【 ;精品教育资源文库 】 = B 两点若 MA MB 0，则 k _. 解析：如图所示，设 F 为焦点，易知 F(2， 0)，取 AB 的中点 P，过 A， B 分别作准线的

13、垂线，垂足分别为 G， H，连结 MF， MP，由 MA MB 0，知 MA MB，则 |MP| 12|AB| 12(|AF| |BF|) 12(|AG| |BH|)，所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线，所以 MP AG BH，由 |MP| |AP|，得 GAM AMP MAP，又 |AG| |AF|， AM 为公共边，所以 AMG AMF，所以 AFM AGM 90 ，则 MF AB，所以 k 1kMF 2. 答案： 2 二、解答题 11 (2017 江苏高考 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： x2a2y2b2 1(a b 0)的 左、右焦点分别为 F1， F2，离心

14、率为 12，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线 l2. (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若直线 l1， l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标 解： (1)设椭圆的半焦距为 c. 因为椭圆 E 的离心率为 12，两准线之间的距离为 8， 所以 ca 12， 2a2c 8， 解得 a 2， c 1，于是 b a2 c2 3， 因此椭圆 E 的标准方程是 x24y23 1. (2)由 (1)知， F1( 1,0)， F2(1,0) 设 P(x0， y0)，因为 P 为第一象限的点， 故

15、 x0 0， y0 0. 当 x0 1 时， l2与 l1相交于 F1，与题设不符 当 x01 时，直线 PF1的斜率为 y0x0 1，直线 PF2的斜率为 y0x0 1. 因为 l1 PF1， l2 PF2，所以直线 l1的斜率为 x0 1y0，直线 l2的斜率为 x0 1y0， 从而直线 l1的方程为 y x0 1y0(x 1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 l2的方程为 y x0 1y0(x 1) 由 ，解得 x x0， y x20 1y0 ， 所以 Q? ? x0，x20 1y0 . 因为点 Q 在椭圆上，由对称性，得 x20 1y0 y0， 即 x20 y20 1 或 x20 y20 1. 又点 P 在椭圆 E 上，故 x204y203 1. 联立? x20 y20 1，x204y203 1，解得? x0 4 77 ，y0 3 77 ；联立? x20 y20 1，x204y203 1，无