向量自回归(VAR)模型课件.ppt

1、 金融计量学金融计量学 张成思2 第第8 8章章 向量自回归向量自回归(VAR)(VAR)模型模型 8.1 8.1 向量自回归模型介绍向量自回归模型介绍 8.2 VAR 8.2 VAR模型的估计与相关检验模型的估计与相关检验 8.3 8.3 格兰杰因果关系格兰杰因果关系 8.4 8.4 向量自回归模型与脉冲相应分析向量自回归模型与脉冲相应分析 8.5 VAR 8.5 VAR模型与方差分解模型与方差分解8.1 8.1 向量自回归模型介绍向量自回归模型介绍8.1.1 VAR8.1.1 VAR模型的基本概念模型的基本概念12 ,ttntyyy考虑一组变量定义L12, 1, 2,tttntyyYtTy

2、LM1122(n 1) (VWN),()0()()0, tttptpttttttsYCYYYEEEst 代表维的向量白噪音满足L11, 112, 112 221, 122 1VWN ,()()()0()()ttttt tttttEEEEE 不是序列相关的。例如，在两变量的模型中212, ( )( )ttpnpL YCLLLL 如果使用滞后算子 则L11,111111122,122221221111,1122,112211,1222,12(VAR), tttttttttttttttYCYyycyyccyycyy一个两变量模型的例子22112112222122121112212211122122(

3、)()()()()10( )0111ttttttttEEEEELLLLLLLLLL (1)(1)(1)11111, 1122, 11, 1(2)(2)(2)111, 1122, 11, 1( )( )( )111, 1122, 11, 1 tttnn tttnn tpppttnn ttycyyyyyyyyyLLLL111VARij（ ）高阶模型要使用很多的上标和下标。若用表示矩阵的第i行第j列的元素，则有8.1.2 VAR8.1.2 VAR模型的平稳性条件模型的平稳性条件0VAR( )()()()()ttttt jjjtEYEYYEYYYj如果以下条件满足，则对应的模型为平稳的:其中， 定义的

4、是 在第 期的自协方差矩阵。 2121212VAR( )0 0pnppppnpzzzz 对于一个模型，其平稳条件是的根落在单位圆外，其中表示行列式符号。同样地，平稳条件也可以表述为的根落在单位圆内。LL 为了深入地理解VAR模型的平稳性条件，为了考虑含有2个变量的简单VAR（1）模型：1, 1112, 12211.60.50.7ttttttyyyy1221210.6( )00.51 0.7(1)(1 0.7 )0.300.752.505/4,2nzzzzzzzzzzzzz 在上面给出的例子中，很明显第一个等式的自回归系数是1( )，但是整个VAR(1)系统是平稳的！所以，整个VAR模型系统的平

5、稳与否，千万不能单凭某一个等式中的自回归系数判断，而是要考虑整个系统的平稳性条件。这是因为，在只考虑单个等式中的某个自回归系数时，却忽略了 和 之间的互动关系，整个VAR模型是一个互动的动态系统！1111ty2ty1,1112,1221212,0.90.10.10.810.90.1( )00.210.8(10.9 )(10.8 )0.0201,10 / 7ttttttnyyyyzzzzzzzzzzz 另一个例子8.1.3 8.1.3 VAR(pVAR(p) )模型与模型与VAR(1)VAR(1)的转化的转化121121122()()()()pnptttpt ptCICYYYY 1(1) (np

6、 1)tttttpYyyYy定义一个维的矩阵 ，即1231 () 0000000000000000ppnnnnnpnpFF再定义一个维的矩阵：00tttVV以及一个(np 1)的矩阵1() ,()0, 00000000ttttttsnp npE VVYFYVE VVts 其中并且：8.1.4 8.1.4 向量自协方差和向量自相关函数向量自协方差和向量自相关函数 112VAR(p)()().()jttjnpE YYIC 一个平稳的模型的向量自协方差的一般定义式可以写成：此外，11221122()()()()()() ()() (), 1jtt jtt jtt jpt pt jtt jjjpj p

7、EYYEYYEYYEYYEYj ()() ()() jttjtjtjE YYE YY 011221122()()()()()()()() () ()ttttttpt ptttppttEYYEYYEYYEYYEYEY 1122 () () () ()()0 00tttttttt ppt tEYEYEYEYE 011221 12 2pppp 用自协方差除以方差矩阵对应的对角线元素，就可以获得向量自相关函数VACF。 8.1.5 VAR 8.1.5 VAR模型与模型与VMAVMA模型的转化模型的转化 VMA过程，就是用向量形式表示的移动平均过程，在这样的移动平均过程中，随机扰动项以向量白噪音的形式出

8、现。所以，一个VMA(q)过程的定义为： 其中， 表示常数向量， 表示系数矩阵， 仍然表示向量白噪音。1122ttttq t qYCCit1 1）VAR(1)VAR(1)模型的转化模型的转化12222120122()() ()()()() ()ntttntntntttit iinnL YCYLCLLCCLLL 因为2 2）VAR(VAR(p p) ) 模型的转化模型的转化121211()tttnpttt st st st ssttYFYVFL YVYVFVF VF VFY 1122( )1111( )( )1211(1)( )( )1111 ()()() ,t st st st st ssst

9、tsstptpiiiiiYnYFYFYFYFFFFFi 这个向量系统的前行可以写成：其中：表示矩阵的左上角的部分，而是矩阵 的 次幂。0,0 ( )( )stjtjtjtttFsFYLYYL 只要VAR(p)模型为平稳系统，就确保了矩阵 对应的特征根 都落在单位圆内，从而满足以下关系，即：，因此如果将 看成是减去均值 的形式，模型还可以写更为简洁的形式，即： 关于VMA ，以下几点需要注意: 第一，因为矩阵F是由VAR模型中的系数组成的，所以， 是这些系数的非线性函数。 第二，在VMA模型中，方程右侧只有向量白噪音过程（和均值 ）出现。这可以理解为，当滞后项 经过反复迭代之后都从VAR(p)中

10、被替换掉了。()( )LtjY8.2 VAR8.2 VAR模型的估计与相关检验模型的估计与相关检验8.2 VAR8.2 VAR模型的估计与相关检验模型的估计与相关检验8.2.1 VAR8.2.1 VAR模型的估计方法模型的估计方法 虽然VAR模型系统比一维模型看上去复杂得多，但是用来估计VAR的方法却并不一定很繁难。常见的估计方法包括最大似然估计（Maximum Likelihood Estimator，MLE）和常见的最小二乘估计（OLS）。在特定条件下，MLE与OLS估计获得的系数是完全相同的。估计方法 （8.45）1122111111. . .(0,)(1): ()()ln(2 )()l

11、n221()()2tttptpttTtttttTTttttttYCYYYii d NnTTMLEYXYXY XX X L:l （2）OLS估计 如果熟悉OLS估计的系数矩阵表达式，很容易看出，模型(8.45)就等于OLS估计的系数矩阵。将 的第j行明确地写出来，则为： （8.46） 可以看出，模型(8.46)对应的正是利用OLS方法， 对 进行回归得到的系数估计值。111( )TTjttttttjY XX X jtYtX 8.2.2 VAR 8.2.2 VAR模型的设定模型的设定 1). 1).使用平稳变量还是非平稳变量使用平稳变量还是非平稳变量 Sims, Stock, 和 Watson (

12、1990)提出，非平稳序列仍然可以放在VAR模型中，通过估计结果分析经济、金融含义。 但是，如果利用VAR模型分析实际问题时，使用非平稳序列变量，却会带来统计推断方面的麻烦，因为标准的统计检验和统计推断要求分析的所有序列必须都是平稳序列。 作为指导性的原则，如果要分析不同变量之间可能存在的长期均衡关系，则可以直接选用非平稳序列；而如果分析的是短期的互动关系，则选用平稳序列，对于涉及到的非平稳序列，必须先进行差分或去除趋势使其转化成对应的平稳序列，然后包含在VAR模型中进行进一步分析。 2).VAR 2).VAR模型中的变量选择模型中的变量选择 VAR模型中选择哪些变量来进行分析，一般来说没有确

13、定性地严格规定。变量的选择需要根据经济、金融理论，同时还需要考虑手中的样本大小。3).VAR3).VAR模型中滞后期的选择模型中滞后期的选择 22(a)2lnln()lnpnA ICTpnTSICT 信 息 准 则 b) b)似然比率检验法，即似然比率检验法，即Likelihood Ratio Likelihood Ratio (LR) (LR)检验检验 简单地说，LR检验法就是比较不同滞后期数对应的似然函数值。 具体地说，考虑VAR 与VAR ，并且 。这样，分别估计对应的两个VAR系统，获得相应的 和 。LR检验统计量定义为：1()p2()p21pp1212lnlnT （）() 实际应用中

14、，首先需要给定一个最大的滞后期数，然后循环运用LR检验来判断最优滞后期数。正因为如此，有些计量软件的输出结果会显示“sequential LR test”（循环LR检验）的字样，实际上就是循环地应用了以上介绍的LR检验过程。 最大滞后期数的设定具有一定的主观性。但是，通常可以根据分析的数据的频率来确定。 例如，对于月度数据，可以考虑12、18或者24期为最大滞后期数；对于季度数据，一般可以先给定一个最大的4或8期滞后期；对于年度数据，可以考虑2、3或者4为最大滞后期数。 Final Prediction Error (FPE) Hannan-Quinn (HQ) 很多情况下，不同的准则或检验统

15、计量选择的最优滞后期数可能会不同。在这种情况下，我们可以根据“多数原则”，即超过半数以上的可用判断准则指向的那个滞后期数，很可能就是一个最优的选择。 如果利用这个原则仍然无法判断，则可以对不同滞后期的VAR模型进行回归估计，然后考查结果是否对滞后期很敏感，不同滞后期对分析的问题的结论是否影响很大。这样的过程实际上就是所谓的稳健性检验过程。表表8-2 8-2 EViewsEViews VAR VAR模型模型滞后期数的判断结果滞后期数的判断结果 8.3 8.3 格兰杰因果关系格兰杰因果关系 从计量经济学发展的历史来看，格兰杰因果关系的概念要早于VAR模型。 格兰杰因果关系检验经常被解释为在VAR模

16、型中，某个变量是否可以用来提高对其他相关变量的预测能力。所以，“格兰杰因果关系”的实质是一种“预测”关系，而并非真正汉语意义上的“因果关系”。(1)(1)(2)(2)1,11,21111121112(1)(1)(2)(2)2,12,22221222122()()1,211112()()2,222122 VAR(p):ttttttppttpptyyycyyycyy 考虑一个简单的两个变量的模型Lt2,21(1)(2)()0121212, 0, :0tjttpyyyH例如如果的系数都是不是的格兰杰因果关系,即备择假设是这些系数中至少有一个不为0。L 如果原假设成立，则有：(1)(2)1, 11,2

17、111111(1)(1)(2)(2)2, 12,22221222122( )1,2111( )( )2,222122000ttttttpttppttyyycyyycyy LLR :检验21111 1, 12 1,21,12, 122,22, -1012 :0tttttpt pttpt ptpyyyCyyyyyyH如果拒绝原假设，则称是 的格兰杰因果关系。与此不同，LLL 在VAR的相关内容中，与格兰杰因果关系一个相关的概念就是所谓的block exogeneity检验，翻译过来可以称为“区块外生性”或“一揽子”外生性检验。在选择VAR模型中是否要包含额外的变量时，经常使用block exoge

18、neity检验。 表表8-3 8-3 格兰杰因果关系格兰杰因果关系LRLR检验结果检验结果表表8-48-4格兰杰因果关系格兰杰因果关系检验结果检验结果 8.4 8.4 向量自回归模型与脉冲响应分析向量自回归模型与脉冲响应分析8.4.1 VAR8.4.1 VAR模型中的脉冲响应介绍模型中的脉冲响应介绍 在很多情况下，VAR模型中的各个等式中的系数并不是研究者关注的对象，其主要原因就是VAR模型系统中的系数往往非常多。 经济学家和计量经济学者经常使用脉冲响应函数脉冲响应函数来解释VAR模型的经济学上的含义。图图8-3 8-3 EViewsEViews中中VARVAR脉冲响应分析的对话界面脉冲响应分

19、析的对话界面 8.4.2 8.4.2 简单脉冲响应函数简单脉冲响应函数 这里介绍的简单IRF包括两种形式：一是所谓的“单位残差IRF”；另一个是“单位标准差IRF”。 1) 1) 单位残差单位残差IRFIRF1122,VMA() , .d , ttttthhti thhijjthijhYYyij 考虑如下这个模型或 （7 66）表示的第行 第列元素。(8.56) 0,10VAR()itnjthitijjtjti t hyijyjtith y 时，其他情况下。刻画了第 个随机扰动因素在时期 发生一个单位变化对模型中第 个变量在时间的影响情况，在这个过程中假定其他所有扰动项不变。 2 2）单位标准

20、差）单位标准差IRF IRF 从模型(8.66)可以看到，当随机冲击为单位1时，即 时，其影响马上就能体现在模型(8.66)中。但是，因为VAR模型中的变量之间是线性关系，所以这种影响的大小会随随机冲击的单位变化而变化。为此，经常使用的是随机冲击的一个单位的标准差。1jt 所以，单位标准差IRF的定义是变量在受到随机冲击一个单位标准差的变化后的动态变化路径。在这种IRF的计算过程中，同样不考虑各个随机扰动项之间的相关性（即假定相关性为0）。 12t+h IRF:a).VAR 0). 1 ,0c). =0 ). VARh=0,1,2,mYtttpjtitptYYYbijCd利用模拟方法获得对于给

21、定的（ ）模型，选定一个特定时刻点 ，先设再令或其一个单位的标准差，并且如果则令。为方便起见，设。现在系统就可以用来递归式地计算对应的。 8.4.3 8.4.3 正交脉冲响应函数正交脉冲响应函数 在简单IRF的介绍中，实际上有一个非常强假设，就是我们假设当 发生变化时，如变化了一个单位或者一个单位的标准差，其他的扰动项的变化为0。这种假设实质上是假定扰动项的方差-协方差矩阵为对角矩阵，即： 21222000000n jt 但一般情况下，这个方差协方差矩阵却并不是一个对角矩阵。解决这个问题的办法之一就是使用所谓的“正交脉冲响应函数”。正交IRF的基本思想是依据VAR模型中变量的排列顺序，将互相有

22、相关性的扰动项 转化成不相关的一组随机干扰项 ，这种互不相关的特性在计量经济里称为“正交”。jtujt 如果我们能够找到这样的 ，则有 。这样，就可以分析VAR模型中的变量在受到1个单位的 的冲击后的动态路径了，这就是正交IRF。 从上面的分析不难看到，关键是要将相关的扰动项向量分解成不相关的扰动项向量。到目前为止有以下几种常用的分解方法。 jtujiuuEjtit, 0)(tu1) 1) 三角分解三角分解11212212100001000,100nnnndadADaad ADA我们总是能找到一个实对称正定矩阵 ，使得，其中 1111111 ,()()()()()()()()ttttttuAE

23、 u uAEAAAAA D AAD 使则 的冲击对 的影响，就可以通过正交IRF计算，即：jtyityjthtiuy, 2 2）乔莱斯基分解）乔莱斯基分解 设 表示一个对角矩阵，对角线 位置的元素等于 的标准差。这样，就可以将模型 重新写成： 其中： 。 1/2D( , )j jjtuADA 1/21/2ADDAPP1/2PAD 3) 3) 广义广义IRFIRF 上文已经介绍过，正交IRF的一个主要问题是其对VAR模型中变量排序比较敏感。为了克服这一问题，Pesaran and Shin (1998)在一篇快讯文章中（Economics Letters）提出了一种新方法，用以构建随机冲击项的一

24、系列正交集。该方法称为广义IRF。这种方法不需要将所有冲击项都正交化，并且不受 VAR模型中变量的排序影响。 4)User Specified IRF 4)User Specified IRF 有些软件，如EViews，还为实践者提供了自行设立脉冲响应的选项。你需要在相应的编辑窗口给出用来保存脉冲响应函数的矩阵或者是向量。但是要注意，如果VAR模型有n个内生变量，那么脉冲响应函数的矩阵必须具有n行、1或n列，这样，每一列便对应一个脉冲函数向量。 8.5 VAR 8.5 VAR模型和方差分解模型和方差分解 所谓方差分解，就是指我们希望知道一个冲击要素 的方差能由其他随机扰动项解释多少。通过获得这

25、个信息，我们可以获知每个特定的冲击因素对于 的相对重要性。jtjt( )( )11121( )1(1):()()()t htjhhttt hthptpYYYFYFYFY基于的线性预测可以写成 未来h期预测所对应的均方差：112211()()() ()t ht ht htt htt hthhttMSE YE YYYYE 此处。 1 122111222()var()var()var()var()DttttnntttttnnntjtAua ua ua uEa aua aua auu 又其中，表示矩阵 的对角线元素。 未来h期预测对应的均方差的表达式为 1122111()var()njtjjjjjjt

26、 htjhjjhMSE Yua aa aa aa a 因此，第j个正交冲击项对未来h期预测的均方差的贡献为112211var()jtjjjjjjhjjhua aa aa aa a 111111111var()var()jjtjjjjhjjhjnjtjjjjhjjhjRua aa aa aRua aa aa a 方差分解等于 方差分解的结果有时候对VAR模型中变量的排序很敏感。然而，正如Enders(2004, p.280)所指出的，无论是正交脉冲响应还是方差分解，在研究经济变量之间的互动关系时还是非常有帮助的。特别是，当VAR系统中各个等式中的随机扰动项彼此之间的相关性比较小时，脉冲响应和方差

27、分解受变量排序的影响就非常小了。在一个极端情况下，VAR系统中的各个扰动项彼此正交，互不相关，那么矩阵 应该是对角矩阵。在这种情况下，依据模型（8.68）可以知道，矩阵A A必定是一个单位矩阵，从而 。这时，模型（8.84）中的第j个方差贡献就变成了： 或者写成更简单的形式： ttu112211var()jtjjjjjjhjjhua aa aa aa a 112211var()jtnhhu ,1220ij khjk 这样，对 未来h期的预测方差归结到 的贡献，或者说归结到 的贡献，即方差分解，可以计算为：jtujt,122012210ij kij khjkjnhjjkRity表表8-5 VAR8-5 VAR模型模型方差分析结果方差分析结果