同济大学材料力学期末复习课件.ppt

1、材 料 力 学 期 终 复 习轴向轴向拉压拉压剪切剪切扭转扭转弯曲弯曲 应力应力 变形变形 强度条件强度条件 刚度条件刚度条件maxmaxllANEANlLANCCCCSSCCCSSAFAFAFAFmaxmaxmaxmaxpnpnpnpnGIMWMGIlMIM)()()(maxmax*maxmaxmaxmaxmax*fybISFWMdcxdxdxxMEIycdxxMEIxMEIybISFyIMZzsZllZZSZ超静定的求解步骤超静定的求解步骤：1 1）根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。）根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。2）根据变形协调条件列出变形几何方程。）根据变形协调

2、条件列出变形几何方程。3）根据物理关系写出补充方程。）根据物理关系写出补充方程。4）联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。）联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx22minmax)2(2xyyxyx主应力的大小和主应力的大小和方位方位yxxytg220最大切应力最大切应力大小和方位大小和方位22minmax)2(xyyxxyyx22tan1应力状态和强度理论应力状态和强度理论主应力表示的主应力表示的广义虎克定律广义虎克定律)(13211E)(1)(121331322EE广义胡克定律广义胡克定律的一般形式的一般形式: :)(1zyxx

3、E )(1xzyyE )(1yxzzE Gxyxy Gyzyz Gzxzx 强度理论的统一表达式：强度理论的统一表达式：r r 相当应力相当应力11r)(3212r)()()(212132322214r313rmaxmaxmaxmaxyyzzctWMWM强度计算1、斜弯曲、斜弯曲tantanyzzyyzMIIIIM 中性轴与z 轴的夹角变形及刚度条件22maxzyffftantanyzyzyzyzIIFIIFff ffmax组合变形组合变形强度计算maxmaxmaxmaxyyzzctWMWMAF2 2、偏心拉、偏心拉( (压压) )中性轴在 z, y 轴的截距zyzyzyeiaeia22;3

4、3、扭转与弯曲、扭转与弯曲强度计算42T2Mr3 22r3 WTM32T2Mr4 75. 022r4 WTM4、弯曲、弯曲+拉（压）拉（压）+扭转扭转强度计算 42T2NMr3 32T2NMr4 能量法能量法应变能应变能llpnlNEIdxxMGIdxxMEAdxxFU2)(2)(2)(222卡氏第二定理及应用卡氏第二定理及应用iiFUliinlpnliNNiidxFxMEIxMdxFxMGIxMdxFxFEAxFFU)()()()()()(一端自由，一端固定一端自由，一端固定 : : 2.02.0一端铰支，一端固定一端铰支，一端固定 : : 0.70.7 两端固定两端固定 : : 0.50.

5、5 两端铰支两端铰支 : : 1.01.0临界载荷欧拉公式的一般形式临界载荷欧拉公式的一般形式: :22)( lEIFcr压杆稳定压杆稳定ilcro SP P22Ecr细长压杆细长压杆 bacr s 直线型经验公式中柔度杆粗短杆大柔度杆临界应力总图临界应力总图a临界应力总图临界应力总图bilcro22Ecr细长压杆细长压杆cc scE57. 0对于对于 的非细长杆，临界应力采用抛物线公式进行计算。的非细长杆，临界应力采用抛物线公式进行计算。 cs21cscr中柔度杆中柔度杆临界力计算的步骤临界力计算的步骤)(max得出和由计算zzzyyyilil)(计算公式应力确定临界力判断AFbaAFbac

6、rcrcrccrcrcrps,)2(,) 1 (2强度计算s2222)(ElEIFcrcrp)(zy和确定长度系数稳定计算稳定计算2 2、折减系数法、折减系数法: :稳定条件：稳定条件： 1314crPA F1 1、安全系数法、安全系数法: :.crstcrFnFF.crstcrn稳定条件：稳定条件：冲冲 击击1 1、自由落体冲击、自由落体冲击动荷系数动荷系数st211hKd、水平冲击：、水平冲击：动荷系数动荷系数stdgvK2 例例 结构受力如图结构受力如图a所示。所示。BD杆可视为刚体，杆可视为刚体，AB和和CD两杆的横截面面积两杆的横截面面积分别为分别为A1150mm2，A2400mm2

7、，其材料的应力，其材料的应力-应变曲线分别表示应变曲线分别表示于图于图b中。求（中。求（1）当）当F到达何值时，到达何值时，BD杆杆开始明显倾斜（以开始明显倾斜（以AB杆或杆或BC杆中的应力杆中的应力到达屈服极限时作为杆件产生明显变形的到达屈服极限时作为杆件产生明显变形的标志）？（标志）？（2）若设计要求安全系数）若设计要求安全系数n2，试求结构能承受的许用载荷，试求结构能承受的许用载荷F。 AB杆：杆： 由图b 可知，AB杆是塑性材料，但由于没有明显的屈服阶段，因此以名义屈服极限 作为它的屈服极限。 2 . 0解解1、求、求BC杆开始明显倾斜杆开始明显倾斜F值值MPas4002 . 0kNA

8、FsN6010150104006611kNFFN120602211FDB刚杆1A2C)(MPa(%)02. 0100200300400500杆材料AB杆材料CD)baCD杆：杆： 由图由图b可知，可知，CD杆的屈服极限杆的屈服极限MPas200kNAFsN8010400102006622kNFFN160802222由以上计算可知，当外力由以上计算可知，当外力FF1120kN时，时，AB杆内的应力首先达到材料的屈服极限，杆内的应力首先达到材料的屈服极限，这时这时AB杆将开始产生显著的变形（伸长），杆将开始产生显著的变形（伸长），BD杆则开始明显地向左倾斜。杆则开始明显地向左倾斜。 2、计算许用载

9、荷、计算许用载荷F1）AB杆的强度计算杆的强度计算AB杆的许用应力杆的许用应力 MPann20024002 .001FDB刚杆1A2C)(MPa(%)02. 0100200300400500杆材料AB杆材料CD)baMPann20024002 . 001AB杆的许用轴力杆的许用轴力 kNAFN30101501020066111相应的结构许用载荷相应的结构许用载荷 F1=2FN1 =23060kN2）CD杆的强度计算杆的强度计算CD杆的许用应力杆的许用应力 MPanns100220002CD杆的许用轴力杆的许用轴力 kNAFN40104001010066222相应的结构许用载荷为相应的结构许用载

10、荷为 F2=2FN2A2=24080kN3）由以上计算可知，该结构的许用载荷）由以上计算可知，该结构的许用载荷 F60kN. FDB刚杆1A2C)(MPa(%)02. 0100200300400500杆材料AB杆材料CD)ba例例1 1如图如图a a所示结构中三杆的截面和材所示结构中三杆的截面和材料均相同。若料均相同。若F F60kN60kN， 140MPa140MPa，试，试计算各杆所需的横截面面积。计算各杆所需的横截面面积。 （2 2）画节点）画节点A A的位移图的位移图 根据内力和变形一致的原则，绘根据内力和变形一致的原则，绘A A点位移点位移图如图图如图c c所示。所示。 即即0102

11、330tan30sinlll 解解这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。 （1 1）画出）画出A A点的受力图（见图点的受力图（见图b b） 静力平衡方程静力平衡方程F Fixix0 0 ， F FN N1 1F FN N2 2cs30cs300 (1)0 (1)FFiyiy0 0， F FN N3 3F FN N2 2sin30sin30F F0 (2)0 (2)（3）建立变形方程）建立变形方程12332lll根据根据A点的位移图，变形方程为点的位移图，变形方程为（4）建立补充方程）建立补充方程由虎克定律由虎克定律 EAFEAlFlNN13333EAFEAlFlNN22222EAFEAlF

12、lNN31111 联立（联立（1 1）、（）、（2 2）、（）、（3 3）式，解得各杆的轴力分别为：）式，解得各杆的轴力分别为： F FN N1 17.32kN 7.32kN （压）（压）; ; F FN N2 28.45kN 8.45kN （拉）（拉）; ; F FN N3 355.8kN 55.8kN （拉）（拉） 代入变形方程得补充方程代入变形方程得补充方程 EAFEAFEAlFNNN3221333得得 F FN N3 34 4F FN N2 23 3F FN N1 1 （3 3）333AFN得得22663333981039810140108 .55mmmFAN（5）各杆的横截面面积计算

13、）各杆的横截面面积计算根据题意，三杆面积相同，由杆根据题意，三杆面积相同，由杆的的强度条件强度条件即即A1A2A3398mm2FN17.32kN （压）（压）FN28.45kN （拉）（拉） FN355.8kN （拉）（拉） 例例 简单构架如图简单构架如图a a所示。所示。A A 点为铰接，可作水平移动，但不能作竖点为铰接，可作水平移动，但不能作竖向移动。当向移动。当AB AB 杆的温度升高杆的温度升高3030时，试求两杆内横截面上的应力。已知时，试求两杆内横截面上的应力。已知两杆的面积均为两杆的面积均为A A1000mm1000mm2 2 材料的线膨胀系数材料的线膨胀系数121210106

14、6/，弹性模，弹性模量量E E200GPa200GPa。 因为节点因为节点A A有三个未知力，而有三个未知力，而平面汇交力系只有两个独立的平衡平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，所以本题为一次超静定问题方程，所以本题为一次超静定问题。列静力平衡方程。列静力平衡方程 Fix0， FN1 cos30FN20 (1)（2 2）画节点）画节点A A的位移图（见图的位移图（见图c c）（3 3）建立变形方程）建立变形方程 L L1 1L L2 2cos30cos30（4 4）建立补充方程）建立补充方程 L L1 1L LN1N1L LT T，解解 （1）画出）画出A点的受力图（见图点的受力图（见图b）A

15、03021NNFFRAFb图030ml3CBAa图21030AlA221A1l21c图 即杆即杆的伸长的伸长l1由两部份组成，由两部份组成，l N1表示由轴力表示由轴力FN1引起的变形，引起的变形，lT表示温度升高引起的变形，因为表示温度升高引起的变形，因为T 升温，故升温，故lT 是正值。是正值。46. 33010121010001020046. 36691111NNFTlEAlFl692222101000102003NNFEAlFl 代入变形方程得补充方程代入变形方程得补充方程46. 33010121010001020046. 36691NF692101000102003NFA03021N

16、NFFRAFb图030AlA221A1l21c图030ml3CBAa图21（5 5）应力计算）应力计算 MPaAFN6.43101000106.436311MPaAFN8 .37101000108 .376322即即 2.598 FN23.46 FN1249103 （2） FN1 cos30FN20 (1)联立（联立（1）、（）、（2）式，得）式，得FN143.6kN（压）（压）FN237.8kN （拉）（拉） 例例 图图a a所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已所示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知：知：T T1 11.5KNm1.5KNm，T T2 22KNm2KN

17、m，T T3 39KNm9KNm，T T4 44.5KNm4.5KNm；各轮的间距各轮的间距为为: :L L1 10.8m0.8m，L L2 21.0m1.0m，L L3 31.2m1.2m；材料的材料的80MPa80MPa，=0.3=0.3/m/m，G G808010109 9PaPa。 （1 1）设计轴的直径）设计轴的直径D D；（；（2 2）轴的直径）轴的直径D D0 0105105，试计试计算全轴的相对扭转角算全轴的相对扭转角D-AD-A。 解解（1 1）绘出扭矩图（见图）绘出扭矩图（见图b b） （2 2）设计轴的直径）设计轴的直径 由扭矩图可知，圆轴中的最大由扭矩图可知，圆轴中的最

18、大扭矩发生在扭矩发生在ABAB段和段和BCBC段，其绝对段，其绝对值值M Mn n4.5KNm4.5KNm。由强度条件。由强度条件 161633maxDMDMWMnnPn求得轴的直径为求得轴的直径为mMDn066. 01080105 . 41663633mkNmkNmkN5 . 45 . 15 . 4b图DCBATTTT12343L2L1La图由刚度条件由刚度条件 180maxPnGIM 即即 3 .0180108032105 .4943D 得得mD102.03 .01080180105 .4323923 由上述强度计算和刚度计算由上述强度计算和刚度计算的结果可知，该轴之直径应由的结果可知，该

19、轴之直径应由刚度条件确定，选用刚度条件确定，选用D102mm。mkNmkNmkN5 . 45 . 15 . 4b图DCBATTTT12343L2L1La图 （3）扭转角）扭转角 D-A计算计算 根据题意，轴的直径采用根据题意，轴的直径采用DO105，其极惯性矩为，其极惯性矩为 444410119032)105(32mDIABBCCDADGIlMGIlMGIlMABnBCnCDn123)()()(03893893893163. 0)(1082. 210119010808 . 0105 . 410119010801105 . 410119010802 . 1105 . 1red扭转角为扭转角为mk

20、NmkNmkN5 . 45 . 15 . 4b图DCBATTTT12343L2L1La图 例例 试用试用q,Fq,FQ Q,M ,M 之间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。之间的微分关系作图示梁的剪力图和弯矩图。 KNFKNFDyAy5 .12,5 . 5 解解（一）求支座约束力（一）求支座约束力 （二）（二） 作剪力图作剪力图 根据梁上受力情况，将梁分成根据梁上受力情况，将梁分成AC、CD、DB三段。三段。AC段：段： 无载荷作用，即无载荷作用，即 q(x)=0，故故此段剪力图为一条平行于梁轴的水平此段剪力图为一条平行于梁轴的水平线。线。A截面有集中力截面有集中力FAy=5.5 KN作用作

21、用,其突变其突变FsA=FAy=5.5KN ,此段剪力图即此段剪力图即为一条为一条Fs=5.5KN水平线。水平线。 mkNqmkNm/2160kNF2mmm262BDECAkNFAy5 . 5kNFDy5 .12CD段：段：载荷为载荷为 q(x)=2KN 方向向下，方向向下，故此段剪力图为递减，是一条向右下故此段剪力图为递减，是一条向右下方倾斜的直线，须由两个截面上的剪方倾斜的直线，须由两个截面上的剪力来确定该斜直线。力来确定该斜直线。 KNFSC5 . 5KNqFS5 . 65 . 56左kNkN65 . 5kNm5 . 675. 2DB段段：载荷为载荷为q(x) =2KN ，方向，方向向下

22、。故此段剪力图仍为一条向向下。故此段剪力图仍为一条向右下方倾斜的直线。因为右下方倾斜的直线。因为D截面截面上有集中力作用（支座约束力上有集中力作用（支座约束力FDy），），所以此截面剪力有突变，所以此截面剪力有突变，突变值为突变值为FDy=12.5KN ,故故KNFFFSDDySD65 . 65 .12左右B截面有集中力作用，突变值为截面有集中力作用，突变值为F=2KN KNqFFSDSB22 右左全梁的剪力图如图全梁的剪力图如图b所示。所示。 KNFS5 . 6maxmkNqmkNm/2160kNF2mmm262BDECAkNkN65 . 5kNm5 . 675. 2kNFAy5 . 5kN

23、FDy5 .12 （三）作弯矩图（三）作弯矩图AC段：段：q(x)=0, FQ(x)0此段弯矩图此段弯矩图为递增，形状是一条向右下方倾斜为递增，形状是一条向右下方倾斜的直线。须定两个截面的弯矩的直线。须定两个截面的弯矩mKNFMMAyCA112, 0左C C 截面有集中力偶截面有集中力偶m m0 0 作用，故作用，故C C 截面弯矩有突变，其值为截面弯矩有突变，其值为mKNMMmCC160右左mKNMmMCC511160左右CDCD段：段：q(x)=2KN/mq(x)=2KN/m 方向向下，方向向下，此此 段弯矩图为一条下凸的曲线。段弯矩图为一条下凸的曲线。mkNmkN85mkNmkN56.

24、211kNkN65 . 5kNm5 . 675. 2mkNqmkNm/2160kNF2mmm262BDECAkNFAy5 . 5kNFDy5 .12E截面上截面上FQ=0故弯矩在该截面有故弯矩在该截面有极值，其大小为极值，其大小为mKNME56. 275. 22211675. 45 . 52mKNMD82221222DBDB段段: : q(x)=2KN/mq(x)=2KN/m，方向向，方向向下，此段弯矩仍为一条下凸的下，此段弯矩仍为一条下凸的曲线，考虑到此段内无曲线，考虑到此段内无F FQ Q=0 =0 的的截面，而截面，而F FQ Q0 0 ，所以弯矩为递，所以弯矩为递增增M MD D=-8

25、KN.m=-8KN.m，M MB B=0=0, , 全梁的全梁的M M图如图图如图c c所示。所示。mKNM11maxmkNmkN85mkNmkN56. 211kNkN65 . 5kNm5 . 675. 2mkNqmkNm/2160kNF2mmm262BDECAkNFAy5 . 5kNFDy5 .12FLbh两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示, ,若材若材料许用应力为料许用应力为,其许可荷载其许可荷载FF为多少为多少? ?如将两根梁用一个螺栓联成一整如将两根梁用一个螺栓联成一整体体, ,则其许可荷载则其许可荷载FF为多少为多

26、少? ?若螺栓材料许用切应力为若螺栓材料许用切应力为,求螺栓的最小直求螺栓的最小直径径. .解解 1)1)两梁叠加时的两梁叠加时的FFzWM2maxmax622bhFL23bhFL 23bhFL LbhF322)2)两根梁用一个螺栓联成一整体时的两根梁用一个螺栓联成一整体时的FF两梁只有一个中性轴两梁只有一个中性轴zWMmaxmax622hbFL223bhFL LbhF322将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍.zzz梁中性层处切应力梁中性层处切应力AFs23max bhLbh232232 Lh2中性层剪力中性层剪力2maxbhbLFsAFs 422dbh hbd2 LbhF322FLb

27、hz3)3)求螺栓的最小直径求螺栓的最小直径d d 例例1 有一外伸梁受力情况如图有一外伸梁受力情况如图所示。其容许拉应所示。其容许拉应t=40MPa ，容许压应力容许压应力c=100MPa 。试校。试校核梁的强度。核梁的强度。 解解（一）作梁的内力图（一）作梁的内力图最大正弯矩最大正弯矩 MC=10kN.m最大负弯矩最大负弯矩 MB=20kN.m （二）确定中性轴的位置（二）确定中性轴的位置 截面形心距底边为截面形心距底边为cmyC1392003017030185200308517030 通过截面形心与纵向对称轴垂直通过截面形心与纵向对称轴垂直的形心主轴的形心主轴z即为中性轴即为中性轴(见图

28、见图d）。）。kNFmkNq20/10mmm132DCBA2003030170kNkN1020kN10mkN 20mkN 10图图MFSzy13961 （三）截面对中性轴的惯矩（三）截面对中性轴的惯矩462323103 .405417030121703046302001230200mIz（四）校核梁的强度（四）校核梁的强度 因为梁的许用拉、压应力不因为梁的许用拉、压应力不同，而且梁的截面形状对中性轴同，而且梁的截面形状对中性轴不对称，所以，必须校核梁的最不对称，所以，必须校核梁的最大正弯矩截面（大正弯矩截面（C C截面）和最大负截面）和最大负弯矩截面（弯矩截面（B B截面）的强度。截面）的强度

29、。kNFmkNq20/10mmm132DCBA2003030170kNkN1020kN10mkN 20mkN 10图图MFSzy13961 ttMPa5 .34103 .40101391010)(633maxccMPa1 .15103 .4010611010)(633max (1) C 截面强度校核截面强度校核 MC=10KN.m为正弯矩，故为正弯矩，故截面上边缘为最大压应力，截截面上边缘为最大压应力，截面下边缘为最大拉应力。面下边缘为最大拉应力。kNFmkNq20/10mmm132DCBA2003030170kNkN1020kN10mkN 20mkN 10图图MFSzy13961面截C5 .

30、341 .15 ttMPa2 .30103 .4010611020)(633max ccMPa69103 .40101391020)(633max (2) B 截面强度校核截面强度校核 MB=20KN.m为负弯矩为负弯矩，故截面上边缘为最大拉，故截面上边缘为最大拉应力；截面下边缘为最大应力；截面下边缘为最大压应力。压应力。 kNFmkNq20/10mmm132DCBA2003030170kNkN1020kN10mkN 20mkN 10图图MFSzy13961面截C5 .341 .15面截B2 .3069讨论讨论 如果将此梁的截面倒放成如果将此梁的截面倒放成 形，这时梁的最大拉应力将发生在形，这

31、时梁的最大拉应力将发生在B B截面的上边缘，其值为截面的上边缘，其值为 MPaMPatt4069103 .40101391020)(633max 此时梁的强度就不足。由此可见，此时梁的强度就不足。由此可见，对于这种抗拉、抗压强度不相同、截对于这种抗拉、抗压强度不相同、截面上下又不对称于中性轴的梁，须根面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力情况合理放置梁的截面。据梁的受力情况合理放置梁的截面。kNFmkNq20/10mmm132DCBA2003030170kNkN1020kN10mkN 20mkN 10图图MFSzy13961面截C5 .341 .15面截D2 .3069解：解：一、一、CD

32、CD杆为刚性杆时的内力杆为刚性杆时的内力 先将结构分解成图先将结构分解成图示示形式。此时形式。此时 CD 杆为刚性，变形为零。杆为刚性，变形为零。 AC梁在梁在C处的挠度为：处的挠度为： 4383CCqCNqaNayyyEIEI DB梁在梁在D处的挠度为处的挠度为 33(2)DNayEI 变形协调条件为：变形协调条件为： CDyy 即即 433836qaNaNaEIEIEI 解出：解出： 14Nqa 2,IAa 例例：图示结构，图示结构，CD杆如为刚性杆，杆如为刚性杆，求求CD杆内力。杆内力。 如如CD杆刚度为杆刚度为EA， 求求CD杆的内力。杆的内力。 分解图分解图 建立变形协调方程时，还需

33、考虑建立变形协调方程时，还需考虑CD杆的变形。此时杆的变形。此时CD杆变形为：杆变形为： 23NlNalEAEA 此时此时C、D处的挠度表达式仍为处的挠度表达式仍为式式、 4383CqaNayEIEI 33(2)DN ayE I l C处位移和处位移和D处位移之差即为处位移之差即为 ，变形协调方程为：变形协调方程为： CDyyl 即即 343323()836NaqaN aN aE IE IE IE I 解得：解得： 328Nqa 二、二、CDCD杆刚度为杆刚度为EAEA时的内力时的内力 分解图分解图 例例 试作如图所示梁的剪力图和试作如图所示梁的剪力图和弯矩图，设弯矩图，设EAEA为常数为常数

34、。 解解 （1）这是求解一次超静定问题）这是求解一次超静定问题 解除中间铰的约束，则应有约束力解除中间铰的约束，则应有约束力 FRB如图所示。连续条件：如图所示。连续条件： 右左BByy yB左左 是悬臂梁是悬臂梁AB上上B截面的挠度，截面的挠度，其值为其值为（a a）EIaFyRBB33左 （b b） aaEIaFEIaaFyRBB2316222右aEIaF16)2(2 yB右是外伸梁右是外伸梁BCD上上B截面的挠度。它截面的挠度。它有两部分组成，第一部分是有有两部分组成，第一部分是有F作用在作用在B截面上引起的挠度，其值为截面上引起的挠度，其值为 ，aaEIaFRB232 第二部分是有第二

35、部分是有FRB作用在作用在B截面上引起的截面上引起的挠度，其值为挠度，其值为 。ma1ma1ma1ma1DCBAkNF4DCBAkNF4RDRCRBRAFFFFRBAFMaaEIaFEIaaFEIaFRBRB2316)2(3223解得解得 75. 01643163FFRB由悬臂梁由悬臂梁AB 的平衡条件可得，的平衡条件可得， FRA=0.75kN，mA=0.75kN.m由外伸梁由外伸梁BCD 的平衡条件可得的平衡条件可得 FRC=3.125kN，FRD=1.625kN 将（将（a a）式和（）式和（b b）式代入到连）式代入到连续条件，则续条件，则（2）绘）绘FS 图，图，M 图。图。（a a

36、）EIaFyRBB33左 （b b） aaEIaFEIaaFyRBB2316222右kN375. 2kN75. 0kN625. 1mkN75. 0mkN75. 0mkN625. 1ma1ma1ma1ma1DCBAkNF4DCBAkNF4RDRCRBRAFFFFRBAFM 已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出线应变。现测得轴向应变 ，45方向的应变为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求F和m的值。6010500610400uFmmFkuu45解：解：（1 1）K点处的应力状态分析点处的应力状态分析在

37、在K点取出单元体：点取出单元体：xKxy其横截面上的应力分量为：其横截面上的应力分量为：316DmWmWMppnx,AFAFNx（2 2）计算外力）计算外力F.由广义胡克定律：由广义胡克定律：zyxxE16010500Ex解得：解得：AFxAE0626910)100(41050010200KN785（3 3）计算外力偶）计算外力偶m.已知已知zvuuE1610400式中式中, 0z)45(2sin)45(2cos2200 xxxuxx2)45(2sin)45(2cos2200 xxxvxx2xKxyuuuvv由由6104001xxxxE解得：解得：26/106 .34mNxmKNDmx79.

38、6163因此因此例例 一钢制圆轴，装有两个皮带轮一钢制圆轴，装有两个皮带轮A A和和B B。两轮有相同的直径。两轮有相同的直径 D D=1=1m m，及相同，及相同的重量的重量F F = =5kN。A A轮上带的张力是水平方向的，轮上带的张力是水平方向的，B B 轮上带的张力是铅垂方向轮上带的张力是铅垂方向的，它们的大小如图示。设材料的许用应力的，它们的大小如图示。设材料的许用应力 MPa，试按第三强度，试按第三强度理论求圆轴所需直径。理论求圆轴所需直径。 80 kN2mmm5 . 05 . 03 . 0kNkN25zkNy5DBCAxkNkN125kNkNkN1 . 21 . 97kNkN5

39、 . 45 .12mkNmkN5 . 15 . 1mkNmkN05. 15 . 1mkNmkN25. 21 . 2图zM图yM图nMmkN5 . 1解解 （1）外力简化）外力简化 将轮上带的张力向截面形心简化，将轮上带的张力向截面形心简化，并考虑到轮子的重力。轴的计算简图并考虑到轮子的重力。轴的计算简图如图示。如图示。C、D 处的约束反力求出后处的约束反力求出后也标在计算简图上。也标在计算简图上。（2）内力分析）内力分析 根据计算简图，绘制扭矩图及垂根据计算简图，绘制扭矩图及垂直平面与水平平面内的弯矩图。直平面与水平平面内的弯矩图。 mkNMC58. 21 . 25 . 122mkNMB49.

40、 205. 125. 222 由内力图分析可知，由内力图分析可知，C、B 截面截面可能是危险截面，两截面上的合成可能是危险截面，两截面上的合成弯矩分别为弯矩分别为 kN2mmm5 . 05 . 03 . 0kNkN25zkNy5DBCAxkNkN125kNkNkN1 . 21 . 97kNkN5 . 45 .12mkNmkN5 . 15 . 1mkNmkN05. 15 . 1mkNmkN25. 21 . 2图zM图yM图nMmkN5 . 1 C 截面为危险截面，截面为危险截面，该截面上该截面上的内力为的内力为 mkNMMC58. 2mkNMn5 . 1扭矩扭矩 弯矩弯矩 kN2mmm5 . 0

41、5 . 03 . 0kNkN25zkNy5DBCAxkNkN125kNkNkN1 . 21 . 97kNkN5 . 45 .12mkNmkN5 . 15 . 1mkNmkN05. 15 . 1mkNmkN25. 21 . 2图zM图yM图nMmkN5 . 1根据第三强度理论的强度条件根据第三强度理论的强度条件223 nrMMW圆轴所需的抗弯截面模量为圆轴所需的抗弯截面模量为 366232322103 .371080)105 .1 ()1058.2mMMWn（圆轴所需直径为圆轴所需直径为 132327.2 10Wdm mkNMMC58. 2mkNMn5 . 1扭矩扭矩 弯矩弯矩危险截面危险截面（

42、3）设计截面）设计截面二、建立变形协调方程，求出多余约二、建立变形协调方程，求出多余约 束反力。束反力。 由由 C 处的约束情况可知变形条件为处的约束情况可知变形条件为 ：00C xC y 解解 一、解除多余约束，使超静定一、解除多余约束，使超静定问题化简成如所示。问题化简成如所示。 为多余为多余约束反力。约束反力。 cycxFF ,例例 求图示超静定刚架的约束反力，求图示超静定刚架的约束反力， 并绘并绘 FS、M 图（图（轴力影响不计轴力影响不计）。）。qBCAEIEIllqBCAEIEIllxxcxFcyFAxFAyFAMqBCAEIEIllxxcxFcyFAxFAyFAM2201.20C

43、ClCxCql xXxY lxUdxXEI cxFcyFcxFBC段：段： 21( ),0,;2CCCM xM xM xqxY xxXY cxFcyFcyFAB段：段： 21( ),2( )( ),CCCCM xqlX xY lM xM xxlXY cxFcyFcxFcyF32320011220CyCCCCllUYqxY xqlX lxY ldxdxEIEI cyFcyFcxFcyF联立求解得：联立求解得： 32837CCXqlYql cxFcyF2201.20CClCxCql xXxY lxUdxXEI cxFcyFcxF32320011220CyCCCCllUYqxY xqlX lxY l

44、dxdxEIEI cyFcyFcxFcyF1110324CCXYql (1)(2) 1430238CCXYql 化简得：化简得： cxFcxFcyFcyF 22220,3280,4,70,133272828AACAAAXXqlYYYqlYqlMqlMqlqlql cyFAyFAxFAyF0ixF0iyF 32837CCXqlYql cxFcyFqBCAEIEIllxxcxFcyFAxFAyFAM三、求出其余约束反力三、求出其余约束反力四、绘四、绘 FS 、M 图图qBCAEIEIllxxcxFcyFAxFAyFAMql74ql73ql283FS 图图M 图图2141ql2281ql2499ql

45、 例例3 结构受力如图结构受力如图a 所示，所示，CD柱由柱由Q235钢制成，钢制成，E=200GPa，p=200MPa，许用应力，许用应力=120MPa。柱的截面积为。柱的截面积为a =60mm 的正方形。的正方形。试求：（试求：（1）当）当F=40kN 时，时，CD柱的稳定安全系数柱的稳定安全系数n；（；（2）如设计要求）如设计要求稳定安全系数稳定安全系数nw=3，结构的许用载荷，结构的许用载荷F；（；（3）用）用系数法计算结构系数法计算结构的许用载荷。的许用载荷。 解解 （1）计算）计算CD柱的内力和外力柱的内力和外力F的关系的关系 由平衡条件可知（见图由平衡条件可知（见图b）。）。 0

46、iAMNCDFF41 （2）计算）计算CD柱的临界力柱的临界力24,12aAaImaaaAIi23241073. 11210601212/13mmACBDm3F)aFNCDFACB)b 因为因为 所以所以CD柱属细长杆，用欧拉公柱属细长杆，用欧拉公式计算临界力式计算临界力,pKNlEIFcr6.23631106012110200212492223 .991020010200,73. 11073. 131693PpEil 注意注意：此安全系数即为此安全系数即为CD柱工作时的安全系数。柱工作时的安全系数。 （3） 确定确定CD 柱的稳定安全系数柱的稳定安全系数 因为因为 FNCD=4F=160kN

47、，所以，所以CD 柱的稳定柱的稳定安全系数为安全系数为 48.11606 .236NCDcrFFn13mmACBDm3F)aFNCDFACB)b（4） 安全系数法计算许用载荷（安全系数法计算许用载荷（nw=3） 由由CD 柱的稳定条件柱的稳定条件KNnFFFwcrcrNCD9 .7836 .236再由再由 NCDFF41 KNFFNCD7 .1949 .784 （5） 用用 系数法计算许用载荷系数法计算许用载荷 因因 ，查表得，查表得1732355. 0 KNAFFcrNCD102101201060602355. 066 KNFFNCD4 .254102413mmACBDm3F)aFNCDFA

48、CB)b 讨论讨论上述计算所得的许用载荷分别为上述计算所得的许用载荷分别为19.7kN和和25.4kN，这是一个矛盾的，这是一个矛盾的结果吗？结果吗？许用载荷倒底是许用载荷倒底是19.7kN，还是，还是25.4kN？这里应当指出的是，？这里应当指出的是，系数表系数表中的稳定安全系数中的稳定安全系数nw不是一个定值，它是随不是一个定值，它是随值的变化而改变的量。值的变化而改变的量。而稳定安全系数法中的安全系数而稳定安全系数法中的安全系数nw是一个规定的特定值，他们之间是一个规定的特定值，他们之间没有关系，是两种方法中各自采用的安全系数。没有关系，是两种方法中各自采用的安全系数。正因为如此，用正因

49、为如此，用系数法计算的结果不能与用安全系数法所得的结果系数法计算的结果不能与用安全系数法所得的结果进行比较。进行比较。例题 简易起重架由两圆钢杆组成，杆AB： ，杆AC： ,两杆材料均为Q235钢, ,规定的强度安全系数，稳定安全系数，试确定起重机架的最大起重量。mmd301mmd202MPaGPaEs240,20060,1000p2sn3stnmaxFF45A21CB0.6m解解: 、受力分析AF1NF2NF)()(221压，拉FFFFNN2、由杆AC的强度条件确定 。maxF111AFNssnssnAF21KN7 .263、由杆AB的稳定条件确定 。maxFstNcrnFFn2F45A21

50、CB0.6m22il柔度柔度:4/6 . 012d80因此因此2crcrAF2)(AbaKN47.151226410)8012. 1304(dAF1NF2NFF45A21CB0.6mstcrNnFFF2347.151KN5 .50所以起重机架的最大起重量取决于杆AC的强度，为KNF7 .26max 讨论讨论上述计算所得的许用载荷分别为上述计算所得的许用载荷分别为19.7kN和和25.4kN，这是一个矛盾的，这是一个矛盾的结果吗？结果吗？许用载荷倒底是许用载荷倒底是19.7kN，还是，还是25.4kN？这里应当指出的是，？这里应当指出的是，系数表系数表中的稳定安全系数中的稳定安全系数nw不是一个