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1、热力学习题课热力学习题课2006.11.20基本概念和规律基本概念和规律 1 .理想气体的状态方程理想气体的状态方程.mpVRTpnkTM或2212323tpnmvn R=8 31 Jmol-1K -1 称为普适气体恒量；称为普适气体恒量； n为分子数密度。为分子数密度。 2 . 理想气体的压强公式理想气体的压强公式 3 . 理想气体的温度公式理想气体的温度公式21322tmvkT k=R/NA=1 38 10 -23 JK -1 称为玻尔兹曼恒量；称为玻尔兹曼恒量； 物质分子每个自由度平均动能为物质分子每个自由度平均动能为:kT212mM iERTM3/222( )4exp()22mmvf

2、vvkTkT其中其中 i=t+r+2s,而而t、r、s分别为分子的平动、转动、振动自由度。分别为分子的平动、转动、振动自由度。速率分布速率分布 曲线：曲线：f(v)v0( )vdNf v dvNmkTvp2 最概然速率最概然速率mkTvvvfv 8d0)(平均速率平均速率mkTvvfvv3d21022 /)(方均根速率方均根速率vndZ22 平均碰撞频率平均碰撞频率平均自由程平均自由程pdkTnd22221 RTbVVap )(2a,b,的修正意义的修正意义三个速率的物理意三个速率的物理意义及它们的用途义及它们的用途AEQAEEQddd,12 11.摩尔热容摩尔热容ddQCT 理想气体理想气体

3、等容等容摩尔热容摩尔热容: 理想气体理想气体等压等压摩尔热容摩尔热容:RiCV2 RiCp22 迈耶公式迈耶公式:RCCVp 比热容比比热容比:VpCC VPEQddd 热学中的能量守恒，是普适的！热学中的能量守恒，是普适的！对于对于准静态准静态过程：过程：常量Tp常量TV常量pV常量pV常量TV1常量Tp1常量npV)(12TTCMMVmol0)(12TTCMMVmol)(12TTCMMVmol)(12TTCMMVmol)(12TTCMMVmol)(12TTCMMpmol)()(1212TTRMMVVpmol或2112lnlnppRTMMVVRTMMmolmol或2112lnlnppRTMM

4、VVRTMMmolmol或001)(221112VpVpTTCMMVmol或12211nVpVp 12.循环过程循环过程 热机效率热机效率 致冷系数致冷系数 热机效率热机效率:致冷系数致冷系数: 1211QQQA 2122QQQAQw 13.卡诺循环卡诺循环 121TTc pV0T1T2abcd212TTTwc AQQ 21热力学第一定律的应用是重点，请同学们熟练掌握。热力学第一定律的应用是重点，请同学们熟练掌握。14.热力学第二定律热力学第二定律开尔文表述开尔文表述克劳修斯表述克劳修斯表述一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的，一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆的，而且各种不可逆过

5、程是相互关联的而且各种不可逆过程是相互关联的。自发的方向自发的方向微观粒子热运动无序度小微观粒子热运动无序度小能量品质高能量品质高微观粒子热运动无序度大微观粒子热运动无序度大包含微观状态数少的态包含微观状态数少的态包含微观状态数多的态包含微观状态数多的态热力学几率小的态热力学几率小的态热力学几率大的态热力学几率大的态熵小的态熵小的态熵大的态熵大的态能量品质低能量品质低15. 玻尔兹曼熵公式玻尔兹曼熵公式16.克劳修斯熵公式克劳修斯熵公式S = k ln 2112可逆可逆TdQSSTdQdS可逆可逆 VPESTQdddd 0 S1、关于速率分布函数、关于速率分布函数,说明各式的意义说明各式的意义

6、:21(1)( )dvvNf vv21(2)( )dvvf vv21(3)( )vvNvf v dv解：由速率分布函数解：由速率分布函数( )vdNf vNdv的物理意义可以知道：的物理意义可以知道：2211()()(1)( )vN vvN vNf v dvdNN 表示在表示在v1-v2v1-v2速率区间内的速率区间内的分子数。分子数。21201(4)( )2vvm v Nf v dv(5)( )nf v dv222111(2)( )vvvvvvdNdNf v dvNN表示在表示在v1-v2v1-v2速率区间内的速率区间内的分子数占总分子数的比率。分子数占总分子数的比率。2211(3)( )v

7、vvvNvf v dvvdN222111220011(4)( )22vvvkvvvm v Nf v dvm v dNE dN表示在表示在v1-v2 v1-v2 速率区间内所有分子速率的总和。速率区间内所有分子速率的总和。表示在表示在v1-v2v1-v2速率区间内所有分子平动动能的总和。速率区间内所有分子平动动能的总和。(5)( )dNnf v dvnN表示单位体积内，分子速率在表示单位体积内，分子速率在v-v+dvv-v+dv区间内的分子数。区间内的分子数。2、图中、图中v0将速率分布曲线下的面积分为相等的两部分将速率分布曲线下的面积分为相等的两部分,试说明试说明v0的意义的意义.f(v)v0

8、v0解：根据解：根据MaxwellMaxwell速率分布函数，可以知道速率分布函数，可以知道f(v)v0v0( )dNf v dvN所以根据题意，两部分面积相等，也就所以根据题意，两部分面积相等，也就是说在是说在v0v0的两边的分子数占总分子数的的两边的分子数占总分子数的比率相同。比率相同。所以所以v v0 0的意义是：的意义是：速率大于速率大于v0的分子数的分子数=速率小于速率小于v0的分子数的分子数3 3、是否可以说、是否可以说： （1 1）“具有某一速率的分子有多少？速率刚具有某一速率的分子有多少？速率刚好为最概然速率的分子数与总分子数之比是多少？好为最概然速率的分子数与总分子数之比是多

9、少？”（2 2）“最最概然速率就是分子速率分布中最大速率值？概然速率就是分子速率分布中最大速率值？”解：解： （1 1）不可以。）不可以。因为气体分子是因为气体分子是以各种可能的速率以各种可能的速率运动着的，我们只能按照速率运动着的，我们只能按照速率区间将分子分类统计，比如说，在区间将分子分类统计，比如说，在v-v+dvv-v+dv的区间内的平均分的区间内的平均分子数为子数为Nf(v)dvNf(v)dv，这是一类分子，我们认为这类分子近似的具有，这是一类分子，我们认为这类分子近似的具有相同的速率，而谈论具有相同的速率，而谈论具有某一个确定的速率某一个确定的速率的分子有多少是根本的分子有多少是根

10、本没有意义的。没有意义的。另外，从速率分布函数的曲线所代表的物理意义也可以看出，另外，从速率分布函数的曲线所代表的物理意义也可以看出，图中任一个区间图中任一个区间v-v+dvv-v+dv曲线下的曲线下的窄条面积表示速率分布在这窄条面积表示速率分布在这一个区间内的分子数占总分子数的比率，一个区间内的分子数占总分子数的比率，而某一个确定速率对而某一个确定速率对应的是一条直线。因此，我们不能说具有某一个确定的速率的应的是一条直线。因此，我们不能说具有某一个确定的速率的分子有多少。同样的道理，也不能说分子有多少。同样的道理，也不能说“速率刚好为最概然速率速率刚好为最概然速率的分子数与总分子数之比是多少

11、的分子数与总分子数之比是多少”。（2 2）不可以。）不可以。最概然速率不是分子速率分布中的最大速率值。最概然速率不是分子速率分布中的最大速率值。“最概然最概然”的意的意思是发生的思是发生的可能性可能性最大。如果把整个速率范围分成许多相等的小最大。如果把整个速率范围分成许多相等的小区间，则区间，则分布在最概然速率所在区间的分子比率最大分布在最概然速率所在区间的分子比率最大，而分子速，而分子速率分布中最大速率应该是率分布中最大速率应该是无穷大无穷大。f(v)v04 4、MaxwellMaxwell速率分布定律的成立条件速率分布定律的成立条件（1 1）、）、气体必须由大量分子组成气体必须由大量分子组

12、成。在速率分布中的。在速率分布中的dNdN和和N N都都指的是分子数的统计平均值。在任一个瞬时实际分布在某一个指的是分子数的统计平均值。在任一个瞬时实际分布在某一个速率区间内的分子数，一般来说是与统计平均值有偏差的，偏速率区间内的分子数，一般来说是与统计平均值有偏差的，偏差时大时小，这种对于统计规律的偏离现象叫做差时大时小，这种对于统计规律的偏离现象叫做涨落现象涨落现象，如，如果按照速率分布律推算出分布在某一个速率区间内的分子数的果按照速率分布律推算出分布在某一个速率区间内的分子数的统计平均值为统计平均值为N N，若，若N N越大，则涨落现象越不显著，反之，越大，则涨落现象越不显著，反之，就越

13、明显，统计规律失去意义。因此就越明显，统计规律失去意义。因此MaxwellMaxwell速率分布律只对大速率分布律只对大量分子组成的体系才成立。量分子组成的体系才成立。（2 2）、）、气体必须处于平衡态气体必须处于平衡态。如果气体不处于平衡态，那么。如果气体不处于平衡态，那么分子的速率分布就不遵从分子的速率分布就不遵从MaxwellMaxwell速率分布律，而且没有确定速率分布律，而且没有确定的规律。气体从非平衡态达到平衡态的过程是通过分子间的规律。气体从非平衡态达到平衡态的过程是通过分子间碰撞碰撞来实现，来实现，分子间的碰撞分子间的碰撞是使分子达到平衡状态并且保持确定分是使分子达到平衡状态并

14、且保持确定分布的决定因素。布的决定因素。例例1 1、一个密闭的容器中，有一个导热不漏气的可移动的活塞把、一个密闭的容器中，有一个导热不漏气的可移动的活塞把容器分隔成两部分。最初，活塞位于容器的中央，即容器分隔成两部分。最初，活塞位于容器的中央，即l l1 1=l=l2 2，如，如图所示。当两侧分别充以图所示。当两侧分别充以1atm1atm，0 0C C的氢气和的氢气和2atm2atm，100100C C的氧的氧气后，问平衡时活塞将在什么位置（以气后，问平衡时活塞将在什么位置（以l l1 1/l/l2 2表示）。表示）。(1atm=1.013(1atm=1.01310105 5) )l1l2H2

15、p1,T1O2p2,T2解：设活塞的横截面积为解：设活塞的横截面积为S S，开始的时候，两种气体的状态方程，开始的时候，两种气体的状态方程分别为：分别为：分析：题中给出氢气和氧气的状态参量只分析：题中给出氢气和氧气的状态参量只有压强和温度，而质量和体积是未知的参有压强和温度，而质量和体积是未知的参数。开始时，他们的体积相等，由理想气数。开始时，他们的体积相等，由理想气体方程可以得到氢气和氧气的质量之比。体方程可以得到氢气和氧气的质量之比。当最终两种气体达到平衡时，满足力学条当最终两种气体达到平衡时，满足力学条件，两边压强相等。由于活塞是导热的不件，两边压强相等。由于活塞是导热的不漏气，所以满足

16、另一个平衡条件是温度相漏气，所以满足另一个平衡条件是温度相等，这样就可以得到活塞的平衡位置。等，这样就可以得到活塞的平衡位置。11 11,122 22,2molmolMpl SRTMMp l SRTM1111,12222, 2m o lm o lMp l SR TMMp l SR TM12ll1 2,1122 1,2molmolpT MMMp TM由初始条件，由初始条件，所以，可以得到：所以，可以得到：当两种气体最终达到平衡时，他们的状态方程为：当两种气体最终达到平衡时，他们的状态方程为：1111,12222, 2m o lm o lMpl SR TMMplSR TM根据平衡条件：根据平衡条件

17、：1212ppTT，所以所以1,21 2,1,211 222,12 1,2,12 1551.013 10(273 100)0.6832 1.013 10273molmolmolmolmolmolM MpT MMlpTlM Mp TMMp T例例2 2、容积为、容积为40L40L的钢瓶中储存有氧气。如果氧气的温度为的钢瓶中储存有氧气。如果氧气的温度为2727 ，压强为压强为50atm50atm。试用。试用van der Waalsvan der Waals方程计算钢瓶中氧气的量（即方程计算钢瓶中氧气的量（即摩尔数）。已知摩尔数）。已知a=0.1378Pa.m/mola=0.1378Pa.m/mo

18、l2 2，b=3.183b=3.1831010-5-5m m3 3/mol/mol。分析：用分析：用van der Waalsvan der Waals方程求解氧气的量的时候由于方程是方程求解氧气的量的时候由于方程是一个三次方程，求解比较困难。可以采用逐步趋近法。一个三次方程，求解比较困难。可以采用逐步趋近法。解：由理想气体状态方程可以得到：解：由理想气体状态方程可以得到：5350 1.013 1040 10818.31 (27327)pVmolRT2() ()paVbRTV得到一个气体的量的估计值。得到一个气体的量的估计值。由由van der Waalsvan der Waals方程：方程：

19、可以写成：可以写成：252353() ()50 1.013 100.1378 () (40 103.183 10)40 108.31 (27327)paVbVRT第一次试算，把第一次试算，把=81mol =81mol 代入上面式子的右边，可以得到左边代入上面式子的右边，可以得到左边的的=84.5mol=84.5mol。第二次试算，把。第二次试算，把=84.5mol=84.5mol代入，得到代入，得到=85mol=85mol，第三次试算，把，第三次试算，把=85mol=85mol代入，进一步算得结果也代入，进一步算得结果也是是=85mol=85mol。因此钢瓶中的氧气的量为。因此钢瓶中的氧气的量

20、为85mol85mol。例例3 3、一绝热容器，体积为、一绝热容器，体积为2V2V0 0，由绝热板将其分隔成相等的两部，由绝热板将其分隔成相等的两部分分A A和和B B，如图所示。设，如图所示。设A A内贮有内贮有1mol1mol的单原子分子的气体，的单原子分子的气体，B B内贮内贮有有2mol2mol的双原子分子的气体，的双原子分子的气体，A A、B B两部分的压强均为两部分的压强均为p p0 0。如果把。如果把两种气体都看作理想气体。现在抽去绝热板，求两种气体混合后两种气体都看作理想气体。现在抽去绝热板，求两种气体混合后达到平衡状态时的温度和压强。达到平衡状态时的温度和压强。AB分析：一定

21、量理想气体的内能是温度的单值函数。分析：一定量理想气体的内能是温度的单值函数。当抽去绝热板后，因为容器是绝热的，所以两种当抽去绝热板后，因为容器是绝热的，所以两种气体混合后的内能等于混合前两种气体的内能之气体混合后的内能等于混合前两种气体的内能之和，即内能保持不变，由此可以计算出混合气体和，即内能保持不变，由此可以计算出混合气体的温度。再由理想气体的状态方程可以求出压强。的温度。再由理想气体的状态方程可以求出压强。解：混合前，两种气体的内能为：解：混合前，两种气体的内能为：003322AAAERTp V005522BBBERTp V因此两种气体的总内能为：因此两种气体的总内能为：1000003

22、5422ABEEEp Vp Vp V23535131222222ABERTRTRTRTRT 12001342EEp VRT设混合气体的温度为设混合气体的温度为T T，其内能为：，其内能为：因为混合前后内能不变，所以因为混合前后内能不变，所以所以所以00813p VTR由理想气体状态方程可以得到压强为：由理想气体状态方程可以得到压强为：00008()1213213ABp VRRTRppVV0( )vf v dv求得v2220( )vv f v dvv用求出在统计方法和气体分子速率分布律这一部分中，给定分布函数在统计方法和气体分子速率分布律这一部分中，给定分布函数f(vf(v) )，可以用，可以用

23、( )0pdf vvv用求出最概然速率2112( )vvNf v dvvv用求出速率在区间内的分子数0如果分布函数中有待定常数时，需要用到归一化条件f(v)dv=1求出待定常数。例例4 4、设由、设由N N个气体分子组成的热力学系统，其速率分布函数为：个气体分子组成的热力学系统，其速率分布函数为：00() (0)( )0A vv vvvf v其分布曲线图如图所示。求其分布曲线图如图所示。求： （1 1）分）分布函数中的常数布函数中的常数A A；（；（2 2）分子的最概然）分子的最概然速率；速率；（3 3）分子的平均速率和方均根速率；）分子的平均速率和方均根速率；（4 4）分子在（）分子在（0-

24、0.30-0.3）v v0 0 之间的分之间的分子数。子数。vf(v)v0O分析：分布函数中的常数可以由归一化条件求得。在此基础上，可以求得各种速分析：分布函数中的常数可以由归一化条件求得。在此基础上，可以求得各种速率和某个区间内的分子数。率和某个区间内的分子数。解解： （1）由归一化条件，由归一化条件，0( )1f v dv0003300000011( )( )0()132vvvf v dvf v dvdvA vv vdvAvAv 306Av可以得到：可以得到：解得：解得：所以所以0306( )()f vvv vv （2 2）由）由( )0pv vdf vdv可以得到：可以得到：320012

25、60pvvv所以所以012pvv（3 3）平均速率为：）平均速率为：0200300061( )()2vvvf v dvvv v dvvv0223200300063( )()10vvv f v dvvv v dvvv220030.5510vvv所以，方均根速率为：所以，方均根速率为：（4 4）由速率分布函数）由速率分布函数( )dNf vNdv可以得到：可以得到：000.30.3030006( )()0.216vvNdNNf v dvNvv vdvNv即：速率在（即：速率在（0-0.3)v0-0.3)v0 0之间的分子数占总分子数的之间的分子数占总分子数的21.6%21.6%。热力学第一定律的应

26、用热力学第一定律的应用应用热力学第一定律时，要计算功、热量和内能等，计算时要认应用热力学第一定律时，要计算功、热量和内能等，计算时要认清过程，初态和终态的状态参量是否齐全，并且要注意功、热量、清过程，初态和终态的状态参量是否齐全，并且要注意功、热量、内能增量内能增量 正负的规定以及统一计量单位。正负的规定以及统一计量单位。例例5 5、2mol2mol的氢气在温度为的氢气在温度为300K300K时的体积为时的体积为0.05m0.05m3 3，经过以下三，经过以下三种不同的过程：种不同的过程： （1 1）等压膨胀，（）等压膨胀，（2 2）等温膨胀，（）等温膨胀，（3 3）绝热）绝热膨胀；最后体积都

27、变成膨胀；最后体积都变成0.25m0.25m3 3。试分别计算这三种过程中氢气。试分别计算这三种过程中氢气的内能增量、对外做的功和吸收的热量。的内能增量、对外做的功和吸收的热量。分析：一定量的气体经过不同的过程膨胀到相同的体积，由于各过程的最分析：一定量的气体经过不同的过程膨胀到相同的体积，由于各过程的最终温度不同，所以各过程中的内能增量、吸收热量等各不相同。在计算出终温度不同，所以各过程中的内能增量、吸收热量等各不相同。在计算出各过程的最终温度后，应用各自的公式，就可以求出所求的量。各过程的最终温度后，应用各自的公式，就可以求出所求的量。解：解： （1 1）等压膨胀：）等压膨胀：122211

28、21VVVTTTTV所以，系统对外做的功为：所以，系统对外做的功为：22121111()()()pVAp VVR TTRTTV221211114()()()0.252 8.31 (1) 3001.99 100.05pVAp VVR TTRTTVJ2,2111147()()270.2528.31 (1) 3006.98 1020.05pp mVQCTTRTTVJ2,2111145()()250.2528.31 (1) 3004.99 1020.05V mVECTTRTTVJ吸收的热量：吸收的热量：内能增量为：内能增量为：（2 2）等温过程）等温过程0E32110.25ln2 8.31 300 l

29、n8.02 100.05TVARTJV38.02 10TTQAJ11111122212()VVTVTTTV（3 3）绝热过程：）绝热过程：0QQ 11,21121.4 135()()1250.0528.31 ()1 3005.91 1020.25QV mVAECTTRTVJ 例例6 6、如图所示，、如图所示，1mol1mol双原子分子理想气体，从状态双原子分子理想气体，从状态A A（p p1 1，V V1 1) )沿着沿着p-Vp-V图所示的直线变化到状态图所示的直线变化到状态B B（p p2 2，V V2 2）。求：）。求： （1 1）气体的内能）气体的内能增量；（增量；（2 2）气体对外界

30、所做的功；（）气体对外界所做的功；（3 3）气体吸收的热量。）气体吸收的热量。ABpVOV1p1V2p2分析：由分析：由p-Vp-V图可见，图可见，ABAB过程延长线是通过原点的过程延长线是通过原点的直线，所以可以有直线，所以可以有p p1 1/V/V1 1=p=p2 2/V/V2 2。由理想气体状态方。由理想气体状态方程可以确定程可以确定A A、B B状态的温度，从而可以很容易得到状态的温度，从而可以很容易得到气体的内能增量。气体对外做功可以由图象的面积气体的内能增量。气体对外做功可以由图象的面积得到。从得到。从p pV V图上可以看到，这个过程既不是等值图上可以看到，这个过程既不是等值过程

31、也不是绝热过程，所以该过程中气体吸收的热过程也不是绝热过程，所以该过程中气体吸收的热量只能由热力学第一定律求得。量只能由热力学第一定律求得。解：由于该过程的延长线通过原点，所解：由于该过程的延长线通过原点，所以有：以有：12122112pppVp VVV即：由理想气体状态方程，可以得到：由理想气体状态方程，可以得到：1 12212,pVp VTTRR（1 1）系统内能的增量为：）系统内能的增量为：221 1,21221 155()()()22V mp VpVECTTRp VpVRR12211221221 1221 1111()()()()222AppVVpVp Vp VpVp VpVApdV（

32、2 2）由于）由于A-BA-B的过程是膨胀过程，所以系统对外做功，由的过程是膨胀过程，所以系统对外做功，由p-p-V-V图中过程曲线下方包围的面积可以得到系统对外所做的功为：图中过程曲线下方包围的面积可以得到系统对外所做的功为：气体所做的功也可以由做功的计算公式得到：气体所做的功也可以由做功的计算公式得到：因为过程方程为：因为过程方程为：11ppVV恒量所以系统对外做功为：所以系统对外做功为：2211221121221 11111()()22VVVVppApdVVdVVVp VpVVV（3 3）由热力学第一定律可以得到气体吸收热量为：）由热力学第一定律可以得到气体吸收热量为：221 1221

33、1221 151()()3()22QEAp VpVp VpVp VpV 22()()TTdpdCCpVpdVdV VVVV (1)(1)()()SSdpdCCpVpdVdV VVVV 例例7 7、用比较曲线斜率的方法证明在、用比较曲线斜率的方法证明在p-Vp-V图上相交于任一点的图上相交于任一点的理想气体的绝热线比等温线陡。理想气体的绝热线比等温线陡。证明：过证明：过p-Vp-V图上任一点（图上任一点（p,Vp,V）点，等温线的斜率为：）点，等温线的斜率为：绝热线的斜率为：绝热线的斜率为：所以所以,()()1(1)pSTvV mcRdpdpdVdVcC 气体比热容）由此可见，绝热线比等温线陡。

34、由此可见，绝热线比等温线陡。循环过程以及热效率和致冷系数的计算循环过程以及热效率和致冷系数的计算循环过程的特点是系统的内能增量循环过程的特点是系统的内能增量E=0E=0，所以只要计算系统在，所以只要计算系统在各过程中的热量交换和所做的功，但要分清系统是吸收热量还各过程中的热量交换和所做的功，但要分清系统是吸收热量还是放出热量，对外做正功还是负功。是放出热量，对外做正功还是负功。正循环（热机）效率的计算公式正循环（热机）效率的计算公式2111QAQQ 注意注意A A为工作物质在一次循环中对外界所做的净功，为工作物质在一次循环中对外界所做的净功，Q Q1 1为工作物质为工作物质在一次循环中从外界所

35、吸收的总热量，在一次循环中从外界所吸收的总热量，Q Q2 2为系统向外界所放出的为系统向外界所放出的总热量，有时候按照公式计算放热过程的热量时，经常得到负值，总热量，有时候按照公式计算放热过程的热量时，经常得到负值，但在计算效率的时候应该取绝对值。这两种计算公式采用哪一个但在计算效率的时候应该取绝对值。这两种计算公式采用哪一个方便，要根据问题来选择。方便，要根据问题来选择。2212QQwAQQ负循环（致冷机）致冷系数的计算：负循环（致冷机）致冷系数的计算：例例8 8、2.5mol2.5mol的氧气作如图所示的循环过程，其中的氧气作如图所示的循环过程，其中abab为等压过程，为等压过程，bcbc

36、为等体过程，为等体过程，caca为等温过程。已知为等温过程。已知p pa a=4.15=4.15* *10105 5PaPa，V Va a=2.0=2.0* *1010- -2 2m m3 3，V Vb b=3.0=3.0* *1010-2-2m m3 3，求此循环的效率。，求此循环的效率。abpVcO分析：求出各过程中系统交换的热量和对外分析：求出各过程中系统交换的热量和对外做的功，然后计算循环的效率。首先要知道做的功，然后计算循环的效率。首先要知道各点的状态参量。各点的状态参量。解：由理想气体状态方程可以得到：解：由理想气体状态方程可以得到：524.15 102.0 104002.5 8.

37、31aap VKRaT223.0 104006002.0 10abbbaabaVVVTTKTTV由由abab等压过程可以得到，等压过程可以得到，（1 1）abab等压过程中，等压过程中，4,7() 2.58.31 (600 400) 1.45 102abpmbaQCTTJ 系统对外做功：系统对外做功：5223()4.15 10(3.0102.010)4.15 10ababaApVVJ3()2.5 8.31 (600400)4.15 10abbaAR TTJ0bcA 或者：或者：（2 2）bcbc为等体过程：为等体过程：4,5()2.58.31 (400600)1.04 102bcV mcbQC

38、TTJ 负号表示负号表示bcbc的过程是一个放热过程。的过程是一个放热过程。（3 3）caca过程是一个等温过程：过程是一个等温过程：32ln2.5 8.31 400 ln3.37 103acacacVQARTJV caca过程也是一个放热过程，外界对系统做功。过程也是一个放热过程，外界对系统做功。终上所述，在这个循环过程中，系统净吸收热量：终上所述，在这个循环过程中，系统净吸收热量：411.45 10abQQJ43421.04 103.37 101.377 10bccaQQQJ3334.15 103.37 100.78 10abcaAAAJ净放热为：净放热为：系统对外做的净功为：系统对外做的

39、净功为：所以该循环的效率为：所以该循环的效率为：3410.78 105.0%1.45 10AQ或者或者42411.377 10115.0%1.45 10QQ 例例9 9、一定量的氮气（视为理想气体），经历如图所示的循环过、一定量的氮气（视为理想气体），经历如图所示的循环过程，其中程，其中ab,cd,efab,cd,ef都是等温过程，温度分别为都是等温过程，温度分别为700K700K，400K400K和和300K300K；bc,de,fabc,de,fa都是绝热过程；而都是绝热过程；而V Vb b=4V=4Va a，V Vd d=2V=2Vc c。求该循环的效率。求该循环的效率。分析：这个循环过

40、程其实就是经历了等温和分析：这个循环过程其实就是经历了等温和绝热过程，在绝热过程中没有热量交换，只绝热过程，在绝热过程中没有热量交换，只要算出等温过程中交换的热量，就可以得到要算出等温过程中交换的热量，就可以得到循环的效率。循环的效率。解法一：解法一：abab过程气体吸收热量，过程气体吸收热量，14ln700 ln1400ln2baabaaVVQRTRRVVabcdefpVOVaVbVcVdT1=700KT2=400KT3=300K14ln700 ln1400ln2baabaaVVQRTRRVV22ln400 ln400ln2dccdccVVQRTRRVV3ln300 ln300 lnffee

41、feefVVVQRTRRVVV cdcd过程气体也是吸收热量：过程气体也是吸收热量：efef过程气体放出热量为：过程气体放出热量为：由绝热方程由绝热方程TVTV-1-1= =恒量可以得到：恒量可以得到：1112bcTVTV1123deTVTV1113afTVTVVabcdefpOVaVbVcVdT1=700KT2=400KT3=300K111211231113bcdeafT VTVTVTVT VTVebdfacVV VVVV42300 ln300 ln()300 ln()300 ln8900ln2ebdaceffacacVV VVVQRRRVVVVVRR于是可以得到：于是可以得到：所以所以ef

42、ef过程气体放出热量为：过程气体放出热量为：所以在整个循环过程中吸收热量为：所以在整个循环过程中吸收热量为：1abcdQQQ放出热量为：放出热量为：2efQQ所以该循环的效率为：所以该循环的效率为：21900ln21150%(1400400)ln2QRQR 解法二：解法二：abcdefpVOVaVbVcVdT1=700KT2=400KT3=300Kg将绝热线将绝热线bcbc延长交等温线延长交等温线efef于于g g点。构成两个卡点。构成两个卡诺循环。对于卡诺循环诺循环。对于卡诺循环abgfaabgfa，过程，过程abab吸收的吸收的热量为：热量为：分析：如果把绝热线分析：如果把绝热线bcbc延

43、长与等温线延长与等温线efef相交与相交与g g点，这样就可点，这样就可以把这个循环看成由两个卡诺循环组成。以把这个循环看成由两个卡诺循环组成。14ln700 ln1400ln2baabaaVVQRTRRVV313001400ln2600ln2700gfabTQQRRT22ln400 ln400ln2dccdccVVQRTRRVV过程过程gfgf放出热量为：放出热量为：对于卡诺循环对于卡诺循环cdegccdegc，过程，过程cdcd吸收热量：吸收热量：过程过程egeg放出热量：放出热量：32300400ln 2300ln 2400egcdTQQRRT所以该系统在整个循环过程中吸收的热量为：所以

44、该系统在整个循环过程中吸收的热量为：11800ln2abcdQQQR2900ln2gfegQQQR放出的热量为：放出的热量为：所以，该循环的效率为：所以，该循环的效率为：21900ln21150%1800ln2QRQR 例例1010、证明：、证明： （1 1）一条等温线与一条绝热线不可能有两个交点；）一条等温线与一条绝热线不可能有两个交点；（2 2）两条绝热线不可能相交。）两条绝热线不可能相交。分析：这类问题一般可以用反证法证明。假定分析：这类问题一般可以用反证法证明。假定一条等温线与一条绝热线有两个交点，则构成一条等温线与一条绝热线有两个交点，则构成一个循环，分析这个循环是否符合热力学第二一

45、个循环，分析这个循环是否符合热力学第二定律，同样的方法可以证明第二个命题。定律，同样的方法可以证明第二个命题。VOpacbd等温线等温线绝热线绝热线解：解： （1 1）如图所示，设）如图所示，设acbacb为等温线，为等温线，abdabd为绝热线，它们相为绝热线，它们相交与交与a a、b b两点，于是构成一个循环过程。这个循环过程可以由两点，于是构成一个循环过程。这个循环过程可以由初态从等温过程（热源）吸收热量，对外界做功，再通过绝热初态从等温过程（热源）吸收热量，对外界做功，再通过绝热过程又回到初态。这种单一热源工作的循环是违背热力学第二过程又回到初态。这种单一热源工作的循环是违背热力学第二

46、定律（开尔文表述）的，因此绝热线与等温线不可能有两个交定律（开尔文表述）的，因此绝热线与等温线不可能有两个交点。点。bcaVOp绝热线绝热线等温线等温线假设两条绝热线相交于假设两条绝热线相交于a a点，如图所示。另点，如图所示。另外作一条等温线与两条绝热线分别相交于外作一条等温线与两条绝热线分别相交于b b、c c两点，从而形成一个循环两点，从而形成一个循环abcaabca，这个循环，这个循环也是由单一热源工作的循环，显然违背了热也是由单一热源工作的循环，显然违背了热力学第二定律（开尔文表述）的，所以两条力学第二定律（开尔文表述）的，所以两条绝热线不可能相交。绝热线不可能相交。熵的计算熵的计算

47、1 1）理想气体可逆过程的熵变）理想气体可逆过程的熵变（1 1）绝热过程绝热过程：因为：因为dQdQ=0=0，所以，所以0BBAAdQSST,()VV mdQCdT,()lnABBTV mVBBAV mATACdTdQTSSCTTT（2 2）等体过程等体过程：（3）等压过程：等压过程：,()pp mdQCdT,()lnABBTpp mBBAp mATAdQCdTTSSCTTT（4 4）等温过程等温过程：()lnBTAVdQRTV()lnBTTBBAAAdQQVSSRTTV2 2）不可逆过程的熵变）不可逆过程的熵变在不可逆过程的始末两种状态之间设计一个可逆过程，然后再利用已知的可在不可逆过程的始

48、末两种状态之间设计一个可逆过程，然后再利用已知的可逆过程的熵变公式就可以计算出不可逆过程的熵变。逆过程的熵变公式就可以计算出不可逆过程的熵变。例例1111、1mol1mol氢气（视为理想气体）在状态氢气（视为理想气体）在状态1 1时温度为时温度为T T1 1=300K=300K，体积，体积V V1 1=20L=20L，经过不同，经过不同的过程到达末态的过程到达末态2 2，体积，体积V V2 2=40L=40L，如图所，如图所 示。示。其中其中1 122为等温过程；为等温过程；1414为绝热过程；为绝热过程；1313和和4242为等压过程；为等压过程；3232为等体过程。为等体过程。分别计算由三

49、条路线状态分别计算由三条路线状态1 1到状态到状态2 2的熵变。的熵变。1342VpO1342VpOV1=20LV2=40LT1=300K解：解： （1 1）1321321 133是等压过程：是等压过程：231112600VVTTTKTV恒量,pp mp mdQCdTCdT（）,VV mV mdQCdTCdT（）在此过程中在此过程中3 322过程是等体过程过程是等体过程所以，所以，132132过程的熵变为：过程的熵变为：32321313,32,13()()lnlnTTTTpp mV mVp mV mTTTTdQCdTCdTdQTTSCCTTTTTT因为因为T T1 1=T=T2 2，所以：，所

50、以：3132,1()lnln25.76 /p mV mTSCCRJ KT 迈耶公式迈耶公式1342VpOV1=20LV2=40LT1=300K（2 2）1 122过程为过程为等温过程等温过程：()TdQdApdv2211(2)1 11 1212(1)11121()lnlnln25.76/VVTVVdQpVpVVpdvdVSTTTVTVVRRJ KV0,0dQS（3 3）1 144为为绝热过程绝热过程：4 422为等压过程：为等压过程：,pp mp mdQCdTCdT（）所以所以1 421 42过程的熵变为：过程的熵变为：2244,21142,44()lnlnTTpp mp mp mTTdQCd