江苏专版2019届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入分层演练直击高考（文科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 数系的扩充与复数的引入 1 (2018 连云港模拟 )复数 (1 i)2的虚部是 _ 解析 (1 i)2 2i， 所以该复数的虚部为 2. 答 案 2 2 复数 z 满足 (z 3)(2 i) 5(i 为虚数单位 )， 则 z 的共轭复数 z-为 _ 解析 由 (z 3)(2 i) 5， 得 z 3 52 i 3 5（ 2 i）（ 2 i）（ 2 i） 3 2 i 5 i， 所以 z- 5 i. 答案 5 i 3 设复数 z 的 共轭复数为 z-， 若 z 1 i(i 为虚数单位 )， 则 z-z z2的值为 _ 解析 依题意得 z-z z2 1

2、i1 i (1 i)2 i2 i1 i 2i i 2i i. 答案 i 4 在复平面内 O 为坐标原点 ， 复数 1 i 与 1 3i 分别对应向量 OA 和 OB ， 则 |AB |_. 解析 由复数的几何意义知 ， OA (1， 1)， OB (1， 3)， 则 AB OB OA (1， 3) (1，1) (0， 2)， 所以 |AB | 2. 答案 2 5 (2018 云南省师大附中月考改编 )若复数 z 1 2ii 的共轭复数是 z- a bi(a， bR)， 其中 i 为虚数单位 ， 则点 (a， b)为 _ 解析 因为 z 1 2ii 2 i， 所以 z- 2 i. 答案 ( 2，

3、 1) 6 若 (a 2i)i b i， 其中 a， b R， i 是虚数单位 ， 则点 P(a， b)到原点的距离等于_ 解析 由已知 ai 2 b i，所以?a 1，b 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以点 P( 1， 2)到原点距离 |OP| 5. 答案 5 7 若 i(x yi) 3 4i， x， y R， 则复数 |x yi| _ 解析 依题意得 y xi 3 4i， 所以? y 3，x 4， 即 ?y 3，x 4， 所以 |x yi| |4 3i| 42（ 3） 2 5. 答案 5 8 设复数 z 满足 4z 2z- 3 3 i， sin icos ( R)， 则 |z

4、|的取值范围为 _ 解析 设 z a bi(a， b R)， 则 z- a bi， 代入 4z 2z- 3 3 i， 得 4(a bi)2(a bi) 3 3 i， 所以解得?a 32 ，b 12，所以 z 32 12i. |z | ? ?32 12i（ sin icos ） ? ?32 sin 2 ? ?12 cos 2 2 3sin cos 2 2sin? ? 6 . 因为 1 sin? ? 6 1， 所以 02 2sin? ? 6 4. 所以 0| z |2. 答案 0， 2 9 已知集合 M ? ?i， i2， 1i， （ 1 i）2i ， i 是虚数单位 ， Z 为整数集 ， 则集合

5、 Z M 中的元素个数是 _ 解析 由已知得 M i， 1， i， 2， Z 为整数集 ， 所以 Z M 1， 2， 即集合 Z M中有 2 个元素 答案 2 10 给出下列四个命题： 若 z C， |z|2 z2， 则 z R； 若 z C， z z， 则 z 是纯虚数； z C， |z|2=【 ;精品教育资源文库 】 = zi， 则 z 0 或 z i； 若 z1， z2 C， |z1 z2| |z1 z2|， 则 z1z2 0. 其中真命题的个数为 _ 解析 是真命题 ， |z|2 z z-， 所以 z z- z2， 所以 z 0 或 z z-， 故 z R； 是假命题 ， z 0 时不

6、成立； 是假命题 ， 因为 |z|2 z z- zi， 所以 z(z- i) 0， 故 z 0 或z i； 是假命题 ， 假如 z1 1， z2 i 时 ， z1z2 0， 但 |z1 z2| |z1 z2|. 答案 1 11 计算： (1)（ 1 i）（ 2 i）i3 ； (2)（ 1 2i）2 3（ 1 i）2 i ； (3) 1 i（ 1 i） 2 1 i（ 1 i） 2； (4) 1 3i（ 3 i） 2. 解 (1)（ 1 i）（ 2 i）i3 3 i i 1 3i. (2)（ 1 2i）2 3（ 1 i）2 i 3 4i 3 3i2 i i2 ii（ 2 i）5 1525i. (3

7、) 1 i（ 1 i） 2 1 i（ 1 i） 2 1 i2i 1 i 2i 1 i 2 1 i2 1. (4) 1 3i（ 3 i） 2 （ 3 i）（ i）（ 3 i） 2 i3 i （ i）（ 3 i）4 14 34 i. 12 已知 z 是复数 ， z 2i， z2 i均为实数 (i 为虚数单位 )， 且复数 (z ai)2在复平面内对应的点在第一象限 ， 求实数 a 的取值范围 解 设 z x yi(x， y R) 因为 z 2i x (y 2)i， 由题意得 y 2. 因为 z2 i x 2i2 i 15(x 2i)(2 i) 15(2x 2) 15(x 4)i， 由题意得 x 4

8、.所以 z 4 2i. 因为 (z ai)2 (12 4a a2) 8(a 2)i， 根据条件 ， 可知?12 4a a2 0，8（ a 2） 0， 解得 2 a 6， 所以实数 a 的取值范围是 (2， 6) 13.如图 ， 平行四边形 OABC 中 ， 质点 O， A， C 分别表示复数 0、 3 2i、 2 4i， 试求： =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)AO 表示 的复数 ， BC 表示的复数； (2)对角线 CA 所表示的复数 解 (1)因为 AO OA ， 所以 AO 所表示的复数为 3 2i， 因为 BC AO ， 所以 BC 表示的复数也是 3 2i. (2)CA OA

9、 OC ， 所以 CA 所表示的复数为 (3 2i) ( 2 4i) 5 2i. 1 定义：若 z2 a bi(a， b R， i 为虚数单位 )， 则称复数 z 是复数 a bi 的平方根根据定义 ， 则复数 3 4i 的平方根是 _ 解析 设 (x yi)2 3 4i(x， y R)， 则?x2 y2 3，xy 2， 解得?x 1，y 2 或 ?x 1，y 2. 答案 1 2i 或 1 2i 2 已知复数 z x yi， 且 |z 2| 3， 则 yx的最大值为 _ 解析 因为 |z 2| （ x 2） 2 y2 3， 所以 (x 2)2 y2 3. 由图可知 ? ?yx max 31 3

10、. 答案 3 3 已知集合 A 2， 7， 4m (m 2)i(其中 i 为虚数单位 ， m R)， B 8， 3， 且 A B?， 则 m 的值为 _ 解析 因为 A B ?， 所以 4m (m 2)i 8 或 4m (m 2)i 3， 解得 m 2. 答案 2 4 在复平面内 ， 定点 M 与复数 m （ 1 i）21 i 对应 ， 动点 Z 与复数 z x yi 对应 ， 则满足不等式 1| z m|3 的点 Z 所构成的图形的面积等于 _ 解析 m （ 1 i）21 i 2i1 i2i（ 1 i）（ 1 i）（ 1 i） 1 i， 所以满足不等式 1| zm|3 的点 Z 所构成的图形

11、是以点 ( 1， 1)为圆心 ， 分别以 1， 3 为半径的圆所围成的圆环 ，=【 ;精品教育资源文库 】 = 故 S 32 12 8 . 答案 8 5 (2018 江苏省四校联考 )复数 z 和 满足： z 2iz 2i 1 0. (1)若 - z 2i， 求 z 和 ； (2)求证：若 |z| 3， 则 | 4i|的值是一个常数 ， 并求出这个常数 解 (1)由 - z 2i ， 得 z - 2i . 代入已知条件 ， 得 ( - 2i) 2i( - 2i) 2i 1 0. 即 - 4i 2i - 5 0 ， 设 x yi(x， y R)， 代入上式 ， 有 (x yi)(x yi) 4i

12、(x yi) 2i(x yi) 5 0， 化简 ， 有 (x2 y2 6y 5) 2xi 0， 所以?x2 y2 6y 5 0，x 0， 解得?x 0，y 1或 ?x 0，y 5. 所以 i 或 5i， 从而 z i 或 z 3i. 所以 z i， i 或 z 3i， 5i. (2)由已知 ， 有 z 2i 1 2i ， 所以 |z| |2i 1| 2i| 3， 设 x yi(x， y R)代入上式 ， 有 (2y 1)2 4x2 3x2 (y 2)2, 化简 ， 有 x2 y2 8y 11 0 ， 所以 | 4i| x2（ y 4） 2 x2 y2 8y 16 27 3 3， 即 | 4i|为常数 3 3. 6 设 z 是虚数 ， z 1z， 且 10. 所以 u2 2 2 3 1， 当且仅当 a 1 1a 1， 即 a 0 时 ， u2取得最小值 1.