江苏专版2019版高考数学一轮复习第十五章圆锥曲线与方程15.3抛物线讲义.doc
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1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 15.3 抛物线 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.抛物线的定义和标准方程 1.抛物线定义的应用 2.求抛物线的标准方程 A 填空题 解答题 2.抛物线的性质 抛物线的几何性质及简单运用 A 填空题 解答题 分析解读 抛物线在近年高考中没有单独考查 ,是命题冷点 .若高考出题考查 ,试题难度也会比较低 ,会重点考查对定义的理解及几何性质的简单运用 . 五年高考 考点一 抛物线的定义和标准方程 1.(2016四川改编 ,3,5分 )抛物线 y2=4x的焦点坐标是 . 答案 (1
2、,0) 2.(2015陕西 ,14,5分 )若抛物线 y2=2px(p0)的准线经过双曲线 x2-y2=1的一个焦点 ,则 p= . 答案 2 3.(2014湖南 ,15,5分 )如图 ,正方形 ABCD和正方形 DEFG的边长分别为 a,b(a0)经过 C,F两点 ,则 = . 答案 1+ 教师用书专用 (4) 4.(2013广东理 ,20,14分 )已知抛物线 C的顶点为原点 ,其焦点 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0的距离为 .设P为直线 l上的点 ,过点 P作抛物线 C的两条切线 PA,PB,其中 A,B为切点 . (1)求抛物线 C的方程 ; (2)当点 P(x0,y0
3、)为直线 l上的定点时 ,求直线 AB的方程 ; (3)当点 P在直线 l上移动时 ,求 |AF|BF| 的最小值 . 解析 (1)依题意 ,设抛物线 C的方程为 x2=4cy,由题意易知 = 且 c0,解得 c=1. 所以抛物线 C的方程为 x2=4y. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)抛物线 C的方程为 x2=4y,即 y= x2, 求导得 y= x. 设 A(x1,y1),B(x2,y2) ,则切线 PA,PB的斜率分别为 x1, x2, 所以切线 PA 的方程为 y-y1= (x-x1),即 y= x- +y1,即 x1x-2y-2y1=0. 同理可得切线 PB 的方程为 x2
4、x-2y-2y2=0. 因为切线 PA,PB均过点 P(x0,y0),所以 x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0, 所以 (x1,y1),(x2,y2)为方程 x0x-2y0-2y=0的两组解 . 所以直线 AB 的方程为 x0x-2y-2y0=0. (3)由抛物线定义可知 |AF|=y1+1,|BF|=y2+1, 所以 |AF|BF|=(y 1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1, 联立方程 消去 x整理得 y2+(2y0- )y+ =0. 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1+y2= -2y0,y1y2= , 所以 |AF|BF|=y 1y2+(y1+y
5、2)+1= + -2y0+1. 又点 P(x0,y0)在直线 l上 ,所以 x0=y0+2, 所以 + -2y0+1=2 +2y0+5=2 + . 所以当 y0=- 时 ,|AF|BF| 取得最小值 ,且最小值为 . 考点二 抛物线的性质 1.(2017课标全国 文改编 ,12,5分 )过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F,且斜率为 的直线交 C于点 M(M在 x轴的上方 ),l为 C的准线 ,点 N在 l上且 MNl, 则 M到直线 NF 的距离为 . 答案 2 2.(2017课标全国 理 ,16,5 分 )已知 F是抛物线 C:y2=8x 的焦点 ,M是 C上一点 ,FM的延长线交 y轴于
6、点 N.若 M为 FN的中点 ,则 |FN|= . 答案 6 3.(2016浙江理 ,9,4分 )若抛物线 y2=4x上的点 M到焦点的距离为 10,则 M到 y轴的距离是 . 答案 9 4.(2014课标 改编 ,10,5分 )设 F为抛物线 C:y2=3x的焦点 ,过 F且倾斜角为 30 的直线交 C于 A,B两点 ,O为坐标原点 ,则 OAB 的面积为 . 答案 =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.(2013江西理 ,14,5分 )抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1相交于 A,B两点 ,若 ABF 为等边三角形 ,则 p= . 答案 6 6.(2017北
7、京理 ,18,14分 )已知抛物线 C:y2=2px过点 P(1,1).过点 作直线 l与抛物线 C交于不同的两点M,N,过点 M作 x轴的垂线分别与直线 OP,ON交于点 A,B,其 中 O为原点 . (1)求抛物线 C的方程 ,并求其焦点坐标和准线方程 ; (2)求证 :A为线段 BM 的中点 . 解析 本题考查抛物线方程及性质 ,直线与抛物线的位置关系 . (1)由抛物线 C:y2=2px过点 P(1,1),得 p= . 所以抛物线 C的方程为 y2=x. 抛物线 C的焦点坐标为 ,准线方程为 x=- . (2)由题意 ,设直线 l的方程为 y=kx+ (k0),l 与抛物线 C的交点为
8、 M(x1,y1),N(x2,y2). 由 得 4k2x2+(4k-4)x+1=0. 则 x1+x2= ,x1x2= . 因为点 P的坐标为 (1,1),所以直线 OP 的方程为 y=x,点 A的坐标为 (x1,x1).直线 ON的方程为 y= x,点 B的坐标为 . 因为 y1+ -2x1= = = = =0, 所以 y1+ =2x1. 故 A为线段 BM的中点 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 7.(2016课标全国 ,20,12 分 )在直角坐标系 xOy中 ,直线 l:y=t(t0) 交 y轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p0)于点 P,M关于点 P的对称点为 N,连结 O
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