第2章刚体力学课件.ppt
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- 刚体 力学 课件
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1、质元之间的距离保持不变。质元之间的距离保持不变。 mi mjcrji (理想模型理想模型)有质量没有大小和形状的点质点有质量没有大小和形状的点质点在任何情况下大小和形状都不发生变化的物体刚体在任何情况下大小和形状都不发生变化的物体刚体(理想模型理想模型)章刚体力学章刚体力学平动:用质心运动讨论平动:用质心运动讨论AA A BB B 刚体运动的两种基本形式刚体运动的两种基本形式平动刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持平动刚体在运动中,其上任意两点的连线始终保持平行。平行。质心的运动代表整个刚体的平动质心的运动代表整个刚体的平动一、刚体的平动和转动一、刚体的平动和转动转动:刚体内所有质元都绕同
2、一直线做圆周运动转动:刚体内所有质元都绕同一直线做圆周运动. 这条直线叫转轴这条直线叫转轴定轴转动:转轴固定不动的转动。定轴转动:转轴固定不动的转动。OO转轴转轴o刚体的一般运动刚体的一般运动既平动又转动:质心的平动加绕质心的转动既平动又转动:质心的平动加绕质心的转动转动平面转动平面转轴转轴参考参考方向方向Px各质元的位移、线速度、加速度一般不同,各质元的位移、线速度、加速度一般不同,但角量(角位移、角速度、角加速度)都相同但角量(角位移、角速度、角加速度)都相同.描述刚体整体的运动用角量方便。描述刚体整体的运动用角量方便。二、定轴转动的角量描述二、定轴转动的角量描述im r角速度方向规定为沿
3、轴方角速度方向规定为沿轴方向,指向用右手螺旋法则向,指向用右手螺旋法则确定。确定。 vrdtd 加速转动加速转动 与与方向一致方向一致tdd 角角速速度度大大小小角角加加速速度度大大小小减速转动减速转动方向相反方向相反 与与方向方向220limdtddtdtt 单位:单位:rad/s2rv 质元的线量与角量的关系:质元的线量与角量的关系: rdtdrdtdsv rdtdrdtdva naaan vr22 rrvan 转动的物体具有动能,其值等于各个质元的动能的总和转动的物体具有动能,其值等于各个质元的动能的总和21222121)(212121 niiiiniiiniikrmrmvmE niii
4、rmJ12221 JEk 221 mvEk 是衡量物体转动是衡量物体转动惯性的量惯性的量一、刚体定轴转动动能一、刚体定轴转动动能M im r二、转动惯量二、转动惯量质点系的转动惯量质点系的转动惯量国际单位制中转动惯量的单位为千克国际单位制中转动惯量的单位为千克米(米()转动惯量的计算转动惯量的计算2mrJ niiirmJ12)(单个质点的转动惯量单个质点的转动惯量质量连续分布的质量连续分布的刚体的转动惯量刚体的转动惯量dmrJm 2转动惯量与什么因素有关:转动惯量与什么因素有关:刚体的质量刚体的质量 质量的分布质量的分布 转轴的位置转轴的位置注注意意只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布只有
5、对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体,才能用积分计算出刚体的转动惯量的刚体,才能用积分计算出刚体的转动惯量 dmrJ2dldm dsdm dVdm 质量为质量为线分布线分布质量为质量为面分布面分布质量为质量为体分布体分布其中其中 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。线分布线分布体分布体分布面分布面分布例、求质量为、半径为的均匀圆环的转动惯量。轴与例、求质量为、半径为的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。圆环平面垂直并通过圆心。解:细圆环解:细圆环dldm Rdl LdlRdmRJ 222222mRRRdlRL 222mRdmRdmR
6、J 是可加的,所以若为薄圆筒是可加的,所以若为薄圆筒, 结果相同。结果相同。dmRdJ2 例例 求质量为、半径为、高为求质量为、半径为、高为 的均匀圆柱体的转动的均匀圆柱体的转动惯量。轴为圆柱体轴线。惯量。轴为圆柱体轴线。解:取半径为高为厚为的圆筒解:取半径为高为厚为的圆筒,dVdm drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可见,转动惯量与无关。可见,转动惯量与无关。2221mRJlRm drrl 2ZOrdr 例例. 求一质量为的均匀实心球对其一条直径为轴的求一质量为的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。转动惯量。解:一球绕轴旋转,离球心高解:一球绕轴旋转,离球心高处切
7、一厚为的薄圆盘。其半径处切一厚为的薄圆盘。其半径为为22ZRr dZZRdZrdV)(222 dZZRdVdm)(22 dmrdJ221 其体积:其体积:其质量:其质量:其转动惯量:其转动惯量:YXZORrdZdZZR222)(21 dmrdJ221 2552158mRR 334Rm dJJ RRdZZR222)(21dZZR222)(21 YXZORrdZZ 例、求长为、质量为的均匀细棒对图中不例、求长为、质量为的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。同轴的转动惯量。解:取如图坐标解:取如图坐标12/2222mLdxxJLLC 3/20202mLdxxLmdxxJLLA xdx dmrJ2平行轴定
8、理平行轴定理前例中表示相对通过质心的轴的转动惯量,前例中表示相对通过质心的轴的转动惯量, 表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行,相距。可见:平行,相距。可见:222231411212mLmLmLLmJJCA 推广上述结论,若有任一轴与过质心的轴推广上述结论,若有任一轴与过质心的轴平行,相距为,刚体对其转动惯量为,则平行,相距为,刚体对其转动惯量为,则有:有: 。这个结论称为平行轴定理。这个结论称为平行轴定理。12/2mLJC 3/2mLJA 例例. 求右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的求右图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量转动惯量 . (棒
9、长为、球半径为)棒长为、球半径为)2131LmJL 252RmJoo 2002002)(RLmJdmJJ 222)(5231RLmRmLmJooL LmOm、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩Z2FrPO转动平面转动平面1FF(2)任意方向的力任意方向的力对转轴的力矩对转轴的力矩三、转动定律三、转动定律ZFrPdOzM转动平面转动平面(1) FrMz 方向如图方向如图FdFrMz sin rFMz FFsin单位:牛单位:牛米(米(N m)2FrMz sin2rFMz iiiiamfF iiiiiiamfF sinsin 2sinsiniiiiiiiirmrfrF iiiiiiiiiiirmrfr
10、F)(sinsin2M合合外外力力矩矩0 i ifiFi im Zir 将切向分量式两边同乘以将切向分量式两边同乘以 ,irJ JM iiirmJ)(2 JM、刚体定轴转动的转动定律、刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律刚体绕定轴转动时,作用于刚体上的合外力矩等于刚体绕定轴转动时,作用于刚体上的合外力矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积。反映质点的平动惯性,反映刚体的转动惯性反映质点的平动惯性,反映刚体的转动惯性力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。dtdJJ
11、 M amF地位相当地位相当与与 J M 转动定律应用举例转动定律应用举例例例 一个质量为、半径为的定滑轮一个质量为、半径为的定滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳,(当作均匀圆盘)上面绕有细绳,绳的一端固定在滑轮边上,另一端绳的一端固定在滑轮边上,另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦,求物体由静止下落高度时处摩擦,求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。mgMmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得:mg解:解: maTmg m :对对221 MRJJTRMM:对对 Ra ABF 解:水平
12、恒力对过端的竖直轴的力矩为解:水平恒力对过端的竖直轴的力矩为 cosFlM 例例2 质量为质量为m,长为,长为l的水平匀质细杆的水平匀质细杆AB能自由地能自由地绕通过其绕通过其A端的竖直轴旋转。从某一时刻起端的竖直轴旋转。从某一时刻起, 在在B端端作用一个水平恒力作用一个水平恒力F,该力在所有的时间内总是垂,该力在所有的时间内总是垂直于杆静止时的初始位置。求杆的角速度和它从初直于杆静止时的初始位置。求杆的角速度和它从初始位置转过的角始位置转过的角 的函数关系。的函数关系。 对上式求积分对上式求积分 ABF 由转动定理有由转动定理有 cosFlM dtdJFl cosdtdJJM 231mlJ
13、221sin JFl dJddtdJdFl cos 00cosdJdFlmlF sin6 例、一个飞轮的质量为,半径为例、一个飞轮的质量为,半径为,正在以每分转的正在以每分转的转速转动。现在要制动飞轮转速转动。现在要制动飞轮(匀质圆环匀质圆环),要求在,要求在秒内使它均匀减速而最后停下来。闸瓦与飞轮之秒内使它均匀减速而最后停下来。闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为。求间的摩擦系数为。求: ()从制动开始到飞轮停从制动开始到飞轮停止转动这段时间内飞轮转了多少转止转动这段时间内飞轮转了多少转? ()闸瓦对飞闸瓦对飞轮的压力为多少?轮的压力为多少?F0解解()()从制动开始到飞轮停止转动从制动开始到飞轮停止
14、转动, ,飞轮转过的转数飞轮转过的转数 t0 st , rad/sr5, 031006021000min/1000:0 已已知知 0Nfr 2rad/s9 .20320531000 2021tt 飞轮转了转飞轮转了转rad 267.413250532021531002 ()闸瓦对飞轮的压力闸瓦对飞轮的压力 2mRNR mRN 0Nfr 根据转动定律根据转动定律 JM NRRfMr 已知已知: , ,, )(6 .1802N 2mRJ 21 MdW力矩做功是力做功的角量表达式力矩做功是力做功的角量表达式.FrPO drd Z力矩的瞬时功率力矩的瞬时功率 MdtMddtdWp rdFW对比:对比:
15、 MddrFdrFrdFdW coscos四、四、 力矩的功力矩的功Fvp ddJdtdddJdtdJJM 2121 dJdM21222121 JJ 刚体定轴转动的动能定理:合外力矩对定轴转动刚体刚体定轴转动的动能定理:合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。所做的功等于刚体转动动能的增量。21222121 JJW 21222121mvmvW 对比:对比:当当时,时, ; 时,时, 所以:所以: dJMd 五、刚体定轴转动的动能定理五、刚体定轴转动的动能定理 iiiiphmgghmE 刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力刚体的重力势能是组成它的各个质元的重力势能之和势能之和.m
16、hmmgEiip CpmghE mhmhiic CChim POihh、刚体的重力势能、刚体的重力势能刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积刚体的重力势能等于其重力与质心高度之积.六六 、包括刚体的系统的机械能守恒定律、包括刚体的系统的机械能守恒定律若在刚体转动过程中若在刚体转动过程中,只有重力做功只有重力做功, 则机械能守恒则机械能守恒.常常量量 CmghJE221 机械能守恒定律机械能守恒定律EWW 非非保保内内外外0 非非保保内内外外若若WW恒恒量量恒恒量量 pkEEE、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律、定轴转动的功能原理和机械能守恒定律定轴转动的功能原理定轴转动的功能原理即如果合外力
17、不做功,非保守内力也不做功,即如果合外力不做功,非保守内力也不做功,或二者的功的代数和为零,机械能守恒或二者的功的代数和为零,机械能守恒. .例例1 已知:均匀直杆已知:均匀直杆 m, 长为长为 l , ,初始水平静止,轴光滑,初始水平静止,轴光滑,AOl 4 。求求 : 杆下摆杆下摆 角时,角速度角时,角速度 ? ?解:杆解:杆 地球系统,地球系统, 只有重力作功只有重力作功, E 守恒。守恒。初始:初始:,Ek10 令令 EP10 末态:末态:EJk2212 , EmglP24 sin 222487)4(121mllmmlJ 0sin4212 lmgJ 得:得: 267glsin 例、一根
18、长为、质量为的均匀细直棒,其一端有例、一根长为、质量为的均匀细直棒,其一端有一固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转动。一固定的光滑水平轴,因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置,求它由此下摆最初棒静止在水平位置,求它由此下摆角时的角角时的角加速度和角速度。加速度和角速度。解:外力矩为重力对的力矩。解:外力矩为重力对的力矩。 棒上取质元棒上取质元, 该质元的重力对该质元的重力对轴的元力矩为轴的元力矩为 Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 整个棒的重力矩为整个棒的重力矩为 cos21cos22mgLgL LgmLmgLJM2cos331cos212 LdlgldMM
19、0 cos Ogdmdmldl dlglgdmldM coscos 根据转动定律根据转动定律 JM 221sin21 JmgL LgImgL sin3sin 231mLJ Ogdmdmldl Lg2cos3 例例 弹簧、定滑轮和物体的连接如图所示弹簧、定滑轮和物体的连接如图所示, 弹簧的劲弹簧的劲度系数为度系数为 , 定滑轮的转动惯量是定滑轮的转动惯量是,半径为半径为 , 问当问当 质量质量的物体落下的物体落下 时时,它的速率为多大它的速率为多大? 假设开始时物体静止假设开始时物体静止而弹簧无伸长而弹簧无伸长解解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统,下落的以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统,下落
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