常系数线性微分方程组的解法课件.ppt
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1、常系数线性方程组常系数线性方程组( ),dxAxf tdt,( )An nf tatb 这里系数矩阵 为常数矩阵在上连续的向量函数;一阶常系数线性微分方程组:( )0,f t 若则对应齐线性微分方程组为,(5.33)dxAxdt本节主要讨论(5.33的基解矩阵的求法.常系数线性方程组定义定义,An n设 为常数矩阵 则定义矩阵指数expA为下列矩阵级数的和21exp(5.34)!2!kmkAAAAEAkm0,0! 1.mEAAmAE其中 为单位矩阵为 的 次幂注注1: 矩阵级数(5.34)是收敛的.由于,!kkAAkk而数项级数1!kkAk收敛 .常系数线性方程组注注2: 级数221exp!2
2、!kmkmkAAAAttEAtttkm在t的任何有限区间上是一致收敛的.由于,!kkk kAcA ttckk而数项级数1!kkkAck收敛 .常系数线性方程组(1),.A BABABBAee e若则1(2),(exp)AA对任何矩阵存在,且1(exp)A=exp(-A).(3),T若 是非奇异的 则)(exp) .ATA T-1-1exp(TT常系数线性方程组(1)定理定理9矩阵( )exptAt是(5.33)的基解矩阵,且(0).E证明证明:0,exptAt当时由定义知(0);E又因为( )(exp)tAt23211!2!(1)!mmAAAAtttm22()2!mmAAA EAtttmexp
3、( ),AAtAt( )exptAt故是基解矩阵常系数线性方程组例例1如果A是一个对角矩阵12naaAa.xAx试求出的基解矩阵解解由(5.34)得exp AtE121!naata2122222!naata常系数线性方程组12!mmmmnaatma12na ta ta teee例例221.02xx试求出的基解矩阵解解因为2102A20010200而后面两个矩阵是可交换的常系数线性方程组202 ,02E20100,0000故exp At20exp()02t01exp()00t2200ttee22010100002!tEt2200ttee101t21.01tte常系数线性方程组对n阶矩阵A设1AT
4、JT,.TJJordan其中 为奇异矩阵为矩阵则1.AtJteT e T其中12,nJJJJ12,nJ tJ tJtJ teeee注注1:111.AtJtJte TT eT e由知,也是基解矩阵常系数线性方程组类似第四章4.2.2,寻求,(5.33)xAx形如( ),0,(5.43)tte c c,.c的解 其中常数 和向量 是待定的将(5.43)代入(5.33)得,tte cAe c0,te因上式变为()0,(5.44)EA c常系数线性方程组方程(5.44)有非零解的充要条件是det()0,EA结论结论(5.33)( )tte c微分方程组有非零解的充要条件是,.Ac是矩阵 的特征根 是与
5、 对应的特征向量( )(5.33)tte为解()0,EA c有非零解即例例335.53试求矩阵A=特征值和特征向量解解A的特征值就是特征方程35det()53EA26340的根,1235 ,35 .ii常系数线性方程组11235( ,)Tiuu u对特征根的特征向量满足()EA u1255055uiui解得1,0.ui 21235( ,)Tiv v对特征根的特征向量v满足()EA u1255055vivi解得,0.1iv 常系数线性方程组例例421.14试求矩阵A=特征值和特征向量解解特征方程为21det()14EA26903,因此为两重特征根为求其对应的特征向量考虑方程组()EA c1211
6、011cc解得1,0,1c 3是对应于特征根的特征向量常系数线性方程组(1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时定理定理101212,;,(),nnv vv 如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量它们相应的特征值为不必互不相同 那么矩阵1212( ),ntttnte v e vevt 是常系数线性微分方程组,(5.33)xAx的一个基解矩阵.常系数线性方程组证明证明: 由上面讨论知,每一个向量函数,1,2,jtje vjn都是(5.33)的解,因此矩阵1212( ),ntttnte v e vev是(5.33)的解矩阵,12,nv vv由于线性无关所以1212det( )det(,)ntttnt
7、e v e vev0( )(5.33).t故是的基解矩阵常系数线性方程组例例535.53xx试求微分方程组的基解矩阵解解由例3知1235 ,35iiA是 的特征值,12121,1ivvi 是对应于的特征向量;由定理10,矩阵1212( ),ttte v e v(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )i ti ti ti teieiee就是一个基解矩阵.常系数线性方程组注注:,( )exp.tAt一般来说不一定是exp( ) ,Att C 但由于有1(0),C 从而1exp( )(0).Att 例6 试求例5的实基解矩阵.解解由于基解矩阵为(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )
8、( )i ti ti ti teietiee故实基解矩阵为exp At 111ii(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )i ti ti ti teieiee常系数线性方程组(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )1112i ti ti ti tieieiiee (3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )(3 5 )()12()i ti ti ti ti ti ti ti teei eei eeee3cos5sin5.sin5cos5tttett常系数线性方程组例7 求方程组5281815331610 xx 的通解.解解A系数矩阵 的特
9、征方程为2det()3 (1)0EA因此特征根为1230,1,1; 它们相的特征向量为1232231 ,1 ,0 ;121vvv 常系数线性方程组故基解矩阵为223( )1012ttttteeteee 故通解为123223( )( )1012ttttteectt ceceec 1211c2212tce330;1tce 常系数线性方程组(2) 矩阵A的特征根有重根时121212,;,;.kkkn nnnnnn 假设n n矩阵A的特征值为相应重数为且由高代知,n维常数列向量所组成的n维空间U的子集|()0jnjjUuUAEu(1,2, ),jUnjk是 的 维不变子空间且12,(5.49)kUUU
10、U下面先寻求(5.33)满足初始条件 (0)= 的解,由(5.49)有12,(5.50)kvvv(1,2, ),jvjkj其中U常系数线性方程组j因子空间U 是方程组()0,(5.48)jnjAEu的解产生的,j从而v 一定是(5.48)的解,由此即得()0,1,2, ,(5.51)ljjjAE vlnjk由于jteexp()jtjeEtjjjttteeeE常系数线性方程组由(5.51)有(exp)(exp)jjAt vAtvexp()jtjeEtjteexp() jAE tjvjte1212()()()2!(1)!jjnnjjjjttEAE tAEAEnjv故(5.33)的解 (t)=(ex
11、pAt) 可表为,(t)=(expAt)=(expAt)1kjjv1(exp)kjjAt v12121()()()2!(1)!jjjnktnjjjjjjtteEAE tAEAEvn故(5.33)满足初始条件 (0)= 的解可写成110( )() ,(5.22)!jjniktijjjitteAEvi常系数线性方程组注注1:,Au当 只有一个特征值时 对任何即有()0,nAEu故expAt=exp()AE tte10(),(5.53)!intijiteAEi注注2:为了从(5.52)求expAt,注意到expAt=(expAt)E=1n(expAt)e ,(expAt)e 其中100010,001
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