概率论-参数的点估计课件.ppt
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- 关 键 词:
- 概率论 参数 点估计 课件
- 资源描述:
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1、下下回回停停一、问题的提出一、问题的提出二、矩估计法二、矩估计法 第一节第一节 参数的点估计参数的点估计 三、最大似然估计三、最大似然估计 未知参数未知参数 ,这种问题称为参数估计问题,这种问题称为参数估计问题.在实际中我们经常遇到这样的问题:总体在实际中我们经常遇到这样的问题:总体X的的分布函数分布函数 ;xF的形式为已知,的形式为已知, 是未知参是未知参数数.nXXX,21是是X的一个样本的一个样本,nxxx,21为相应的一个样本值为相应的一个样本值. 我们希望用样本值去估计我们希望用样本值去估计一、点估计问题的提出一、点估计问题的提出 已知某电话局在单位时间内收到用户呼唤次已知某电话局在
2、单位时间内收到用户呼唤次 数这个总体数这个总体X服从泊松分布服从泊松分布 p, 即即X的分布律的分布律!kP Xkek 012k , , ,的形式已知的形式已知 . 利用样本值利用样本值 估计估计 12nxxx, , ,的值的值. E X 例例1已知某种灯泡的寿命已知某种灯泡的寿命 ,即,即 2( ,)XN 的分布密度的分布密度 X22()221( ; ,)2xp xe x 的形式已知,但参数的形式已知,但参数 未知未知 . 利用样本值利用样本值 2 ,12nxxx, ,估计,估计 , . E X 2D X 例例2考虑某厂生产的一批电子元件的寿命这个考虑某厂生产的一批电子元件的寿命这个 总体总
3、体 ;不知道;不知道 的分布形式的分布形式 ,根据样本值,根据样本值 XX12nxxx, , 估计元件的平均寿命和元件寿命估计元件的平均寿命和元件寿命 的差异程度的差异程度,即估计总体即估计总体 的均值的均值 和方差和方差 XE XD X. 例例3在数理统计中称统计量在数理统计中称统计量 12nXXX, , 点估计常用方法:矩估计和最大似然估计法点估计常用方法:矩估计和最大似然估计法. 解决上述参数解决上述参数 的点估计问题的思路是的点估计问题的思路是: 设法设法 作出合理的估计作出合理的估计 . 的估计值的估计值 . 构造一个合适的统计量构造一个合适的统计量nXXX,21 , 对对 为为 的
4、估计量的估计量, 的观测值的观测值nxxx,21 称为称为矩估计法是由英国统计学家矩估计法是由英国统计学家矩估计法的基本思想是用样本的矩估计法的基本思想是用样本的 阶原点矩阶原点矩 k11nkkiiAXn 去估计总体去估计总体 的的 阶原点矩阶原点矩 ; Xk()kE X皮尔逊皮尔逊(K.Pearson)在在1894年提出年提出. 用样本的用样本的k阶中心矩阶中心矩nikkXXnB11去估计总体去估计总体并由此得到未知参数的估计量并由此得到未知参数的估计量 . 二、矩估计法二、矩估计法的的k阶中心矩阶中心矩() ;kE XE X 设总体设总体 的分布函数为的分布函数为 ,X12mF x;, ,
5、12m, ,是是 个待估计的未知参数个待估计的未知参数 . 设设 m()mmE X 存在,对任意存在,对任意 , k 1 2km, , , 1212()kkkmkmE Xx dF x; , , , 现用样本矩作为总体矩的估计,即令现用样本矩作为总体矩的估计,即令1211,.nkkikmiAXn 1,2,km这便得到含这便得到含 个参数个参数 的的 个方程组个方程组, m12m, , m解该方程组并记所得的解为解该方程组并记所得的解为nkkXXX,21 mk, 21以以 作为参数作为参数 的估计量的估计量. 这种求出估计量的方法这种求出估计量的方法 k k 称为矩估计法称为矩估计法 . 设总体设
6、总体 服从泊松分布服从泊松分布 , 求参数求参数 的的 X P 矩估计量矩估计量 . 解解 11niiXXn 设设nXXX,21是总体是总体X的一个样本的一个样本,由于由于, XE可得可得例例4解得解得X 求总体求总体 的均值的均值 和方差和方差 的矩估计的矩估计. X 2 解解 设设 是总体是总体 的一个样本,的一个样本, 12nXXX, ,X由于由于 222()()()()E XE XD XEX 故令故令22211niiXXn 222211niniXXXSn 解得解得例例5解解 设设 是总体是总体 的一个样本,的一个样本, 12nXXX, ,X容易求得容易求得 1222221122122E
7、 XE X 设总体设总体X服从区间上服从区间上,21 的均匀分布的均匀分布,求参数求参数21, 的矩估计量的矩估计量.例例6故令故令122222112121122niiXXn 解得解得 和和 的矩估计量为的矩估计量为 1 2 13nXS 23nXS 设总体设总体 的分布的分布 密度为密度为 X1( ; )2xp xe 0 x, 为总体为总体 的一个样本,求参数的一个样本,求参数 12nXXX, ,X 的矩估计量的矩估计量 . 由于由于 只含有一个未知参数只含有一个未知参数 ,一般一般 ( ; )p x 只需求出只需求出 便能得到便能得到 的矩估计量,但是的矩估计量,但是 E X 102xE X
8、xedx 解解即即 不含有不含有 ,故不能由此得到故不能由此得到 的矩估计量的矩估计量. E X 例例7221()2xE Xxedx 22012xx edx 于是解得于是解得 的矩估计量为的矩估计量为 2112niiXn 本例本例 的矩估计量也可以这样求得的矩估计量也可以这样求得 1|2xE Xxedx 01xxe 故令故令 11niiXn 即即 的矩估计量为的矩估计量为 11niiXn 该例表明参数的矩估计量不唯一该例表明参数的矩估计量不唯一.最大似然估计作为一种点估计方法最初是由最大似然估计作为一种点估计方法最初是由 德国数学家高斯德国数学家高斯(Gauss)于于1821年提出,英国统计年
9、提出,英国统计 学家费歇尔学家费歇尔(R.A.Fisher)在在1922年作了进一步发展年作了进一步发展 使之成为数理统计中最重要应用最广泛的方法之一使之成为数理统计中最重要应用最广泛的方法之一. GaussFisher三、最大似然估计三、最大似然估计设总体设总体 的分布律为的分布律为 或或 X()( ; )P Xxp x 分布密度为分布密度为 ,其中,其中 是未是未 ( ; )p x 12,.,m 知参数,知参数, 的分布律的分布律(或分布密度或分布密度) 12nXXX, ,为为 ,当给定样本值当给定样本值 后,后, 1(; )niip x 12nxxx, , 它只是参数它只是参数 的函数,
10、记为的函数,记为 ,即,即 L 1(; )niiLp x则称则称 为似然函数,似然函数实质上是样本的为似然函数,似然函数实质上是样本的 L 分布律或分布密度分布律或分布密度. 1. 似然函数似然函数最大似然原理的直观想法:在试验中概率最大似然原理的直观想法:在试验中概率 最大的事件最有可能出现最大的事件最有可能出现 .一个试验如有若干个一个试验如有若干个 可能结果可能结果 ,若在一次试验中,结果若在一次试验中,结果 出现出现, AB, , A则认为则认为 出现的概率最大出现的概率最大. A2. 最大似然估计法最大似然估计法 假定一个盒中黑球和白球两种球的数目之比假定一个盒中黑球和白球两种球的数
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