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1、结构力学教程（I）第8章 位移法8-1 位移法概述8-2 位移法未知量的确定8-3 杆端力与杆端位移的关系8-4 利用平衡条件建立位移法方程8-5 位移法举例8-6 基本体系和典型方程法8-7 对称性的利用8-8 其它各种情况的处理 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。分析超静定结构时，有两种基本方法：分析超静定结构时，有两种基本方法：第一种：第一种： 以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计算位移后计算位移力法。力法。第二种：第二种： 以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再以结点未知位

2、移为基本未知量；先求其位移，然后再计算内力计算内力位移法。位移法。结构结构在外因作用下产生产生内力变形内力与变形间存在关系内力与变形间存在关系 位移法是以结点的位移作为的未知量的位移法是以结点的位移作为的未知量的。 位移法是以力法作为基础的位移法是以力法作为基础的。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。下面以一个例题来介绍一下位移法的解题思路。 结点位移与杆端位移分析结点位移与杆端位移分析 BDBD伸长：伸长：DADA伸长：伸长： 22DCDC伸长：伸长： 22杆端位移分析杆端位移分析由材料力学可知：由材料力学可知：NDBEAFL222NDANDCEAFFL杆端力与杆端杆端力与杆端位移的关

3、系位移的关系 D D结点有结点有一向下的一向下的位移位移FPABCD45o45o02222(22)2NDBNDCNDAPPYFFFFEAFL 建立力的建立力的平衡方程平衡方程由方程解得：由方程解得： 2(22)PLEA 位移法方程位移法方程把把回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力 ：22222PNDBNDANDCFPFFF由结点平衡：由结点平衡： 由结点平衡或截面平衡，建立方程；由结点平衡或截面平衡，建立方程； 结点位移回代，得到杆端力。结点位移回代，得到杆端力。总结一下位移法解题的步骤：总结一下位移法解题的步骤： 确定结点位移的数量；确定结点位移的

4、数量； 写出杆端力与杆端位移的关系式；写出杆端力与杆端位移的关系式； 解方程，得到结点位移；解方程，得到结点位移； 位移法是以结点的位移作为的未知量的。位移法是以结点的位移作为的未知量的。 结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点 （初学时）。（初学时）。 杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=。 只有一个刚结点只有一个刚结点B B，由于忽，由于忽略轴向变形，略轴向变形，B B结点只有结点只有BB 只有一个刚结点只有一个刚

5、结点B B，由于忽略轴向变形及由于忽略轴向变形及C C结点的约束形式，结点的约束形式，B B结结点有一个转角和水平位点有一个转角和水平位移移BBHABCABC例例1：例例2：例例3： 有两个刚结点有两个刚结点E E、F F、D D、C C，由于忽，由于忽略轴向变形，略轴向变形， E、F、D、C 点的竖向点的竖向位移为零，位移为零， E、F 点及点及D、C 点点的水平的水平位移相等，因此该结构的未知量为：位移相等，因此该结构的未知量为：EFCDEFCD例例4： 有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于忽略轴向，由于忽略轴向变形，变形，B B、C C点的竖向位移为零，点的竖向位移为零，B B、

6、C C点的水平位移相等，因此该结构的未点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：知量为：BCBC 有两个刚结点有两个刚结点B B、C C，由于，由于忽略轴向变形及忽略轴向变形及B B、C C点的约点的约束，束，B B、C C点的竖向、水平位点的竖向、水平位移均为零，因此该结构的未移均为零，因此该结构的未知量为：知量为：BC 桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个桁架杆件要考虑轴向变形。因此每个结点有两个线位移。该结构的未知量为：结点有两个线位移。该结构的未知量为： .AHAVBHBVDH 刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。结论：ABCD例例5：ABCD例例6： 排架结构，有两个铰结点排

7、架结构，有两个铰结点A A、B B，由于忽略轴向变形，由于忽略轴向变形，A A、B B两点的竖两点的竖向位移为零，向位移为零，A A、B B两点的水平位移两点的水平位移相等，因此该结构的未知量为：相等，因此该结构的未知量为： ABEA=ABCD 两跨排架结构，有四个结点两跨排架结构，有四个结点A A、B B、C C、D D，同理，同理A A与与B B点、点、D D与与C C点的水平位移相同，各结点的点的水平位移相同，各结点的竖向位移为零，但竖向位移为零，但D D结点有一转结点有一转角，因此该结构的未知量为：角，因此该结构的未知量为： ABDCD例例7： EA=ABCDEFG例例8： CDECH

8、DV该题的未知量为该题的未知量为 对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几个线位移。个线位移。ABCDEABCDE例例9：分析方法：分析方法： 该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水

9、平线位移的分析方法：假设的分析方法：假设B B结点向左有一个水平位移结点向左有一个水平位移，BCBC杆平杆平移至移至BCBC，然后它绕，然后它绕BB转至转至D D点。点。结论：结论：该题有两个未知量：该题有两个未知量：其中其中BABA杆的线位移为：杆的线位移为：BCBC杆的线位移为：杆的线位移为：SinB例例10： B C A B C D 刚架在均布荷载作用下，产刚架在均布荷载作用下，产生如图曲线所示的变形。生如图曲线所示的变形。B刚结点刚结点B B处处：两杆杆端都发生了两杆杆端都发生了角位移角位移 ；杆长为：杆长为：L L未知量为：未知量为：BqABCEIEIqBCEIBB对于对于BCBC杆

10、：杆：其变形及受力情况其变形及受力情况与：一根一端固定一端铰结的与：一根一端固定一端铰结的单跨超静定梁，在均布荷载单跨超静定梁，在均布荷载 q q以及在固定端以及在固定端B B处有一角位移处有一角位移 作用下的情况相同，其杆端力作用下的情况相同，其杆端力可以用力法求解。可以用力法求解。BC杆杆B 对于对于BABA杆杆：其变形与受力情况相其变形与受力情况相当于：一根两端固定的单跨超静定当于：一根两端固定的单跨超静定梁，在梁，在B B端发生了角位移端发生了角位移 的结果的结果, ,其杆端力也可以用力法求解。其杆端力也可以用力法求解。 结论：结论： 在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作

11、在杆端力与杆端位移分析时，可以把结构中的杆件，看作一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。一根根单跨的超静定梁，其杆端力可以由力法求解。BBABA杆杆 弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆弯矩正负号的规定与原来不同了，现在是以使杆端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。端顺时针转为正。剪力和轴力的规定与原来相同。 为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及为此，我们要把各种单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，荷载作用下的杆端弯矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。以供查用。正弯矩：对杆端是顺正弯矩：对杆端是顺时针转的，对结点是时针转的，对结点是

12、逆时针转的。逆时针转的。 下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下面开始对单跨超静定梁在支座位移及荷载作用下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。下的杆端弯矩用力法进行逐个求解。1、两端固定单元，在、两端固定单元，在A端端 发生一个顺时针的转角发生一个顺时针的转角 。A4422ABAABAAAEIMiLEIMiL由力法求得：由力法求得：2、两端固定单元，在、两端固定单元，在B端端 发生一个顺时针的转角发生一个顺时针的转角 。B由力法求得：由力法求得：4422BABBABBBEIMiLEIMiLABEI,LMABMBAAABEI,LMABMBAB3、两端固定单元，在、两端固定单元，在B端端 发生一个

13、向下的位移发生一个向下的位移 。由力法求得：由力法求得：226666ABBAEIiMLLEIiMLL 4、一端固定一端铰结单元，在、一端固定一端铰结单元，在A端端 发生一个顺时针的转角发生一个顺时针的转角 。A由力法求得：由力法求得：330ABBBBAEIMiLMABEI,LMABMBAABEI,LMABAMBA由力法求得：由力法求得：2330ABBAEIiMLLM 6、一端固定一端滑动单元，在、一端固定一端滑动单元，在A端端 发生一个顺时针的转角发生一个顺时针的转角 。A由力法求得：由力法求得：ABABBAAAEIMiLEIMiL 5、一端固定一端铰结单元，在、一端固定一端铰结单元，在B端端

14、 发生一个向下的位移发生一个向下的位移 。MABABEI,LMBAMABMBAABEI,LA由材力可知：由材力可知：NABNBAEAFLEAFL 由力法求得：由力法求得：7、两端铰结单元，在、两端铰结单元，在A端端 发生一个轴向位移发生一个轴向位移 。8、两端铰结单元，在、两端铰结单元，在B端端 发生一个轴向位移发生一个轴向位移。NABNBAEAFLEAFL EA,LABEALEALEA,LABEALEAL 前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的前面研究的是：单个超静定梁在支座位移作用下的弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。弯矩，至于在荷载作用下的情况，可以查书上的表格。 前

15、面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用前面研究的是：单个超静定梁在一个支座位移作用下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采下的弯矩，至于有多个支座位移同时作用的情况可以采用叠加原理进行。用叠加原理进行。 两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：弯矩表达式：426426FABABABFBABABAMiiiMLMiiiML 一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：的杆端弯矩表达式：330FABAABBAMiiMLM 一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作

16、用下一端固定一端滑动单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：的杆端弯矩表达式：FABAABFBAABAMiMMiM 利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，利用前面得到的单跨超静定梁的杆端弯矩表达式，就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。就可写出结构中每根杆件的杆端力与杆端位移的表达式。例：例：B42BABABEIEIMMLL杆长为：杆长为：L L未知量为：未知量为：BBBCBC杆：杆：可看作一端固定，一端铰结的梁，可看作一端固定，一端铰结的梁，在在B B端发生了转角端发生了转角 以及在均布以及在均布荷载作用下，杆端弯矩表达式：荷载作用下，杆端弯矩表达式：BBABA杆：

17、杆：可看作两端固定的梁，但是在可看作两端固定的梁，但是在B B端端支座发生了转角支座发生了转角 ，方向假设，方向假设为顺时针，杆端弯矩表达式为顺时针，杆端弯矩表达式：AEIB CEIq2308BcBABEIqLMML例：例：222B264126212BABBCABBCEIEIqLMLLEIEIqLMLL未知量未知量2 2个：个：BBC323160PBCBCBF LEIMLMBABA杆：杆：可看作两端固定的梁，在可看作两端固定的梁，在B B端支座发端支座发生了转角生了转角 水平位移水平位移 ，还有均，还有均布荷载作用下，杆端弯矩表达式布荷载作用下，杆端弯矩表达式：BBCBCBC杆：杆：可看作一端

18、固定，一端铰结的梁，可看作一端固定，一端铰结的梁，在在B B端发生了转角端发生了转角 、以及在集、以及在集中力作用下，杆端弯矩表达式：中力作用下，杆端弯矩表达式：BqEI2EIABCFPLL/2L/2基本思路基本思路 先拆、后装，即：先拆、后装，即：1 1）化整为零）化整为零逐杆写出杆端弯矩式表达式；逐杆写出杆端弯矩式表达式；2 2）拼零为整）拼零为整汇交于刚结点的各杆端弯矩汇交于刚结点的各杆端弯矩 应满足应满足 ，对于任意，对于任意 的脱离体都应满足的脱离体都应满足 或或 。0M 0X 0Y 0BCBAMM2708BqLi位移法方程位移法方程BABA杆：杆：杆端弯矩表达式杆端弯矩表达式：B4

19、2BABABEIEIMMLLBCBC杆：杆：杆端弯矩表达式：杆端弯矩表达式：2308BcBABEIqLMML建立位移法方程：建立位移法方程：取取B B结点，应该满足结点，应该满足: :0BM AEIB CEIq杆长为：杆长为：L L未知量为：未知量为：B例例: 例：例：未知量未知量2 2个：个：BBC20631001216BABBCiqLPLiMML位移法方程位移法方程222B264126212BABBCABBCEIEIqLMLLEIEIqLMLLBABA杆：杆：杆端弯矩表达式杆端弯矩表达式：323160PBCBCBF LEIMLMBCBC杆：杆：端弯矩表达式：端弯矩表达式：建立位移法方程：建

20、立位移法方程：取取B B结点由结点由 : :0BM qEI2EIABCFPLL/2L/2求求FQBA, ,取取BABA杆杆, ,由由0AM 226122BAABQBABMMqLFLiiqLLL 0QBAF把把FQBA代入代入式式, ,得得: :261202BiiqLLL-位移法方程位移法方程建立位移法方程：建立位移法方程：取取BCBC截面由截面由 : :0X FQBAqFQABMABMBABA杆长为：杆长为：L L B42BABABEIMLEIMLBABA杆杆238BcBEIqLMLBCBC杆杆1. 确定未知量确定未知量B未知量为未知量为: :2. 写出杆端力的表达式写出杆端力的表达式3. 建

21、立位移法方程建立位移法方程取取B B结点，由结点，由 , ,得得: :0BM2708BqLiAEIB CEIq例例1:4. 解方程，得解方程，得:256BqLi5. 把结点位移回代，得杆端弯矩把结点位移回代，得杆端弯矩6. 画弯矩图画弯矩图2222223568144561428BCBAABiqLqLqLMiiqLqLMiqLM qL28qL214qL228ABCM图图 例例2：1. 位移法未知量位移法未知量未知量：未知量： BBV2. 杆端弯矩表达式杆端弯矩表达式226 241212812ABBBABiqLMiLiqLMiL 33BCBiMiL3. 建立位移方程建立位移方程取出取出B B结点结

22、点: :00BBABCMMM2911012BiqLiL00QBAQBCPYFFFLLqFP2EIEIABC求求F FQBA QBA 2021212 2L2AABBCQBABMMMqLFLiiqLL 求求F FQBC QBC 2033BCcQBCBMMFLiiLL 把把F FQBCQBCF FQBAQBA代入方程代入方程中得：中得：2221224330292702BBPBPiiqLiiFLLLLiiqLFLL后面的工作后面的工作就省略了。就省略了。 例例3：1. 位移法未知量位移法未知量未知量：未知量： 12D 2. 杆端弯矩表达式杆端弯矩表达式 3. 建立位移方程建立位移方程122122212

23、2221211223646233()3ABDCDCDDDEDFGEIMLEIEIMLLEIEIMLLEIEIMLLEIML DD1D212222110EI6EIEI3EI43()LLLL0M 13212322023612QBAQDCQGFPQBAQDCDXFFFFEIFLEIEIFLL 0X 21231123212333112133()33333QEDQGFPQEDDQGFDPFFFEIEIFLLEIFLEIEIEILLLEIFL 取出取出EGEG截面：截面：取出取出BEGBEG截面：截面： 位移法方程：位移法方程： 1123233222361232DPEIEIEIEIFLLLL 112323

24、3222361232DPEIEIEIEIFLLLL 21233321113333DPEIEIEIEIFLLLL D1D21222211EI6EIEI3EI43()0LLLL 小结：小结：（1 1）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移）用位移法计算两类结构（无侧移、有侧移) ) 思路与方法基本相同；思路与方法基本相同；（2 2）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比，）在计算有侧移刚架时，同无侧移刚架相比， 在具体作法上增加了一些新内容：在具体作法上增加了一些新内容： 在基本未知量中，要含结点线位移；在基本未知量中，要含结点线位移； 在杆件计算中，要考虑线位移的影响；在杆件计算中，要考虑线位移的影

25、响； 在建立基本方程时，要增加与结点线位移对在建立基本方程时，要增加与结点线位移对 应的平衡方程。应的平衡方程。1 1、位移法基本体系、位移法基本体系1 1）基本体系）基本体系单跨超静定梁的组合体。单跨超静定梁的组合体。（用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为用位移法计算超静定结构时，把每一根杆件都作为单跨超静定梁看待单跨超静定梁看待）。2 2）构造基本体系）构造基本体系（1 1）在每个刚结点处添加一个附加刚臂）在每个刚结点处添加一个附加刚臂阻止刚结点转动阻止刚结点转动（不能阻止移动不能阻止移动）；（2 2）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆）在可能发生线位移的结点，加上附加链杆 阻止

26、结点线位移阻止结点线位移（移动）移动）。例：构造图示结构位移法的基本体系。例：构造图示结构位移法的基本体系。 未知量未知量2 2个：个：B基本体系基本体系 在有转角位移的结点处先加在有转角位移的结点处先加一刚臂，阻止转动，然后再让一刚臂，阻止转动，然后再让其发生转角。其发生转角。 经过以上处理，原结构就成为一个由经过以上处理，原结构就成为一个由n n个独立单跨个独立单跨超超 静定梁组成的组合体静定梁组成的组合体即为位移法的基本体即为位移法的基本体系。系。 在有线位移的在有线位移的结点处先加一链杆，结点处先加一链杆，阻止线位移，然后阻止线位移，然后再让其发生再让其发生线位移。线位移。EIEIAB

27、CLqLq原结构原结构 2 2、利用基本体系建立位移法方程、利用基本体系建立位移法方程1 1）基本原理）基本原理 先锁、后松。先锁、后松。锁住锁住将原结构转换成基本结构。把原结构将原结构转换成基本结构。把原结构“拆拆 成成”孤立的单个超静定杆件；孤立的单个超静定杆件；放松放松将基本结构还原成原结构。即强行使将基本结构还原成原结构。即强行使“锁锁 住住”的结点发生与原结构相同的转角或线的结点发生与原结构相同的转角或线 位移。位移。法EIEIABCqLL 原结构原结构 EIEIABCq 基本体系基本体系3 i4 i2 i M1图图Z1 M2图图Z2qL28Z1=1Z1Z2Z2=1 MP图图=+6E

28、IL26EIL2 在在M M1 1、M M2 2、M MP P三个三个图中的附加刚臂和链图中的附加刚臂和链杆中一定有力产生，杆中一定有力产生，而三个图中的力加起而三个图中的力加起来应等于零。来应等于零。3 i4 i2 i M1图图Z1 Z1=1Z1 基本体系基本体系 EIEIABCqZ2qL28 MP图图 +6EIL26EIL2 M2图图Z2 Z2=1+=k11k21F1Pk22F2Pk12 位移法典型方程位移法典型方程1111221211222200PPk Zk ZFk Zk ZF由反力互等定理可知：由反力互等定理可知：ijjikk 在在M1、M2、MP三个图中附加刚臂和链杆中产生的附三个图

29、中附加刚臂和链杆中产生的附加力加起来应等于零，则有：加力加起来应等于零，则有： 方程中的系数和自由项就是方程中的系数和自由项就是M1、M2、MP三个图中三个图中刚臂和链杆中产生的附加力。刚臂和链杆中产生的附加力。求系数和自由项求系数和自由项方法是：取各个弯矩图中的结点或截面方法是：取各个弯矩图中的结点或截面 利用平衡原理求得。利用平衡原理求得。21660QBAiFLiXkL 由由M M2 2图：图：1206BMikL 212QBAiFL 0X 22212ikL1107BMki由由M M1 1图：图：3i4ik11k11k21FQBA6i/Lk12k12k22FQBA由由M MP P图：图：21

30、08BPMqLF 200PXF把系数和自由项代入典型方程，有：把系数和自由项代入典型方程，有：21212267086120iqLiZZLiiZZLL位移法方程位移法方程F1PqL28F1PF2PFQBA=03、解方程，得结点位移4、画弯矩图1212nnPMM ZM ZM ZM1212nnPMM ZM ZM ZM计算步骤计算步骤: :1 1、确定未知量，画出基本结构；、确定未知量，画出基本结构；2 2、画出、画出M1M1、MPMP图；图；3 3、求出系数和自由项，得到位移法方程；、求出系数和自由项，得到位移法方程；4 4、解方程，得到结点位移；、解方程，得到结点位移；5 5、按下式画弯矩图：、按

31、下式画弯矩图：如果结构有如果结构有n个未知量，那么位移法方程为：个未知量，那么位移法方程为： 其中：其中：1122nnkkk是主系数，永远是正的。是主系数，永远是正的。123124kkk 是副系数，有正有负。是副系数，有正有负。由反力互等定理可知：由反力互等定理可知：ijjikkijk物理意义是：由第物理意义是：由第j j个结点位移发生单位位移个结点位移发生单位位移 后，在第后，在第i i个结点位移处产生的反力。个结点位移处产生的反力。11112211211222221122000nnPnnPnnnnnnpk Zk Zk ZFk Zk Zk ZFk Zk Zk ZF例例1：用典型方程法计算图示

32、结构，杆长均为：用典型方程法计算图示结构，杆长均为L，EI为常数。为常数。解：解：1 1、未知量、未知量：BEV2 2、基本结构如上图所示、基本结构如上图所示3 3、位移法方程、位移法方程 111122133121122223323113223333000PPpk Zk Zk ZFk Zk Zk ZFk Zk Zk ZFMABCEDLLL原结构原结构CMABED Z3 Z1 Z24 4、求系数和自由项、求系数和自由项 1108BMki取取B B结点：结点： 2102EMki取取E E结点：结点： 313003QBAQBCQEDiFLFFikL 取取BEBE截面：截面： Z1=1ABEDi4i2

33、i3iM1图图1202BMki取取B B结点：结点：2208EMki取取E E结点：结点：320066QBAQBCQEDFFiFLikL 取取BEBE截面：截面： Z2=14i2i2i4iM2图图1303BMikL 取取B B结点：结点： 2306EMikL 取取E E结点：结点： 233301215QBAQBCQEDiFLFiFLikL 取取BEBE截面：截面： Z3=13i/L6i/L6i/LM3图图MP图图10BPMFM 取取B B结点：结点： 200EPMF取取E E结点：结点： 30000QBAQBCQEDPFFFF取取BEBE截面：截面： M把系数和自由项代入位移法典型方程中，得：

34、把系数和自由项代入位移法典型方程中，得：123123123238206280361560iiZiZZMLiiZiZZLiiiZZZLLL后面的计算省略了。后面的计算省略了。例例2：用典型方程法计算图示桁架，用典型方程法计算图示桁架，杆长杆长EA为常数。为常数。解：解：1 1、未知量、未知量：CHCVDHCVBH2 2、基本结构如上图所示、基本结构如上图所示 原结构原结构3 3、位移法方程、位移法方程 111221551211222255231132235524114224554511522555500000ppppPk Zk Zk ZFk Zk Zk ZFk Zk Zk ZFk Zk Zk Z

35、Fk Zk Zk ZFBCDAFP1FP2FP1FP2Z4Z2基本体系基本体系BCDAZ5Z3Z14 4、求系数和自由项、求系数和自由项 取取D D结点：结点： 3141000XEAkLYk 51024XEAkL 取取B B结点：结点： 取取C C结点：结点：11024424XEAEAkLLEAL21024YEAkLBCDAZ1=1EA2LEALN1图图EALEA2LEA2LEAL小结：小结： 与力法进行对此分析。位移法分析超静定结与力法进行对此分析。位移法分析超静定结 构，其解题步骤与方法同力法极为相似。构，其解题步骤与方法同力法极为相似。 （1 1）确定基本未知量，取基本体系。）确定基本未

36、知量，取基本体系。未知量：未知量： 力法力法多余未知力；多余未知力； 位移法位移法未知角位移、线位移。未知角位移、线位移。基本体系：基本体系： 力法力法静定结构；静定结构； 位移法位移法单跨超静定梁的组合体。单跨超静定梁的组合体。 （2）列典型方程列典型方程 建立方程建立方程 力法力法去掉多余约束处的位移条件；去掉多余约束处的位移条件； 条件：条件： 位移法位移法附加约束上约束反力的平衡附加约束上约束反力的平衡 条件。条件。 方程的方程的 力法力法变形协调方程；变形协调方程； 性质：性质： 位移法位移法力的平衡方程。力的平衡方程。 （3）作作 MP、 图，求系数和自由项图，求系数和自由项M 力

37、法：力法： 先作出静定结构分别在载荷先作出静定结构分别在载荷FP、多余未知力、多余未知力 作作用下的弯矩图用下的弯矩图MP 、 ；Mi1iX 然后应用图乘法求出载荷然后应用图乘法求出载荷F FP P，单位多余未知力，单位多余未知力（x xi i=1)=1)所引起的去掉多余未知力处的位移，即系数和所引起的去掉多余未知力处的位移，即系数和自由项：自由项： i P、 i j、 ii、 j j； 位移法：位移法： 先作出基本体系分别在载荷先作出基本体系分别在载荷FP、单位位移（、单位位移（ i i=1)=1)作用下作用下所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表所引起的弯矩图（借助于转角位移方程或图表画

38、）；画）； 然后利用结点或截面的平衡，求出刚臂中的反力矩然后利用结点或截面的平衡，求出刚臂中的反力矩和链杆中的反力，即位移法的系数和自由项和链杆中的反力，即位移法的系数和自由项F i p、k i j、k i j、k ii ： （4）解典型方程，求基本未知量解典型方程，求基本未知量 力法：力法： 解多元一次方程组，求得多余未知力解多元一次方程组，求得多余未知力xi； 位移法：位移法： 解多元一次方程组，求得结点角位移与结点线位解多元一次方程组，求得结点角位移与结点线位移移Zi 。（5）绘制最后内力图绘制最后内力图采用迭加法。采用迭加法。iipMM XMiiPMM ZM力法：力法：位移法：位移法：

39、 对于对称结构用位移法求解时，可以取半刚架进行计对于对称结构用位移法求解时，可以取半刚架进行计算，所以下面先介绍半刚架的取法。算，所以下面先介绍半刚架的取法。 红线是结构在对称荷载作用下的红线是结构在对称荷载作用下的变形，对称点变形，对称点C C的位移和内力如下：的位移和内力如下：000000CHNCCVQCCCFFM取半刚架如左图所示：取半刚架如左图所示：在在C C点用滑动支座描述它的位移和内力点用滑动支座描述它的位移和内力以单跨刚架为例以单跨刚架为例1 1、奇数跨对称刚架在对称荷载作用下、奇数跨对称刚架在对称荷载作用下 红线是结构在对称荷载作用下的红线是结构在对称荷载作用下的变形，对称点变

40、形，对称点C C的位移和内力如下：的位移和内力如下：000000CHNCCVQCCCFFM取半刚架如左图所示：取半刚架如左图所示：2、偶数跨对称刚架在对称荷载作用下偶数跨对称刚架在对称荷载作用下以双跨刚架为例以双跨刚架为例 在在C C点应用固定支座描述它的位移和点应用固定支座描述它的位移和内力，内力，CB杆由于处在对称轴上，弯矩等杆由于处在对称轴上，弯矩等于零，因此没有必要画上去。于零，因此没有必要画上去。 红线是结构在反对称荷载作用下红线是结构在反对称荷载作用下的变形，对称点的变形，对称点C C的位移和内力如下：的位移和内力如下：000000CHNCCVQCCCFFM取半刚架如左图所示：取半

41、刚架如左图所示：在在C C点应用竖向可动铰支座描述点应用竖向可动铰支座描述它的位移和内力它的位移和内力3、奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下以单跨刚架为例以单跨刚架为例 红线是结构在反对称荷载作用下红线是结构在反对称荷载作用下的变形，在对称点的变形，在对称点C C处只有一对剪力处只有一对剪力FQC存在。存在。取半刚架如下图所示：取半刚架如下图所示：4、偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下以双跨刚架为例以双跨刚架为例 对原结构进行改造，如图对原结构进行改造，如图1 1、图图2 2所示。所示。图图1 1图图2 2FPFP小结：小结： （1

42、1）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称）对称结构受对称荷载作用时，变形一定对称，在对称点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零；点处只有对称内力存在，反对称的内力一定为零； （2 2）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在）对称结构受反对称荷载作用时，变形一定反对称，在对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零；对称点处只有反对称内力存在，对称的内力一定为零； （3 3）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：）对于对称结构，若荷载是任意的，则可把荷载变换成：对称与反对称两种情况之和；对称与反对称两种情况之和； （4 4）在对称结构计算中，对取的半结构，可选用

43、任何适宜）在对称结构计算中，对取的半结构，可选用任何适宜的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种的方法进行计算（如位移法、力法），其原则就是哪一种未知量个数少，就优先选用谁。未知量个数少，就优先选用谁。例例1：利用对称性计算图示结构，：利用对称性计算图示结构，EI为常数。为常数。 解：由于有两根对称轴，可以取解：由于有两根对称轴，可以取1/41/4 刚架进行计算刚架进行计算。 原结构原结构1 1、未知量：、未知量： A2221222422AEAEAAAFAFAAEIqLMLEIqLMLEIEIMMLL 2 2、杆端弯矩表达式：、杆端弯矩表达式：LqqLACBD基本体系基本体系qAEF

44、L/2L/200AAEAFMMM2412AqLi 348AqLEI222412AEEAqLMqLM 222424AFFAqLMqLM 3 3、建立位移法方程、建立位移法方程4 4、解方程，得：、解方程，得：5 5、回代，得杆端弯矩：、回代，得杆端弯矩：6 6、画弯矩图、画弯矩图 qL224qL224qL224qL224qL212M图图 例例2：利用对称性计算图示结构。：利用对称性计算图示结构。 所有杆长均为所有杆长均为L，EI也均相同。也均相同。原结构原结构 解：解：1、由于该结构的反力是静定的，、由于该结构的反力是静定的， 求出后用反力代替约束。求出后用反力代替约束。 2、该结构有两根对称轴

45、，因此、该结构有两根对称轴，因此 把力变换成对称与反对称的。把力变换成对称与反对称的。=原结构=对称+反对称FPFPFP/2FP/2FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2 FP/4FP/4FP/4FP/4+原结构 对称情况，只是三根柱受轴力，对称情况，只是三根柱受轴力，由于忽略向变形，不会产生弯矩，由于忽略向变形，不会产生弯矩，因此不用计算。因此不用计算。 反对称情况，梁发生相对错对，反对称情况，梁发生相对错对，因此会产生弯矩，但左右两半是因此会产生弯矩，但左右两半是对称的，可取半刚架计算。对称的，可取半刚架计算。 由于对称，中柱弯矩为零，因由于对称，中柱弯矩为零，因

46、此可以不予考虑。此可以不予考虑。FP/4FP/2FP/4FP/4FP/4FP/2FP/2 FP/4FP/4FP/4FP/4+FP/2反对称情况的半刚架：反对称情况的半刚架： 此半刚架还是个对称结构，此半刚架还是个对称结构，荷载是反对称的，因此还继荷载是反对称的，因此还继续可取半刚架。续可取半刚架。 对此进行求解64626ABABAAACAiMiLiMiLMi6100AiiL 0AM 反对称=2261206124QABAPAiiFLLYFiiLL 1 1、未知量：、未知量： ( )A 2 2、杆端弯矩：、杆端弯矩： 3 3、建立位移法方程：、建立位移法方程： FP/4FP/4FP/4ABCFP/

47、4FQAB1、支座移动时的计算例：图示结构的例：图示结构的A A支座发生了一个转角，用位移法求解。支座发生了一个转角，用位移法求解。1 1、未知量：、未知量： BBC解：解：3642624BCBBABBCABBBCMiiMiiLiMiiL 未知量确定和计算与荷载作用时未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把支座移动看作是一种广相同，即把支座移动看作是一种广义的荷载。义的荷载。2 2、杆端弯矩：、杆端弯矩： LA B CEIEIL3 3、建立位移法方程：、建立位移法方程： 06720BBMiiiL 00QBAXF26612BAABQBAQBABBCMMFLiiiFLLL 取取BCBC截面：截面：2

48、66120BBCiiiLLL2、温度发生变化时的计算例：图示结构的温度较竣工使发生了变化，用位移法求解。例：图示结构的温度较竣工使发生了变化，用位移法求解。B1 1、未知量：、未知量： 解：解： 未知量确定和计算与荷载作用时未知量确定和计算与荷载作用时相同，即把温度变化看作是一种广相同，即把温度变化看作是一种广义的荷载。义的荷载。2 2、杆端弯矩：、杆端弯矩： BA BA杆轴线处温度提高杆轴线处温度提高17.517.5, ,杆件杆件伸长：伸长：17.517.5L L BC BC杆轴线处温度提高杆轴线处温度提高1515, ,杆件杆件伸长：伸长：1515L L由温度引起的侧移：由温度引起的侧移：1

49、517.5BABCLLB B的的位位置置B A CLEIEIL200150100B65415652153310317.52BABABBBCBiEIMiLLhiEIMiLLhiEIMiLLh3 3、建立位移法方程：、建立位移法方程： 100727.50BBEIMiihLB A CEIEILB2001501003、组合结构的计算例：用位移法求解图示组合结构。例：用位移法求解图示组合结构。1 1、未知量：、未知量： 解：解：CH23836462CBcDBHCEcHECcHBAHqLMiiMLiMiLiMiLEANL 3 3、建立位移法方程：、建立位移法方程： 0cM 2062708CBCECHMMi

50、LiL 2 2、杆端弯矩和轴力：、杆端弯矩和轴力： LLLEIEIEIEAAEDCBq取取BCBC截面截面: :00QBDQCBBAXFFN222223612361206150BDHCECHHCHHCiFLiiFLLiiiEALLLLiiEALLL qFQBDFQCEFNBA4、弹性支座的计算例：用位移法求解图示有弹性支座的结构。例：用位移法求解图示有弹性支座的结构。1 1、未知量：、未知量： 解：解：BCV2 2、杆端弯矩：、杆端弯矩： 222421212338BABABBBCBCVqLqLMiMiiqLMiL3 3、建立位移法方程：、建立位移法方程： 0BM220370128BABCVBC