江苏专版2019版高考数学大一轮复习第五章平面向量第27讲平面向量基本定理及坐标运算学案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 27 讲 平面向量的概念与线性运算 考试要求 1.向量的实际背景 (A 级要求 )； 2.平面向量的概念、两向量相等的含义、向量的几何表示 (B 级要求 )； 3.向量加法、减法及数乘运算 (B 级要求 )； 4.两个向量共线的含义 (B级要求 )； 5.向量线性运算的性质及其几何意义 (A 级要求 ). 诊 断 自 测 1.思考辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)零向量与任意向量平行 .( ) (2)若 a b， b c，则 a c.( ) (3)向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上 .( ) (4)当

2、两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立 .( ) (5)在 ABC 中， D 是 BC 中点，则 AD 12(AC AB ).( ) 解析 (2)若 b 0，则 a 与 c 不一定平行 . (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则 A， B， C， D 四点不一定在一条直线上 . 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2.(必修 4P62 习题 5 改编 )给出下列命题： 零向量的长度为零，方向是任意的； 若 a， b都是单位向量，则 a b； 向量 AB 与 BA 相等 .则所有正确命题的序号是 _. 解析 根据零向量的定义可知 正确；根据单位向量的定义可知

3、，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故 错误；向量 AB 与 BA 互为相反向量，故 错误 . 答 案 3.(2018 赣榆高级中学月考 )设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD所在平面内任意一点，则 OA OB OC OD OM ，则 _. 解析 因为 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点，所以 M 为 AC， BD 的中点，所以 OA OC 2OM ，OD OB 2OM ，所以 OA OB OC OD OM 4OM ，所以 4. 答案 4 4.在 ABC 中， AB 2， BC 3， ABC 60 ， AD 为 BC 边上

4、的高， O 为 AD 的中点，若 AO AB BC ，则 等于 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 AD AB BD AB 13BC ， 2AO AB 13BC ，即 AO 12AB 16BC . 故 12 16 23. 答案 23 5.(2015 全国 卷 )设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a 2b 平行，则实数 _. 解析 向量 a， b 不平行， a 2b 0，又向量 a b 与 a 2b 平行，则存在唯一的实数 ，使 a b (a 2b)成立，即 a b a 2 b，则得? ，1 2 ， 解得 12. 答案 12 知 识 梳 理 1.向量的有关概念 =【 ;精品教

5、育资源文库 】 = 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度 (或模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 零的向量；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量 方向 相同 或 相反 的非零向量 0 与任一向量 平行 或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 相等 且方向 相反 的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求

6、两个向量和的运算 (1)交换律： a b b a. (2)结 合律： (a b) c a (b c) 减法 求 a与 b的相反向量b 的和的运算叫做 a 与b 的差 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a 的积的运算 (1)| a| | |a|； (2)当 0 时， a 的方 向与 a 的方向 相同 ；当 0 时， a 的方向与 a 的方向 相反 ；当 0 时， a 0 ( a) a； ( )a a a； (a b) a b 3.共线向量定理 向量 a(a 0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 b a. =【 ;精品教育资源文库 】 = 考点一 平面向量的概念 【例 1

7、】 给出下列四 个命题： 若 |a| |b|，则 a b； 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 “ AB DC ” 是 “ 四边形 ABCD 为平行四边形 ” 的充要条件； 若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是 |a| |b|且 a b. 其中正确命题的序号是 _. 解析 不正确 .两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； 正确 . AB DC ， |AB | |DC |且 AB DC ， 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， 则 AB DC 且 |AB | |DC |， AB

8、DC ； 正确 . a b， a， b 的长度相等且方向相同， 又 b c， b， c 的长度相等且方向相同， a， c 的长度相等且方向相同，故 a c； 不正确 .当 a b 且方向相反时，即使 |a| |b|，也不能得到 a b，故 |a| |b|且 a b 不是 a b 的充要条件，而是必要不充分条件 . 综上所述，正确命题的序号是 . 答案 规律方法 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度 . (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制 . (3)相等向量的关键是方向相同 且长度相等 . (4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度 . (5

9、)零向量的关键是方向没有限制，长度是 0，规定零向量与任何向量共线 . 【训练 1】 给出下列说法： 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 . 其中正确的说法是 _(填序号 ). 解析 不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； =【 ;精品教育资源文库 】 = 不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方 向不一定相同或相反； 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 . 答案 考点二 平面

10、向量的线性运算 【例 2】 (1)(2018 南京模拟 )在 ABC 中， P， Q 分别是 AB， BC 的三等分点，且 AP 13AB，BQ 13BC.用 AB ， AC 表示 PQ ，则 PQ _. (2)(2013 江苏卷 )设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD 12AB， BE 23BC.若 DE 1AB 2AC ( 1， 2为实数 )，则 1 2的值为 _. 解析 (1)PQ PB BQ 23AB 13BC 23AB 13(AC AB ) 13AB 13AC . (2)由题意作图如图 . 在 ABC 中， DE DB BE 12AB 23BC 12AB

11、23(AC AB ) 16AB 23AC 1AB 2AC ， 1 16， 2 23. 故 1 2 12. 答案 (1)13AB 13AC (2)12 规律方法 (1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法 相互转化 . (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： 观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形； 运用法则找关系； 化简结果 . 【训练 2】 (1)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个靠近 B 点的三=【 ;精品教育资源文库 】 = 等分点，那么 EF _(用 AB ， AD 表示 ). (2)(201

12、8 泰州模拟 )设 D 为 ABC 所在平面内一点， AD 13AB 43AC ，若 BC DC ( R)，则 _. 解析 (1)在 CEF 中，有 EF EC CF . 因为点 E 为 DC 的中点，所以 EC 12DC . 因为点 F 为 BC 的一个靠近 B 点的三等分点， 所以 CF 23CB . 所以 EF 12DC 23CB 12AB 23DA 12AB 23AD . (2)由 AD 13AB 43AC ，可得 3AD AB 4AC ，即 4AD 4AC AD AB ，则 4CD BD ，即 BD 4DC ，可得 BD DC 3DC ，故 BC 3DC ， 则 3. 答案 (1)1

13、2AB 23AD (2) 3 考点三 共线向量定理及其应用 (多维探究 ) 命题角度 1 定理的理解 【例 3 1】 下列叙述错误的是 _(填序号 ). 若 a b， b c，则 a c； 若非零向量 a 与 b 方向相同或相反，则 a b 与 a， b 之一的方向相同； |a| |b| |a b|?a 与 b 方向相 同； 向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 ，使得 b a； AB BA 0； 若 a b，则 a b. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 对于 ，当 b 0 时， a 不一定与 c 平行 . 对于 ，当 a b 0 时，其方向任意，它与 a， b 的方

14、向都不相同 . 对于 ，当 a， b 之一为零向量时结论不成立 . 对于 ，当 a 0 且 b 0 时， 有无数个值；当 a 0 但 b 0 或 a 0 但 b 0 时， 不存在 . 对于 ，由于两个向量之和仍是一个向量， 所以 AB BA 0. 对于 ，当 0 时，不管 a 与 b 的大小与方向如何，都有 a b，此时不一定有 a b. 故 均错 . 答案 命题角度 2 应用定理求参数的值 【例 3 2】 (2018 盐城模拟 )如图，经过 OAB 的重心 G 的直线与 OA， OB 分别交于点 P，Q，设 OP mOA ， OQ nOB ， m， n R，则 1n 1m的值为 _. 解析 设 OA a， OB b，由题意知 OG 23 1